基本定義的分析與比較

在這一節當中，首先，我們以最常見也是最基礎的拍號 4/4 為例，分別以十六分音 符和八分音符作為基礎單位，針對 onset 個數一樣的幾個節奏，將四個複雜度的定義做 比較；因為 onset 個數會影響複雜度的計算，所以必須要以同樣的 onset 個數作為比較的 基礎。

接著，我們以古典樂曲當中也相當常見的拍號 3/4 為例，舞曲形式的華爾滋(waltz)、

小步舞曲(minuet)和馬厝卡舞曲(mazurka)都是拍號 3/4，也有許多民族舞曲或者是民謠是 以拍號 3/4 組成；在我們的範例中，拍號 3/4 以八分音符作為基礎單位，針對 onset 個數 一樣的幾個節奏，將四個複雜度的定義做比較。

最後，我們以拍號 6/8 為例，在進行曲當中有部分是以 6/8 為拍號，還有船歌也經 常是以 6/8 寫成，許多傳統的民族舞曲亦是；而 6/8 與 3/4 乍看之下兩個拍號似乎一樣，

但其實在音樂上卻是截然不同的。

6/8 是所謂的複拍子(compound meter)，複拍子每拍可以分做三等分，所以在表示上 一拍為一個複點音，而 6/8 是兩拍的複拍子(compound duple meter)，所以通常在表達 6/8 的強弱時，會是「強、弱、弱、次強、弱、弱」，但是在速度快的樂曲中，聽起來就是 兩拍子的音樂，與三拍子(triple)「強、弱、弱」的 3/4 是截然不同的；在我們的範例中，

拍號 6/8 以八分音符作為基礎單位，針對 onset 個數一樣的幾個節奏，將四個複雜度的 定義做比較。

 拍號 4/4

圖 22：拍號 4/4，六個 onset，以十六分音符為基礎單位

以圖 22 為例，(a) (b) (c)三種不同的節奏，在樂理上來說，(a)在三者之中是最簡單 的節奏，接著是(b)，(b)出現了附點的節奏，也就是 Keith 所定義的 hesitation，但是按照 先前切分音的定義，在(b)當中是沒有切分音的，最複雜的則是(c)，以複雜度的基本定義 來說，(c)在第三個 onset 有切分音的出現，是 Keith 所定義的 anticipation；四種複雜度 的值以及每一種複雜度的數值範圍(同一 onset 個數的最小值到最大值)如下表。

表 4：以圖 22 為例之四種複雜度

Complexity Metric LHL Keith’s WNBD

(a) 0 0 0 ²/₃

(b) 1 0 1 1.5

(c) 1 1 2 1.5

數值範圍 0 ~ 13 0 ~ 13 0 ~ 18 ²/3 ~ ²⁰/3

在四個複雜度當中，只有 Keith’s 很明確的分隔出三個節奏的不同，Metric 與 WNBD 對於(b)和(c)無法有所區隔，而 LHL 則是對於將(b)附點的狀況視為無切分音，所以無法 與(a)區隔，但是因為在(c)當中，在切分音出現之後，後面的 onset 都在拍子上，所以以 聽覺上來說，第三個 onset 對於拍子的混淆並沒有造成那麼大的影響。

(a)

(b)

(c)

圖 23：拍號 4/4，五個 onset，以八分音符為基礎單位

接著以圖 23 為例，(c)和(d)的複雜度明顯比(a)和(b)要來的高，在 metrical hierarchy 當中第三拍是一個小節中，僅次於第一拍的重拍，因為(c)和(d)在第三拍當中沒有發出聲 音，因此在聽覺上對拍子的混淆會有不小的作用，而(a)和(b)都是最基本的節奏，兩個的 複雜度應該都接近 0；表 5 分別顯示了四種複雜度的值。

表 5：以圖 23 為例之四種複雜度

Complexity Metric LHL Keith’s WNBD

(a) 1 0 0 0.8

(b) 0 0 0 0.4

(c) 2 1 3 0.8

(d) 2 2 2 1.2

數值範圍 0 ~ 12 0 ~ 12 0 ~ 15 0.4 ~ 3.2

在四個複雜度中，只有 WNBD 的(c)和(a)的值相同，無法明顯區別出兩者的差別，

其他三個複雜度定義，則有效的區分了(c)(d)與另外兩個的差別，因為 WNBD 是建立在 onset 與拍子的最小距離上，所以如同(c)第三個 onset 本身在拍子上時，便無法分辨出切 分音的存在。

