延伸定義上的分析與比較

3 http://www.cs.mcgill.ca/~cs644/Godfried/2005/Fall/pcastr/wnbd.html

本的拍號，一個小節有兩拍、三拍或四拍，常見的有 4/4, 3/4, 2/2, 2/4 等；compound 如 同上一節所提到的，常見的有 6/8, 9/8, 12/8；complex 也有人稱 asymmetric 或 irregular，

指的是較不常見、不規則的拍號，譬如說 5/4, 7/4, 11/8 甚至 4½ /4；mixed 則是在樂曲中，

出現不同的拍號交替，通常在一個作品只會使用一個拍號，或者至少在一個段落當中會 使用同一個拍號，而 mixed time signature 是為了讓節奏能有更多的變化性，讓不同的拍 號交錯出現在樂曲當中，著名的例子有百老匯音樂劇「西城故事」當中「美國」這首歌，

6/8 與 3/4 重複交錯，其樂譜如圖 26 所示。

圖 26：6/8 與 3/4 重複交錯⁴

以拍號 5/4 為例，在古典樂中，我們可以找到柴可夫斯基第六號交響曲的第二樂章，

採用了當時較少被使用的 5/4 拍，在現代流行音樂中，比起古典音樂則比較常見，例如 著名的電影「不可能的任務」主題曲(Mission: Impossible)，也是標準的五拍子；以下我 們以柴可夫斯基第六號交響曲第二樂章的主題為範例，樂譜如圖 27，針對三種複雜度做 說明。

圖 27：Tchaikovsky's Symphony No. 6 in B minor, "Pathétique", op. 74

我們將音高去除只留下節奏，則如圖 28，其中我們可以看到第一小節與第三小節分 別都有三連音，在以十六分音符為基礎單位之下，無法被基礎單位所解析成整數等分，

所以三連音就成為了不規則節奏，不規則節奏的部分在後面我們會提到，這裡我們只針

4 資料來源：http://en.wikipedia.org/wiki/File:Alternating_time_signatures2.gif

對第二小節與第四小節的節奏作分析比較。

圖 28：5/4 拍的節奏範例

圖 29：將 5/4 拍的 metrical hierarchy 以 tree 表示

柴可夫斯基第六號交響曲的第二樂章所使用的 5/4，我們可以將它拆解為(2/4 + 3/4)，

如果以權重表示之則為[0, -2, -1, -2, -2]，以 metrical hierarchy 來說，第一拍為最強的拍 子，接下來是第三拍，最後才是其餘的拍子，然後再按照先前的權重給予的方式，將四 分音符以下的每個點都給予權重，所有點的權重則會像是這樣：[0, -4, -3, -4, -2, -4, -3, -4, -1, -4, -3, -4, -2, -4, -3, -4, -2, -4, -3, -4]，如圖 29 所示，我們將以這樣的權重為基礎來分 析 Metrical 與 LHL；因為兩者的 onset 數量不同，所以數值範圍不同，個別的結果以及 數值範圍如表 8。

表 8：以圖 28(b), (c)為例之三種複雜度 Complexity Metric LHL WNBD

(b) 0 0 0

數值範圍 0 ~ 9 0 ~ 9 0 ~ 8

(c) 4 0 1.6

數值範圍 0 ~ 13 0 ~ 13 0 ~ 8

在三種複雜度當中，LHL 無法表現出附點的複雜度，如之前所提，但是三種複雜度 仍然都可以適應在拍號 5/4 的複雜度計算。

(a) (b) (c)

 在不規則節奏的應用

如同在圖 28 的例子當中看到的，在以十六分音符為基礎單位之下，三連音無法被 基礎單位所解析成整數等分，所以三連音就成為了不規則節奏，三連音是不規則節奏最 常見的一種，不規則節奏在節奏複雜度的計算造成了一個很大的問題，除了不需要權重 的 WNBD 可以適用，其餘要把小節以同樣單位切成多等分的狀況下，不規則節奏成為 了一個例外無法被處理，因此我們將以例外處理的方式來看待不規則節奏。

