彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解析與數值計算

(1)

國立臺灣大學工學院機械工程學系博士論文

Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Taiwan University Doctoral Dissertation

彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解析與數值計算

Theoretical Analysis and Numerical Simulation of Transient Wave in Homogeneous and Nonhomogeneous

Multilayered Media 林宜賢

Yi-Hsien Lin

指導教授：馬劍清博士 Advisor: Chien-Ching Ma, Ph.D.

中華民國 100 年 7 月

July, 2011

(2)

(3)

誌謝

得之於人者太多，出之於己者太少，本論文得以完成，絕非一己之功勞，在此要感謝週遭所有師長的提攜及朋友的幫忙。首先感謝指導教授馬劍清老師，其嚴謹的治學態度和待人處世實為學生之標竿。另外，承蒙淡江大學應宜雄老師長期照顧，讓學生內心深以淡江人為榮，中山大學楊旭光老師奠定學生波傳實驗的基石，亦萬分感激。此外台灣科技大學趙振綱老師和亞太創意學院劉紹文校長對研究的不吝指正，使本論文得以趨於完備。

從淡江、中山到台大，在人生最黃金的時刻選擇直攻博士學位，實有許多感觸。如果沒有父母和妻子美君的體諒和援助，要獨力完成博士學位十分困難，感謝你們能讓我無後顧之憂地做我喜歡的研究。感謝破壞實驗室曾經相處的學長姐和學弟妹，不論相處時間是長是短，相逢自是有緣。學長熙洪、瑞木、國志、育熙，學姊采如，學弟志明、柏睿、耀中、敬源、正言、偉勝、椿億、恆增、政緯、

康哲、展誼、亦莊、兆祥、鈞凱、榮樺、鴻嶔、奇儒、俊耀、國舜，學妹依姿、

善盈、于琪、宇欣、雅方，是學長、同學，也是學弟的世皓不知如何稱呼較好？

灑墨於此，又徒增許多感慨。

而立之年有捨有得，取得博士學位正是學術研究的開始，對於許多師長的提攜，學生永銘於心。

林宜賢謹誌中華民國一○○年七月

(4)

摘要

當一均佈動力載荷施加於均質或非均質層狀介質的表面時，本文以拉普拉斯轉換技巧，分析其域內的一維暫態波傳問題。對於均質多層域的暫態響應，採用三種不同的分析及數值計算方式：廣義射線法，Durbin 數值拉普拉斯逆轉換以及有限元素法。由矩陣形式 Bromwich 展開所組成的廣義射線解為一精確解，展開後級數的每一項代表經過界面相同次數的穿透或反射波。若不執行級數展開，將轉換域下的矩陣解直接採用 Durbin 數值逆轉換，所得之結果為一混合解析與數值解，適合計算層狀介質的長時間暫態響應。有限元素解則為一純數值解，可以多點計算並快速分析複雜結構物的暫態響應，但對於高頻或是急遽變化的響應則會出現震盪形式的數值誤差，三種數值計算的結果皆有良好的驗證。

而關於非均質材料的暫態問題，則是使用拉普拉斯轉換技巧配合數值逆轉換的混合解析與數值解，首先探討多項式函數形式的功能性梯度單層域，在雙邊自由與單邊固定的邊界條件，於表面受動力載荷下的應力波傳分析，而與多層均質材料模擬單層功能性梯度板的暫態響應，亦有良好的一致性。本文進一步分析層狀功能性梯度材料，討論其域內的暫態彈性波傳，在數值計算上，則以三層功能性梯度材料為例，將其退化為廣泛應用的雙層相異質材料夾功能性梯度材料之暫態問題，並研究其單邊與雙邊的不連續情況對於暫態響應之影響。

隨機、週期與連續分佈型三種類型的多層均質材料在本文亦有深入研究。文中並以複合材料力學的等效材料方式進行化簡，分析多層域暫態響應並探討等效材料在暫態波傳分析的適用性。

關鍵字：功能性梯度材料、廣義射線法、Durbin、FEM、暫態響應、多層域

(5)

Abstract

In this study, one-dimensional transient wave-propagation in homogeneously and inhomogeneously multilayered media are analyzed by Laplace transform technique.

The numerical calculations for homogeneously multilayered media are performed by three methods: generalized ray method, numerical Laplace inversion method (Durbin’s formula), and finite element method (FEM). The analytical result of generalized ray solution for multilayered structures is composed of matrix-form Bromwich expansion in the transform domain. Every term represents a group of waves which is transmitted or reflected through the interface. The numerical inversion of Laplace transform by Durbin’s formula is also used to calculate the transient responses. This numerical Laplace inversion technique has the advantage of calculating the long-time transient responses for complicated multilayered structures.

FEM result also agrees well with the calculations by generalized ray method and numerical Laplace inversion.

For the transient-wave problem of inhomogeneously multilayered media, we use Laplace transform technique and the numerical Laplace inversion (Durbin’s formula) to calculate the dynamic behavior of the polynomial FGM (functionally graded material) slab. In addition, the FGM slab is approximated as a multilayered medium with homogeneous material in each layer. The transient responses of FGM formulation and multilayered solution are discussed in detail. Furthermore, transient-wave in inhomogeneously multilayered media is analyzed. In the numerical calculation, three-layered functionally graded media is used for analysis and the degenerative problem of an FGM bounded to two elastic homogeneous materials is discussed.

Finally, the numerical calculations of the transient responses for randomly distributed, periodically distributed, and continuously distributed multilayered media are performed to investigate if the effective material concept is suitable for dynamic analysis.

