解析多層域的彈性波的暫態波傳，不論是一維、二維還是三維的問題，皆有 諸多學者深入探討，也提出各種不同的解析方法。但是，由於多層域的層數和觀 測時間長度的侷限，卻鮮少發展多層域和長時間計算的分析方式。本研究所提出 的方法，和傳統的廣義射線法相比，並不需要分析所有可能的射線路徑，因為隨 著波的反射數目增加，所要考慮波的退化問題將會越加嚴重，精確的計算也越加 困難。在本章中所求得的結果，將無須計算廣義射線法中波的退化問題，而且，
在精確度和計算時間的考量下，可以很容易的計算多層域長時間的暫態波傳。
本章將介紹三種不同的方法來分析多層域的暫態波傳問題：即廣義射線法，
數值拉普拉斯逆轉換，以及有限元素法。將多層域波動方程式的通解排列成矩陣 形式，並將邊界條件和界面連續條件代入，以求得待定係數矩陣，便可得到在轉 換域下每一層材料的位移場及應力場。接著，還必須使用解析或是數值的方式來 計算拉普拉斯逆轉換，以解析方式計算拉普拉斯逆轉換而求得的位移、應力響應 稱之為廣義射線法，其結果為一精確解。另一種方式則以數值方法來計算拉普拉 斯逆轉換，本文採用 Durbin 法，此法所得的結果為混合解析及數值解。最後，
使用有限元素法軟體 ABAQUS 的純數值計算來驗證並比對前面兩種分析方式的 結果。
3-1 廣義射線解
首先考慮一開始不受擾動的 n 層異質材料，其結構示意圖如圖 3-1 所示。假 設每一層材料均為等向性均質的彈性材料，層與層之間則是完美接合。任意第 i 層的物理量，輔以下標(i)來做區分，而 n 層相異質材料包含上下半無窮域的話，
則共有 n+2 種介質。換句話說，(0)代表上半無窮域，(n+1)代表下半無窮域。
傳，其第 i 層的一維波動方程式可以表示如下：
( ) ( ) ( ) ( )
( )
其中ri i+1，ti i+1為平面波的反射及穿透係數。若考慮的入射波是由下部介質(i+1)
響應b和全場向量 c 之間的關係：
Durbin’s method，其為傅立葉正弦與餘弦級數的組合，詳細推導將於下一節說明。
在方程式(3-42)中，將
(
I R 的逆矩陣做−)
Neumann級數展開其中下標l為 1 到 2n 的任一整數，代表著每一層中的位移和應力場分量(例如：
Dubner 和 Abat(1968)率先提出一種以傅立葉餘弦級數展開的方式，求解拉 普拉斯逆轉換，但由於其誤差會隨著時間呈指數型發散的緣故，Durbin(1974)便
( )
0{
Re( )
cos Im( )
sin}
( )
t( )
( ) ( ( ) )
( )
2( )
2( )
3-3 有限元素解
擬一維面外方向的應力波傳，必須將面內的兩個方向在邊界處做約束，層與層之 間還需設定連續條件。接著定義載荷時間歷程，施予一個均勻分佈且為步階函數 形式的壓應力於表面處，並設定壓應力施予的持續時間。最後，依據欲分析的精 度切割網格元素，選擇 8 節點三維元素(C3D8R)作為分析的元素類型。
3-4 三種方法的數值結果與討論
本節將詳細討論廣義射線法、Durbin 數值逆轉換、有限元素法等三種方法在 各種不同數值算例中的計算結果。在有限元素法軟體 ABAQUS 中，採用 C3D8R 的降積分法(reduced integration)來分析多層域的暫態波傳行為。一般來說，降積 分法能提供較高的精確度和較少的計算時間。而對於 Durbin’s method，在方程式
(3-77)中所設定的計算條件αT =10以及疊加項數 N=100000，將用來執行拉普拉
斯數值逆轉換。首先分析 3 層結構物的應力波傳行為，接著使用廣義射線法和
Durbin拉普拉斯逆轉換，計算10層結構物暫態響應，和有限元素法加以比較並
詳細討論。之後，對於20層結構物的長時間暫態響應，則是採用Durbin拉普拉 斯逆轉換和有限元素法來分析其波傳行為。
3-4-1 三層結構物於均佈載荷下的暫態響應
為驗證三種分析方法是否適用於多層域的問題，此處先以簡單的3層結構物 進行數值計算。假設3層結構物是以各為10cm 的黃銅-鋁-黃銅所組成(相關材料 常數列於表2-1中)，當一Heaviside步階函數形式的均佈動力載荷施加於上表面 處，對於廣義射線法來說，式(3-46)中的響應向量b為大小6 1× 的向量。相位相 關接收矩陣Rcv的大小為6 6× ，穿透反射係數矩陣R為6 6× ，而波源向量 s 則為
6 1× 。
第1層材料中點的應力響應，以廣義射線法計算的結果繪於圖3-2中。波源 抵達第1層中點的時間為t S h(1) =0.5，振幅大小為σ σ = −0.61的一次反射r 於
(1)
1 1.5