我們以圖 28(a)的狀況來做說明，原本拍號 5/4 以十六分音符為基礎單位的權重會如 同圖 29 一般，第三拍的三連音則成了例外，於是我們找出十二分音符(三連音的音符單 位)跟十六分音符的最大公因數，以更小的單位將第三拍做切割，讓三連音的所有點都 可以有權重，如圖 30 所示一般，箭頭所指的就是原本三連音的三個 onset 的點。

圖 30：三連音的切割

接著，我們把樂譜上沒有 onset 出現的點都拿掉，只留下三連音所在的位置，如圖 31 所示，以如此的步驟，針對所有不規則節奏我們都可以處理；我們將步驟簡化，當碰 到一種不規則節奏時，就將其擺在原本 metrical hierarchy 最低階的下一階層，也就是找 出最小的權重值 w_min，將不規則節奏當中，除了在拍子上本來就有權重的點以外的所有 點權重設為 wmin - 1，如果出現兩種不規則節奏，譬如說同時出現三連音與五連音，則把 三連音的權重值設為 w_min - 1，把五連音的權重值設為 w_min - 2，單一個拍子切成越多份 的不規則節奏權重值越小。

圖 31：以三連音取代原有十六分音符的權重

我們設定單一個拍子切成越多份的不規則節奏權重值越小，是因為以人對於同等份 的切割處理，當數值越大時，越無法準確的去做切割，放在音樂上也是如此，演奏者在 碰到不規則節奏時，在切割的等份較少時，如三連音、五連音，還有辦法精準的將節奏 做時間上的切割，但當等份越來越多時，則是無法如此精確的切割，而是盡量快速地將 所有的音符都在一個拍子裡面完成，所以等份越多，複雜度相對的應該會提高。

圖 32：以新的權重定義分析不規則節奏

以圖 31 的權重我們來看圖 28(a)的節奏，首先以 Metric 為例，如圖 32 所示，依照 Metric 複雜度的算法，所有權重加總之後的值為-17（或原 Metric 定義的 25，在這裡我 們將 Metric 的權重值以 LHL 的負數值表示，因為在 Metric 的算法中是算出加總與最大 值的差，所以以負數值運算並無影響），在這個節奏有 7 個 onset，然而要找出任何 7 個 onset 權重加總的最大值，則必須要從圖 29 中，尚未調整過的權重值尋找（因為調整過

的權重值會將原本可能選取到的較大的數值取代為不規則節奏中較小的數值），而最大 值為-13（或 29），所以 Metric 的值為 4。

表 9：以圖 28 為例之三種複雜度 Complexity Metric LHL WNBD

(a) 4 0 (3) ⁶/₇ 數值範圍 0 ~ 17 0 ~ 17 ⁴/₇ ~ ⁴³/₇

(b) 0 0 0

數值範圍 0 ~ 9 0 ~ 9 0 ~ 8

(c) 4 0 1.6

數值範圍 0 ~ 13 0 ~ 13 0 ~ 8

接著以 LHL 為例，如果就圖 32 的權重來看，是沒有切分音的，複雜度為 0，但在 兩個權重-5 的 onset 後面，都是有可能會有比其更大的權重值，也就是必須以圖 30 來做 計算，在 t₂ 和 t₃之後分別有-3 與-4，所以我們也可以說 LHL 的值為 3。

最後不需要權重的 WNBD，我們可以算出複雜度為 6/7，但有不規則節奏的節奏(a) 與沒有不規則節奏的節奏(c)相比，複雜度卻反而比較低；三種複雜度結果如表 9 所示。

圖 33：拍號 4/4，八個 onset

我們再以圖 33 為例，針對不規則節奏做更多的比較，這兩種節奏當中，(a)為最基 本的節奏；而(b)則有三連音，其中 WNBD 對於兩個複雜度沒有辦法區別，而 LHL 如果 以原本切分音的定義也是無法區別，但若以權重值來算則為 1 或 3（八分音符或 16 分音

(a)

(b)

(c)

符為單位的權重不同），Metric 以八分音符為基礎單位時複雜度為 2，以十六分音符基礎 11，使得其複雜度的數值在不同的 onset 個數時會有不同的標準，如果要將不同 onset 個數的最低複雜度標準化，則會使得數值過於複雜；LHL 雖然有少部分節奏無法區別，

同的拍號，也還是可以處理，於是我們決定以 Metric 作為本研究的複雜度分析實作以及