多層域等向性非均質材料的暫態波傳解析與數值計算 - 彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解析與數值計算

本章利用拉普拉斯轉換技巧分析材料係數為多項式變化的功能梯度材料的暫態響應，並以 Chiu 及 Erdogan (1999)的理論為基礎得到轉換域下的解析解，進而使用 Durbin (1974)演算法來執行數值拉普拉斯逆轉換，建構出一套半解析半數值的分析方式，來求解功能性梯度材料的暫態響應。本章在精確度和計算效率的考量下，以有限的傅立葉正弦函數和餘弦函數所組成的 Durbin 數值逆轉換法，

取代 Chiu 及 Erdogan 所使用 Abel-Tauber 的漸近理論，並發現 Durbin 演算法更適合計算長時間的暫態響應。本章也將採用多層的均質材料來模擬單層的功能梯度板，分析當施加一均佈動力載荷時，材料內部的暫態響應。由數值計算的結果可以得知，如果以十層以上的均質材料來模擬功能梯度材料，多層均質材料的動態響應能夠反應功能性梯度材料暫態響應的趨勢。另外，由多層材料阻抗不匹配所造成的不連續現象，於本章亦有詳細討論。

關於本章內容的編排，首先於第一節介紹單層功能性梯度材料的解析過程，

並以多層均質材料的方式來模擬其暫態波傳行為；第二節為多層域功能性梯度材料的解析過程，進一步計算三層功能性梯度材料，雙層相異質材料內含功能性梯度材料，以及材料連續性的問題作深入的討論。

4-1 單層功能性梯度材料

4-1-1 拉普拉斯轉換法分析單層功能梯度材料受均佈動力載荷下的

暫態響應

功能性梯度材料的一維暫態波傳問題 Chiu 及 Erdogan (1999)已有詳細的數學分析。下面將簡短的介紹 Chiu 及 Erdogan (1999)所得到在拉普拉斯轉換域下的解。今考慮一個未受擾動的功能性梯度板如圖 4-1 所示，並假設功能性梯度板的

材料特徵沿厚度方向依照下式的多項式函數作連續性變化：

藉由拉普拉斯轉換將無因次化時間 T 轉換為參數 p，而拉普拉斯轉換對可以表示

其中，常數σ₀^{為動力載荷的大小，而} ^ˆf則為在轉換域下的曳引力函數。方程式 (4-14)、(4-16)中的係數C₁~C₄可以利用式(4-17)、(4-18)求解。因此，轉換域下的應力場在自由邊界下的解為(Chiu 和 Erdogan (1999))：

( )

^{( ) (} ⁾ _{( )}^{( ) (} ⁾

( ) ( ) ( ) ( )

( )

⁰^ˆ

( )

應，其 Heaviside 步階函數形式的初始脈衝施加於上表面處x=l(如圖 4-1 所示)，

小。這也說明不連續跳躍值∆σ為位置 x 函數，但在固定位置 x 下，∆σ卻和時

本研究和Chiu及Erdogan (1999)所採用Abel-Tauber漸進理論最大的不同之

處，係所使用的 Durbin 數值拉普拉斯逆轉換能夠長時間計算精確的暫態響應。

4-1-2 以多層等向性均質材料來模擬單層功能性梯度板的暫態波傳

而其中相位相關的接收矩陣R_cv為

與層之間的材料常數不同，而其阻抗不匹配的程度較小之緣故。換言之，在上下表面處材料與空氣阻抗的差異值頗大，而造成∆σ 較大的情況。另外，亦可看出 10 層均質材料的暫態響應會在功能性梯度材料的解附近震盪，當越來越多應力波抵達觀測點，因阻抗不匹配所產生的震盪現象也會跟著加劇。

對於相同的 Ni/ZrO2功能性梯度材料來說，邊界條件為圖 4-1(b)情況下的功能性梯度板中點的暫態響應，及 10 層介質計算的結果顯示於圖 4-15。在 Ni/ZrO2

