結果與討論

所有實驗數據都會經過 Wilcoxon 排序和檢定，數據表格中粗體代表與其它 數據差異顯著且較為優異，皆為粗體代表之間無明顯差異。

圖 9：三種指標函式 (最小化)

柏拉圖前緣或參考前緣 近似解集 Z

f₂

f₁ f₂

f₁ f₂

f₁

GD IGD HV

表 2：NSGA-III 與 NSGA-III-IPBI (適應性正規化) 的 IGD 平均值和標準差

Problem M NSGA-III (adaptive) NSGA-III-IPBI (adaptive) DTLZ1 3 2.068E-02 (1.196E-04) 3.009E-02 (8.950E-04)

5 5.365E-02 (1.415E-04) 3.398E-01 (8.263E-03) 8 9.451E-02 (3.246E-04) 4.249E+01 (2.143E+01) 10 1.093E-01 (4.384E-04) 5.739E+01 (2.425E+00) DTLZ2 3 5.244E-02 (7.707E-06) 7.196E-02 (1.114E-03)

5 1.658E-01 (1.138E-04) 2.472E-01 (4.308E-03) 8 3.420E-01 (1.954E-03) 2.621E+00 (1.252E-02) 10 4.213E-01 (8.910E-05) 2.595E+00 (7.271E-02) DTLZ3 3 5.307E-02 (2.411E-03) 7.300E-02 (9.098E-04) 5 1.664E-01 (1.319E-03) 3.071E+00 (2.819E+00) 8 3.489E-01 (6.046E-04) 1.616E+03 (1.334E+02) 10 4.236E-01 (3.661E-03) 5.687E+02 (1.652E+01) DTLZ4 3 2.221E-01 (3.430E-01) 2.117E-01 (3.259E-04)

5 1.658E-01 (1.754E-04) 2.626E-01 (1.805E-02) 8 3.401E-01 (6.435E-05) 2.444E+00 (2.513E-02) 10 4.210E-01 (1.315E-04) 2.504E+00 (1.307E-02) Minus-DTLZ1 3 3.164E+01 (1.610E+00) 3.526E+01 (3.173E+00) 5 8.868E+01 (4.165E+00) 8.517E+01 (1.017E+01) 8 1.979E+02 (2.023E+01) 2.069E+02 (3.684E-01) 10 2.189E+02 (1.339E+01) 2.244E+02 (1.519E+01) Minus-DTLZ2 3 2.359E-01 (7.543E-03) 2.982E-01 (1.151E-02)

5 7.236E-01 (4.636E-03) 7.509E-01 (1.233E-02) 8 1.626E+00 (1.920E-01) 1.614E+00 (8.516E-02) 10 1.797E+00 (7.029E-02) 1.764E+00 (5.176E-03) Minus-DTLZ3 3 1.525E+02 (9.334E-01) 1.848E+02 (1.133E+01) 5 4.531E+02 (1.035E+01) 4.626E+02 (1.864E+01) 8 1.015E+03 (1.075E+02) 9.933E+02 (5.158E+01) 10 1.082E+03 (6.767E+00) 1.088E+03 (4.135E+01) Minus-DTLZ4 3 2.411E-01 (4.432E-03) 2.957E-01 (1.058E-02)

5 7.484E-01 (3.019E-02) 8.109E-01 (1.706E-02) 8 1.448E+00 (2.045E-01) 1.441E+00 (2.428E-02) 10 1.607E+00 (4.136E-02) 1.603E+00 (7.077E-02) (1) NSGA-III 與 NSGA-III-IPBI 的比較

表 2 為 NSGA-III 與 NSGA-III-IPBI 的 IGD 數據，根據 IPBI 函數從天頂 點往柏拉圖前緣推進的特性，NSGA-III-IPBI 應該能夠在擁有凸形柏拉圖前緣的 Minus-DTLZ2 到 Minus-DTLZ4 有好的效能表現，然而 NSGA-III-IPBI 卻沒能 有預期中的表現，推究其原因在於族群正規化上。NSGA-III 的適應性正規化方

