LHL Complexity

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同樣以 the clave son 為例，權重總和為 13，但是在 onset 數量為五的所有節奏當中，總 和的最大值為 17 ( = 5 + 4 + 3 + 3 + 2)，那複雜度的值就是 4 ( = 17 - 13)。

2.3.2 LHL Complexity [11]

LHL Complexity 是來自 Longuet-Higgins 以及 Lee 兩位在 1984 年所提出的一個針對 音樂節奏的 context-free grammar，如同把節奏當成句子分析文法結構一般，與 metrical hierarchy 相同，給予每個節奏單位不同的等級；LHL 所提出的加權節奏層級，基本與先 前 2.3.1 Metric Complexity 的想法是一樣的，差別在於 LHL 是以 tree 的架構來建立權重。

在近幾年，也有研究以 LHL 的基本定義為依據，將 tree 的架構以及複雜度的算法 實作出來，分別有 Smith 以及 Honing 在 2006 年所提出，針對切分音的計算模型之評估 與研究 [30]，和 Fitch 以及 Rosenfeld 在 2007 年所提出，切分音節奏的概念與產生 [17]，

兩個研究都有把 tree 的架構，實際以圖例展示出來；而此篇論文中 LHL 的 tree structure 圖表，是參考 Smith 以及 Honing 架構為基礎所畫製的。

以 4/4 拍號為例，當我們以十六音符作為基本單位時，每小節可切割成 16 個單位，

如圖 15 所示；然而，與 Metric Complexity 不同的是，LHL 是將最重要的單位權重設為 0，依序往下減，以負數的形式來呈現，但其實階層的相對關係是一樣的。

圖 15：將小節切割成 16 個單位的 tree structure

如果說要延伸應用至其他拍號，找出一個通用步驟的話，首先同樣必須以質因數分 解的方式來做，以 n=16 為例，將 16 分解成 2·2·2·2；tree 的 root 是一個完整的小節，

從第一個分解出的質因數開始，將它一分為二，將最重要的單位權重設為 0，也就是小 節中的第一拍，一分為二的中間位置，也就是小節中的第三拍，將上一個階層的數值減 一，設為-1。

第二步，找出第二個分解出的質因數，在這個例子當中，同樣也是 2，再將現在的 分支一分為二，也就是小節中的第二拍以及第四拍，而權重依舊是上一個階層的數值減 一，設為-2；依序這樣下去，直到所有單位都有被分配到權重的值。

經由這樣的方式，我們就可以延伸到其他拍號，例如在拍號 6/8 以十六分音符為基 本單位，一個小節會被切為 12 個單位，首先 6/8 拍子的強弱是「強、弱、弱、次強、弱、

弱」，也就是說以 6/8 來說，會先將小節一分為兩，再來各分為三等份，把 12 質因數分 解會是 2·3·2，在其他狀況下，十二等分也有可能會被分為 2·2·3 或者是 2·3·2，如圖 16 所示。

圖 16：將小節切割成 12 個單位的 tree structure

在 tree 建立好之後，如同在 2.1.3 所提到的，LHL 對於切分音的定義，當一個「較 重」的音符依附在「較輕」的音符上時，切分音便產生了，因此，我們只需要針對每一 個 onset，往後去尋找，在下一個 onset 出現前，是否有比它的大的值，如果有就代表了 切分音的出現，而每一個切分音的「強度」，即為 S_i的權重與前面 onset 音符的權重的差，

所有切分音的強度加總也就是複雜度的值；假設 Si為切分音出現的點，k 為切分音出現 的個數，我們可以方程式來表示 LHL 的複雜度，如下所示：

(4)

(5)

同樣以 the clave son 為例，如圖 17 所示，S0跟 S1皆是切分音，於是我們可以算出，S0

為 2 ( = -2 - (-4))，S₁為 2 ( = -1 - (-3))，在 the clave son 這個例子之下，LHL 的複雜度值 為 4。

圖 17：LHL 的切分音算法，以 the clave son 為例