第四章 影像誤差與重建誤差之關係
4.3 在影像最大誤差的情況下求重建點的誤差上限
在 4.2 節的模擬皆是只改變ILS、ILE、IRS或IRE其中一點，不過因為無法預 期在影像上的雜訊，會導致ILS、ILE、IRS與IRE怎麼變化，但經由圖 3.5（參考 3.3 節）可知，雜訊在影像上造成約為 2 個像素點的誤差，所以可以將雜訊分別 分佈在以ILS、ILE、IRS與IRE為圓心，半徑為 1 的圓上作探討。由於我們並不知 道ILS、ILE、IRS與如何分佈，會造成重建點的最大誤差，所以我們一步步的作 逼近，來找出重建點的誤差上限。
首先，如圖 4.6 所示，我們將ILS、ILE、IRS與IRE，分別以基準點為圓心，
半徑為 1，在90°倍數角點上取樣，然後各取ILS、ILE、IRS與IRE一點，作4 次4 的組合，分別求出重建點，其重建點如圖 4.7 所示。我們再從這些重建點求出x座 標和 y 座標的最大與最小值，這就構成重建點的誤差上限。
187 187.5 188 188.5 189
y coordinate (pixel)
ILS
246 246.5 247 247.5 248 188
y coordinate (pixel)
ILE
158 158.5 159 159.5 160 141
y coordinate (pixel)
IRS
225 225.5 226 226.5 227 154
y coordinate (pixel)
IRE
y coordinate (pixel)
Mouse Cursor Position
圖 4.7 ILS、ILE、IRS與IRE分別在90°倍數角取樣的所有重建點分佈圖。
圖 4.8 則是求出的重建點誤差上限，（a）是將x座標和 y 座標範圍分別設定 在 0～640 與 0～480 之間，模擬在螢幕畫面滑鼠分佈的誤差範圍，（b）則是將重 建點誤差上限放大觀察。
（a） （b）
圖 4.8 ILS、ILE、IRS與IRE分別在90°倍數角取樣，重建點誤差上限圖。（a）x、y座標範 圍分別設定在 0～640 與 0～480 之間，（b）將重建點誤差上限放大觀察。
接著我們增加在圓上的取樣點，每15°角取樣一次，ILS、ILE、IRS與IRE取 樣分佈圖如圖 4.9 所示。我們以相同的方法計算重建點，得到的誤差上限為圖 4.10。與圖 4.8 比較，圖 4.10 所得到的誤差上限比較準確。我們觀察到，當我們 取樣的越密，則誤差上限越準確，而在此引起我們關注的是，I 、LS ILE、IRS與IRE 分別取樣在哪個點時，會構成圖 4.8（b）與圖 4.10（b）中的這些誤差上限點？
而經由我們多次的模擬，發現當ILSILE 、IRSIRE的斜率為最大與最小時，所得到 的重建點，會是構成誤差上限。
187 187.5 188 188.5 189
y coordinate (pixel)
ILS
246 246.5 247 247.5 248 188
y coordinate (pixel)
ILE
158 158.5 159 159.5 160 141
y coordinate (pixel)
IRS
225 225.5 226 226.5 227 154
y coordinate (pixel)
IRE
遠，且兩圓的相對位置並非一上一下，故此兩圓的內公切線，分別是構成兩圓上 點連線的最大與最小斜率。所以我們可以直接以數學理論求得內公切線與兩圓的 切點，再由這些切點作重建，即可找出重建點的最大誤差。
我們延續上述的模擬，分別求出內公切線與切點，然後求得重建點的誤差上 限。圖 4.11 為所得到的切線與切點，而圖 4.12 則為由這些切點所求得重建點的 誤差上限。
（a） （b）
圖 4.11 ILS與ILE、IRS與IRE以數學理論求內公切線與切點，綠色與紅色點為切點，線則為 兩內公切線。（a）為ILS與ILE的模擬圖，（b）為IRS與IRE的模擬圖。
（a） （b）
圖 4.12 ILS、ILE、IRS與IRE以數學理論求內公切線與切點，重建點誤差上限圖。（a）將重 建點誤差上限放大觀察，（b）x、y座標範圍分別設定在 0～640 與 0～480 之間。
經由觀察可發現圖 4.11 中的{p,p’,r,r’}四點構成圖 4.12（b）中的 a 點，
{q,q’,s,s’}、{p,p’,s,s’}與{q,q’,r,r’}則構成了 b、c 與 d 點。所以假若我們在左影像 中ILS與ILE分別固定於 p 與 p’，則所得到的重建點會落在圖 4.12（b）中 a 點與 c 點的連線上，同理若IRS與IRE分別固定於 s 與 s’，則所得到的重建點會落在圖 4.12（b）中 b 點與 c 點的連線上，其餘同理可得。
我們將以90°倍數角、15°倍數角取樣，以及以切點來重建的重建點誤差上 限畫在一起，如圖 4.13 所示。藍色線為90°倍數角所畫出的誤差上限，黑色線為 15°倍數角所畫出的誤差上限，而紅色線則為以切點畫出的誤差上限。可以發現 幾乎看不到黑色線，因為黑色線與紅色線幾乎重疊，也就表示以15°倍數角取樣 所得到的誤差上限與以內公切線所得到的誤差上限差距很小。
450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 320
330 340 350 360 370 380 390 400
x coordinate (pixel)
y coordinate (pixel)
Draw Together
圖 4.13 比較重建點的誤差上限，將在 90 度倍數角上取樣、15 度倍數角上取樣，及以切點來求 重建點誤差上限畫在一起。
我們把以90°倍數角、15°倍數角取樣，以及以切點來重建的重建點誤差上限 數據整理如表 4.1。可以發現以切點求得的誤差上限為最大，但15°倍數角幾乎與 切點求得的誤差上限重合，誤差只在小數點下幾位。
表 4.1 以 90 度倍數角、15 度倍數角與切點所得的重建點誤差上限數據表。 （單位：像素）
xMax xMin yMax yMin
90 degree 535.9857 455.96 395.6483 330.5393
15 degree 539.2251 453.4022 397.8248 328.1907
內公切線 539.2422 453.2395 397.8823 328.1027
在我們的系統中，內公切線反應在指向物上，是使用者以指向物的一半長度 為中心，將指向物作最大角度旋轉。而外公切線反應在指向物上則為最大的平 移，故也因此引發我們探討，若ILS、ILE、IRS與IRE剛好座落在外公切線與圓的 切點上，則重建點會有多大的誤差範圍。所以我們分別求出外公切線與圓的切 點，然後求得重建點的誤差上限。圖 4.14 為所得到的切線與切點，而圖 4.15 則 為由這些切點所求得重建點的誤差上限。
（a） （b）
圖 4.14 ILS與ILE、IRS與IRE以數學理論求外公切線與切點，綠色與紅色點為切點，線則為 兩外公切線。（a）為ILS與ILE的模擬圖，（b）為IRS與IRE的模擬圖。
（a） （b）
圖 4.15 （a）ILS、ILE、IRS與IRE以數學理論求外公切線與切點，重建點誤差上限圖，（b）
將內公切線與外公切線造成的誤差畫在一起。
由圖 4.15（a）可以發現，重建點的x座標和 y 座標誤差範圍，皆在 10 個像 素點下，遠遠小於內公切線所造成的重建誤差。因此我們得知，指向物旋轉所造 成的誤差遠大於平移所造成的誤差。
經過多次的模擬後發現，直接利用內公切線與圓的切點來求重建點，即會產 生最大誤差上限。所以接下來的探討，就直接以內公切線與圓的切點來求重建點 的誤差上限。