Key Words: FGM, generalized ray, Durbin, FEM, transient response, multilayered media

(6)

圖目錄

圖 2-1 當一均佈動力載荷施加於雙層相異質材料上表面的結構示意圖。 ...22 圖 2-2 廣義射線法計算在x= −5cm時，黃銅-鋁雙層材料的應力暫態響應。....22 圖2-3 (a)~(f) 當 i = 1到 i = 6中所有可能的射線路徑。...23 圖 2-4 在無因次化時間t S h_L⁽¹⁾ ₁=6內，分解為六個群組(R⁰ ~R⁵)的暫態響應。

...23 圖2-5 在雙層相異質材料中經過多次穿透反射後的射線和群組數目。...24 圖2-6 雙層相異質材料的射線群組關係圖。...24 圖2-7 當厚度皆為10cm的黃銅-鋁雙層相異質材料，第1層(黃銅)中點的應力響

應圖。...25 圖2-8 當厚度皆為10cm的鋁-黃銅雙層相異質材料，第1層(鋁)中點的應力響應

圖。...25 圖2-9 當厚度皆為10cm的黃銅-鋁雙層相異質材料，觀測點各為−2cm，−4cm時

的應力響應圖。...26

圖2-10 第 1層材料為10cm黃銅，第 2層材料為100cm 鋁，當觀測點位在第1

層(黃銅)中點的應力響應圖。...26

圖2-11 第1層材料為 10cm黃銅，第2 層材料為100cm 鋁，當觀測點位在第2

層中點的應力響應圖。...27

圖2-12 第 1層材料為10cm黃銅，第 2層材料為50cm 鋁，當觀測點位在1、2

層交界處(x= −10cm)，第 1 層響應(藍色實線)與第 2 層響應(紅色虛線) 計算的結果。...27 圖3-1 當一均佈動力載荷施加於n層結構物上表面的座標及結構示意圖。...47 圖3-2 廣義射線法計算三層結構物(黃銅10cm，鋁10cm，黃銅10cm)，當觀測點

位在第1層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。...47

圖3-3 Durbin數值逆轉換計算三層結構物(黃銅10cm，鋁10cm，黃銅10cm)，

當觀測點位在第1層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。...48 圖3-4 有限元素法計算三層結構物(黃銅10cm，鋁10cm，黃銅10cm)，當觀測點

位在第1層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。...48 圖3-5 廣義射線法計算三層結構物(黃銅10cm，鋼20cm，鋁5cm)，當觀測點位

在x= −2cm的暫態響應圖。...49

圖3-6 Durbin數值逆轉換計算三層結構物(黃銅10cm，鋼20cm，鋁5cm)，當觀

測點位在x= −2cm的暫態響應圖。...49

(9)

在x= −2cm的暫態響應圖。...50 圖 3-8 廣義射線法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 20cm，鋁 5cm)，當觀測點位

在x= −8cm的暫態響應圖。 ...50 圖 3-9 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 20cm，鋁 5cm)，當觀

測點位在x= −8cm的暫態響應圖。...51 圖 3-10 有限元素法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 20cm，鋁 5cm)，當觀測點位

在x= −8cm的暫態響應圖。...51 圖 3-11 廣義射線法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 5cm，鋁 20cm)，當觀測點位

在第 1 層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。...52 圖 3-12 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 5cm，鋁 20cm)，當

觀測點位在第 1 層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。 ...52 圖 3-13 有限元素法計算三層結構物(黃銅 10cm，鋼 5cm，鋁 20cm)，當觀測點位

在第 1 層材料(黃銅)中點的暫態響應圖。...53 圖 3-14 廣義射線法計算三層結構物(鋁 10cm，黃銅 5cm，鋼 10cm)，當觀測點位

在第 1 層材料(鋁)中點的暫態響應圖。...53 圖 3-15 Durbin 數值逆轉換計算三層結構物(鋁 10cm，黃銅 5cm，鋼 10cm)，當

觀測點位在第 1 層材料(鋁)中點的暫態響應圖。 ...54 圖 3-16 有限元素法計算三層結構物(鋁 10cm，黃銅 5cm，鋼 10cm)，當觀測點位

在第 1 層材料(鋁)中點的暫態響應圖。...54 圖 3-17 廣義射線法、Durbin 逆轉換法以及有限元素法解得 10 層介質中，第 1

層中點的暫態響應圖。...55 圖 3-18 廣義射線法、Durbin 逆轉換法以及有限元素法解得 10 層介質中，第 2

層中點的暫態響應圖。...56 圖 3-21 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 1 層材料中點的長時

間響應。...57 圖 3-22 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 10 層材料中點的長

時間響應。...57 圖 3-23 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 15、16 層界面處的

長時間響應。...58 圖 3-24 使用 Durbin 逆轉換法和 FEM，計算 20 層材料中第 19、20 層界面處的

(10)

長時間響應。...58 圖 4-1 功能性梯度板的幾何結構與其邊界條件示意圖：(a)自由邊界；(b)固定邊界。...87 圖 4-2 Ni/ZrO2功能性梯度材料的彈性常數、密度、縱波波速、機械阻抗分佈圖。

...87 圖 4-3 SiC/Al 功能性梯度材料的彈性常數、密度、縱波波速、機械阻抗分佈圖。

...88 圖 4-4 在x=l 50處，Ni/ZrO2 功能性梯度材料於自由邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。 ...88 圖 4-5 在x=l 2處， Ni/ZrO2 功能性梯度材料於自由邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。 ...89 圖 4-6 在x=l 2處，ZrO2/Ni 功能性梯度材料於自由邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。 ...89 圖 4-7 在 x=0處，Ni/ZrO₂ 功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。...90 圖 4-8 在x=l 2處，Ni/ZrO2 功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。...90 圖 4-9 在x=0 處，ZrO₂/Ni 功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。...91

圖 4-10 在x=l 2處，ZrO2/Ni 功能性梯度材料於固定邊界下的應力響應圖

(l=5 mm t, ₀ =0.2 µs)。...91

圖 4-11 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO2功能性梯度板的長

時間應力響應圖。...92

圖 4-12 在x=0固定邊界下，觀測點位在固定端(x=0)，Ni/ZrO2功能性梯度板

的長時間應力響應圖。...92

圖 4-13 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO2功能性梯度板的長

時間應力響應圖。...93

圖4-14 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO2功能性梯度板與10

層介質模擬的應力響應圖。...93

圖4-15 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，Ni/ZrO2功能性梯度板與10

層介質模擬的應力響應圖。...94

圖 4-16 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，ZrO2/Ni 功能性梯度板與 10

(11)

圖 4-17 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，SiC/Al 功能性梯度板與 10 層介質模擬的應力響應圖。...95

圖4-18 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，SiC/Al功能性梯度板與10層

介質模擬的應力響應圖。...95

圖 4-19 在x=0自由邊界下，觀測點位在x=l 2時，Al/SiC 功能性梯度板與 10

層介質模擬的應力響應圖。...96 圖 4-20 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，10 層介質(Ni/ZrO2)模擬的

