第三章、 研究方法
3.2 室內試驗規劃
3.2.4 TDR 擷取波形之分析
由 TDR 量測系統與 ASTM D6780 之室內感測器連接完成(如圖
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3-11 所示)後，即可量測土壤試體之 TDR 波形(如圖 3-16)。
圖 3-16 來回走時切線法分析(以寶二土，含水量 13%為例) 視介電度分析係採用單切線法(如圖 3-16 所示)，走時起點取感測 器進入土壤前之尖點，走時終點則以通過 TDR 波形感測段之(區域極小 值)的切線和 TDR 波形感測段後上升段之斜率最大點所做之切線兩切 線交會點為之，走時終點與走時起點之時間差即為電磁波於感測器中 之來回走時，而視介電度可由(2-17)式獲得之。
導電度分析係依照 Lin et al.(2007)所建議導電度分析所需之穩態 波形長度需擷取延長纜線長度之 3 倍與 TDR 感測器長度之 10 倍兩長 度中較長者之波形(如圖 3-17 所示)，本研究採用擷取設窗長度為 1500 m，由波形中可取得 TDR 訊號之初始電壓 與穩態電壓 ，並由量測 取得 TDR 同軸感測器外導體之內徑 、內導體之外徑 和感測器於土 表面以下之長度 ，而土壤導電度即可由(2-11)式獲得之。
電壓差 由 TDR 波形之走時起點至 TDR 感測段之極小值可獲得，
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並由長時間之穩態電壓 ，得到 。由以上方法獲得視介電 常數 、導電度 EC 與電壓比值 ，即可更進一步對導電度法、反射 係數法做貝式分析探討其可行性。
圖 3-17 TDR 波形之長時間穩態波形(以含水量 13.9%之寶二土為例) 3.2.5 貝式分析流程
多變數之高斯分布可表示為：
√ { } (3-3) 記作 N( , )。其中， 為平均值向量， 為協方差矩陣或共變 異數矩陣(Covariance matrix)。
為簡化分析上之複雜性，假設先驗機率(Prior Function)與資料誤差 為高斯分布，因此先驗模型 M 之高斯分布可記作 N( , )，資料誤 差 之高斯分布記作 N(0, )，而先驗機率之高斯分布可記作 N( , )，
之高斯分布可記作 N(g(m), )，(2-52)式之後驗機率 可表示為：
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√
{ [( ) ( )
( ) ( )]}
(3-4)
其中， 為 TDR 量測之電學參數， 為數學模型， 為誤差之協 方差矩陣(Covariance matrix)， 為待求參數， 為高斯分布之先驗機 率之平均值， 為高斯分布之先驗機率之協方差矩陣
若為線性之高斯問題，則有解析解存在；但若為非線性問題，則 沒有解析解，但可透過最佳化演算法找出先驗機率分布之最大值(MAP) 作為其數值解，在尋找先驗機率分布之最大值(MAP)時，因Ｐ 並 非 m 之函數而不需計算僅作為常數，因此 表示為：
{( ) ( )
( ) ( )} (3-5)
因此，貝式分析之流程整理如圖 3-18 所示。
圖 3-18 貝式分析流程圖
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而本研究之參數設定，如以下所述：
數學模型之決定
由 2.2 節所提到之導電度法與反射係數法為主。
1.導電度法
{
√
√
2.係數修正法
{
√
標定參數
由 TDR 訊號波形中分析各方法之電學參數，並依各方法之數學公 式標定各參數 a、b、c、d、f。
先驗機率參數設定
先驗機率為使用者之主觀設定，其表示使用者對於該問題之理解 程度，本研究假設對問題一無所知，假設非常接近均勻分布，如圖 3-19 所示。因此設定乾密度平均值為 1.7，含水量平均值為 0.16；乾密度標 準差 為 1，含水量標準差 為 0.5。
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圖 3-19 高斯分布(a)乾密度( =1.7， =1) (b)含水量( =0.16， =0.5) 可能性分布參數設定
為 TDR 量測之電學參數，而誤差之協方差矩陣(Covariance matrix) 可由標定資料 與理論值 g(m)兩者之誤差，如圖 3-20 所示，
計算其協方差矩陣。以視介電常數與導電度分析法為例，可將量測之 視介電常數 Ka 與導電度 EC 分別與其理論值 g(m)相減得誤差，並計算 誤差之標準差與協方差(Covariance)，其參數詳表 3-2 所示，因此協方
差矩陣 為[
]。
圖 3-20 誤差說明圖(以導電度為例)
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表 3-2 誤差之協方差矩陣參數(以傳統視介電常數與導電度法為例) 誤差 = - g(m) 標準差
視介電常數 Ka
=
√∑ ̅̅̅̅̅̅
導電度 EC =
√∑ ̅̅̅̅̅
參數相關性 =
=
√∑ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
依以上貝式分析之參數設定流程後，以 Matlab 撰寫程式來計算與 繪製圖形，可獲得不同 TDR 方法之後驗機率分布與後驗機率等高線土，
如圖 3-21 所示，探討 TDR 方法之數學相依性，若等高線圖為同心圓 分布，即代表參數間獨立，若為其他同心之圖形，則代表其參數間相 依。
圖 3-21 後驗機率分布圖(以係數修正法分析寶二土為例)-(a)三維機率 分布圖，(b)機率分布等高線圖
進而可繪製乾密度或含水量之邊際機率分布(Marginal pdf)，如圖 3-22 所示，圖 3-22(a)為以乾密度為討論參數，以含水量為變數且範圍
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Gravimetric Water content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Gravimetric Water content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Gravimetric Water Content
Marginal Posterior Pdf
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Marginal Posterior Pdf
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第四章、試驗結果與討論
4.1 土壤室內標定結果
由視介電常數分析依(2-17)式所得四種土樣之√ ，以(2-20)式對
√ 進行正規化後，其與重量含水量之關係如圖 4-1 所示，其中，寶 二土、湖南壩土、湖山壩土、高嶺土之圖標分別以 B2、HN、HS、KL 表示之，當重量含水量增加時，正規化之視介電常數隨之增加。將此 四種土樣實驗資料進行線性迴歸，其線性迴歸參數如表 4-1 所示。由 此圖與表中可發現，其介電性質受土壤種類影響而有不同之截距(即 a 值)，但斜率均接近。
