在本章我們會先討論：利用古典粒子性時，其理想晶格與含有部分雜質的晶格兩種 情況中，其電阻隨溫度的變化有何差異外。並進一步定性上討論，波動力學性與古典粒 子性共同存在的物理情況，且如何定量上判別該系統是屬於何種物理環境？並接著討論 在同時出現波動性與粒子性的物理環境時，會有哪些有趣的物理機制發生？且如何藉由 外在改變破壞該物理機制的發生？另一部份會由於破壞上述物理機制，而引出討論各種 非彈性碰撞發生的可能性，且會對各種非彈性碰撞描述其物理模型外，還會描述各物理 機制下的非彈性散射時間與溫度關係、電導修正……等各種關係。
2-1 理想晶格時電阻隨溫度的關係
最簡單的電子在固體中行為模型-自由電子氣模型(free electron gas model)[1]。是將 電子所處的靜電位勢視為均勻分佈，也由於靜電位勢均勻分佈故視此系統為完美晶格系 統，於是電子如同古典氣體般侷限在一定空間中行動。我們知道在某時間內古典粒子統 計必須符合波茲曼分佈 f( , , )r p t [2]。其中 ( , , )
i i
i p r t i i
n = f ∆ ∆ ，p r n 為發生事件的次數(occupation i number)。我們知道根據波茲曼統計，在某時間內電子間沒有發生任何碰撞，則電子分 佈函數隨時間的變化量為零，即df( , , )r p t 0
dt = 。但在自由電子氣模型中電子是會發生碰撞 事件的。故電子的分佈函數隨時間的變化量不為零，即df( , , )r p t 0
dt ≠ 。此時波茲曼作了一 項假設近似︰
0 0 0
0( , , )
( 0) f f r p t
d f f
dt τ
− = − − ，分佈函數隨時間的微分等於分佈函數的變化量除以平均時
間。我們知道 d f( f0) fdr fdp f dt rdt pdt t
− =∂ +∂ +∂
∂ ∂ ∂ ，當我們假設波茲曼分佈是線性函數時則
0 0 0 1 1 1
( , , )r p t 0( ,r p t, ) 1( , , )r p t
f = f + f ， 其 中
0 0 0
0( ,r p t, )
f 是 常 數 ， 代 入 上 式 得
1 . 1 .
f f
f fdr fdp f
V F
t rdt pdt t r p
∂ ∂
∂ +∂ +∂ = + + ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 。當我們假設 f 很小時，表示第一階修正很小，則1
0 1 0 0 0 0
( )
f f f df f d f . f
p p p dp dp
ε ν
ε ε
∂ + ∂ ∂ ∂
∂ = ≈ = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ，在考慮穩定態的情況下，由上試出發可以推
得電阻率為
* 2
m ρ ne
= τ (2.1) 其中m 是有效電子質量，τ 是電子發生兩次碰撞之間的平均時間，* N
n=V是電子密度，
e 是電子所帶電荷量。
2-2 理想晶格在外加部分雜質時的電阻隨溫度關係
不過ρ是統計電子的總效應表現，裡頭包含電子在固體運動的各種資訊。當我們假 設較複雜一點的情況，電子在週期性晶格中運動，且有一些雜質、錯位的情形發生，也 因此一般金屬系統為上述系統，且為非完美晶格。所以在電阻率的表現上[1]
* * *
2 2 2
i ep
m m m
ne ne ne
ρ = τ = τ + τ (2.2)
* 2
ep
m
neτ 是電子在週期性晶格中遇到聲子所造成的電阻貢獻[3]， 1
τep 為電子聲子散射率，
通常在高溫時有
* 2
ep
m AT
neτ = 的行為，當從高溫往低溫時，在某溫區內會有
* 5
2 ep
m BT neτ = 的 行為出現，故我們知道電子與聲子的碰撞行為與溫度相關。而
* 2
i
m const
neτ = 是電子與雜 質或離子錯位散射所造成，且不隨溫度改變。故我們現在所考慮的系統可用下圖來表示。
