多起始點方法

一般最佳化方法，是採用單起始點方式來搜尋極小值，而其所獲 得之極小值亦僅是區域局小值，並無法確認是否獲得總域之極小值。

而本文之方法正是要改善此一困境，利用隨機多起此點搜尋方式，可 以增加搜尋獲得上、下限範圍內之各個區域極小值的機會。且以能量 守恆的觀念來計算出目標函數值(亦即為質點位能)，其迭代過程容許 目標函數些微上升的解，使目標函數可從區域極小值中跳脫，找到總 域極小值，詳如3.3 節之區域極小化程序所述。

在最佳化設計中取多起始點的方法，乃是針對設計變數x 的合理_i 區間（上、下限）內，利用隨機取樣的方式取出一系列的起始點，並 且以此為開始做搜尋軌跡方式，找出其區域極小值。而在文中取多起 始點的方式，乃應用 IMSL 軟體的 RNUN 副程式，對設計變數x 於_i 上、下限區間範圍內，以隨機取樣的方式選取初始猜測值。如此我們 可以找出一些區域極小值 F_j 以及對應的區域極小點x_j。接著我們要 從中找尋總域極小值 F^*，其須滿足下列的式子：

F^* =min{F_j} (3-2)

3.3 區域極小化程序（Local Minimization Procedure）

由多起始點之方式，隨機找出初始值 x，而x X∈ ⊂ Rⁿ，使用搜 尋軌跡方式是基於單位質量的質點在 n 維保守力場中的運動方程式及 初始條件而來，如下所示：

( )x t_&& = −∇F x( ( ))t (0) 0

x = ；x (0) 0x_& = (3-3)

然後以能量守恆的觀念來計算出目標函數值，其中 為質點位

能，也是計算中的目標函數（如圖 3-1 所示），

( ( )) F x t

x_{& 、}&&分別表示質點x 在n 維空間上的速度與加速度。

將（3-3）式乘以 ( )x t& ，可以得到 1 2

( ) ( ( )) ( )

2 d T

x t F x t x t dt

⎛ ⎞ = −∇

⎜ ⎟

⎝ ^& ⎠ ^& (3-4)

再將（3-4）式對時間 t 做積分，範圍從 0 到 t，便可得到能量守恆關

動能減少，所以質點軌跡移動的方向應往相反方向搜尋。

[ ]

[ ]

* ( 1)!(2 )!

( ) ( ) ( , ) 1

(2 1)!( )!

r

n n r

P F x F x q n r

n n r

+ −

⎡ = ⎤ ≥ = −

⎣ ⎦ + − ^(3-10)

其中本文取 之值為 0.99。當時 則視為收斂，則可得到總 域極小值

q* q n r( , )≥q^* ( )

F x 及其對應之最佳設計變數值x。

3.5 廣 義 拉 格 蘭 吉 乘 子 方 法 （ Augmented Lagrange Multiplier Method） ：（簡稱 A. L. M.）

A.L.M. [29] 方法其主要的目的是要將原始問題中的等式及不等

式的限制條件先加上放鬆變數，再與等式限制條件，各別乘上一個拉 格蘭吉乘子，加入原始的目標函數中，如此原始具限制條件的目標函 數 F(x)，將變成無限制條件的新目標函數ψ

(

x,μ,η,γp

)

，A.L.M.區域 極小化流程如圖 3-4所示。本文研究是以 A.L.M.、多起始點、總域極 小化理論程序，並配合實驗測量方法，將其運用在識別彈性支撐複合 材料積層板或三明治層板之材料常數。有關 A.L.M.方法及材料常數識 別過程於第五章中會有詳細介紹。且對測試之複合材料結構不會有任 何破壞性，尤其是正在使用中之機具其材料結構常處於動態負荷中，

若要進行安全評估與可靠度計算，本文研究方法是非常適用的。因 此，本文研究方法在工業上結構系統之檢測極具發展潛力。

第 四 章 實 驗之安裝與試驗

4.1 複合材料積層板標準試片之製作與拉伸試驗

本 文 所 使 用 的 複 合 材 料 積 層 板 ， 是 碳 纖 維 / 環 氧 樹 脂 (graphite/epoxy（Gr/ep ）)其 單 位 米 平 方 總 重 （ PAW ） 及 碳 纖 維 重

