坐標系統簡介

慣性坐標系統(Inertial Frame, i-frame)是為協議的慣性坐標系統 (Conventional inertial reference system, CIS)的實踐。以地心為其中 心，z-軸平行地球旋轉軸，x-軸方向為地心指向春分點，x-軸、y-軸 與 z-軸形成一右旋正交框架，如圖 5.2，其春分點為天球赤道與黃道 之昇交點，而實際上使用赤經系統當作慣性坐標系統，因為赤經系統 極接近慣性坐標系統(Titterton and Weston, 2004)。

圖 5. 2 慣性坐標系統(i-frame)

地心地固坐標系統(The Earth frame, e-frame)是指協議的地球坐 標系統(Conventional Terrestrial Reference System, CTRS)，它的中心位 在 地 球 的 質 量 中 心 ， z- 軸 的 方 向 為 地 心 指 向 協 議 的 地 球 極 (Conventional terrestrial Pole, CTP)也就是平行地球自轉軸，x-軸為地 心指向格林威治零子午圈和赤道的交點，x-軸、y-軸和 z-軸構成一個 右旋正交框架。如圖 5.3 所示。WGS84(World Geodetic System 1984) 坐標系統是協議的地心地固坐標系統 CTS 的具體實現之一，為美國 國防部為全球定位系統 GPS 所建立的，並作為美國國防部的 GPS 廣 播星曆和精密星曆的參考坐標系統。在慣性導航中所提到的地心地固 坐標系統通常也是使用 WGS84 坐標系統，本案所發展的慣性導航方 程式亦是使用 WGS84 之橢球為參考橢球(Titterton and Weston, 2004)。

當地水平坐標系統(The local level frame, l-frame)原點為感測器的 中心，z-軸的方向定義為測站的橢球面法線方向，y-軸指向地平北方 (橢球子午圈方向)，x-軸、y-軸和 z-軸構成一個右旋正交框架。此種 框架稱之為北-東-地系統(North-East-Down, NED)，如圖 5.4a 所示 (Titterton and Weston, 2004)。但在慣性導航系統中，另一種定義為東-北-天系統(East-North-Up, ENU)的當地水平坐標系統也被廣為使用，

如圖 5.4b，使用東-北-天系統的好處在於當高程增加時 z-軸是為正向 的；當北-東-地系統被應用在導航課題上時，可構成一右旋坐標系 統，且如果感測器為指向北方和處於水平狀態就符合一測站固定 (vehicle-fixed)、三姿態角(滾轉-俯仰-航向)的坐標型態(Titterton and Weston, 2004)。

圖 5. 3 地心地固坐標系統

(a)NED 系統 (b)ENU 系統 圖 5. 4 當地水平坐標系統

載體坐標系統(The Vehicle frame, v-frame)為一正交的坐標系 統，其三軸分別指向載體前方、載體右側和重力線方向，此三軸即為 載體的三正交軸。而相對應的旋轉角分別稱為滾轉-俯仰-航向，定義 為逆時鐘方向為正，如圖 5.5 所示(Titterton and Weston, 2004)。

圖 5. 5 載體坐標系統

導航坐標系統(The Navigation frame, n-frame)可以是任意定義的 坐標系統，其所代表的意義為期望慣性導航系統在所選定的坐標系統 下進行導航解算。就陸地導航而言，當地水平坐標系統(l-frame)及地 心地固坐標系統(e-frame)是最常使用的導航坐標系統。一旦確定了導 航坐標系統，其與載體坐標系統之間的關係就必須被建立起來，以達 到從觀測量換算到導航解的目的，本案的導航坐標系統(n-frame)為當 地水平坐標系統(l-frame)。上述所提到的坐標系統，皆是在慣性導航 中可能牽涉到的坐標系統，也因此坐標系統的轉換在慣性導航中是一 門重要的課題，以前機械式的系統為透過環架的設計實現這種轉換關 係，使用者一旦完成初始對準，慣性測量儀載體坐標系統的三軸會透 過電腦控制實際對準導航坐標系統的三軸，在導航過程中會保持持續 對準，而現今的固裝式慣性測量儀並無環架的設計，故載體坐標系統 之三軸並無法持續對準導航坐標系統，但可以持續透過三軸陀螺儀偵 測這二個系統之姿態變化並透過數學方式實現此二坐標系統之對

準。例如慣性測量儀所量測到的值也就是慣性導航中最原始的觀測量

fb、

^w

^ibb ，其所用的坐標系統為載體坐標系統，但在導航中，習慣上 將坐標換算到當地水平坐標系統或是地心地固坐標系統上，因此必須 進行坐標系統的轉換。而兩坐標系統之間的轉換關係，主要有三種表 示方法，分別為尤拉角(Euler Angles)、方向餘弦矩陣 (Direction Cosine Matrix, DCM)及四元素法(Quaternion)。從地心地固坐標系統(e-frame) 軸之旋轉，而 DCM 從當地水平坐標系統(n-frame)轉至地心地固 坐標系統(e-frame)可以下式表示：

sin cos sin cos cos

( ) sin sin cos cos sin DCM 的定義由下式表示(Titterton and Weston, 2004)：

( ) ( ) ( ) 載體坐標系統(b-frame)轉至當地水平坐標系統(n-frame)之 DCM 如下所示：

式(5.4)中 sin 和 cos 分別由 s 和 c 來表示。 方程式表示，詳細推導請參考(Chiang, 2004)。

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在文檔中 100 年度發展與應用多平台遙測製圖技術工作案 (頁 188-192)