基本模型

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效用函數以U()表示，U'()0,U"()0，代表性個人為風險趨避者，其效用隨 著財富增加而增加，但增加率遞減；亦即效用函數為遞增之凹函數 (concave utility function)。可用風險趨避指標衡量代表性個人的風險趨避程度，在此定義



A為絕對風險趨避指標，



A^{U}

   

^{W UW} ，可做一階微分 (

_

_A) 判斷絕對風 險趨避指標是遞增、固定或遞減，其表示當財富增加，代表性個人投資於風險 性資產的數量會減少、不變或增加；假如代表性個人絕對風險趨避指標遞減，

則財富增加時，投資於風險性資產的數量之增加幅度可用相對風險趨避指標衡 量，在此定義相對風險趨避指標為



_r，γr ^U

 

^{WW U}

 

^W 可做一階微分 (



_r) 判斷相對風險趨避指標是遞增、固定或遞減，其表示當財富增加，代表性投資 人投資於風險性資產的增加幅度會小於、等於或大於財富增加幅度。

以^E

    ^

表示統計期望值，期末之預期效用為：

 U   W  P U    W P  U   W E  U  Ag W  r    。

E 

_{g g}

 1 

_{g b}



_s



₀

1 

(2)

在不考慮稅制下，極大化個人預期效用 E[U(W)]，選出最適風險性資產持有比例 A^*：

 ^U   ^W  ^{P U}    ^{W P}  ^U   ^{W E}  ^U  ^{Ag W}  ^r    ^。

E

_{g g g b s}

A

  1    1 

max

₀ (3)

一階條件為

 _    ^  ^ _{ }  ^{ }   ^  ^{1 }  ^{    0}



b b g

g g g

s

P U W g P U W g

g W U A E

W U

E

。 (4)

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整理上式，可得

 ¹     ^   ^{   0}



g b b

g g g

g g W

U P

W U

P

。 (5)

由上式可知，最適風險性資產持有份額 A^*的邊際條件發生在：¹² good state 和 bad state 的 機 率 比 乘 以 good state 和 bad state 的 邊 際 效 用 比 —

  

g g

  

b

g

U W P U W

P  1  

等於 bad state 和 good state 的資本利得比之負值—

g b

g

 g

。表示 good state 和 bad state 兩狀態的邊際效用替代率 (以機率加權後) 等於資產配置線的斜率。

預期效用極大化之一階條件可以下圖說明：

圖 3-1：最適資產配置 (無稅負)

12 邊際條件亦可稱一階條件或必要條件。

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上圖橫軸和縱軸分別代表 good state 和 bad state 下的財富，令原始財富 W0=1，

斜線 a=0 代表期初財富 W0全部投資於無風險性資產，因此無論在哪一個狀態下，

報酬皆是 1+r，財富終值落在 S 點；斜線 a=1 代表期初財富 W0全部投資於風險 性資產，在 good state 下報酬為 1+r+gg，bad state 下報酬為 1+r+gb，財富終值落 在 T 點。連接 S、T 兩點可得到一條資產配置線，預期效用和資產配置線的切點 E 點代表邊際條件

P

g

U     W

g

1  P

g

 U    W

b

  g

b

g

g 成立，最適資產配置比例

ST

*

 SE

a

。

期初財富 W0

期初財富 W0變動時對最適風險性資產持有份額 A*的影響，可經由圖形解 釋。假設期初財富 W0增加幅度等於 1+r，W0增加後，資產配置線 ST 平行外移 至，W0增加的圖形如下圖所示：

圖 3-2：期初財富 W0變動 (無稅負)

‧

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風險性資產的持有份額 A^*增加幅度可以η 是否大於 1 檢視。風險性資產需 求的財富彈性 η 的定義為財富變動百分之一時，風險性資產的持有份額 A 變動 百分之多少，因此若



1表示當財富增加百分之一時，風險性資產的持有份額 A 增加超過百分之一，也就是相對風險趨避指標



_r遞減。¹³

風險性資產需求的財富彈性與風險性資產持有比例關係之圖形表示如下：

圖 3-3：風險性資產需求的財富彈性 η (無稅負)

以上討論可整理於下表：

表 3-1：相對風險趨避指標、財富彈性、風險性資產持有比例 絕對風險趨避指標



A

風險性資產需求的 財富彈性 (η)

相對風險趨避指標



r

風險性資產持有比例



^{SE ST}



遞減 η < 1 遞增 隨財富增加而減少

遞減 η = 1 固定 不隨財富增加改變

遞減 η > 1 遞減 隨財富增加而增加

13 γ_r U

 

W W U

 

W 可做一階微分 (



_r^) 判斷相對風險趨避指標是遞增、固定或遞減，其表 示當財富增加，代表性投資人投資於風險性資產的增加幅度會小於、等於或大於財富增加幅度。

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二

、無風險利率 r 和資本利得 g

s

無風險利率 r

r 增加對於風險性資產持有份額 A^*比較靜態分析如下：

     



^U

 

^g20



E

gW U r E

A

 

 



 

。 (8)

無風險利率 r 對風險性資產持有份額 A^*的影響效果端看代表性個人的絕對 風險趨避指標而定，代表性個人絕對風險性趨避指標遞減，因此 r 對 A^*的影響 效果正向，無風險利率 r 增加，則代表性個人的風險性資產持有份額也增加。