（FAW）分別為 221±0.5 g/m²、150 g/m² ，含膠量（RC）為 32% 之 預浸布，首先將預浸布從冷凍庫取出經解凍約 4 小時，再將預浸布依 基準邊與纖維方向成 0 度與 45 度方向分別裁下 30x30cm的方形纖維 預浸布各數片，依據ASTM標準規範 [58]，取 0 度纖維預浸布依相同 方向相互疊壓合成 之試片；取 90 度纖維預浸布依相同方向相互 疊壓合成 之試片；再取纖維角度 45 度之纖維預浸布以+45 度 與-45 度角交叉疊成 之試片。將疊好及壓平之方形碳纖維預浸 布與各種輔助材料，依列整齊放在鐵模中，等待熱壓機（如圖 4-1 所 示）上、下平臺溫度達到 80℃時，再將其放入熱壓機之平臺，起動熱 壓機油壓開關慢慢壓合，並且依圖 4-2 設定時間-溫度關係與溫度-壓 力關係來控制複合材料積層板成型條件。待試片成型硬化，關掉熱壓 機之溫度開關，但壓力暫不可洩掉，待試片溫度降至室溫後，再取出 積層板。

[0 ]^o 8

[90 ]^o 16

[ 45 ]± ^o ₂S

將上述已成型纖維 0 度角之複合材料積層板，根據 ASTM 標準規 範 [58]，以切割機（如圖 4-3 所示）切下 228mm × 12.7mm 之長條形 數條，試片兩端上、下表面以 AW106 之 AB 膠貼上長 40mm、寬 12.7mm 已導角邊之護片（如圖 4-4 所示）。同理沿纖維橫向 90 度切

割 228mm × 25.4mm 之試片數條與纖維正、負 45 度角試片切割 228mm × 25.4mm 數條也貼上長 40mm、寬 25.4mm 已導角邊之護片，

並利用長尾夾將其壓緊促使空氣流出，等待一天使膠完全硬化黏合 後，再將切割好的試片，以丙酮溶劑清潔試片表面。然後在試片的中 央位置，以快乾膠貼上雙軸向應變規（Strain Gage）。

上述已製作完成標準拉伸試片，經 MTS 萬能拉伸試驗機（如圖

結果取平均值並計算其變異數（如表 4-1 所示），表中 C.O.V. 即為變 異數（Coefficient of Variation）。

4.2 彈性支撐複合材料平板振動實驗之安裝與自然頻率量測

將不同尺寸之複合材料平板其邊界以彈性墊片緊密結合於框架 上，並將加速規（Accelerometer）黏貼於複材平板幾個不同的位置 上 ， 並 利 用 手 持 式 衝 擊 鎚 （ Hammer ） (Kistler 9722A500, Kistler Instrument, USA) 敲擊試片上數個不同的位置激發試片，衝擊鎚上有 力量轉換器（Kistler 9904A, Kistler Instrument, USA），而黏貼於試片 上之加速規 (AP19, APTechnology, Netherland) 接收振動訊號。衝擊鎚 與加速規兩者訊號再傳輸至頻譜分析儀 B&K 3560C，這些頻率響應 函數應用 B&K PULSE LabShop Version 6.1 軟體進行頻譜分析，其配 置如圖 4-6 所示。經由多點的敲擊激發產生振動訊號，再進行頻譜分 析並將其結果作平均，最後可以得到自然振動頻率之實驗測量值。複 合材料平板因非等向性材料且層與層之間以環氧樹脂膠合，對頻譜分 析測量自然頻率較傳統金屬等向性材料的測量困難，起因於纖維排列 與層間之環氧樹脂膠，容易引起雜訊與假像。要清晰確認自然頻率的 位置，除了在類比數位訊號轉換器前，需要先加上精良的濾波器外，

還需要經由多次不同頻寬與解析條數的測試；藉由放大信號、多點觸 發信號平均等方式改善、去除量測時各種雜訊的干擾，通常雜訊產生 是隨機型態（Random noise），因此雜訊所造成的頻率與相位也是任 意的，此種雜訊可以經由取平均值方式來改進，信雜比愈差所需要的 平均次數愈多。一般平均皆是對頻率域信號來處理，若要處理時間域

信號的平均最好配合觸發條件，以確保每次時間域之相位相同。

本文測量自然頻率，以每次測量之功率頻譜（Autospectrum）信 號加以平均（Linear average）。先估計測量試片前幾個(積層薄板為六 個、三明治平板為八個)自然頻率所在的頻寬，設定好取樣頻寬後，

接下來設定快速傅利葉轉換條數(建議從較少條數測量起，再逐步調 高快速傅利葉轉換條數，這樣有助於判斷頻譜分析儀所顯示的所有頻 率是否有遺漏之模態)。敲擊鎚其頭部之選用(每一種敲擊鎚之頭部硬 度不同可激發不同頻寬之自然頻率，可查閱硬體使用手冊；建議可以 將幾種接近分析頻寬之敲擊頭使用數次，觀察、比對所測結構件之自 然頻率，再找出最適當的敲擊鎚之頭部)，視所需的頻率範圍而定，

