當動力載荷衝擊結構體時，將會產生應力波的傳遞。波傳需要時間，動力加 載所產生的暫態波尚未遇到界面或障礙物時，波如同在無窮域中傳播一般，此時 動力載荷對結構體的影響，僅侷限於波前所涵蓋的範圍之內，除此範圍之外的物 體均感受不到載荷的存在。隨著時間的增加，暫態波遇到界面或障礙物時，會產 生反射、折射、繞射或散射各種不同的現象。當由動力加載所產生的應力波入射 於一由兩半無窮域接合而成的平面界面時，會產生反射波與透射波。在數學上，
由入射波與界面作用產生的反射波與透射波之關係可透過轉移函數的概念來建 立(Spencer, 1960)，這些轉移函數，即後來廣義射線理論中所謂的廣義反射係數 與透射係數。而由不同動力衝擊所產生的入射波，並不會影響這些廣義反射與透 射係數(轉移函數)。入射波、反射波與透射波的加總，即構成完美接合的兩半無 窮域所構成物體的暫態波場。
本章的主旨在於瞭解這些波傳現象後，將其應用至雙層相異質材料中。根據 入射波與反射、透射波的關係，寫出反射矩陣與透射矩陣，並以矩陣形式的廣義 射線理論分析雙層相異質材料。另外，將進一步分析矩陣的計算方式，歸納出展 開矩陣後的精確解。本章的內容編排，首先於第一節介紹雙層相異質材料其精確 解的分析方式；第二節是雙層相異質材料的數值計算與結果討論。
2-1 雙層相異質材料的廣義射線理論
當一均佈動力載荷施加於雙層相異質材料的上表面時，其結構示意圖如圖
2-1 所示，所有有關於第i層介質的量均冠以上標或下標( )i 來表示。其中，第 0
層表示上半無窮域，第3層表示下半無窮域(此二層設為空氣)，假設第1層與第 2層是彈性材料，且為等向性均質材料，第1層與第2層的厚度分別為h1與h2， 材料密度為ρ(1)與ρ(2)，縱波慢度為SL(1)與SL(2)。
今考慮一往 x 方向的平面波傳，而縱向位移場u x t 與
( )
, y、z方向無關，因為
而全域加載位移-曳力組合向量 ˆt(global field coefficient vector)為
ˆ 0 0 0 0
( )
( )
11/0 1
的角度來看，
( )
R3 21為相乘三次後矩陣的第一行第二列元素，和相乘兩次的矩陣(2-57)
2-2 雙層相異質材料的數值計算與結果討論
線路徑，然而這兩種射線的波傳時間是不相同的。根據不同波傳時間可將射線分
(degeneration of rays)。隨著計算 i 的數目增加，波的退化情況會越來越嚴重。舉
例來說，當i=19時，512種射線路徑將退化為26組，而當i=40時，524288種
意義。此外，波的退化情況會隨著多層域的層數增加而越趨嚴重。從數值計算的 角度來看，使用波的退化觀念是最佳的計算分析方式，否則，計算每個射線的射 線追蹤法會變得十分沒有效率。在級數內部的穿透反射矩陣 R 中，挑選具有相 同次數的穿透反射係數並予以執行波的退化處理，則原先的矩陣形式便可轉換成 另一個符號運算的形式，以利數值計算的處理。
廣義射線法的主要優點在於，如果能夠計算所有從波源到觀測點的射線，所 得到的暫態響應即為沒有誤差的精確解，因此統計所有的射線並將之有系統地分 組與排列是非常重要的。根據Ri的冪次 i，其代表著層域系統中所有界面的穿透 反射數目，而且 i 對於建立數值程式來說，極有助益。在廣義射線解中的每一項 都擁有它自身的物理意義，且其另一個特色是可以避免求解邊界值的問題，雖說 如此，對於處理長時間或複雜的二維及三維的數值計算，廣義射線法在執行上就 變得笨拙且難以應用。
2-2-2 黃銅-鋁雙層材料於不同組合下之暫態響應分析
首先，考慮一厚度皆為 10cm 的黃銅-鋁雙層相異質材料，第 1 層為黃銅，第 2 層為鋁。今若施加一拉應力於其結構上表面處，以廣義射線法繪出第 1 層(黃銅) 中點的應力響應圖，如圖 2-7 所示。在觀測時間t S hL(1) 1=10之內，恰和圖2-2應 力響應相反，這是由於上表面施予拉應力的結果，和圖2-2施予壓應力的情況相 反。若將兩層材料位置交換，第1層材料改為鋁，第2層材料為黃銅，此時第1 層(鋁)中點的應力響應圖繪於圖 2-8中。在圖 2-7與圖 2-8中，雖然第 1層材料 並不相同(一為黃銅，一為鋁)，但由於觀測點皆設在第1層之中點的緣故，源波 自上表面抵達觀測點的時間同為t S hL(1) 1=0.5。第二個抵達觀測點的波則來自1、 2層界面的反射，應力波抵達的時間同為t S hL(1) 1=1.5，然而應力的大小在此時開 始不同。應力波由阻抗值較大的一層傳遞至較小的一層，於界面反射時，會產生