無風險利率 r 增加時，代表性個人的風險性資產持有份額的變化可以下圖 表示：

圖 3-4：最適資產配置 (無稅負)-無風險利率 r 增加

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無風險利率 r 增加後，所有資產的報酬皆隨之上升，相當於財富增加所帶來 的影響，在絕對風險趨避指標遞減的情況下，代表性個人會願意多投資於風險 性資產。

資本利得/損失 gs

此處探討風險性資產的資本利得或損失 gs對風險性資產持有份額 A^*的影響，風 險性資產面對不確定情況下，可能發生的狀態有兩個，

P

_g表示 good state 發生機 率，在 good state 下風險性資產帶來大於無風險利率之報酬，即

r  g

_g

 0

，

g

_g

 0

的情況；

1  P

_g表示 bad state 發生機率，在 bad state 下風險性資產帶來小於無風

險利率之報酬，即r



g_b



0，g_b



0的情況。資本利得或損失之變化可分成 3 種情形：(1) 假定 bad state 下的資本利得 gb固定不動、good state 下的資本利得 gg變動；(2) 假定 good state 下的資本利得 gg固定不動、bad state 下的資本利得 gb

變動；(3) good state 和 bad state 的資本利得/損失存在一定比例關係連動。以下 分別討論。

1. bad state 下的資本利得 gb 固定不動、good state 下的資本利得 gg 變動

 dg

g

^{ 0}

與

dg

_b

 0 

取預期效用極大化之一階條件進行比較靜態分析，

    

1

        

^*

       ^{0 。}



 

g g

g g g g

s

s

P U W g A g g A U W

g g W U

E

(9)

移項整理，

‧

‧

‧

‧

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圖 3-6：

g

_g

  g

_b，α 上升時的風險承擔效果

資產配置線 ST 斜率為1



，



上升則 ST 斜率愈趨陡峭，資本損失g 不變b

下相對應的 good state 資本利得

g

_g減少，資產配置線 ST 內縮，預期效用下降，

最適資產持有份額 A^*減少。由圖六亦可得知最適風險性資產持有份額 A^*和比例



的關係其實與

g

_g變動相同，



上升可視為

g

_g下跌對風險性資產持有份額 A^* 的影響效果。

三、資本利得稅

對稱稅率-資本損失完全扣抵

在此討論對稱稅率，也就是資本損失的扣抵比率和資本利得的課稅稅率相 等。稅後財富W



W₀



1



r

 

Ag

 

1



t ，稅後預期效用極大化之一階最適條件，

‧

‧

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移項整理，

      

  

²

^{1 1} 

²

⁰

2

 

 



 

 



 

δ t g W U

At g t W

U t g W δ U

A

b b

b b

b

b



。 (21)

當風險性資產發生虧損時，δ 越小，政府的損失扣抵比率越少，代表性個人的預 期收入越低；而當δ 越大 (越接近 1) 時，預期財富增加，代表性個人越願意多 增加風險性資產持有份額。

稅率不對稱之圖形如下所示：

圖 3-8：不對稱稅率下的風險承擔效果

與本節之二資本利得/損失之情況三連結，情況三討論 good state 和 bad state 的資本利得/利損存在比例關係 α，發現可透過稅率政策，使得兩狀態下的資本 利得/損失存在一定比例關係連動，對稱稅率可視為固定

   1

、g 上升之特殊_b

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情形，因為

g

_g和g 的變動皆存在對稱的反向關係，但與_b

   1

的形況相比，對 稱稅率降低資產資本利得/損失的波動度 (標準誤)，也降低預期財富。²⁰ 而資本 損失不可完全扣抵的情況則放鬆

   1

之條件，

g

_g和g 的變動依然存在反向關_b 係，但非對稱。而資本損失不可完全扣抵與對稱稅率相比，資本損失部分扣抵 情況之預期財富較對稱稅率下低。

不對稱稅率下資本利得的課稅稅率和資本損失的補貼稅率存在一比例關係 δ，當政府欲鼓勵社會增加風險承擔程度時，可以提高δ，以分散投資者的投 資風險；若總體經濟面臨衰退，資本損失的跌幅高於資本利得漲幅時，政府可 能面臨稅收困難，可採用不對稱的稅率，調低δ，使得發生資本損失時的津貼 幅度減少，以保障稅收。

第二節 閉鎖效果 (lock-in effect)

一、

閉鎖效果 (lock-in effect) 概述

由於納稅義務人在資本利得實現後必需繳納稅負，因此可能寧願放棄出售 該資產，而喪失轉投資在其他稅前報率較高之資產的機會，資金鎖於原投資組 合，產生閉鎖效果 (lock-in effect)。目前各國對於資本利得的課稅多採實現基礎，

資產出售後對售後所得課稅，但資產持有人有可能因為處分資產後需課稅而延 後出售該資產。具體來說，投資人可以售出原資產，在下一期轉投資更高報酬 之風險性資產，但存在稅負時，投資人會將處分原資產產生之稅負視為轉投資 之成本，故另一項資產的報酬必須大於原資產之報酬加上處分原資產所產生之 資本利得稅，投資人才願意轉投資，降低轉投資之意願，改變納稅人的投資行 為，造成資本市場扭曲。

20稅後資本利得/損失的標準誤

 

s

s g

pt

g t



 

1



。預期財富數學推導說明詳見附錄。

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在文檔中 資本利得稅的風險承擔和閉鎖效果 - 政大學術集成 (頁 13-30)