第二章、 文獻回顧
2.3 機率與不確定性分析
由 2.2 小節可知目前 TDR 量測輾壓土壤乾密度與含水量可使用之 分析方法有：(1)視介電常數結合導電度法(導電度法)，(2)視介電常數 結合正規化反射係數法(反射係數法)。然而，各分析方法所得土壤乾密
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度與含水量之誤差尚未有嚴謹之分析結果，在進行資料融合分析(data fusion)技術中，最常被使用之技術為機率式貝氏分析法(Bayesian Inference)，此法建立於貝式定理(Bayesian Theorem)之上，貝式定理是 以條件機率之數學呈現，其可於工程師主觀背景(Prior Function)下，結 合其他試驗或是其他分析資料所得之可能性分布(Likelihood Function)，
獲得某事件發生之後驗機率(Posterior Function)，而透過以前次分析之 後驗機率，做為下次貝氏分析之先驗機率，如此可不斷學習演進，獲 得最終狀態之後驗機率分布。
2.3.1 基本機率
機率係一能夠了解事件發生之可能性大小之工具。假設 A 事件發 生之機率可表示為 ，而其有以下條件：
(1) ， A 事件集合 F。
(2) ，U：宇集合。
(3) 若 A1、A2 事件集合 F，而 A1與 A2不交集，
則 。
假設於 Ei事件發生的條件下，A 事件發生的機率，則其可以條件 機率表示為：
(2-44)
而由(2-44)式可得：
(2-45) 因此可獲得當 A 事件發生時，Ei事件發生之機率為
(2-46)
上式即稱為貝式定理。而其中分母 由條件機率與總機率定理可進
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一步表示成，當所有 Ej 事件發生時，A 事件發生之機率：
∑
(2-47) 因此(2-46)式可寫成
∑ (2-48) 2.3.2 反算問題與貝氏分析
在描述一反算問題(Inverse problem)前，需先建立問題(Forward problem)，其中欲求之未知參數決定模型空間(Model space)(m)，而實驗 之建立決定資料空間(Data space)(d)與模型(Forward model)(g( ))。其可 表示成：
(2-49) 以 TDR 量測視介電常數 與導電度 EC，並由其反算輾壓土壤乾 密度與體積含水量為例，其模型空間(Model space)(m)為土壤乾密度 與體積含水量 ，資料空間(Data space)(d)為視介電常數 與導電度 EC，
而模型(Forward model)(g( ))由模型空間(m)與資料空間(d)之關係決定 (其關係式如(2-4)式與(2-11)式)，假設 為 1t/m3，因此正問題可描述成：
[√ √ ] [ ] [ ] (2-50) 其中，a、b、c、d 為標定參數。
然而，上節所提到 TDR 量測土壤之電學參數有很多種，而其對土 壤乾密度 與體積含水量 亦有其相對應之關係，因此反算分析亦可決 定哪一種表達式是最好的。
(2-49)式與(2-50)式可表示其資料與模型參數之完美關係，而事實 上須考慮其不確定性，因此透過加入額外的誤差可代表其不確定性，
28 (Total probability law)，其可描述為：
∫ (2-52) 其中， 為後驗機率(Posterior Function)， 為可能 性分布(Likehood Function)， 為先驗機率(Prior Function)。假設存 在一問題，先驗機率即使用者對於此問題之主觀理解程度，而透過試
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機會不大，因此，假設不存在但被發現的機率 p( ̅)為 0.05，不存在也 未發現的機率 p( ̅ ̅)為 0.95。
當做完一鑽孔後，可從 SPT 中得到發現液化土層之結果(F)，很顯 然的，此時液化土層存在的機率與未做鑽探前不一樣，因此可藉由貝 氏定理來求後驗機率，即鑽一孔後，發現液化土層條件下其確實存在 的機率 p( )：
̅ ̅
而可將第一次鑽孔之後驗機率 作為第二次鑽孔之先驗機率，
並計算第二次鑽孔之後驗機率，由此可持續演進，獲得多次鑽孔之後 驗機率，如圖 2-13 所示。
圖 2-13 先驗機率與鑽孔次數關係圖(修改自 http://www.pga.org.tw/upfiles/1247476927.pdf)
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