有趣的是， LHL 跟 Keith’s 雖然在(a)和(b)都很明確地顯示出了其節奏的低複雜度，

(a)

(b)

(c)

(d)

但是對於複雜度接近的(c)和(d)，卻有完全不同的判斷；以 Keith 所定義的複雜度角度來 看，(c)是 syncopation 而(d)是 anticipation，以 LHL 的角度來看，使(c)和(d)形成切分音 的 tied note 都是權重值為-1 的第三拍，但是因為依附在不同強度的音上，(c)被依附的音 符權重為-2，而(d)被依附的音符權重為-3；雖然兩種複雜度同樣都判斷出了切分音的存 在，可是對於切分音的強度有不同樣的解釋。

 拍號 3/4

圖 24：拍號 3/4，五個 onset，以八分音符為基礎單位

以圖 24 為例，(a)為小步舞曲當中常見的節奏，是在「拍號 3/4，五個 onset，以八 分音符為基礎單位」當中最簡單的其中一種節奏，而理論上來說，(b)應該是在同樣的狀 況下複雜度最大的；四種複雜度的分析如下表。

表 6：以圖 24 為例之四種複雜度

Complexity Metric LHL Keith’s WNBD (a) 0 0 X (0) 0.8 (b) 2 2 (0) X (2) 1.6 (1.2) 數值範圍 0 ~ 2 0 ~ 2 X 0.8 ~ 1.6

在分析四個複雜度之前，必須先針對 Keith 的複雜度做說明，因為 Keith’s 的定義是 以二的冪次方作為計算的關鍵，再來比對事件是屬於何種類型，所以當在 3/4 拍以八分 音符為基礎單位時，一個小節會被切割為六等分，如果打破二的冪次方的算法，再來比 對，可能會失去原本三種事件類型的意義。

在四個演算法當中，Metric 是最無爭議的，而在計算(b)的複雜度時，LHL 與 WNBD 必須參考下一個小節的第一個 onset，才能計算出正確的值，如果下一個小節重複(b)的

(a)

(b)

節奏，則兩者都可以反映出(a)與(b)複雜度的差別，但若是(b)的下一個小節節奏與(a)相 同，在第一拍有 onset 的話，則(b)的複雜度明顯會降低。

 拍號 6/8

圖 25：拍號 6/8，四個 onset，以八分音符為基礎單位

以圖 25 為例，(b)在重要的拍子上少了發聲的點，理論上，(b)的複雜度應該要比(a) 來得大，我們試者以四種複雜度分別計算，如下表；其中 WNBD 根據不同的定義，數 值範圍不同，詳細定義差別會在後面說明。

表 7：以圖 25 為例之四種複雜度

Complexity Metric LHL Keith’s WNBD (a) 0 0 X (0) 1.5 (0) (b) 1 1 X (0) 3 (0) 數值範圍 0 ~ 3 0 ~ 3 X 1.5 ~ 4.5 (0 ~ 0)

在 Metric 與 LHL 的計算方法之下，比較沒有爭議，而且也可以正確反映出複雜度 的區別；我們試者將 Keith’s 的二的冪次方打破，找出可以被計算的方法；我們依照 6/8 拍的結構，在計算δ這個決定 onset 是否在拍子上的數值時，以 1, 3, 6 這樣的數列，取 代二的冪次方，找出比 D 小但最靠近的值。

至於為何選擇 1, 3, 6 這樣的數列，是因為依照拍號 6/8 本身的結構，我們可以將 6/8 拆成 3/8 + 3/8，然後更進一步拆成(1/8 + 1/8 + 1/8) + (1/8 + 1/8 + 1/8)這樣的形式；然而計 算出來的結果，還是無法反映出兩者複雜度的區別，因為第二個 onset 與第三個 onset 之間的距離，是在一個拍子的距離之內，可是沒有更小的解析度單位可以去做分析，因 而造成了如此的結果；這樣的結果也證明了 Keith’s 的算法上，確實是有所限制，無法

(a)

(b)

靈活運用在其他拍號上。 不規則拍號(irregular meter or complex time signature)以及不規則節奏(irregular rhythm, also irrational rhythm or tuplet)兩個面向，這些都是在古典音樂上比較少見的狀況，但在 較無限制的現代音樂當中則經常出現，而我們為了讓節奏複雜度的定義可以靈活的在自

拍號大致上可以分成 simple, compound, complex, mixed 四種；simple 指的就是最基

3 http://www.cs.mcgill.ca/~cs644/Godfried/2005/Fall/pcastr/wnbd.html