圖 4-1 正規化視介電常數與重量含水量之關係
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表 4-1 正規化視介電常數與重量含水量之線性迴歸關係
Soil Type a b
Bao2 0.907 9.321 0.99746 Hunain dam 1.054 9.175 0.99672 Hushan dam 0.882 9.566 0.94246 Kaolinite 1.368 9.024 0.96354
其次，導電度分析依(2-18)與(2-19)式所得四種土樣之√ ，以(2-11) 式對√ 進行正規化後，其與重量含水量之關係如圖 4-2 所示，當重 量含水量增加時，正規化之導電度隨之增加。將此四種土樣實驗資料 進行線性迴歸，其線性迴歸參數如表 4-2 所示。由此圖與表中可發現，
其導電性質受土壤種類影響有不同之線性關係，其資料有相當程度之 離散。
圖 4-2 正規化導電度與重量含水量之關係
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表 4-2 正規化導電度與重量含水量之線性迴歸關係
Soil Type c d
Bao2 0.079 0.269 0.92924 Hunain dam 0.060 0.364 0.64726 Hushan dam -0.027 0.672 0.77599 Kaolinite -0.011 0.598 0.77619
最後，依修正分析法可得到四種土樣之修正係數 ，以(2-41) 式對其進行正規化後，其對視介電常數之關係如圖 4-3 所示，當視介 電常數增加時，除湖山壩用土外，其餘土樣之正規化之修正係數皆隨 之增加。將此四種土樣實驗資料依(2-41)式進行非線性迴歸，其迴歸參 數如表 4-3 所示。由此圖與表可發現，其受土壤種類影響有不同之標 定關係，而各土樣之標定參數 、 、 相差甚大，並無規律性存在。
以上資料，可用來作為後續計算資料誤差及協方差矩陣之依據。
圖 4-3 正規化反射係數與視介電常數之關係
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表 4-3 正規化修正係數與視介電常數之線性迴歸關係 Soil Type
Bao2 0.146 0.008 -1.305 Hunain dam 0.727 -0.006 0.041 Hushan dam 0.186 -0.00012 0.756 Kaolinite 0.066 0.013 1.346 4.2 數學結構穩定性
導電度法以視介電常數與乾密度、含水量之關係(式(2-4))配合導電 度與乾密度、含水量之關係(式(2-11))作為反算數學關係，其形式皆為 直線方程式 y=a+bx，當兩直線斜率相近時，將可能出現不合理解，若 兩直線斜率相等時，將造成無解之狀況。
反射係數法分別以視介電常數與乾密度、含水量之關係(式(2-4)) 配合反射係數與乾密度、含水量之關係(式(2-41))作為反算數學關係，
其形式為一直線與多項式，則可避免導電度法之問題發生。
因此，以數學關係來看，反射係數法有較導電度法穩定的反算數 學關係。
4.3 數學之相依性與不確定性
此節以四種土為標定土樣，其貝式分析之參數設定如表 4-4 表 4-4 所示。其中，設定 真值為(1.6, 0.15)，依各方法由(2-4)式與(2-11) 式、(2-41)式，求得量測值 (( ,EC)、( ,V1/Vf))；高斯分布之先驗 機率分布皆設定平均值 為(1.7,0.16)，而協方差矩陣 =[ ]，
其為使高斯分布接近於均勻分布，其表示對問題一無所知。
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表 4-4 TDR 分析方法之貝式分析參數設定
導電度法 係數修正法
量測值 ( ,EC)=
(14.1534, 0.0166)
( ,V1/Vf)=
(14.1534, 0.2704)
迴歸值 g(m)
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Gravimetric Water Content Contour Estimated
Gravimetric Water Content Contour Estimated
Gravimetric Water Content Contour Estimated
Gravimetric Water Content Contour Estimated
Gravimetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Gravimetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Gravimetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Gravimetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
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Marginal Posterior Pdf
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Marginal Posterior Pdf
1.4 1.6 1.8
Marginal Posterior Pdf
0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Marginal Posterior Pdf
1.4 1.6 1.8
Marginal Posterior Pdf
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Marginal Posterior Pdf
1.4 1.6 1.8
Marginal Posterior Pdf
0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
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(a)寶二土
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Marginal Posterior Pdf
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Marginal Posterior Pdf
1.4 1.6 1.8
Marginal Posterior Pdf
0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
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1.4 1.6 1.8