倒轉的 DTLZ 問題的柏拉圖前緣，倒轉的形狀除了讓 NSGA-III 的多數參考點 無法發揮效果之外，也會使建構出的超平面的規模不正確，進而使得正規化的效 果產生問題。

表 3：NSGA-III-IPBI 使用不同正規化方法的 IGD 平均值和標準差

Problem

M NSGA-III-IPBI (adaptive normalization)

NSGA-III-IPBI (simple normalization) DTLZ1 3 3.009E-02 (8.950E-04) 8.520E-02 (1.569E-02) 5 3.398E-01 (8.263E-03) 3.601E+01 (9.726E+01) 8 4.249E+01 (2.143E+01) 4.618E+01 (2.821E+01) 10 5.739E+01 (2.425E+00) 5.838E+01 (9.325E-01) DTLZ2 3 7.196E-02 (1.114E-03) 7.197E-02 (6.296E-04) 5 2.472E-01 (4.308E-03) 3.568E-01 (1.341E-02) 8 2.621E+00 (1.252E-02) 2.617E+00 (2.060E-02) 10 2.595E+00 (7.271E-02) 2.588E+00 (3.708E-02) DTLZ3 3 7.300E-02 (9.098E-04) 3.258E-01 (2.723E-02)

5 3.071E+00 (2.819E+00) 5.655E+02 (2.371E+02) 8 1.616E+03 (1.334E+02) 1.620E+03 (1.304E+02) 10 5.687E+02 (1.652E+01) 6.114E+02 (8.748E+01) DTLZ4 3 2.117E-01 (3.259E-04) 1.159E-01 (3.384E-03)

5 2.626E-01 (1.805E-02) 1.015E+00 (8.627E-03) 8 2.444E+00 (2.513E-02) 2.440E+00 (7.679E-03) 10 2.504E+00 (1.307E-02) 2.489E+00 (1.599E-02) Minus-DTLZ1 3 3.526E+01 (3.173E+00) 2.255E+01 (1.027E-01) 5 8.517E+01 (1.017E+01) 5.354E+01 (4.670E-01) 8 2.069E+02 (3.684E-01) 2.009E+02 (1.068E+01) 10 2.244E+02 (1.519E+01) 2.409E+02 (5.502E+00) Minus-DTLZ2 3 2.982E-01 (1.151E-02) 2.033E-01 (8.563E-04)

5 7.509E-01 (1.233E-02) 6.410E-01 (4.979E-03) 8 1.614E+00 (8.516E-02) 1.131E+00 (3.231E-03) 10 1.764E+00 (5.176E-03) 1.594E+00 (7.909E-02) Minus-DTLZ3 3 1.848E+02 (1.133E+01) 1.289E+02 (7.071E-03) 5 4.626E+02 (1.864E+01) 4.068E+02 (7.085E-01) 8 9.933E+02 (5.158E+01) 7.428E+02 (1.354E+01) 10 1.088E+03 (4.135E+01) 1.364E+03 (9.100E+00) Minus-DTLZ4 3 2.957E-01 (1.058E-02) 2.049E-01 (3.041E-05)

5 8.109E-01 (1.706E-02) 6.493E-01 (1.676E-04) 8 1.441E+00 (2.428E-02) 1.125E+00 (7.566E-04) 10 1.603E+00 (7.077E-02) 1.557E+00 (1.204E-01)