應力響應圖。...96 圖 4-21 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=l 2時，20 層介質(Ni/ZrO₂)模擬的

應力響應圖。...97

圖4-22 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，10層介質(SiC/Al)模擬的應力

響應圖。...97

圖4-23 在x=0固定邊界下，觀測點位在x=0時，20層介質(SiC/Al)模擬的應力

響應圖。...98 圖4-24 n 層功能性梯度材料的結構示意圖。...98 圖4-25 雙層相異質材料夾功能性梯度材料的結構示意圖。...99

圖4-26 當 3層FGM材料退化為雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾FGM材料時，

第1層材料中點的應力響應圖。...99

圖4-27 雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾FGM材料，第1層材料中點的應力響應

圖。...100

圖4-28 當3層FGM材料退化為雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾FGM材料時，

第2層(FGM層)中點的應力響應圖。...100

圖4-29 雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾FGM材料，第2層(FGM層)中點的應力

響應圖。...101

圖4-30 當3層FGM材料退化為雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾FGM材料時，

第3層材料中點的應力響應圖。...101

圖4-31 雙層相異質材料(氧化鋯、鎳)夾FGM材料，第3層材料中點的應力響應

圖。...102 圖 4-32 當斜率參數為a= −0.07048，第 3 層材料(ZrO2)單邊不連續情況下的(a)

密度與(b)彈性常數分佈圖。...103 圖4-33 當a_{= −}^0.07048時，第3層材料(ZrO2)單邊不連續情況下，第1層(Ni)中

點的暫態響應圖。...104 圖 4-34 當斜率參數為a= −0.28192，第 3 層材料(ZrO₂)單邊不連續情況下的(a)

密度與(b)彈性常數分佈圖。...105

(12)

圖 4-35 當a= −0.28192時，第3層材料(ZrO2)單邊不連續情況下，第1層(Ni)中點的暫態響應圖。...106 圖4-36 當斜率參數為a= −0.07048，第1層(Ni)與第3層(ZrO₂)材料雙邊不連續

情況下的(a)密度與(b)彈性常數分佈圖。...107 圖4-37 當斜率參數為a= −0.07048，第1層(Ni)與第3層(ZrO₂)材料雙邊不連續

情況下，第1層(Ni)中點的暫態響應圖。...108 圖5-1 三種不同類型的多層材料：(a)隨機分佈型材料; (b)週期分佈型材料; (c)連續分佈型材料。...122

圖5-2 (a) 20層隨機分佈型材料的結構示意圖; (b)以11層等效材料來簡化20層

隨機分佈型材料的結構示意圖。...122 圖 5-3 以 20 層隨機分佈型材料(紅線)和 11 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻7 s 下，第1層材料中點的應力響應。...123 圖 5-4 以 20 層隨機分佈型材料(紅線)和 11 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻6 s 下，第1層材料中點的應力響應。...123 圖 5-5 以 20 層隨機分佈型材料(紅線)和 11 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻5 s 下，整體結構物中點的應力響應。...124

圖5-6 (a) 20層週期分佈型材料的結構示意圖; (b) 以3層等效材料來簡化20層

週期分佈型材料的結構示意圖。...124 圖 5-7 以 20 層週期分佈型材料(紅線)和 3 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻7 s 下，整體結構物中點的應力響應。...125 圖 5-8 以 20 層週期分佈型材料(紅線)和 3 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻6 s 下，第1層材料中點的應力響應。...125 圖 5-9 以 20 層週期分佈型材料(紅線)和 3 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻6 s 下，整體結構物中點的應力響應。...126

圖 5-10 以 20 層週期分佈型材料(紅線)和 3 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻5 s 下，第1層材料中點的應力響應。...126

圖 5-11 以 20 層週期分佈型材料(紅線)和 3 層等效材料(藍線)，在脈衝時間

1 10 ( )× ⁻5 s 下，整體結構物中點的應力響應。...127

圖5-12 (a) 20層連續分佈型材料的結構示意圖; (b) 以11層等效材料來簡化20

層連續分佈型材料的結構示意圖; (c) 以8層等效材料來簡化20層連續分佈型材料的結構示意圖; (d) 以4層等效材料來簡化20層連續分佈型材料的結構示意圖。...128

圖5-13 以20層連續分佈型材料，以及11層、8層、4層等效材料計算當脈衝時

(13)

圖 5-14 以 20 層連續分佈型材料，以及 11 層、8 層、4 層等效材料計算當脈衝時間1 10 ( )× ⁻⁶ s 下，整體結構物中點的應力響應。...129 圖 5-15 以 20 層連續分佈型材料，以及 11 層、8 層、4 層等效材料計算當脈衝時

間1 10 ( )× ⁻⁷ s 下，第 1 層材料中點的應力響應。...130 圖 5-16 以 20 層連續分佈型材料，以及 11 層、8 層、4 層等效材料計算當脈衝時

間1 10 ( )× ⁻⁷ s 下，整體結構物中點的應力響應。...130 圖 5-17 單層功能性梯度材料的自由邊界條件與幾何結構示意圖。 ...131 圖 5-18 在脈衝時間1 10 ( )× ⁻⁷ s 下，20 層連續分佈型材料(紅色實線)和功能性梯度

材料解(藍色虛線)的第 1 層中點應力響應。...131 圖 5-19 在脈衝時間1 10 ( )× ⁻⁷ s 下，20 層連續分佈型材料(紅色實線)和功能性梯度

材料解(藍色虛線)的整體結構物中點應力響應。...132 圖 5-20 在脈衝時間1 10 ( )× ⁻⁷ s 下，20 層連續分佈型材料(紅色實線)和功能性梯度

材料解(藍色虛線)的最底層中點應力響應。...132

(14)

表目錄

表 2-1 本節與第三節所採用三種不同等向性均質材料的相關材料參數 ...21

表 4-1 功能性梯度材料的相關材料常數 ...83

表 4-2 以十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 Ni/ZrO2之相關材料常數 ...83

表 4-3 以二十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 Ni/ZrO2之相關材料常數 ..84

表 4-4 以十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 SiC/Al 之相關材料常數 ...85