本實驗是選取最軟之塑膠敲擊頭，因為本文有興趣的頻率是在低頻範 圍，如此將可增加此頻率範圍之準確度。另外；必須注意加速規的選 用重量不要超過測試試片重量之十分之一(本實驗所用之加速規只有 0.14g)，才不致於產生平板外掛一集中質量的現象，導至所測量之自 然頻率較低。且加速規貼在平板背後的位置最好不要在被測試片自然 振形(Mode shape)的節線或節點上，為避免上述情形可將加速規貼的 位置先行規劃並標示，測試幾個不同位置，並觀察自然頻率之變化情 形。

4.3 邊界彈性墊片支撐之模擬

考慮複合材料平板長寬為a₀ × b0，首先將其四個邊界以長條狀之 彈性墊片支撐固定於框架上（如圖 2-4A所示），考慮彈性墊片寬度 為b_e的影響，於理論分析時複合材料平板是以長寬為a × b，且以等效

力作用於彈性墊片的寬度中心來進行模擬（如圖 2-4B所示）。尺寸

4.3.2 等效單位長度之扭轉彈簧常數（the torsional spring constant）

同樣由圖 4-7B，等效單位長度之扭轉彈簧常數R的推導如下 : 假設彈性墊片其邊界處的應變為 ε_o=

he

Δ ，則任一位置 x 處之應變ε_x

εx=

是探討複合材料三明治板於不同疊層角度、邊界支撐下，與文獻 [63~66]或商業軟體 ANSYS（使用 shell 91 元素）之比較，由結果可以 看出本文方法較文獻或 ANSYS 更為精確。因此可以確認本文里茲方 法於自然頻率分析之正確性。

接著再以實驗測量方式，確認本文理論分析與實驗量測之正確 性，以下將應用兩個實例來驗證。首先探討等向性、均質材料鋁合金 6061-T6，11cm × 11cm × 1.99mm 方形平板，經由頻譜分析儀多次測 量其最低前三階自然振動頻率之平均值為：

F1 = 526Hz； F2 = 772Hz； F3 = 983Hz (4-9) 圖 4-8 為其頻譜（Autospectrum）圖，由圖中之數個尖峰（Peak）頻 率，即為其自然振動頻率。而由廠商所提供之材料性質表查得鋁合金 6061-T6 材質其彈性常數：

E=68.6GPa； G=25.79GPa； ρ =2710kg m/ ³ (4-10) 將此彈性常數以里茲方法進行自然頻率分析，則可得

F1 = 531.45 Hz (-1.03 %)； F2 = 775.59 Hz (-0.46 %)；

F3 = 983.04 Hz (0 %) (4-11) 括號中之數值代表與（4-9）式實驗值之相對誤差。

再來是探討彈性支撐之複合材料積層板疊層角度為 來驗證，

其材料性質已先由 ASTM 拉伸試驗獲得(如表 4-1 所示)，平板原始幾 何尺寸為 21cm × 21cm × 1mm，其邊界由寬度 為 5mm 和 厚度 為 2.1mm 之彈性墊片所支撐，而墊片之彈性常數

[0 ]^o 8

be h_e

Ee為 2.028Mpa。在理 論分析時，首先如 4.3 節所敘述之方法，將平板之尺寸以 20.5cm ×

20.5cm × 1mm 來模擬，而邊界支撐之等效單位長度平移 、扭轉彈 簧常數

KL

KR，則分別為(4-8)式的K_L =E b h_{e e}/ _e =4.82857 10× ⁶N m/ ² 、(4-11)式的K_R =E b_{e e}³/(12 )h_e =10.0595 N 。經由頻譜分析儀多次測量其最 低前六個自然振動頻率之平均值為：

F1 =120 Hz； F2 = 187 Hz； F3 = 311 Hz；

F4 =417 Hz； F5 = 467 Hz； F6 = 490 Hz (4-12) 圖 4-9 為其頻譜圖，由圖中之數個尖峰（Peak）頻率，即為其自然振

F4 =417 Hz； F5 = 467 Hz； F6 = 490 Hz (4-12) 圖 4-9 為其頻譜圖，由圖中之數個尖峰（Peak）頻率，即為其自然振

在文檔中 彈性支撐複合材料板結構系統參數之識別 (頁 53-0)