反向的應力波。而由阻抗較小的一層傳遞至較大的一層時，於界面反射時則會產 生同向的應力波。因此，當第 1 層為黃銅(阻抗為 38158200)，第 2 層為鋁(阻抗 為 16731900)的時候，反射波的大小為 0.6，反之，反射波的大小則為 1.4。第三 個抵達觀測點的應力波，為自由邊界的上表面全反射所貢獻，不論第 1 層為黃銅
兩材料的交界處。第 1 層材料與第 2 層材料的應力響應繪於圖 2-12 中。其中，
藍色實線表示第 1 層響應的計算結果，而紅色虛線則表示第 2 層響應的計算結 果。雖然 1、2 層材料的解析解形式不同，但是在交界處的界面位置，兩數值結 果應為相同，也表示雙層材料的應力響應在此處確實為連續的，也同時驗證了雙 層相異質材料的應力波傳分析是正確無誤。
表 2-1 本節與第三節所採用三種不同等向性均質材料的相關材料參數 Material Density
(kg m / 3)
Longitudinal Wave Velocity(m s/ )
Impedance (kg m s/ 2 )
Aluminum 2700 6197 16731900
Brass 8600 4437 38158200
Steel 7850 5878 46142300
圖 2-1 當一均佈動力載荷施加於雙層相異質材料上表面的結構示意圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 2-2 廣義射線法計算在x= −5cm時，黃銅-鋁雙層材料的應力暫態響應。
圖 2-3 (a)~(f) 當 i = 1 到 i = 6 中所有可能的射線路徑。
(
(1) 1)
/ L t S h
(
(1) 1)
/ L
t S h t/
(
S hL(1) 1)
(
(1) 1)
/ L t S h
(
(1) 1)
/ L t S h
(
(1) 1)
/ L t S h
圖 2-4 在無因次化時間t S hL(1) 1=6內，分解為六個群組(R0 ~R5)的暫態響應。
(
(1) 1)
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 2-7 當厚度皆為 10cm 的黃銅-鋁雙層相異質材料，第 1 層(黃銅)中點的應力響 應圖。
0 2 4 6 8 10
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 2-8 當厚度皆為 10cm 的鋁-黃銅雙層相異質材料，第 1 層(鋁)中點的應力響應 圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 2-9 當厚度皆為 10cm 的黃銅-鋁雙層相異質材料，觀測點各為−2cm，−4cm時 的應力響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖2-10 第1層材料為10cm黃銅，第2層材料為100cm鋁，當觀測點位在第1
層(黃銅)中點的應力響應圖。
0 10 20 30
−0.4
−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 2-11 第 1 層材料為 10cm 黃銅，第 2 層材料為 100cm 鋁，當觀測點位在第 2 層中點的應力響應圖。
(
(1) 1)
/
Lt S h
0
/ σ σ
圖 2-12 第 1 層材料為 10cm 黃銅，第 2 層材料為 50cm 鋁，當觀測點位在 1、2 層交界處(x= −10cm)，第1層響應(藍色實線)與第2層響應(紅色虛線)計算的結
果。