表 4-5 以二十層均質材料來模擬單層功能性梯度板 SiC/Al 之相關材料常數 ....86

表 5-1 二十層隨機分佈型材料的二十種材料常數 ... 116

表 5-2 以九層等效層模擬二十層隨機分佈型材料的等效材料常數 ... 117

表 5-3 用於二十層週期分佈型材料的三種材料常數 ... 118

表 5-4 使用單一等效層來模擬二十層週期分佈型材料的等效材料常數 ... 118

表 5-5 二十層連續分佈型材料模擬 Ni/ZrO2功能性梯度材料的相關材料常數 119 表 5-6 使用九層等效層來模擬二十層連續分佈型材料的等效材料常數 ...120

表 5-7 使用六層等效層來模擬二十層連續分佈型材料的等效材料常數 ...121

表 5-8 使用二層等效層來模擬二十層連續分佈型材料的等效材料常數 ...121

(15)

第一章緒論

1-1 研究動機

多層材料的應力波傳問題長期以來一直是重要的研究課題，在航太、電子、

機械、海洋工程，甚至於地震的相關研究，皆是其討論的範疇。舉例來說，在構件表面以高溫方式鍍上一層極薄的薄膜來防止磨耗及腐蝕，或是在積體電路的表面鍍上一層封裝層來保護電路避免氧化，這些屬於層狀結構的薄膜，其力學分析在機械或是半導體工業都具有相當高的應用價值。

目前應力波的研究成果在多方面都有實際的應用，例如可輔助地層內部的結構分析以及石油的探勘，以超音波為基礎的非破壞檢測來偵測複合材料中的脫層與裂痕。許多地震工程的相關研究則是關心暫態響應的計算，當一動力載荷突然施加在多層域的表面或是內部時，分析其暫態波傳的響應。

早期對層狀介質的研究主要著墨在頻散方程與穩態響應，對於層狀介質中暫態彈性波傳的理論解析則以廣義射線理論為主。廣義射線理論係將層狀固體中的動態反應依觀測時限而以波傳射線的形式表達，若用於計算初期的動態反應，極為正確而快速；然而隨著時間的增加，由於應力波在界面間交互產生的透射與反射波，波的數目急劇增加，使得射線理論在長時間的計算上產生分析的困難。因此，所有的分析方式僅能計算一層半無窮域的問題，或是較少層數的短時間暫態響應。為克服層狀固體在長時間波傳計算上的困難，並且保有高水準的精確度和計算效率，本文採用混合解析及數值的分析方式，利用矩陣解分析層狀介質的優越性，再搭配拉普拉斯數值逆轉換，可以處理任意層數的均質或非均質問題長時間暫態波傳計算。

1-2 文獻回顧

當結構體受動力衝擊載荷時，其內部的質點將有劇烈的運動而產生應力波的傳遞。而應力波的傳遞需要時間，當動力加載所產生的暫態波尚未遇到界面或障

(16)

礙物時，波如同在無窮域傳播一般。Lamb 為研究雷利波(Rayleigh, 1887)而求解半無窮域表面上受一點或線簡諧載荷其域內的應力波傳解析，研究中亦提及受衝擊載荷時的暫態解，原則上可透過整個頻譜上穩態波疊加而得，Lamb 開啟了與半無窮域受載荷相關的研究先河並對此問題有相當重大的貢獻，因此，半無窮域受動力載荷問題亦被稱為 Lamb 問題。

彈性波在層狀介質的理論和分析，在 Ewing (1957)及 Brekhovskikh (1980)的書目中有詳細的探討。Thomson (1950)提出並由 Haskell (1953)加以改進的一種傳輸矩陣法，是藉由多層材料界面的連續條件來求解待定係數。在地球物理學和地震工程領域，此種矩陣法也被廣範地用以探討在層狀半無窮域表面波的頻散關係。

廣義射線理論從 1939 開始發展，當時 Cagniard 發展了一套分析暫態彈性波在兩完美接合半無窮域中傳遞的解析方法。Cagniard 將拉普拉斯轉換域中的解，

透過積分路徑變換方法得到形式上與正向拉普拉斯轉換公式一樣的積分，而直接得到在時域中每一個射線的解。Pao 及 Gajewski (1977) 也針對廣義射線法撰寫了一篇回顧性論文。Pekeris 等人(1965) 提出一層半無窮域彈性體的暫態波的解，以一系列的級數來表示暫態波波傳，每一項都代表了彈性體內的一個波的傳遞。對單層板來說，級數的擴展需要計算4 4× 的行列式，雙層介質則需計算6 6× 的行列式。Spencer (1960) 為避免直接求解多層介質的邊界值問題，在分析個別的波在傳遞時，遇到界面產生反射與透射的行為，提出一套解析方法，將多層介質中的波有系統的排序，且每個波均可藉由反射與透射係數的操作而求得其數學上的形式，並引進廣義射線路徑的概念來化簡分析上的困難。

Ma及Huang (1996)推導每一層響應的轉換關係作為一般表示式，取代位移-

曳引力向量，進而求解多層介質的暫態波傳行為。接著，對於一個在面內負載下的層狀介質暫態響應的理論，數值，與實驗分析，由Ma及Lee (2000)所提出。

Ma等人(2001)則研究在一層狀介質中施加反平面負載的動態響應。

(17)

換，另一種是有限元素法(FEM)。Narayanan 及 Beskos (1982)有系統地針對精確度和計算時間，將八種數值拉普拉斯逆轉換的演算法相互比較；於其研究中，發現 Durbin (1974)所提出的方法最為精確，但卻需要更多的計算時間。Manolis 及 Beskos (1981)比較 Durbin (1974)和 Papoulis (1957)所提出的兩種數值拉普拉斯逆轉換的演算法，他們發現 Durbin 演算法和 Papoulis 相比更加耗時，但對於長時間的計算，則具有相當高的精確度。Beskos，Manolis，及 Narayanan (1980-1983) 等人發表更多關於 Durbin 演算法的細節，以及應用於樑的動態響應的相關研究。

有限元素法提供一個純數值計算，用以分析彈性動力學的問題。舉例來說，

三維有限元素法用於層狀板施加衝擊負載的動態分析(Lee et al., 1984; Sun 及 Chen, 1985)。在 1960 年代，隨著電腦的快速發展，有限元素法很快地在固體力學和結構力學佔有十分重要的地位。雖說如此，數學解析方法(例如傳輸矩陣法、