(2) 使用不同正規化方法的 NSGA-III-IPBI

根據 (1) 的實驗結果，我們決定測試 NSGA-III-IPBI 分別在適應性正規化方 法 與 一 般 的 正 規 化方法 上 的 表 現 ， 結 果如表 3 。 從 表 3 我 們可 以 看 出 對 Minus-DTLZ 問題來說，使用一般正規化方法的 NSGA-III-IPBI 相對於適應性正 規化方法有著較好的表現，並且在 DTLZ 問題上的表現與使用適應性正規化方 法的差距不大。從這裡可以映證在 Minus-DTLZ 問題上，適應性正規化方法的效 果不佳，為了方便之後的實驗比較，接下來的實驗全部都採用一般的正規化方法 來進行比較。

(3) NSGA-III 使用 IPBI 函數的效果

將正規化方法固定為一般正規化方法之後，我們將同樣使用一般正規化方法 的 NSGA-III 與 NSGA-III-IPBI 進行比較。表 4 為兩邊的 IGD 數據，從表中 可以看出在利用 IPBI 函數改變了參考點的搜尋方向之後，NSGA-III-IPBI 在 Minus-DTLZ 問題上的表現都勝過 NSGA-III，然而在 DTLZ 問題上面的表現都 不如 NSGA-III，這是因為 IPBI 函數的搜尋方向有利於在凸形的柏拉圖前緣上找 出均勻分布的解而不利於在凹形的柏拉圖前緣上找出均勻的解。

(4)

表 5 為 VaEA、VaEA-minObj 以及 VaEA-AM2M 的 IGD 數值。在這三者 當中 VaEA 與 VaEA-minObj 在 DTLZ 問題上表現較佳而 VaEA-AM2M 在 Minus-DTLZ 問題上有著稍微優異的表現，原因可能在於 VaEA 與 VaEA-minObj 所選出的初始參考點符合 DTLZ 問題的柏拉圖前緣形狀，而 AM2M 的完全動 態式參考點的搜尋方式較不容易受到柏拉圖前緣形狀的影響。這三者的比較還有

另外一個目的是檢證能否求得問題中目標方向的極限值 (最小值) 。圖 10 到 圖 Problem M NSGA-III NSGA-III-IPBI

DTLZ1 3 2.565E-02 (3.415E-05) 8.520E-02 (1.569E-02) 5 5.638E-02 (5.561E-04) 3.601E+01 (9.726E+01) 8 1.071E-01 (1.793E-03) 4.618E+01 (2.821E+01) 10 1.114E-01 (6.859E-05) 5.838E+01 (9.325E-01) DTLZ2 3 5.294E-02 (2.044E-05) 7.197E-02 (6.296E-04) 5 1.654E-01 (6.576E-05) 3.568E-01 (1.341E-02) 8 3.418E-01 (1.669E-04) 2.617E+00 (2.060E-02) 10 4.216E-01 (1.838E-05) 2.588E+00 (3.708E-02) DTLZ3 3 6.774E-02 (2.726E-03) 3.258E-01 (2.723E-02) 5 1.747E-01 (4.130E-04) 5.655E+02 (2.371E+02) 8 3.959E-01 (4.632E-04) 1.620E+03 (1.304E+02) 10 4.242E-01 (3.748E-03) 6.114E+02 (8.748E+01) DTLZ4 3 6.467E-02 (1.136E-04) 1.159E-01 (3.384E-03)

5 1.654E-01 (9.051E-05) 1.015E+00 (8.627E-03) 8 3.402E-01 (7.071E-06) 2.440E+00 (7.679E-03) 10 4.207E-01 (2.814E-04) 2.489E+00 (1.599E-02) Minus-DTLZ1 3 3.194E+01 (5.763E-01) 2.255E+01 (1.027E-01) 5 7.431E+01 (3.505E+00) 5.354E+01 (4.670E-01) 8 2.231E+02 (8.924E-01) 2.009E+02 (1.068E+01) 10 2.509E+02 (2.186E+00) 2.409E+02 (5.502E+00) Minus-DTLZ2 3 2.351E-01 (1.348E-03) 2.033E-01 (8.563E-04)