t S hL = 時抵達。接著，來自上表面處、振幅大小為σ σ0 = −1的二次反射r1/2、 r1/0於t S hL(1) 1=2.5時抵達。當t S hL(1) 1=2.93時，應力波來自於第 2、3 層界面間的 反射，其射線路徑包含了兩次穿透(t1/2、t2/1)與一次反射(r2/3)，隨著觀測時間的 增加，越來越多次數的穿透反射都必須考量。採用 Durbin 數值逆轉換(式(3-77)) 的暫態響應則顯示於圖 3-3 中，可以發現在觀測時間t S hL(1) 1=20之內，其數值計 算的結果和圖 3-2 完全吻合，即使是步階函數的應力波剛抵達觀測點時，所造成 不連續的跳躍現象，或是時間後期的多處轉折，在 Durbin 疊代項數 N=100000 的分析之下，數值結果有很好的收斂性。圖 3-4 是 FEM 計算的結果，採用 1000
震盪的現象便明顯的減少，取而代之的是σ σ0 =0和−1之間波包形式的週期震
時，廣義射線法、Durbin 數值逆轉換和有限元素法等三種分析方式用來計算暫態
Durbin’s 數值拉普拉斯逆轉換和有限元素法來分析 20 層結構物的長時間響應。
3-4-3 二十層結構物於均佈載荷下的長時間響應
假 設 20 層 結 構 物 中 包 含 三 種 不 同 的 材 料 ， 以 A-B-C-A-B-C-A-B-C-A-B-C-A-B-C-A-B-C-A-B 的順序來排列，並且在結構的上 表面處代入一 Heaviside 函數形式的均佈載荷。在位置x= −5cm(第1層中點)處，
以 Durbin 數值逆轉換和有限元素法繪製的 20 層結構物長時間響應，顯示於圖
3-21中。在無因次化時間40之內，有限元素解(紅色線)和Durbin的數值結果(藍 色線)極為一致。而當觀測時間逐漸增長至 100 時，由每一層交界面所引發出來 的穿透和反射波將急遽增加，也因如此，響應震盪程度亦跟著變大。當時間增加 時，有限元素解和Durbin的數值結果會有些微不同，而且，在圖3-21中可以發 現一個有趣的現象：無因次化的應力在σ σ0 = −1附近震盪，也代表在觀測時間 內皆為壓應力。
如果將 10層結構和 20層結構的暫態響應相比較，由於兩者皆為 A、B、C 三種材料所組成，當觀測點設在第1層中點，圖3-17的暫態響應和圖3-21的初 期(時間t S hL(1) 1=16內)暫態響應是相同的。這現象意味著來自於後面十層的應力 波尚未抵達第1層觀測點。由Durbin數值逆轉換和有限元素法計算的第10層中 點的長時間響應繪製於圖3-22。兩種方法的數值結果皆顯示來自上表面的源波抵 達觀測點的時間約為t S hL(1) 1=10，而應力大小在σ σ0 = −1附近開始震盪，直到
來自底面的反射波在時間t S hL(1) 1=30抵達，應力大小又歸赴為0附近震盪。等到 上表面的反射波又再次抵達觀測點時，再次造成附近σ σ0 = −1震盪的現象。從 長時間響應的角度來看，有一個σ σ0 =0和σ σ0 = −1間的波包存在於響應的趨 勢中。這也意味著如果觀測點是設在結構物中點的時候，可以把一個20 層的週 期性結構想像成一個等效層。圖3-23和圖3-24個別表示觀測點位在15-16層界
面和 19-20 層界面的長時間響應，紅色線為有限元素法的計算結果，藍色線則為 Durbin 數值逆轉換的結果。在圖 3-23 的波傳現象和圖 3-22 有些相似，而圖 3-24 有個值得注意的現象：長時間的響應總是在σ σ0 =0附近震盪，這是因為觀測點 設在比較靠近自由邊界的緣故。雖然應力波是以壓應力的方式施於上表面，但在 多層域的最後一層的界面卻會出現較大的張應力情況，這也說明了為何多層複合 材料常會在最後一層出現脫層的現象。
x =
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-3 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(黃銅 10cm，鋁 10cm，黃銅 10cm)，
當觀測點位在第 1 層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-4 有限元素法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋁 10cm，黃銅 10cm)，當觀測點
0
/ σ σ
(
(1) 1)
/
Lt S h
圖 3-5 廣義射線法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 20cm，鋁 5cm)，當觀測點位 在x= −2cm的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖3-6 Durbin數值逆轉換計算三層結構物(黃銅10cm，鋼20cm，鋁5cm)，當觀