傅立葉轉換法、拉普拉斯轉換法…等)卻因為具有極佳的精確度，近年來又再度被學者所重視。

另一方面，對於非均質材料而言，一種材料特性隨位置作連續改變的材料，

稱之為功能性梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)，其基本構想是在原有陶瓷與金屬材料之間嵌入一過渡層材料，該材料的嵌入使得原有兩種物理性質完全不同的材料得以用一個連續變化的材料性質作連接。近十年來，不論是引擎的燃燒室或是核子反應爐這類型的工程問題，功能性梯度材料都吸引相當廣泛的注意，這類型的材料能夠減少應力集中或是避免界面脫層的現象。功能性梯度材料為一種熱或是機械性質呈連續變化的特殊複合材料，能夠提升在不同材料界面處接合的強度。以金屬陶瓷複合材料為例，陶瓷材料可承受極高溫的環境，而金屬則可提供較高的韌性，但兩者之間卻存在著極大的材料特性不匹配的問題，因此功能性梯度材料被廣泛使用於接合處用以消除在界面上容易存在的熱殘留應力。

大部分學者分析功能性梯度材料的組成函數，常以下面三種形式來表示，分別為冪次、多項式和指數函數形式。這三種形式都提供了方便的理論解析過程因

(18)

而被廣泛的使用在各種問題的分析。以冪次函數為主的功能梯度材料文獻中，

Jabbari 等人(2002)提出了一個用以分析冪次功能性梯度材料構成的厚空心圓柱，探討其穩態熱應力的解析解。Jin 及 Paulino (2001)發表了一種以漸進分析 (asymptotic analysis)的方式，處理一含邊緣裂紋的冪次形式功能性梯度材料，在熱暫態負載下的溫度場。第二種功能性梯度材料，為 Chiu 及 Erdogan (1999), Abu-Alshaikh 及 Köklüce (2006)等人所研究的多項式形式功能性梯度材料。Chiu 及 Erdogan (1999)假設一功能性梯度板的密度與勁度是以任意形式多項式作連續變化，當施加一個矩形形式的壓力脈衝，在鎳-氧化鋯、鋁-矽介質配合雙邊自由與單邊固定的邊界條件，皆有詳細的分析。Abu-Alshaikh 及 Köklüce (2006)使用特徵線法(method of characteristics)去求解以多項式形式連續變化的多層功能性 梯度材料，並將其計算的應力響應和一些文獻做比較(Han 及 Liu (2002), Han et al.(2000)，Chiu 及 Erdogan (1999)，以及 Santare et al. (2003))。對於第三種指數 函數形式的功能性梯度材料也被許多作者廣泛使用。Erdogan 及 Wu (1995) 研究一指數型功能性梯度材料，內部或是表面包含裂紋狀況下的熱應力問題。對於一個具有邊緣裂紋的功能性梯度板，當裂紋表面突然冷卻時，Jin 及 Batra (1996)分析其熱應力和應力強度因子。他們假設材料的剪力模數從表面處開始以雙曲線形式減少，而熱導係數則是呈指數型的變化。

Delale 及 Erdogan (1983)、Erdogan 及 Wu (1996)、Cai 及 Bao (1998)和 Jin 及 Paulino (2001)等人對功能性梯度材料在破壞力學相關的研究皆有相當的貢獻。在靜力問題中，Ma 及 Lee (2009, 2010)和 Lee 及 Ma (2009)對二維的雙異質和單層半無窮域(layered half-space)的功能性梯度的磁電彈材料推導出解析的全場解。近十年來，功能梯度材料被廣泛運用於很多領域，特別是在複合材料中要避免脫層的力學問題，因此，不僅在功能梯度材料，就連傳統多層材料的動態波傳問題都扮演著極為重要的角色。在一維波傳的問題中，平面波波傳方向垂直入射於層域介質時，Sun 等人(1968)提出連續理論取代等效模數理論(effective modulus theory)

(19)

Lundergan 及 Drumheller (1971)利用數值方法來模擬一不同厚度的層域系統響應，其與實驗作對照後，發現具有優異的一致性。Stern 等人(1971)，Hegemier 及 Nayfeh (1973) 研究了簡諧波在等向性多層複材內的波傳行為。Ting 及 Mukunoki (1979, 1980)和 Tang 及 Ting (1985)研究了週期性層狀彈性材料的暫態平面波波傳。Chen 等人(2004)使用 Floquet’s 理論，處理在層域異質材料系統中，

板衝擊問題的解析解，並比較實驗與解析的結果。Liu 等人(1999)研究沿厚度方向線性變化的功能性梯度板，當施載一平面壓力小波(plane pressure wavelet)時，

其一維的彈性波傳行為。Han 及 Liu (2002)使用傅立葉轉換技巧分析功能性梯度材料中的一維橫向偏振波傳(SH wave)，在其研究中所假設的材料特徵，為沿厚度方向作二次函數變化。

1-3 本文研究方法與主要內容

本文主要探討一維層狀介質的表面受到動力衝擊時，其暫態波傳問題的解析與數值計算，文中利用矩陣形式的 Bromwich 展開，來計算多層域的短時間暫態響應，而式中的每一項都有其物理意義。其雖為一精確解，但在層數增加時或是較長時間的計算存在射線追蹤的困難。為克服此問題，本文將矩陣形式的解在執行級數展開前，直接採用數值拉普拉斯逆轉換求解時域下的解。此法所得的結果為混合解析及數值解，不僅可以處理傳統的等向性均質材料問題，對於非均質的功能性梯度材料，亦能精確的計算其長時間的暫態響應。

關於本文的內容編排，分為以下六個章節作討論：

第一章介紹研究動機、相關研究的文獻回顧以及本文的研究方法與主要內容。

第二章介紹廣義射線理論。以雙層異質材料為例，採理論解析的方式求解每一層材料的位移及應力響應，其所得結果為一精確解。在數值計算上，分析黃銅、

鋁所組成的雙層材料，並探討其暫態波傳行為。

(20)

第三章介紹一均佈動力載荷施載於多層域等向性均質材料時的暫態波傳分析。本章採用三種分析方式：廣義射線法，數值拉普拉斯逆轉換，以及有限元素法。其中，矩陣 Bromwich 展開的廣義射線解為一精確解，採用 Durbin 演算法的數值拉普拉斯逆轉換則為一混合解析及數值的分析方式，最後輔以純數值計算的有限元素解加以驗證與比對。