功能性梯度材料的位置x=0，而邊界條件為圖4-1(b)情況下的暫態響應則顯示於圖4-16中。圖4-15和圖4-16顯示步階形式的脈衝在固定邊界下，扭曲的程度會比自由邊界情況來的嚴重。除了一些震盪的現象以外，10 層介質數值計算的結果其實和單層功能性梯度板的結果十分相近。對於m≠ +n 2(例如：SiC/Al 和

Al/SiC)暫態應力場的計算結果顯示於圖 4-17~圖 4-19。這些圖也清楚的說明 10

層介質能被用來模擬功能性梯度材料的動態問題。

接著，比較由10層和20層介質的計算結果所構成的圖4-20和圖4-21。圖 4-20中12 sµ 內的暫態響應，為位置x=l 2而邊界條件為圖4-1(b)，以10層介質

模擬Ni/ZrO₂功能性梯度材料的結果。若使用 20層介質(相關的材料常數列於表

4-3)來模擬Ni/ZrO2功能性梯度材料，顯示於圖4-21的數值結果更接近單層功能

性梯度材料計算的結果。對於另一種梯度材料SiC/Al，由10層與20層介質所得到的數值結果顯示於圖4-22、圖4-23。圖4-22中6 sµ 內的暫態響應，為位置x=0 而邊界條件為圖4-1(b)，以10層介質模擬SiC/Al功能性梯度材料的結果。相同

的SiC/Al功能性梯度材料進一步分割為20層(相關的材料常數列於表4-5)，而其

計算結果繪於圖4-23中。可發現在圖4-21(圖4-23)中的震盪幅度比起圖4-20(圖

4-22)要小許多，這現象是因為較多的層數可以降低阻抗不匹配的程度，也因此

更為接近功能性梯度材料的結果。

4-2 多層域功能性梯度材料

( ) ( 1)

2 ( ) ( ) 2

( ) 1 ( 1) 1

上式中矩陣第一列表示多層梯度材料上表面的邊界條件，最後一列表示下表面的

4-2-1 三層功能性梯度材料的暫態波傳行為

(4-91)

(4-91)~(4-96)代入式(4-85)~(4-90)中，便可得到三層不相同的功能性梯度材料在轉

步求得在時域下每一層梯度材料的位移響應和應力響應。

以及層與層間位移和應力必須連續的界面連續條件：

將式(4-100)~(4-105)代入式(4-106)~(4-111)之後，求得的待定係數可表示如下：

(1) 0 2

4-2-3 三層功能性梯度材料退化為雙層相異質材料夾功能性梯度材

以陶瓷汽缸中常見的複材結構為例，氧化鋯作為耐磨耗、耐熱層，金屬鎳提

當觀測點設在 FGM 中點(亦即表示第 2 層梯度材料的中點)時，以式(4-88)

其計算出的密度與彈性常數分布圖，分別繪於圖 4-32(a)、(b)中。圖中顯示第 1

表 4-1 功能性梯度材料的相關材料常數

表 4-3 以二十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 Ni/ZrO2之相關材料常數 No. ^{E GPa}⁽ ⁾ ρ (kg m/ ³) CL⁽m s ^{/ )} Impedance(kg m s / ² ) h mm ( )

1 225.04 5395 6458 34844813 0.25

2 227.69 5527 6418 35475646 0.25

3 230.39 5663 6378 36121954 0.25

4 233.15 5804 6338 36784215 0.25

5 235.95 5948 6298 37462930 0.25

6 238.80 6097 6258 38158614 0.25

7 241.71 6251 6218 38871805 0.25

8 244.67 6410 6178 39603060 0.25

9 247.69 6574 6138 40352958 0.25

10 250.77 6744 6098 41122101 0.25

11 253.90 6918 6058 41911115 0.25

12 257.09 7099 6018 42720648 0.25

13 260.35 7285 5978 43551376 0.25

14 263.67 7478 5938 44404001 0.25

15 267.06 7677 5898 45279255 0.25

16 270.51 7883 5858 46177897 0.25

17 274.03 8096 5818 47100719 0.25

18 277.62 8316 5778 48048545 0.25

19 281.29 8544 5738 49022231 0.25

20 285.02 8779 5698 50022672 0.25

表 4-4 以十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 SiC/Al 之相關材料常數 No. ^{E GPa}⁽ ⁾ ρ (kg m/ ³) CL⁽m s ^{/ )} Impedance(kg m s / ² ) h mm ( )