圖2-1 為一般非完美晶格的金屬系統中，電阻與溫度的關係圖
但在上述物理情況中，我們未考慮到電子波動性與晶格缺陷所造成的影響，且在低 溫時隨著維度皆有不同的量子修正。以下會先說明k l 值的意義，再藉由F k l 來說明，如F 何的物理環境會產生令人感興趣的弱局域效應與電子電子交互作用。
2-3 物質波動性與粒子性的相對強度 k l
F我們知道用傳統波茲曼理論來證明自由電子氣模型時，是視電子為一顆一顆的古典 剛體粒子且由於有部分雜質，使得電阻有
* * *
2 2 2
i ep
m m m
ne ne ne
ρ = τ = τ + τ 特性。但電子有波動
性，勢必不能只用古典粒子的統計模型來描述電子行為，也因此判定電子該用波動性或 粒子性來描述是件重要的事情。
所以我們必須瞭解如何定量判定波動性與粒子性的相對強弱-k l ！ F
我們知道 2
F F
k π
= λ ，k 可從F
( )
22 * F
F
k E
m =
= 得到，所以k 所呈現的是什麼？F k 值越小F
代表波長越長，也就k 越小代表電子的波動性越強越明顯，其單位維度為 1/長度；同樣F 的道理l ( or lelastic )所代表的是電子彈性碰撞的平均自由路徑，且推導此物理的模型中是 將電子視為一顆一顆的古典剛體粒子，也就是自由電子氣模型。故l越大代表物質的粒 子性越強，其單位維度為長度。所以我們發現k l 的單位維度是為 0，且可藉由定量討F 論k l 的值，來看此物質此時所呈現的是粒子性明顯或波動性明顯！當F k l 值越大代表粒F 子性越強，當k l 值越小代表波動性越強。 F
所以我們來作三個簡單的劃分k lF = ∞ 、k lF >> or 1 k lF ≈ 與1 k lF << ，所分別代表1 的是粒子性明顯、介於波動與粒子性之間，與波動性明顯的情況。
就波動性與粒子性的特點來看。電子的粒子性較強時，其傳輸方式是以彈道式傳輸 為主，或說該電子波是在延展態的狀況下行動，這些情況在完美晶格或k lF = ∞ 時容易發 生；而當波動性效應強烈明顯時，波會發生強烈的干涉行為，無論是電子自己本身發出 的波相互干涉(類似光波的雙狹縫干涉)或不同顆電子間的波相互干涉。我們知道此時波 會呈現強烈的局域態[4]，這在絕緣體或k lF << 中容易發生。 1
表2-1 在 kFl 各種情況下，電子的物理行為
材料性質： 良導體 導體 絕緣體
晶格排列： 完美晶格 弱無序 強無序
傳輸方式：
彈道式 延展態
擴散式 弱局域態
波動式 局域態 Kf l： kFl＝∞
kFl ≧1 or
kFl >>1 kFl <<1
當波性與粒子性同時出現在電子行為時（k lF ≥1 or k lF >>1），此時電子為擴散式運 動，且波性與粒子性會相互競爭下會讓電子介於延展態與局域態之間，故又稱弱局域以 表明有微弱的局域態行為。由這樣的物理環境所引發的物理有弱局域效應與電子電子交 互作用等物理[5][6][7][8]，這也是我們所主要討論的主題。
2-4 弱局域效應
我們先逐步介紹，擴散運動、粒子力學觀點的計算、時間反演對稱性與同調性長度 等物理觀念後，再藉由電子波函數的自我干涉，來推導出弱局域效應在電導上的修正，
並做簡單的回顧總結，最後再討論何哪些情況會破壞弱局域效應的發生。
2-4-1 擴散運動
當k lF ≥1 or k lF >>1 時，電子所進行的運動是擴散運動，如同愛因斯坦的布朗運動 (Brownian motion) 又稱 Wiener 過程。因此根據布朗運動會有r2 =Dτ的關係。純粹 的布朗運動每次碰撞是彈性碰撞，故碰撞前後粒子的能量沒有改變 E = E＇。E 為電子 碰撞前的能量，E＇為電子碰撞後的能量。由於能量沒有改變，根據量子力學用來描述 波函數的寫法，我們可說此粒子的波函數在碰撞前後是同調性的。
ballistic diffusive ergodic
圖2-2 在布朗運動中，平均而言電子在碰撞前後能量不變，因此維持同調性。