第四章介紹以多項式函數構成的單層與多層功能性梯度材料，採拉普拉斯轉換技巧分析其動態響應。在精確度與計算效率的考量下，本章以 Durbin 演算法來執行數值拉普拉斯逆轉換。在數值計算上，以三層功能性梯度材料為例，並將其退化為廣泛應用的雙層相異質材料夾功能性梯度材料之暫態問題。

第五章分析各種類型的多層材料，包含隨機分佈型、週期分佈型、連續分佈型材料三大類別。當一正弦脈衝形式的均佈動力載荷施載於多層材料的表面時，

以混合解析及數值的分析方式，討論其域內的暫態彈性波傳，並以複合材料力學中等效材料的簡化方式，於本章中分析多層域暫態響應並探討等效材料的適用性。

第六章總結本文多層域暫態波傳解析的結果，並扼要敘述未來展望。

(21)

第二章廣義射線理論

當動力載荷衝擊結構體時，將會產生應力波的傳遞。波傳需要時間，動力加載所產生的暫態波尚未遇到界面或障礙物時，波如同在無窮域中傳播一般，此時動力載荷對結構體的影響，僅侷限於波前所涵蓋的範圍之內，除此範圍之外的物體均感受不到載荷的存在。隨著時間的增加，暫態波遇到界面或障礙物時，會產生反射、折射、繞射或散射各種不同的現象。當由動力加載所產生的應力波入射於一由兩半無窮域接合而成的平面界面時，會產生反射波與透射波。在數學上，

由入射波與界面作用產生的反射波與透射波之關係可透過轉移函數的概念來建立(Spencer, 1960)，這些轉移函數，即後來廣義射線理論中所謂的廣義反射係數與透射係數。而由不同動力衝擊所產生的入射波，並不會影響這些廣義反射與透射係數(轉移函數)。入射波、反射波與透射波的加總，即構成完美接合的兩半無窮域所構成物體的暫態波場。

本章的主旨在於瞭解這些波傳現象後，將其應用至雙層相異質材料中。根據入射波與反射、透射波的關係，寫出反射矩陣與透射矩陣，並以矩陣形式的廣義射線理論分析雙層相異質材料。另外，將進一步分析矩陣的計算方式，歸納出展開矩陣後的精確解。本章的內容編排，首先於第一節介紹雙層相異質材料其精確解的分析方式；第二節是雙層相異質材料的數值計算與結果討論。

2-1 雙層相異質材料的廣義射線理論

當一均佈動力載荷施加於雙層相異質材料的上表面時，其結構示意圖如圖

2-1 所示，所有有關於第i層介質的量均冠以上標或下標( )i 來表示。其中，第 0

層表示上半無窮域，第3層表示下半無窮域(此二層設為空氣)，假設第1層與第 2層是彈性材料，且為等向性均質材料，第1層與第2層的厚度分別為h₁與h₂，材料密度為ρ⁽¹⁾^與ρ⁽²⁾^{，縱波慢度為}SL⁽¹⁾與S_L⁽²⁾。

(22)

今考慮一往 x 方向的平面波傳，而縱向位移場^{u x t 與}

( )

^, ^y^、^z^{方向無關，因}

此在雙層材料中的一維波動方程式可以表示如下：

2 ( ) 2 ( )

( )

2 2

i 2 i

i L

u u

x S t

∂ = ∂

∂ ∂ ， for i=1, 2 (2-1) 其中

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2

i i i i i

L L

S = C = ρ λ + µ ， for i=1, 2 (2-2) λ和µ分別為拉梅常數和剪力模數，而唯一存在的應力分量必須滿足 Hooke’s Law：

( )

^{( )}

( ) ( ) ( )

2

i

i i i

x

u σ = λ + µ ^∂ x

∂ ， for i=1, 2 (2-3) 在雙層材料的上表面施加一動態壓應力形式的均佈載荷，下表面為零曳引力

(traction-free)的邊界條件可以表示如下：

( )

(1)

0, 0 ( )

x t H t

σ = − ⋅σ ^(2-4)

( )

(2)

1 2 , 0

x h h t

σ − + = ^(2-5)

其中σ₀^{為壓應力的大小，}^{H t}^{( )}^為^Heaviside^{步階函數，而第}¹^層與第²^層材料間的界面必須滿足位移和應力連續，因此界面連續條件可以表示如下：

( ) ( )

(1) (2)

1, 1,

u −h t =u −h t ^(2-6)

( ) ( )

(1) (2)

1, 1,

x h t x h t

σ − =σ − ^(2-7)

再藉由拉普拉斯轉換將複雜的偏微分方程轉換成簡單的常微分方程，其中時間變數t轉換成變數p

( ) { } ( )

₀ ^pt

( )

F p =^L f t =

∫

^{∞ −}e f t dt ^(2-8) 將波動方程式(2-1)做一次單邊拉普拉斯轉換後，可求得通解^u^ˆ^{( )}ⁱ

( )

^{x p 為：}^;

( )

^{( )} ^{( )}

( ) ( ) ( )

ˆⁱ ; ⁱ ( ) ^pS^Lⁱ^x ⁱ ( ) ^pS^Lⁱ^x

u x p =u₋ p e⁺ +u₊ p e⁻ ， for i=1, 2 (2-9)

(23)

為

( )

^{( )} ^{( )}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ_xⁱ x p; ⁱC pu_Lⁱ ⁱ ( )p e ^pS^Lⁱ^x ⁱC pu_Lⁱ ⁱ ( )p e ^pS^Lⁱ^x

σ =ρ ₋ ⁺ −ρ ₊ ⁻ ， for i=1, 2 (2-10)

進一步將轉換域下的位移場及應力場重新排列，並以下面的矩陣架構來表達：

11 12

21 22

ˆ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( )

ˆ ( ; )_x ( ; ) ( ; ) ( )

u x p M x p M x p u p x p M x p M x p u p

σ ⁻₊

    

  =  

  

  ^(2-11)

其中

11( ; ) ^{pS x}^L

M x p =e⁺ (2-12)

12( ; ) ^{pS x}^L

M x p =e⁻ (2-13)

21( ; ) _L ^{pS x}^L

M x p =ρC pe⁺ (2-14)

22( ; ) _L ^{pS x}^L

M x p = −ρC pe⁻ (2-15)