5 7.584E-01 (2.951E-03) 6.410E-01 (4.979E-03) 8 1.749E+00 (9.744E-03) 1.131E+00 (3.231E-03) 10 1.972E+00 (1.614E-02) 1.594E+00 (7.909E-02) Minus-DTLZ3 3 1.537E+02 (5.344E+00) 1.289E+02 (7.071E-03) 5 4.887E+02 (1.366E+01) 4.068E+02 (7.085E-01) 8 1.094E+03 (6.739E+00) 7.428E+02 (1.354E+01) 10 1.214E+03 (1.526E+01) 1.364E+03 (9.100E+00) Minus-DTLZ4 3 2.409E-01 (6.312E-03) 2.049E-01 (3.041E-05)

5 7.637E-01 (7.548E-03) 6.493E-01 (1.676E-04) 8 1.418E+00 (2.181E-02) 1.125E+00 (7.566E-04) 10 1.594E+00 (1.782E-03) 1.557E+00 (1.204E-01)

表 5：VaEA 不同起始參考點產生方法的 IGD 平均值和標準差

Problem M VaEA VaEA-minObj VaEA-AM2M DTLZ1

10 1.383E+00

圖 12：Minus-DTLZ3(10) 問題三個演算法平均最小目標值的折線圖

圖 13：Minus-DTLZ4(10) 問題三個演算法平均最小目標值的折線圖

(5) NSGA-III 混合 VaEA

在第三章中提到由於 Minus-DTLZ 問題會使 NSGA-III 有許多參考點失去 作用，進而產生許多隨機解使得族群的演化受到影響，所以我們將 VaEA 的最大 角度優先原則以及較差淘汰原則加入取代 NSGA-III 的挑選隨機解的部分。表 6 為 NSGA-III 與混合了 VaEA 選擇機制的 NSGA-III 的實驗數據，結果顯示不管 是在 DTLZ 問題還是 Minus-DTLZ 問題上效能都獲得提昇。由於最大角度優先 原則與較差淘汰原則取代了隨機挑選，在 DTLZ 問題上發揮了增強族群分散程

度與收斂程度的效用；在 Minus-DTLZ 問題上還發揮了 VaEA 將族群作為動態 參考點的作用，彌補了 NSGA-III 在柏拉圖前緣形狀不符合時只有少數參考點對 應到前緣的缺點，從另外一個角度來看，NSGA-III+VaEA 也可以看作是將 NSGA-III 對應到柏拉圖前緣的參考點作為初始參考點的 VaEA。

表 6：NSGA-III 與 NSGA-III+VaEA 的 IGD 平均值和標準差

Problem M NSGA-III NSGA-III+VaEA DTLZ1 3 2.565E-02 (3.415E-05) 2.387E-02 (8.675E-04)