1 111.22 2737 6375 17446614 0.5

2 123.27 2787 6651 18534735 0.5

3 135.33 2833 6912 19579820 0.5

4 147.38 2876 7159 20587200 0.5

5 159.43 2916 7394 21561164 0.5

6 171.48 2954 7620 22505231 0.5

7 183.54 2989 7836 23422331 0.5

8 195.59 3023 8044 24314933 0.5

9 207.64 3055 8245 25185146 0.5

10 219.69 3085 8438 26034785 0.5

表 4-5 以二十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 SiC/Al 之相關材料常數 No. ^{E GPa}⁽ ⁾ ρ (kg m/ ³) CL⁽m s ^{/ )} Impedance(kg m s / ² ) h mm ( )

1 108.21 2724 6303 17167107 0.25

2 114.24 2750 6446 17723019 0.25

3 120.26 2775 6584 18266975 0.25

4 126.29 2799 6718 18799811 0.25

5 132.31 2822 6848 19322272 0.25

6 138.34 2844 6975 19835017 0.25

7 144.37 2865 7098 20338640 0.25

8 150.39 2886 7219 20833674 0.25

9 156.42 2906 7337 21320602 0.25

10 162.44 2926 7452 21799860 0.25

11 168.47 2944 7564 22271848 0.25

12 174.50 2963 7675 22736931 0.25

13 180.52 2980 7783 23195442 0.25

14 186.55 2998 7889 23647690 0.25

15 192.58 3015 7993 24093959 0.25

16 198.60 3031 8095 24534510 0.25

17 204.63 3047 8195 24969588 0.25

18 210.65 3063 8294 25399419 0.25

19 216.68 3078 8391 25824214 0.25

20 222.71 3093 8486 26244169 0.25

圖 4-1 功能性梯度板的幾何結構與其邊界條件示意圖：(a)自由邊界；(b)固定邊界。

/

ρ ρ ^/

⁰

E E ′ ′

/

c c /

Z Z

圖 4-2 Ni/ZrO2功能性梯度材料的彈性常數、密度、縱波波速、機械阻抗分佈圖。

/

ρ ρ ^/

⁰

E E ′ ′

/

c c /

Z Z

圖 4-3 SiC/Al 功能性梯度材料的彈性常數、密度、縱波波速、機械阻抗分佈圖。

0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

/

σ σ

t (µs)

圖 4-4 在x=l 50處，Ni/ZrO2功能性梯度材料於自由邊界下的應力響應圖 (l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。

/

σ σ

圖 4-5 在x=l 2處，Ni/ZrO2功能性梯度材料於自由邊界下的應力響應圖 (l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。

0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

/

σ σ

t (µs)

圖 4-6 在x=l 2處，ZrO2/Ni 功能性梯度材料於自由邊界下的應力響應圖 (l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。

σ σ

圖 4-7 在x=0處，Ni/ZrO2功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖 (l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。

σ σ

圖4-8 在x=l 2處，Ni/ZrO₂功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖

= =

σ σ

圖 4-9 在x=0處，ZrO2/Ni功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖 (l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。

0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−0.5 0.5 1.5

σ σ

t (µs)

1.0 −1.0 0.0

圖4-10 在x=l 2處，ZrO₂/Ni功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。

/

σ σ

圖 4-11 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO₂功能性梯度板的長時間應力響應圖。

0 3 6 9 12 15 18 21 24

−3

−2

−1 0 1 2 3

/

σ σ

t (µs)

圖4-12 在x=0固定邊界下，觀測點位在固定端(x=0)，Ni/ZrO2功能性梯度板

/

σ σ

圖 4-13 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO₂功能性梯度板的長時間應力響應圖。

/

σ σ

圖4-14 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO₂功能性梯度板與10

層介質模擬的應力響應圖。

/

σ σ

圖 4-15 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO₂功能性梯度板與10 層介質模擬的應力響應圖。