上面四式M₁₁、M₁₂、M₂₁、M₂₂組成式(2-11)中與相位相關的接收矩陣，而u₋及 u₊待定係數所組成的向量則稱之為場向量。接著，將邊界條件和界面連續條件式(2-4)~式(2-7)配合式(2-9)、(2-10)，再以矩陣形式表示可得：

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ⁽ ⁾ )

(1) (1) (1) 0

21 22

(1) (1) (2) (2) (1)

11 1 12 1 11 1 12 1

(1) (1) (2) (2) (2)

21 1 22 1 21 1 22 1

(2) (2) (2)

21 1 2 22 1 2

0 0 0 0

0

0 0 0

0

M M u

M h M h M h M h u p

M h M h M h M h u

M h h M h h u

σ

− +

 

   _− _

 − − − − − −    _ _

   =^ ^

 − − − − − −     

    _ _

− + − +  

   

  __ __

(2-16)

式(2-16)可以一更簡潔的形式來表示：

=ˆ

Mc t (2-17)

其中場向量 c 為

( )

^p ⁼

(

û⁻⁽¹⁾ û⁺⁽¹⁾ û⁻⁽²⁾ û⁺⁽²⁾

)

^T

c (2-18)

而全域加載位移-曳力組合向量 ˆt(global field coefficient vector)為

(24)

ˆ 0 ₀ ₀ ₀ T

p σ

 

= −_ _

 

t (2-19)

值得一提的是矩陣 M 的行列式即為此多層域系統的頻散方程式：

( )

( ) ( )

(1)1 ( 2 )2 (1)1 ( 2 )2

(1) ( 2 )

1 2

2 2

(1) (2) (1) (2) 3 (1) (1)

2 2

(2) (2)

det

1 1

0

L L L L

L L

p S h S h pS h pS h

L L L

pS h pS h

L

C C p e C e e

C e e

ρ ρ ρ

ρ

− +

∆ =

=  − + ⋅ +

− + ⋅ − + 

=

M

(2-20)

為了利用矩陣型態的Bromwich展開法，將轉換域解展開成射線形式，於此先把相位相關的接收矩陣M看作由三個塊狀矩陣D、U、L所組成，分別代表其對角線、上三角與下三角部分。

 

 

= + + = 

 

 

0 0

1 1 1

2 2

D U 0

M D L U L D U

0 L D

(2-21)

對角線塊狀矩陣D，其非零元素可以表示如下：

(1) 21(0)

=M

D0 (2-22)

(1) (2)

12 1 11 1

1 (1) (2)

22 1 21 1

( ) ( )

M h M h

 − − − 

= 

− − −

 

D (2-23)

( )

(2)

2 =M22 − h1+h2

D (2-24)

上三角塊狀矩陣U之非零元素為：

(1)

0 =M22(0) 0

U (2-25)

( ) ( )

(2)

12 1

1 (2)

22 1

M h

− − 

= 

− −

 

U (2-26)

而下三角矩陣L之非零元素為：

( ) ( )

(1)

11 1

1

M h

 − 

= 

L − (2-27)

(25)

( )

(2)

2 =0 M21 − h1+h2 

L (2-28)

需注意對角塊狀矩陣 D 為一非奇異性矩陣，其逆矩陣D⁻¹存在。把對角線矩陣D 從M矩陣中提出：

( )

= −

M D I R (2-29)

其中R矩陣為

( )

−1

= − +

R D L U (2-30)

或表示為

1

0 0

1 1

1 1 2 2 1 1

1

2 2

0 0

−

− −

×

−

 − 

 

= − − 

 − 

 

D U

R D L 0 D U

D L

(2-31)

由式(2-17)、(2-29)、(2-30)可將場向量 c 改寫為：

( )

⁻¹

= −

c I R s (2-32)

其中 s 為波源向量(source vector)

1ˆ

= −

s D t (2-33)

s 若以向量分量的形式表示，則為

1 0

0 0 0 0

T

p

− σ

 

= −_ _

 

s D ⋯ (2-34)

接著，全域反應向量b(response vector)與全域場向量係數 c 之關係可寫為：

( )

¹

( ; )x p = _cv( ; )x p − ⁻

b R I R s (2-35)

其中全域接收矩陣R_cv為一對角線塊狀矩陣

(1) (1)

11 12

(1) (1)

21 22

(2) (2)

11 12

(2) (2)

21 22

( ) ( ) 0 0

( ; )

0 0 ( ) ( )

M x M x

x p M x M x

M x M x

 

 

= 

 

 

Rcv (2-36)

利用矩陣形式的Bromwich展開式

(26)

( )

¹

0 i i

− ∞

=

− =

∑

I R R (2-37)

可將式(2-35)改寫為

0

( ) ⁱ

i

x

∞

=

= cv

∑

b R R s (2-38)

此式即為波傳射線的轉換域解。矩陣 R 的物理意義，可以透過觀察(2-31)式而得知。矩陣R中的非零元素主要有_{−D L}_i⁻¹ _i和_{−D U}_i⁻¹ _i兩種形式，其分別代表著入射波在介質(i)和介質(i+1)間的界面產生反射與透射波，故名之為全域反射與透射矩陣，並可改寫成下列的形式來表示之：

1/0

1/2 1/2

2/1 2/1

2/3

0 0 0

0 0

0 0 0

R

R T

T R

R

 

 

= 

 

 

R (2-39)

其中，R_1/0元素表示射線從第1層到第0層的反射；R_{1/ 2}元素表示射線從第1層到第2層的反射；R_2/1元素表示射線從第2層到第1層的反射；R_2/3元素表示射線從第2層到第3層的反射；T_1/2元素表示射線從第1層到第2層的透射；T_2/1元素表示射線從第2層到第1層的透射。而這些元素可以表示如下：

1/0 1/0

R =r (2-40)

( 2 )

2 1

2/1 2/1

pSL h

R =r ⋅e⁺ (2-41)

(1)

2 1

1/2 1/2

pSL h

R =r ⋅e⁻ (2-42)

( )

( 2 )

1 2

2

2/3 2/3

pSL h h

R =r ⋅e⁻ ⁺ (2-43)

( ⁽¹⁾ ^{( 2 )})¹

1/2 1/2

L L

p S S h

T =t e⁻ ⁻ (2-44)

( ⁽¹⁾ ^{( 2 )})¹

2/1 2/1

L L

p S S h

T =t e⁻ ⁻ (2-45)