5 5.638E-02 (5.561E-04) 5.421E-02 (2.891E-04) 8 1.071E-01 (1.793E-03) 9.998E-02 (1.177E-03) 10 1.114E-01 (6.859E-05) 1.096E-01 (2.389E-03) DTLZ2 3 5.294E-02 (2.044E-05) 5.288E-02 (9.440E-05) 5 1.654E-01 (6.576E-05) 1.646E-01 (2.546E-05) 8 3.418E-01 (1.669E-04) 3.419E-01 (9.482E-04) 10 4.216E-01 (1.838E-05) 4.206E-01 (2.581E-04) DTLZ3 3 6.774E-02 (2.726E-03) 5.831E-02 (1.712E-03) 5 1.747E-01 (4.130E-04) 1.659E-01 (9.899E-05) 8 3.959E-01 (4.632E-04) 3.621E-01 (2.033E-03) 10 4.242E-01 (3.748E-03) 4.001E-01 (3.270E-03) DTLZ4 3 6.467E-02 (1.136E-04) 5.269E-02 (4.488E-04) 5 1.654E-01 (9.051E-05) 1.651E-01 (3.182E-05) 8 3.402E-01 (7.071E-06) 3.401E-01 (6.817E-04) 10 4.207E-01 (2.814E-04) 4.183E-01 (8.768E-04) Minus-DTLZ1 3 3.194E+01 (5.763E-01) 2.373E+01 (2.577E-01) 5 7.431E+01 (3.505E+00) 5.179E+01 (1.096E-01) 8 2.231E+02 (8.924E-01) 1.003E+02 (1.054E+00) 10 2.509E+02 (2.186E+00) 1.018E+02 (1.725E-01) Minus-DTLZ2 3 2.351E-01 (1.348E-03) 2.297E-01 (4.204E-03) 5 7.584E-01 (2.951E-03) 6.134E-01 (6.876E-03) 8 1.749E+00 (9.744E-03) 1.262E+00 (9.313E-03) 10 1.972E+00 (1.614E-02) 1.455E+00 (2.319E-03) Minus-DTLZ3 3 1.537E+02 (5.344E+00) 1.505E+02 (9.687E-01) 5 4.887E+02 (1.366E+01) 3.892E+02 (1.128E+00) 8 1.094E+03 (6.739E+00) 7.961E+02 (7.974E+00) 10 1.214E+03 (1.526E+01) 9.274E+02 (4.073E-01) Minus-DTLZ4 3 2.409E-01 (6.312E-03) 2.399E-01 (7.071E-06) 5 7.637E-01 (7.548E-03) 6.278E-01 (5.685E-03) 8 1.418E+00 (2.181E-02) 1.279E+00 (4.115E-03) 10 1.594E+00 (1.782E-03) 1.490E+00 (7.778E-05)

表 7：NSGA-III-IPBI 與 NSGA-III-IPBI+VaEA 的 IGD 平均值和標準差

Problem M NSGA-III-IPBI NSGA-III-IPBI+VaEA DTLZ1 3 8.520E-02 (1.569E-02) 2.335E-02 (2.802E-04) 5 3.601E+01 (9.726E+01) 5.712E-02 (1.730E-04) 8 4.618E+01 (2.821E+01) 4.358E-01 (5.666E-03) 10 5.838E+01 (9.325E-01) 2.933E+01 (1.354E+01) DTLZ2 3 7.197E-02 (6.296E-04) 5.482E-02 (1.422E-03)

5 3.568E-01 (1.341E-02) 1.738E-01 (1.085E-03) 8 2.617E+00 (2.060E-02) 4.340E-01 (4.579E-02) 10 2.588E+00 (3.708E-02) 7.373E-01 (1.013E-01) DTLZ3 3 3.258E-01 (2.723E-02) 5.825E-02 (3.205E-04) 5 5.655E+02 (2.371E+02) 1.720E-01 (1.344E-03) 8 1.620E+03 (1.304E+02) 8.785E+01 (4.364E+00) 10 6.114E+02 (8.748E+01) 1.928E+02 (3.824E+01) DTLZ4 3 1.159E-01 (3.384E-03) 5.472E-02 (1.062E-03)

5 1.015E+00 (8.627E-03) 1.795E-01 (3.448E-03) 8 2.440E+00 (7.679E-03) 1.239E+00 (2.290E-01) 10 2.489E+00 (1.599E-02) 1.833E+00 (7.435E-02) Minus-DTLZ1 3 2.255E+01 (1.027E-01) 2.250E+01 (5.105E-02) 5 5.354E+01 (4.670E-01) 5.256E+01 (3.401E-02) 8 2.009E+02 (1.068E+01) 1.366E+02 (2.491E+01) 10 2.409E+02 (5.502E+00) 1.410E+02 (2.428E+00) Minus-DTLZ2 3 2.033E-01 (8.563E-04) 2.015E-01 (6.908E-04)

