VaEA

VaEA 的基本流程如演算法 2，首先初始化數量為 N 的族群，每一代交配 產生 N 個子代之後，與親代組成 2N 的族群，對其進行非凌越排序，依照凌越 關係分成多個階層，從優先度最高的階層開始加入下一代的族群，最後有機會加

入的階層 F_l 會將前面所有已經加入下一代族群的解作為參考點進行關連的動作，

並且計算 Fl 中的解與最近的參考點之間的夾角；如果所有的解皆為非凌越解，

意即 Fl 的大小為 2N 時，VaEA 會挑選出 m 個與各目標方向上的向量夾角最 小的解以及 m 個適應值最小的解加入下一代的族群，同時此 2m 個解也成為參 考點，接著計算 F_l 中解與最近的參考點之間的夾角。最後依照最大角度優先原 則以及較差淘汰原則從 F_l 中挑選剩餘所需的解，最大角度優先原則挑選經過關 連之後在 F_l 之中與參考點之間夾角最大的解；較差淘汰原則檢查所有已經加入 下一代族群的解與 Fl 中解的夾角，如果小於設定的閥值則依據解的適應值來刪 除較差的解。每當有新的解進入族群，演算法就會將更新後的族群作為新的參考 點與 Fl 關連，使族群發揮相當於動態參考點的作用，藉由最大角度優先原則與 較差淘汰原則，VaEA 在收斂程度與分散程度之間取得平衡，接下來將詳細介紹 演算法的各個階段。

3.2.1 初始化階段

VaEA 只需要初始化族群，初始族群 P 使用均勻分布的隨機取樣產生 N 個 隨機的初始解，並且滿足問題的方塊限制。

3.2.2 繁殖階段

此階段會進行親代選擇以及交配與突變，反覆執行直到產生 N 個子代，由 親代與子代組成數量 2N 的族群 U。

(1) 親代選擇

VaEA 的親代選擇為隨機挑選兩個親代進行交配。

演算法 2 VaEA 基本流程 1: Initialize population P 2: Gen = 1

3: While Gen  Genmax do 4: Q = Reproduction(P) 5: U = P ∪ Q

6: Normalization(U)

7: P = Environmental_selection(U) 8: Gen = Gen + 1

9: End While 10: Return P (2) 交配與突變

交配方法使用模擬二進制交配法與多項式突變法 [4]，與 NSGA-III 同樣為 了避免產生的子代距離親代太遠，將模擬二進制交配法的分布指數設為大的數值，

使產生的子代較為靠近其親代。

3.2.3 環境選擇

(1) 族群正規化

VaEA 採用一般的正規化方法，首先對族群 U 進行目標向量 (objective vector) 的正規化，由 U 裡面的解在各目標方向上的最小目標值組成理想點 𝑍^𝑚𝑖𝑛= {𝑧₁^𝑚𝑖𝑛, 𝑧₂^𝑚𝑖𝑛, … , 𝑧_𝑚^𝑚𝑖𝑛}^𝑇, 𝑧_𝑖^𝑚𝑖𝑛 = min_𝑗=1~2𝑁𝑓_𝑖(𝑥_𝑗) , 𝑥_𝑗 ∈ 𝑈，以相同的方法將 解 在 各 目 標 方 向 上 最 大 的 目 標 值 組 成 天 底 點 (nadir point) 𝑍^𝑚𝑎𝑥 = {𝑧₁^𝑚𝑎𝑥, 𝑧₂^𝑚𝑎𝑥, … , 𝑧_𝑚^𝑚𝑎𝑥}^𝑇，有了這二個參考點之後，所有在 U 裡的解 xj 的 目標向量中每個目標方向的目標值可以經由以下算式正規化：

𝑓_𝑖^′(𝑥_𝑗) = 𝑓_𝑖(𝑥_𝑗) − 𝑧_𝑖^𝑚𝑖𝑛

𝑧_𝑖^𝑚𝑎𝑥− 𝑧_𝑖^𝑚𝑖𝑛 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚. (9)

在正規化的過程中也一併計算解的適應值，計算方式如下：

𝑓𝑖𝑡(𝑥_𝑗) = ∑ 𝑓_𝑖′(𝑥_𝑗)

𝑚

𝑖=1

. (10)

