多目標最佳化演算法

第二章背景回顧

2.4 多目標最佳化演算法

現實生活中很多設計或決策的問題需考慮多個以上的需求，像是數位浮水印必須考慮的需求就有不可見性與強韌性，而單目標基因演算法無法完全兼顧到各個需求的多樣性。

2.4.1 多目標最佳化問題

一個多目標最佳化問題(multi-objective optimization problem, MOOP)，即是將數個目標函數(objective function)最大化或最小化。可以下式來概述一個多目標最佳化問題[49]：

Min/Max fm

( )

^x^, m=1,2,,M

(2-7) subject to g_v

( )

x ≥⁰^, v=1,2,,V

( )

x =⁰^,

hw w=1,2,,W ⁱ=¹^,²^,^^,ⁿ

其中 x 為一決策變數向量：x=

(

x1,x2,,x_n

)

^T，向量中的每個元素稱之為決策變數(decision variable)，每個決策變數皆有自己的上界(upper bound)x_i^{( )}^U 和下界 (lower bound)x_i^{( )}^L，由x_i^{( )}^U 和x_i^{( )}^L界定的空間稱之為決策空間(decision space)。g_v

( )

x 和h_w

( )

x 為限制函數(constraint function)，用來界定決策變數的可行解區域。若有一解x⁽¹⁾滿足上下界限，且滿足限制函數，則解x⁽¹⁾稱為可行解(feasible solution)；

( ) ( )

U ,

i i L

i x x

x ≤ ≤

否則稱之為不可行解(infeasible solution)。 f_m

( )

x 為目標函數，M 個目標函數構成 一個多維的空間，將之稱為目標空間 (objective space) ，目標空間的點以

(

1(x), 2(x), , (x)

)

z= f f  f_M 表示之。決策空間中的每一個解 x，在目標空間中會 存在一點 z 與其相對應。圖 2.13 為決策空間與目標空間的對應示意圖。

決策空間目標空間

x₁

x₂

x₃

f₁ f₂

決策空間目標空間

x₁

x₂

x₃

f₁ f₂

圖 2.13：決策空間與目標空間之對應圖[49]

2.4.2 多目標最佳化概念

Deb[49]訂定了一個理想的多目標最佳化程序。透過多目標最佳化演算法求取一組具多樣性的最佳解集合，使用者再依各自的需求從解集合中挑選一個最佳解。

許多多目標最佳化演算法中，都運用「支配」(domination)這個概念評估解 答的好或壞。假設在一最佳化問題中，有 M 個目標函數，若解 i 在某特定目標函 數中優於解 j，則以 i  j 表示之；反之，以 i  j 表示之。支配的定義如下：

若一解x⁽¹⁾支配另一解x⁽²⁾，則必須滿足下列兩個條件：

1. 解x⁽¹⁾在所有的目標函數中都不比解x⁽²⁾差。

( )

^x( )¹ j

( )

^x^{( )}²

j f

f / ，對所有 j=1,2,,M 2. 解x⁽¹⁾至少在一個目標函數中優於解x⁽²⁾。

( )

^x( )¹ _j

( )

^x^{( )}²

j f

f  至少有一個 j∈

{

1,2,,M

}

當兩解無法滿足支配條件時，我們稱之為非支配解(non-dominated solution)。假設有一多目標最佳化問題，其目標函數有兩個，且在目標空間中有五個不同的解，如圖 2.14 所示。以解 2 和解 3 為例，解 2 在所有的目標函數中皆優於解 3，

滿足上述的支配條件，故解 2 支配解 3；以解 2 和解 5 為例，解 2 的f1目標函數 優於解 5，且解 5 的f₂目標函數不比解 5 差，因此滿足支配條件，故解 2 支配解 5。

f₁(minimize) f₂(minimize)

圖 2.14：多目標問題中的五個解

支配的概念可以應用於比較解答之間的好壞，所以很多運用支配概念的多目標最佳化演算法，其目的就是要找出非支配解。由非支配解所組成的解集合 (non-dominated set)在視覺上會構成一個非支配前緣(non-dominated front)，非支配前緣有層級(rank)之分。層級 1(rank1)上的非支配解優於層級 2(rank2)上的非支配解，層級 2(rank₂)上的非支配解優於層級 3(rank₃

圖 2.15

)上的非支配解，以此類推；層級 1 的非支配解集合又稱為柏拉圖最佳集合(pareto-optimal set)，柏拉圖最佳集合中的解又稱為柏拉圖最佳解(pareto-optimal solution)。以為例，六個解經過非支配排序後，可得到三個非支配前緣，其中解 2、4、5、7 所構成的是非支配前緣層級 1，解 1、3 所構成的是非支配前緣層級 2，解 6 所構成的是非支配前緣層級 3。

f₁(minimize) f₂(minimize)

圖 2.15：非之配解集合所構成的非支配前緣示意圖

在文檔中應用多目標基因演算法改善離散餘弦結合奇異值分解之數位浮水印技術 (頁 23-26)

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2.4 多目標最佳化演算法

2.4.1 多目標最佳化問題

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

2.4.2 多目標最佳化概念

( )

( )

( )

( )

{

}

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