測點位在x= −2cm的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-7 有限元素法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 20cm，鋁 5cm)，當觀測點位 在x= −2cm的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖3-8 廣義射線法計算三層結構物(黃銅10cm，鋼20cm，鋁5cm)，當觀測點位 在x= −8cm的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-9 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 20cm，鋁 5cm)，當觀 測點位在x= −8cm的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖3-10 有限元素法計算三層結構物(黃銅10cm，鋼20cm，鋁5cm)，當觀測點位
在x= −8cm的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-11 廣義射線法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 5cm，鋁 20cm)，當觀測點位 在第 1 層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-12 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 5cm，鋁 20cm)，當
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-13 有限元素法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 5cm，鋁 20cm)，當觀測點位 在第 1 層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-14 廣義射線法計算三層結構物(鋁 10cm，黃銅 5cm，鋼 10cm)，當觀測點位 在第 1 層材料(鋁)中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-15 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(鋁 10cm，黃銅 5cm，鋼 10cm)，當 觀測點位在第 1 層材料(鋁)中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-16 有限元素法計算三層結構物(鋁 10cm，黃銅 5cm，鋼 10cm)，當觀測點位 在第 1 層材料(鋁)中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-17 廣義射線法、Durbin 逆轉換法以及有限元素法解得 10 層介質中，第 1 層中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-18 廣義射線法、Durbin 逆轉換法以及有限元素法解得 10 層介質中，第 2 層中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-19 廣義射線法、Durbin 逆轉換法以及有限元素法解得 10 層介質中，第 5 層中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-20 廣義射線法、Durbin 逆轉換法以及有限元素法解得 10 層介質中，第 9 層中點的暫態響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-21 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 1 層材料中點的長時 間響應。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-22 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 10 層材料中點的長 時間響應。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 3-23 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 15、16 層界面處的 長時間響應。
−1.5
−1.0
−0.5 0.0 0.5 1.0
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
FEM solution Durbin’s method
0 20 40 60 80 100
圖 3-24 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 19、20 層界面處的