在式(2-40)~式(2-45)中，可以清楚看出透射和反射的元素，其實是控制射線振幅

大小的穿透和反射係數，以及控制波傳時間的指數函數所組成的。其中穿透和反

(27)

1/0 1

r = (2-46)

(2) (2) (1) (1)

2/1 (1) (1) (2) (2)

L L

C C

r C C

ρ ρ

= −

+ (2-47)

(1) (1) (2) (2)

1/2 (1) (1) (2) (2)

L L

C C

r C C

ρ ρ

= −

+ (2-48)

2/3 1

r = (2-49)

(2) (2)

1/2 (1) (1) (2) (2)

2 _L

L L

t C

C C

ρ

ρ ρ

= + (2-50)

(1) (1)

2/1 (1) (1) (2) (2)

2 _L

L L

t C

C C

ρ

ρ ρ

= + (2-51)

將式(2-39)的穿透反射矩陣R逐次相乘，並尋找其中的計算邏輯可以發現以下的關係：

( ) ( )

11 ¹ 21 ^1/0

i i

− R

= ⋅

R R (2-52)

( ) ( )

21 ¹ 11 ^{1/ 2}

( )

¹ 41 ^2/1

i i i

R T

− −

= ⋅ + ⋅

R R R (2-53)

( ) ( )

31 ¹ 11 ^{1/ 2}

( )

¹ 41 ^2/1

i i i

T R

− −

= ⋅ + ⋅

R R R (2-54)

( ) ( )

41 ¹ 31 ^2/3

i i

− R

= ⋅

R R (2-55)

在計算第i次的穿透反射矩陣Rⁱ時，其和第

( )

ⁱ⁻¹ ^次^Rⁱ⁻¹^{矩陣有些邏輯關係}

存在。例如當i=2時，表示穿透反射矩陣R相乘兩次的結果，在式(2-52)中，若從數學的角度來說，

( )

R² 11表示矩陣R相乘兩次後的第一行第一列元素，其實是

來自於R¹中第一行第二列的元素和反射元素R_1/0相乘的結果。而從物理意義的角度來看，正好說明了第1層材料中的下行波傳，是來自於同層內的上行波傳在自由邊界(第0層與第1層的交界面)的全反射。在式(2-55)中，

( )

R² 41表示矩陣R相乘兩次後的第一行第四列元素，是來自於R¹中第一行第三列的元素和反射元素 R2/3相乘的結果。在物理上代表著第 2 層材料的上行波傳，唯一來自於 2、3 層界面全反射(R_2/3)的結果。i=3表示穿透反射矩陣R相乘三次，如果同樣以數學

(28)

的角度來看，

( )

R³ 21為相乘三次後矩陣的第一行第二列元素，和相乘兩次的矩陣

元素

( )

R² 11及

( )

R² 41相關，即式(2-53)所示；在物理意義上，代表著第 1 層材料中的上行波傳，是來自於同層內的下行波傳在 1、2 層界面反射(R_{1/ 2})的結果，以及第 2 層材料的上行波傳穿透 1、2 層界面(T_2/1)的結果。在式(2-54)中，

( )

R³ 31為相

乘三次後矩陣的第一行第三列元素，亦和相乘兩次的矩陣元素

( )

R² 11及

( )

R² 41相關，物理上則敘述著第 2 層材料中的下行波傳，是來自於同層內的上行波傳在 1、

2 層界面反射(R_2/1)的結果，以及第 1 層材料的下行波傳穿透 1、2 層界面(T_1/2)的結果。

因此，以級數形式來表示的響應函數，正代表著同一種i的射線組合，經過特定觀察時限下計算所需的數量。換句話說，以級數形式展開的廣義射線必須要清楚的知道所有波傳可能的路徑，在固定時限下計算一定數量的射線便可得到響應圖。如果漏算或是溢算射線，響應即會出現誤差，且會隨著觀察時間日趨嚴重。

欲分析雙層相異質材料的所有射線，在層域內經過多少次的穿透及反射皆須考量，在轉換域中第 1 層的應力波可表示如下：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( )) ( ) ( )

( )

1 2 3 4 5 6

(1) ( 2 ) (1)

1 1 2 5 2 3 4 6

(1)

0 1/2 1/0 2/1 2/3 1/2 2/1

0

,2 1

ˆ ,

1 .

i

L L L

m m m m m m

x

i

S h m m m rem i S h m m m S x p

x p r r r r t t

pe

σ ^∞ σ

=

− + + + − + + + − ⋅

= − ⋅

⋅

∑

(2-56)

並由拉普拉斯逆轉換的公式

( )

1

e pa

H t a p

−  − 

= −

 

 

L (2-57)

可知式(2-56)中每一項皆可由(2-57)的公式逆轉換，故在時域下第 1 層材料應力的精確解為：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ( ) ) ( ) ( )

( )

1 2 3 4 5 6

(1)

0 1/ 2 1/ 0 2 /1 2 / 3 1/ 2 2 /1

0

(1) (2) (1)

, ^m ^m ^m ^m ^m ^m

x

i

x t r r r r t t

σ ^∞ σ

=

= − ⋅

⋅ − + + + − + + + −

彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解析與數值計算

國立臺灣大學工學院機械工程學系 博士論文

Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Taiwan University Doctoral Dissertation

彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解 析與數值計算

Theoretical Analysis and Numerical Simulation of Transient Wave in Homogeneous and Nonhomogeneous

Multilayered Media 林宜賢

Yi-Hsien Lin

指導教授：馬劍清 博士 Advisor: Chien-Ching Ma, Ph.D.

中華民國 100 年 7 月

July, 2011

誌謝

摘要

Abstract

目錄

圖目錄

表目錄

第一章 緒論

1-1 研究動機

1-2 文獻回顧

1-3 本文研究方法與主要內容

第二章 廣義射線理論

2-1 雙層相異質材料的廣義射線理論

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) { } ( )

( )

∫

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

∑

∑

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

∑

( )

國立臺灣大學工學院機械工程學系博士論文

彈性波於多層域均質與非均質材料之暫態波傳理論解析與數值計算

指導教授：馬劍清博士 Advisor: Chien-Ching Ma, Ph.D.

第一章緒論

第二章廣義射線理論

( ) ( ⁽ ⁾ )