(2) 非凌越排序

經由非凌越排序將族群 U 分成多個階層 Fi，從最靠近柏拉圖前緣的階層開 始逐一加入族群 S 中，一次加入整個階層，如果在某一階層的解加入之後 S 的 數量剛好為 N，直接輸出 S 作為下一代的族群，除此之外繼續，直到某一階層 的解加入後 S 的數量超過 N (│S│  N)，這個最後被加入的階層 F_i 稱為 F_l。

(3) 關連

由於沒有事先設定的參考點，VaEA 的關連方法與 NSGA-III 不同，是將已 經加入下一代的族群 S 作為參考點與 Fl 中的解進行關連。對 Fl 中的每一個解 xj 找出在 S 中與其夾角最小的解 xk，將兩個解建立關連並且記錄此最小夾角的 數值，對於解 x_k 我們稱其為解 x_j 的目標解 (target solution)，標示為 T(x_j)。夾角 的計算可經由以下算式求得：

𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒(𝑥_𝑗, 𝑥_𝑘) ≜ arccos | 𝐹^′(𝑥_𝑗) ∙ 𝐹^′(𝑥_𝑘)

𝑛𝑜𝑟𝑚(𝑥_𝑗)𝑛𝑜𝑟𝑚(𝑥_𝑘)|. (11)

𝑛𝑜𝑟𝑚(𝑥_𝑗) ≜ √∑ 𝑓_𝑖^′(𝑥_𝑗)²

𝑚

𝑖=1

. (12)

𝐹^′(𝑥_𝑗) ∙ 𝐹^′(𝑥_𝑘) = ∑ 𝑓_𝑖^′(𝑥_𝑗) ∙ 𝑓_𝑖^′(𝑥_𝑘)

𝑚

𝑖=1

. (13)

如果非凌越排序的結果只有一個階層，即 F_l = U 的情況下，VaEA 會從 F_l 裡面挑出 m + m 個解形成族群 S ，前 m 個解選擇與 m 個目標方向的向量 (1, 0, … , 0)、(0, 1, … , 0) … (0, 0, … , 1) 擁有最小夾角的解，後 m 個選擇族群中適 應值最小的 m 個解，後 m 個解不與前 m 個解重複，大小為 2m 的 S 形成之 後同樣將這個族群 S 當作參考點與 F_l 中剩餘的解進行上述的關連操作。

(4) 選擇

此步驟需要從 F_l 中挑選出 │S│  N 個解，每一輪都會執行最大角度優先原 則演算法與較差淘汰原則演算法各一次，最大角度優先原則會將一個新的解加入 S，較差淘汰原則有機會取代 S 中一個解，重複執行直到 │S│ = N 為止。

最大角度優先原則會檢查 Fl 中所有解 xj 與其在 S 中關連的目標解 T(xj) 之間的最小夾角，選出擁有最大的最小夾角的解 x_ 加入 S 並且將其從 F_l 刪除。

當 S 與 F_l 各自被更新之後，需要重新計算兩邊的關連，由於這裡 S 只加入了 一個新的解 x_，所以只需要計算 F_l 中解 x_j 對於 x_ 的夾角，檢查這個新的夾角 angle(xj, x_) 是否比 angle(xj, T(xj)) 小，如果比較小就將 xj 的目標解更新為 x_ 並且記錄新的最小夾角的數值。

較差淘汰原則會檢查所有 F_l 中的解 xj 與其在 S 中的目標解 T(xj) = xk 的 最小夾角數值，如果小於演算法設定的閥值  = ((/2)N+1)，代表這二個解 x 與 T(x_) = x_r 在目標空間當中位於非常接近的搜尋方向上，這個情況下演算法會檢查 x_ 的適應值是否比 xr 好，如果比較好則讓 x_ 取代 xr，並將 x_ 從 Fl 移除。

取代結束之後需要對 S 與 Fl 進行關連的更新，更新的動作分為兩種情況：Fl 中 的解 x_j 的目標解為被取代的 xr，此時由於 x_ 取代了 xr 的位置，目標解直接置

換成 x_，所以只要計算 xj 與 x_ 的夾角數值並且更新最小夾角即可；如果 Fl 中 的解 xj 的目標解不為被取代的 xr，這種情況下需要檢查 xj 與 x_ 的夾角數值是 否小於 xj 與其目標解 T(xj) = xk 的夾角數值，如果比較小則需要將 xj 的目標解 更新為 x_ 並且記錄夾角數值。