5 6.410E-01 (4.979E-03) 6.335E-01 (1.633E-03) 8 1.131E+00 (3.231E-03) 1.122E+00 (4.688E-03) 10 1.594E+00 (7.909E-02) 1.255E+00 (1.587E-02) Minus-DTLZ3 3 1.289E+02 (7.071E-03) 1.279E+02 (9.334E-02) 5 4.068E+02 (7.085E-01) 4.006E+02 (2.210E+00) 8 7.428E+02 (1.354E+01) 7.257E+02 (7.849E-02) 10 1.364E+03 (9.100E+00) 8.945E+02 (3.034E+01) Minus-DTLZ4 3 2.049E-01 (3.041E-05) 2.036E-01 (5.869E-05)

5 6.493E-01 (1.676E-04) 6.429E-01 (8.280E-04) 8 1.125E+00 (7.566E-04) 1.124E+00 (8.627E-04) 10 1.557E+00 (1.204E-01) 1.814E+00 (8.459E-02) (6) NSGA-III-IPBI 混合 VaEA

如同 (3) 當中所提到的，NSGA-III 在改為使用 IPBI 函數作為搜尋方向後，

雖然在 Minus-DTLZ 問題上面的表現良好，但是在 DTLZ 上的表現就不佳，為 了解決這個問題，與 (5) 相同我們一樣引進 VaEA 的最大角度優先原則跟較差 淘汰原則來取代 NSGA-III-IPBI 中的挑選隨機解的部分。表 7 的數據結果也映

散程度外，與 NSGA-III-IPBI 的參考點機制也發揮了互補的作用，使得 DTLZ 問 題以及 Minus-DTLZ 問題的效能都得到提升。

(7) VaEA vs. NSGA-III+VaEA vs. NSGA-III-IPBI+VaEA

最後我們將 VaEA 與兩個混合演算法的數據進行比較，如表 8 所示。從表 8 中可以看出在 DTLZ 問題上 NSGA-III+VaEA 的演算法表現最佳，Minus-DTLZ 問題則是 VaEA 與 NSGA-III-PBI+VaEA 勢均力敵而 NSGA-III-IPBI+VaEA 略 為優異。

在 DTLZ 問題上 NSGA-III 原本的參考點設定就是均勻分布在柏拉圖前緣 上，因此 NSGA-III+VaEA 相當於是一開始就使用一組均勻的參考點作為初始參 考點的 VaEA，比 VaEA 原本挑選的 2m 個參考點分散程度更為良好，而少數的 挑選隨機解也由 VaEA 的選擇機制獲得改良，所以 NSGA-III+VaEA 在 DTLZ 問題上獲得最佳的成果；在 Minus-DTLZ 問題上，NSGA-III+VaEA 雖然同樣靠 著 VaEA 的選擇機制彌補參考點與柏拉圖前緣不符的問題，效能表現還是搜尋方 向較符合 Minus-DTLZ 柏拉圖前緣的 NSGA-III-IPBI+VaEA 較為優秀；值得注 意的是 NSGA-III-IPBI+VaEA 的效能表現與 VaEA 的差距並不明顯，原因應是 在 於 參 考 點 的 搜 尋 方 向 ， VaEA 的 搜 尋 方 向 為 往 理 想 點 逼 近 ， 比 NSGA-III-IPBI+VaEA 的 遠 離 天 頂 點 的 搜 尋 方 向 更 為 重 視 收 斂 程 度 ， 雖 然 NSGA-III-IPBI+VaEA 在初始參考點的選擇上比起 VaEA 更為符合問題的柏拉 圖前緣形狀，但是這份在分散程度上的優勢與較為劣勢的收斂程度互相抵銷，使 得兩者在 Minus-DTLZ 問題上的表現差異不大。

表 8：VaEA、NSGA-III+VaEA 與 NSGA-III-IPBI+VaEA 的 IGD 平均值和標 準差

Problem M VaEA NSGA-III+VaEA NSGA-III-IPBI+VaEA DTLZ1

10 1.383E+00