當電子在k lF ≥1 or k lF >>1 中處於擴散運動，且碰撞前後能量不變的物理環境下，
此系統的電阻會有怎樣的物理特性呢？
2-4-2 量子力學的機率觀點
用量子力學的觀點來看，電阻與電子由 A 點到 B 點的機率有關。當此機率小表示電 子由 A 點快速地到 B 點且過程中電子不愛停留，等同於電阻小；當機率大表示電子由 A 點到 B 點的過程中電子容易停留被發現，等同於電阻大。故我們可以藉由量子力學算機 率的方式來推導電導進而瞭解電阻的行為表現。
由量子力學，我們知道某一粒子的波函數可以用ψ =
∑
aiϕi來描述，ϕi代表由 A 點 到 B 點各種路徑可能的波函數。由於處於不同能量本徵態的同一粒子（各種碰撞發生後 都考慮進來），其相位隨時間的變化 n( ) Ent t
ϕ =
= 都不同，放入計算也是過於複雜的系統，
不一定符合我們的物理系統，在這邊 n 是代表某一本徵態。所以我們只考慮一顆電子由 A 點到 B 點間，能量沒有改變仍是同調性的波函數，也就是電子在擴散運動中的物理特 性[9]。
利用量子力學機率的算法
2 2 2
ni ni ni nj
P=ψ =
∑
ϕ =∑
ϕ +∑
ϕ ϕ (2.3)其中
∑
ϕni 2是同一條路徑的波函數與本身共軛項相乘的總和，∑
ϕ ϕni nj 是不同路徑的波 函數與非本身共軛項相乘的總和結果。此想法類似光波的自我干涉計算，當將光只視為 純粹粒子時，只會有第一項存在，若將光的波動性放入，則光波自我干涉項也就是第二擴散運動在統計的總和上幾乎正負總和抵消掉，所以在古典擴散運動中第二項可說是無 貢獻。
圖2-3 由於電子由 r 到 r＇的路徑有許多可能，因此我們在計算由 r 到 r＇機率時，
必須將不同路徑的可能性給考慮進來。但由於統計關係並無建設性干涉出現。
但我們現在所考慮的是量子統計且必須考慮電子波函數有時間反演對稱性！
2-4-3 時間反演對稱性
我們說過在做機率計算時，必須將各種可能性給考慮進來。因此我們考慮電子由 r 到 r＇其中一種情況 3 號路徑。
圖2-4 電子有時間反演對稱性，所以波函數自我干涉時產生建設性貢獻的路徑
在 3 號路徑中有兩種可能，一是順時鐘迴圈，另一是逆時鐘迴圈。這兩種情況都是 電子從 O 點經過一連串碰撞回到 O 點的可能，且在 O 點時，動量大小與方向都是相同的 [9]。這也就是時間反演對稱性。此情況為單一電子的波發生自我干涉的現象。
將 時 間 反 演 對 稱 性 ， 放 入 考 慮
2 2 2
ni ni ni nj
P=ψ =
∑
ϕ =∑
ϕ +∑
ϕ ϕ 時 ， 則 變 成2 2
ni ni nj 2 ni
P=
∑
ϕ +∑
ϕ ϕ =∑
ϕ ，其中∑
ϕni2 =∑
ϕ ϕni nj。故此自我干涉為建設性干涉，使得電子停留在 O 點的機率增加，即電阻上升！故電子當由 r 點到 r＇點時，弱局域物 理環境的機率值會大於古典擴散的機率值，也因此弱局域時會有電阻上昇的行為。
以上我們是定性上說明，接下來我們要來定量上來推導此弱局域所造成的機率修正 與電阻修正的關係。
圖2-5 在完美晶格中，固定時間t，電子從 0 點到空間各點的機率密度分佈情形。
圖2-6 考慮弱局域效應的情況下，固定時間t， 電子從 0 點到空間各點的機率密度分佈情形。
2-4-4 同調長度
Lϕ (coherent length)在定量推導弱局域的電導修正前，我們必須先瞭解一個物理量-同調性長度 Lϕ (coherent length)，來幫助我們釐清與思考接下來的物理問題。
我們先假設當電子彈性碰撞平均自由路徑l <同調性長度 Lϕ時，上述弱局域的物理 情況才會發生。因此也可以說只要電子發生彈性碰撞的時間τelastic比發生非彈性碰撞的時
我們先假設當電子彈性碰撞平均自由路徑l <同調性長度 Lϕ時，上述弱局域的物理 情況才會發生。因此也可以說只要電子發生彈性碰撞的時間τelastic比發生非彈性碰撞的時