第二章、 相關研究
2.1 背景知識
2.1.1 節奏複雜度定義
早在 1905 年，心理學家 R. H. Stetson 提到節奏應該是「比較不規則、不純粹的」
一連串的聲響 [8]，因此在早期的實驗與研究當中，節奏是代表著一種不規則性的概念，
又或者也可以說是節奏複雜度的一種解釋。
之後 H. E. WEAVER 在 1939 年的研究中，他形容節奏的不規則性其實是音樂當中 的切分音所造成的特性 [9]，切分音會在後面有更詳細的解釋；以切分音來定義節奏複 雜度，可以說是最具有音樂導向的，以音樂以及樂理的層面來探討的研究也有提及 [10]，
而在後面也會提及著名的 LHL 複雜度的定義 [11]，也是以切分音作為分析的最基本原 則。
另外，以信息理論的亂度 Entropy 來定義節奏複雜度，也在 1960 年代的論文多被提 及，在 1968 年 Paul Vitz [12]以及 1969 年 Vitz & Todd [13]的研究當中都可找到。而後，
節奏複雜度在各個領域，以不同的角度去定義，在心理學的文獻當中，也有相當多節奏 複雜度的測量與人類的感知的比較，從 1985 年 Povel & Essens [14]、1995 年 Peter Essens [15]、2000 年 Shmulevich & Povel [16]，一直到比較近期的 2007 年 Fitch & Rosenfeld 的 研究當中 [17]，對於人類在節奏表現、節奏記憶等感知，與節奏複雜度的數值量化，做 了許多的實驗以及討論，提出了很多正向相關的數據。
在我們的研究中，我們是希望將節奏複雜度應用在自動作曲上，因此在本篇論文中 所討論到的節奏複雜度，皆是以音樂以及樂理的導向來解釋節奏複雜度，也就是以切分 音去定義複雜度。
2.1.2 節奏表示法
在此節中將展示四種節奏的表示方式，在此篇論文中，我們將以這四種方式來呈現；
前面兩種是以原本音樂的表示法，也就是以平常所見的樂譜上的形式來呈現，後面兩種 則是在分析節奏是較常使用到的方式，去除了原本音符的長度，只留下音符出現的時間 點。
第一種方式如圖 1 所示，也是音樂當中最熟悉、最常見的表現方式，這裡顯示的是 Afro-Cuban 節奏中著名的 the clave son。以五線譜的方式來表示節奏，只有一個小節拍 號(time signature)為 4/4，因為加上了反覆記號，所以會重複一遍，最小的單位是十六分 音符所以會將此小節切成十六等分。
圖 1：以五線譜表示 the clave son
第二種方式如圖 2 所示，通常是使用在打擊樂器上，同樣是樂譜的表示方式，比起 圖 1 的五線譜，少了音高的表示，只是很單純的表示出節奏。但在打擊樂器中，樂器所 發生的聲響只有一瞬間，實際上是無法表示出音符長度的，所以可以將原本音符的長度 去掉，只留下發生聲音的那個時間點，其餘的位置由休止符補上，也就是我們在圖 3 所 看到的樣子。而我們在討論節奏複雜度時，也是單純以聲音發生的點為代表，找出點跟 點之間的關係來做計算。
圖 2：以打擊樂器的樂譜表示 the clave son
圖 3：拿掉音符長度的表示法
圖 4 中將小節切割成同等分後，以方框表示 the clave son 的節奏，這是由音樂學家 James Koetting 在研究非洲複節奏時所提出的表示法 box notation [18]，這樣的表示法取 代了傳統樂譜，以圖像化的方式清楚地表現出節奏的模樣，比起樂譜更適合用在節奏複
雜度上，其中「x」標示著發出聲音的點，也就是音符開始的位置，而原本沒有聲音的 位置，也就是休止符所在的點，則由「‧」標示。
圖 4：box notation 以方框表示 the clave son
最後一個表示法如圖 5 所示，以電腦科學的方式來表示，在只有 0 跟 1 的電腦的世 界，將先前的 box notation 轉換成為二元表示法，以 1 代替「x」標示著發出聲音的點，
以 0 代替「‧」標示休止符所在的點，這樣的表示法可以最直接的使用在電腦程式上，
在此篇論文中，系統實作時就是以這樣的表示法在進行。
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 圖 5：以二元表示法表示 the clave son
2.1.3 切分音
關於切分音的觀念，在音樂學家之間有非常多樣的解釋 [19]，在 The Harvard Dictionary of Music 之中，對於切分音是這樣定義的為「與原有的拍子之間存在瞬間的 矛盾」 [20]，也就是說切分音會使得聽者對於原本拍子的感覺造成混亂，當節奏與原本 的拍子互相矛盾，也就是造成節奏在聽覺感知上複雜的原因。
而何謂與拍子之間存在有矛盾，Longuet-Higgins and Lee (LHL) 在 1984 針對節奏分 析所提出的 context-free grammar [11]中有提出一套完整的解釋；在 LHL 的理論當中，將 所有休止符所在的位置，也就是沒有發聲的點，都以 tied note 代替，也就是一個依附在 發聲位置的音符，雖然是音符，但是與前面的音符相連，所以並不會單獨發聲，只是延 長被依附音符的音長，當然，在純節奏的觀念上，音長是可以被忽略的，所以 tied note 並不會改變節奏的樣貌。同樣以 the clave son 作為例子，圖 6 即是將休止符以 tied not 取代。