/

σ σ

圖4-16 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，ZrO2/Ni功能性梯度板與10

/

σ σ

圖 4-17 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，SiC/Al功能性梯度板與10 層介質模擬的應力響應圖。

/

σ σ

圖4-18 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，SiC/Al功能性梯度板與10層

介質模擬的應力響應圖。

0 1 2 3 4 5 6

−1.5

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

/

σ σ

t (µs)

10-layered solution FGM solution

圖 4-19 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，Al/SiC功能性梯度板與10 層介質模擬的應力響應圖。

/

σ σ

圖4-20 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，10層介質(Ni/ZrO₂)模擬的

/

σ σ

圖 4-21 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，20層介質(Ni/ZrO₂)模擬的應力響應圖。

/

σ σ

圖4-22 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，10層介質(SiC/Al)模擬的應力

響應圖。

/

σ σ

h

₁

h

x

x = 0

x =

x = h

−

( h

h

)

− +

Homogeneous (1)

Homogeneous (2) FGM

x ⁼ − ₍ h

+ + h

h

₎

圖 4-25 雙層相異質材料夾功能性梯度材料的結構示意圖。

/ σ σ

(

⁽¹⁾ ¹

)

/ S h

t

圖 4-26 當 3 層 FGM 材料退化為雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾 FGM 材料時，

第 1 層材料中點的應力響應圖。

/ σ σ

(

⁽¹⁾ ¹

)

/ S h

t

圖 4-27 雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾 FGM 材料，第 1 層材料中點的應力響應圖。

/ σ σ

(

⁽¹⁾ ¹

)

/ S h

t

圖 4-28 當 3 層 FGM 材料退化為雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾 FGM 材料時，

/ σ σ

(

⁽¹⁾ ¹

)

/ S h

t

圖 4-29 雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾 FGM 材料，第 2 層(FGM 層)中點的應力響應圖。

0 5 10 15 20 25 30

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

/ σ σ

(

⁽¹⁾ ¹

)

/ S h

t

圖 4-30 當 3 層 FGM 材料退化為雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾 FGM 材料時，

第 3 層材料中點的應力響應圖。

/ σ σ

(

⁽¹⁾ ¹

)

/ S h

t

圖 4-31 雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾 FGM 材料，第 3 層材料中點的應力響應圖。

−3 −2 −1 0 5000

6000 7000 8000 9000 10000

x/h ₁

−3 −2 −1 0

300 280

200 220 260 240

x/h ₁ (a)

(b)

圖 4-32 當斜率參數為a= −0.07048，第3層材料(ZrO2)單邊不連續情況下的(a) 密度與(b)彈性常數分佈圖。

0 5 10 15 20 25 30

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

(

⁽¹⁾ ¹

)

/

t S h

/ σ σ

圖 4-33 當a= −0.07048時，第3層材料(ZrO2)單邊不連續情況下，第1層(Ni)中點的暫態響應圖。

−3 −2 −1 0

(

⁽¹⁾ ¹

)

/

t S h

/ σ σ

圖 4-35 當a= −0.28192時，第3層材料(ZrO2)單邊不連續情況下，第1層(Ni)中點的暫態響應圖。

−3 −2 −1 0 5000

6000 7000 8000 9000 10000

x/h ₁

−3 −2 −1 0

x/h ₁

300 280

200 220 260 240

(b) (a)

圖 4-36 當斜率參數為a= −0.07048，第1層(Ni)與第3層(ZrO2)材料雙邊不連續情況下的(a)密度與(b)彈性常數分佈圖。

(

⁽¹⁾ ¹

)

/

t S h

/ σ σ

圖 4-37 當斜率參數為a= −0.07048，第1層(Ni)與第3層(ZrO2)材料雙邊不連續情況下，第1層(Ni)中點的暫態響應圖。

第五章等效材料在多層域暫態波傳的適用性分析

的幾個類別：隨機分佈型(Randomly Distributed, RD)，週期分佈型(Periodically Distributed, PD)與連續變化型(Continuously Distributed, CD)，以下將分為三種不同類型的多層材料，來討論受均佈動力載荷下的暫態波傳行為。將 20 種不同的