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0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
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1.4 1.6 1.8
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0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
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(a)寶二土
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Volumetric Water Content Contour Estimated
Volumetric Water Content Contour Estimated
Volumetric Water Content Contour Estimated
Volumetric Water Content Contour Estimated
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Volumetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Volumetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Volumetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
Volumetric Water Content
1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
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0.2 0.22 0.24 0.26 0.28
Volumetric Water Content
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1.4 1.6 1.8
Marginal Posterior Pdf
0.2 0.22 0.24 0.26 0.28
Volumetric Water Content
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1.4 1.6 1.8
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0.2 0.22 0.24 0.26 0.28
Volumetric Water Content
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1.4 1.6 1.8
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0.2 0.22 0.24 0.26 0.28
Volumetric Water Content
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(a)寶二土
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0.2 0.22 0.24 0.26 0.28
Volumetric Water Content
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1.4 1.6 1.8
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1.4 1.6 1.8
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0.2 0.22 0.24 0.26 0.28
Volumetric Water Content
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1.4 1.6 1.8
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(a)寶二土
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以上結果可知，不論以( , )、( , )作為分析參數，各方法之參 數間於具有一定相依性，而不確定性以反射係數法較低。接下來，將 探討導電度法與反射係數法量測單一土壤之誤差。
4.4 單一土壤之量測誤差
於上節探討 TDR 方法之相依性與不確定性，由寶二土資料做為標 定資料，並取其標定迴歸線上之理想值做為量測資料，經由貝氏分析 可得其於數學上之不確定性，以反射係數法較小；本節進一步以單一 土樣資料做為量測資料，探討加入量測誤差之結果。
導電度法
若以單一土壤資料做為標定與量測資料，由解析解獲得之土壤乾 密度與試驗之土壤乾密度的關係，如圖 4-12 左側所示，其中除畫上 1:1 關係線外，亦加上誤差百分比 5%、 10%與 15%之誤差邊界；而含 水量亦由解析解獲得與實驗之土壤含水量做其關係，如圖 4-12 右側所 示，其中加上 1:1 關係線外，亦加上誤差為 1%、 2%與 3%之誤差 邊界。由湖南壩土之誤差分析可發現不論乾密度與含水量皆為無法接 受誤差，其原因為湖南壩土資料造成兩直線斜率接近，而使估計之誤 差較大。
反射係數法
若以單一土壤資料做為標定與量測資料，由解析解獲得之土壤乾 密度與試驗所得土壤乾密度之關係，如圖 4-12 左側所示，其中可發現 當反射係數法於估計乾密度時，其誤差於 15%內；而含水量亦可以解 析解獲得之含水量與實驗所得之土壤含水量做其關係，如圖 4-12 右側 所示，其中由反射係數法估計之含水量於 3%內。
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圖 4-12 導電度法與反射係數法之單一土壤估計結果
由以上之探討可知 TDR 量測土壤乾密度與含水量方法，受其數學 關係影響，存在使用上之限制，導電度法因其與乾密度、含水量之關 係與視介電常數相似，當兩直線斜率相近時，將造成不合理解，；而 反射係數法以一直線配合多項式為其反算數學關係，因此可避免導電 度法之問題，因此，使用 TDR 反射係數法量測土壤乾密度與含水量，
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能夠獲得誤差百分比 15%內之乾密度與誤差 3%之內含水量。
4.5 土壤種類之影響
由上節以某土壤資料作為標定與量測資料，導電度法的不穩定數
由上節以某土壤資料作為標定與量測資料，導電度法的不穩定數