圖 6：以 tied note 表示 the clave son
而 LHL 所提出的切分音的定義，就是建立在 tied note 上面，當一個「較重」的音 符依附在「較輕」的音符上時，切分音便產生了，也就是說，如果 tied note 比他前面發 出聲響的音符還要重的時候，切分音就發生於此；而何謂音符的輕重，簡單地來說，每 個音符根據它在小節裡面不同的位置都會有它各自的權重，這是建立在 metrical hierarchy 上，通常在拍子上的音符會重於在拍子以外的音符，所以說如果在拍子上的音 符成為了 tied note，依附在非拍子上的音符，造成了聽覺上拍子的混亂，就是所謂的切 分音了；而詳細關於 metrical hierarchy 的定義會在 2.2 GTTM 中說明，權重的定義則會 分別在 2.3.1 Metric Complexity 以及 2.3.2 LHL Complexity 說明兩種不同的定義方式。
圖 7：切分音的實例
實際以譜為例來說明，在圖 7 中，(b)、(c)、(d)皆沒有切分音的存在，(b)和(c)的 tied note 權重小於被依附的音符，而(d)的 tied note 權重大小則跟被依附的音符是相同的，所 以只有(a)是有切分音存在的；因為 tied note 權重為-1，比起前方權重為-2 的音符還要重，
因此使得原本在聽覺上應該為拍子的音，在拍子之前就發出聲音了，進而造成了拍子上 的矛盾，這就是所謂的切分音。
2.1.4 MIDI
現代數位音樂科技有兩種不同的音樂檔案類型，分別為 symbolic 和 acoustic 兩種。
Acoustic 是將音樂以訊號方式記錄儲存，如 mp3, wav 檔等，其中取樣頻率會影響音樂的 播放效果，雖然所包含的音樂資訊最為完整，但是音樂的內容相較之下卻不易取得；而
symbolic 則是將音樂以事件來記錄儲存，如果要產生音訊，則需要透過以硬體或軟體模 擬樂器聲音來播放。
而在我們的系統中所使用的 MIDI1就是屬於 symbolic；MIDI (Musical Instrument Digital Interface) 格式是在 1983 年所提出，原是為了解決各種電子樂器、電腦還有其他 演出設備之間的通訊問題所提出的通訊協定，而後 MIDI 成為一項關鍵的技術以用來紀
以最常見的兩個 MIDI 事件為例：Note-On 以及 Note-Off，Note-On 事件代表音符開 始發聲，Note-Off 則代表音符結束；兩個事件皆會記錄音高、力度、頻道等資訊，如下
Status/channel # (0-15)
(1001.0100) (Note on/CH#5)
Note # (0-127)
(0100.0000) (64)
Attack Velocity (0-127)
(0101.1001) (89)
Description Binary Data Numeric Value
Status/channel # (0-15)
(1000.0100) (Note off/CH#5)
Note # (0-127)
(0100.0000) (64)
Release Velocity (0-127)
(0001.1001) (89)
1 MlDl Specification 1.0, International MIDI Association, Los Angeles, 1983.
2.1.5 MusicXML
時至今日，MIDI 一直是 symbolic 音樂交換格式中最廣為使用的，但是 MIDI 最初 的設計是為了克服在音樂表演上的通訊問題，很難直接表現樂譜上的較細微的音樂資訊，
例如音樂中的小節、重複、連奏，還有音高因為以數字表示，因此也無法分辨 C 升半音 和 D 降半音的區別，而 MusicXML2就是針對樂譜訊息作為交換格式而設計的，
MusicXML 作為交換格式除了在樂譜軟體之外，還經常被使用在音樂分析、音樂資訊檢 索，甚至音樂表演上。
MusicXML 是以成熟的 XML 技術標準為基礎，所以非常便利於網路交換，也因為 結構清晰也方便閱讀，而且對於音樂訊息的記錄非常的完整，在 MusicXML 技術出現後，
發展非常迅速。圖 8 是 MusicXML 的一個最簡單的例子，如同一般程式語言當中的 Hello, World [22]，裡面代表的是最簡單的音樂，一個樂器、一個小節、一個在中央 C 的全音 符，根據各個節點的訊息亦可知：這段音樂的譜號為高音譜號也就是 G 譜號，拍號 4/4，
C 大調，如同旁邊以五線譜記號所標示的。
在我們的系統中，分析的部分是以 MusicXML 為輸入的格式，以方便且準確的作為 系統分析的依據，但在實驗中，仍是以 MIDI 作為輸出的格式，以方便受試者直接聆聽 測試。
2 MusicXML (Music Extensible Markup Language), http://www.makemusic.com/musicxml
圖 8：Hello, World in MusicXML [22]