5-1 多層隨機分佈型材料中的彈性波傳分析

圖 5-3 中的藍色線表示觀測點在第一層材料(鋁)中點時，簡化成 11 層等效材

地，為了在相同的無因次化條件考量下，把第一層材料和最後一層材料維持不變，而將中間週期性的 18 層等效化簡為一層(圖 5-6(b))，可將其視為等效 3 層材料，而相關的材料常數列於表 5-4。當一個均佈且為正弦脈衝形式的動力載荷施載於週期分佈型材料的上表面時，各個位置在不同的脈衝持續時間下的暫態響應如圖 5-7~圖 5-11 所示。

圖 5-7 顯示當脈衝持續時間在1 10 ( )× ⁻⁷ s (^t

(

^{S h}^L⁽¹⁾ ¹

)

⁼^0.4437⁾^{時，以整體結構}

物中點為觀測點時的暫態響應，其中紅色線表示20 層週期分佈型材料的計算結果，藍色線表示簡化的等效3層材料的計算結果。在20層週期分佈型材料中，

第一個脈衝波抵達整體結構物中點的時間大約為 1.896 10 ( )× ⁻6 s (^t

(

^{S h}^L⁽¹⁾ ¹

)

⁼^8.41⁾，而後在中點附近穿透及反射的波陸續抵達觀測點形成更為複雜的響應。在簡化的等效3層材料中，第一個脈衝波抵達的時間為 1.86 10 ( )× ⁻6 s (^t

(

^{S h}^L⁽¹⁾ ¹

)

⁼^8.255⁾^，和²⁰層週期分佈型材料相比，脈衝抵達時間和大小並不相同，第二個抵達的脈衝波則是來自於與最底層(鋼)界面產生的反射波，其抵達時間為2.32 10 (s)× ⁻⁶ (^t

(

^{S h}^L⁽¹⁾ ¹

)

⁼^10.29⁾。值得注意的是圖中脈衝振幅較大且為交替出現的脈衝波，實際上是來自於整體結構物自由端的全反射 (t

(

S h_L⁽¹⁾ ¹

)

=24.28, 40.71, 56.73⋯ )，這些全反射的現象在20層材料的暫態響應圖很難察覺到。

當正弦脈衝的持續時間增為1 10 ( )× ⁻⁶ s (^t

(

^{S h}^L⁽¹⁾ ¹

)

⁼^4.437⁾^{時，第一層和整體結}

當正弦脈衝的持續時間增為1 10 ( )× ⁻⁶ s (^t

(

^{S h}^L⁽¹⁾ ¹

)

⁼^4.437⁾^{時，第一層和整體結}

在文檔中彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解析與數值計算 (頁 73-147)

多層域等向性非均質材料的暫態波傳解析與數值計算

4-1 單層功能性梯度材料

4-1-1 拉普拉斯轉換法分析單層功能梯度材料受均佈動力載荷下的

暫態響應

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

4-1-2 以多層等向性均質材料來模擬單層功能性梯度板的暫態波傳

4-2 多層域功能性梯度材料

4-2-1 三層功能性梯度材料的暫態波傳行為

4-2-3 三層功能性梯度材料退化為雙層相異質材料夾功能性梯度材

/

ρ ρ /

E E ′ ′

/

c c /

Z Z

/

ρ ρ /

E E ′ ′

/

c c /

Z Z

0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

/

σ σ

t (µs)

/

σ σ

0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−1.0

−0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

/

σ σ

t (µs)

σ σ

σ σ

σ σ

0 2 4 6 8 10 12

−1.5

−0.5 0.5 1.5

σ σ

t (µs)

1.0

−1.0 0.0

/

σ σ

0 3 6 9 12 15 18 21 24

−3

−2

−1 0 1 2 3

/

σ σ

t (µs)

/

σ σ

/

σ σ

/

σ σ

/

σ σ

/

σ σ

/

σ σ

/

σ σ

t (µs)

/

σ σ

/

σ σ

/

σ σ

ρ ρ ^/

ρ ρ ^/

x ⁼ − ₍ h

₎

x/h ₁

x/h ₁ (a)