多目標最佳化演化演算法

多目標最佳化演化演算法大致上可以分為以下三種：

(1) 凌越關係型多目標最佳化演化演算法 (Pareto-dominance-based EMOAs)：

此類型演化演算法直接使用族群中解之間的凌越關係作為解的適應值，

以此判斷解的優劣，由於凌越關係無法判斷出族群的分布狀況，通常會 需要次要策略來維持分散程度。本類型的代表性演算法有 NSGA-II [6]

及 SPEA2 [9] 等。NSGA-II 透過非凌越排序 (non-dominated sorting) 將 親代與子代組合成的族群排序成多個階層，從優先度最高的階層開始依 序加入下一代的族群中，一次加入一個階層，當加入某一階層會超過需 要的族群數量時，轉為使用重視分散程度的擁擠距離機制從要被加入的 階層中挑選進入下一代的解，直到填滿需要的族群數目為止；SPEA2 計 算每一個解所凌越的解的數量作為解的強度 (strength)，接著對每一個解 將凌越該解的所有其他解的強度加總作為基本適應值，另外使用最近鄰 居法 (k-th nearest neighbor) 作為分散程度的適應值，最後將兩種適應值 加總作為最終適應值，根據此最終適應值來挑選存活到下一代的解。

(2) 指標函式型多目標最佳化演化演算法 (indicator-based EMOAs)：指標函 式 (indicator) 通 常 用 來 作 為 多 目 標 最 佳 化 演 算 法 的 效 能 指 標 (performance metric)，因此指標函式本身即具有能同時表現收斂程度與 分散程度的性質，有些多目標最佳化演化演算法便直接利用指標函式來 幫助適應值的計算，即為指標函式型多目標最佳化演化演算法。此類型

的演算法有 IBEA [10] 及 SMS-EMOA [11] 等。IBEA 將一個解對於整 個族群形成的多維體積 (hypervolume) [12] 的貢獻度作為解的適應值，

在環境選擇過程中刪除適應值 (貢獻度) 最小的解，重新計算多維體積，

更新所有剩下解的適應值 (貢獻度)，重複直到剩餘的解的數量達到設定 的族群數目；SMS-EMOA 使用非凌越排序把親代與子代組成的族群排 序成多個階層，從優先度最低的階層開始刪除被最多解凌越的解，直到 族群數量達到設定的數目，如果經過非凌越排序後產生的階層數只有一 個，則刪除對族群形成的多維體積貢獻度最小的解，直到達到設定的族 群數量為止。

(3) 分解型多目標最佳化演化演算法 (decomposition-based EMOAs)：分解型 多目標最佳化演化演算法利用權重向量 (weight vector) 將原本的多目 標最佳化問題分解成多個單目標的子問題同時進行最佳化，解的適應值 透過子問題的權重向量與聚合函數算出。這類型演算法的代表性演算法 之一為 MOEA/D [13]，由 Zhang 與 Li 在 2007 年提出，利用均勻分 布的權重向量與聚合函數將多目標最佳化問題分解成多個單目標的子 問題，每一個權重向量代表該搜尋方向上的子問題，每個子問題對應族 群中的一個解，由於每個子問題的最佳解必然存在於柏拉圖前緣上，所 以求得所有子問題的最佳解就可求得問題的近似柏拉圖前緣。用來分解 多目標問題的聚合函數有加權總合法 (weighted sum approach)、柴比雪 夫 法 (Tchebycheff approach) 以 及 基 於 懲 罰 量 的 邊 界 交 叉 法 (penalty-based boundary intersection approach, PBI) 等，其中較被廣為使 用的為柴比雪夫法；假設一組均勻分布的權重向量 λ¹, λ², … , λ^N，使用

柴比雪夫法將多目標問題分解成多個單目標子問題，可表示成以下算 式：

𝑔^𝑡𝑒𝑗(𝑥|𝜆^𝑗, 𝑧^∗) = max

𝑘=1…𝑚{𝜆_𝑘^𝑗|𝑓_𝑘(𝑥) − 𝑧_𝑘^∗|} , 𝑗 = 1, 2, … , 𝑁. (4) z* = (z , …, ₁^* z_m^* ) 為參考點，由 m 個目標方向上最小的值所組成。

MOEA/D 運用鄰居 (neighborhood) 的概念來幫助演化，演算法在 完成初始化族群與權重向量後會計算每一個權重向量與其他權重向量 之間的距離，取 T 個最近的權重向量設定為該權重向量的鄰居，演算 法中親代選擇與環境選擇的部分皆會利用到鄰居的資訊。在達到終止條 件前，演算法的每一代，所有子問題都會進行繁殖的動作，在進行親代 選擇的時候，子問題會從鄰居當中隨機挑選親代進行交配產生子代；進 行環境選擇的時候，子代會與子問題的所有鄰居的解進行比較，如果子 代的適應值較佳就取代該鄰居中的解。

過去十年間，MOEA/D 受到相當大的關注，以其作為基礎的許多研 究和論文被發表，大致上有以下幾種分類：

根據每個子問題在過去一段時間內解的改善程度來動態分配子問 題的演算資源 (dynamic resource allocation)，例如 MOEA/D-DRA [14]、

MOEA/D-GRA [15] 等。MOEA/D-DRA 每隔一定的演化代數會檢查各 子問題中的解在過去一段時間中改善了多少，如果已經停止改善便不會 再對該子問題進行最佳化，藉此將演算資源分配給還能繼續改善的子問 題；MOEA/D-GRA 除了有根據每個子問題過去一段時間的改善程度來 設定參與演化機率的線上演算資源分配 (online resource allocation) 之

外，另外有事先透過其他演算法來評估子問題難度，依此決定子問題分 配多少演算資源的離線演算資源分配 (offline resource allocation)。

隨 著 演 化 過 程 動 態 調 整 子 問 題 的 權 重 向 量 ， 這 方 面 的 有 paλ-MOEA/D [16] 、 DMOEA/D [17] 及 MOEA/D-AWA [18] 等 。 paλ-MOEA/D 和 DMOEA/D 皆為隔一段時間就利用演算法目前求得的 柏拉圖最佳解產生一組新的權重向量取代舊權重向量；MOEA/D-AWA 則是會偵測擁擠區域的子問題，將擁擠區域的子問題 (權重向量) 刪除 然後在稀疏區域產生新的子問題 (權重向量)，藉此調整演算法的搜尋方 向使其均勻分布。

研究環境選擇機制，針對權重向量與解之間的配對關係進行改良的 有 MOEA/D-STM [19]、MOEA/D-STM2L [20]、MOEA/D-AGR [21] 等。

MOEA/D-STM 使用穩定配對法 (stable-matching) 取代 MOEA/D 原本 的選擇機制，將子問題與解之間進行配對，藉此取得收斂程度和分散程 度之間的平衡；MOEA/D-STM2L 將穩定配對法改良為雙層穩定配對法 (two-level stable-matching)，限制解的喜好子問題，避免出現距離過遠的 配對；MOEA/D-AGR 的選擇機制為全域取代法 (global replacement)，

新產生的子代不是與鄰居而是與所有子問題進行比較，取代能夠獲得最 佳適應值的子問題中的解。