彈性支撐複合材料板結構系統參數之識別

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(1)國立交通大學機械工程學系博士論文. 彈性支撐複合材料板結構系統參數之識別 Parameters Identification of Flexibly Supported Composite Plate Structures. 研究生：李清榮指導教授：金大仁教授. 中華民國九十五年三月.

(2) 彈性支撐複合材料板結構系統參數之識別 Parameters Identification of Flexibly Supported Composite Plate Structures 研究生：李清榮. Student：Ching-Rong Lee. 指導教授：金大仁教授. Advisor：Tai-Yan Kam. 國立交通大學機械工程學系博士論文. A Dissertation Submitted to Department Mechanical Engineering College of engineering National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Doctor of Philosophy in Mechanical Engineering March 2006 Hsinchu, Taiwan, Republic of China 中華民國九十五年三月.

(3) 彈性支撐複合材料板結構系統參數之識別. 研究生：李清榮. 指導教授：金大仁教授. 國立交通大學機械工程學系. 摘. 要. 由於複合材料在相同重量條件下，具有很高之強度和剛性。已廣泛使用於航空和太空工業與其他尖端科技產業上，製造出各種高性能之結構物。對於不同的製造或成型方式都會對其構件之材料性質造成影響；而且結構物通常是由許多部分所組成，複合材料平板可能只是其中一個構件，通常可藉由不同型式的接點和其他結構件結合在一起，而在力學上可以用等效之彈性支撐方式來模擬其接點處之性質。且若要精確預知此結構物之力學行為，則先要有真實的材料常數與邊界支撐之性質。因此，如何有效且正確的反算出其結構系統參數是非常重要的。本文首先建立彈性支撐複合材料平板的振動分析，利用里茲法將板之變形以級數方式表示，而變形特徵函數則採用雷建德正交多項式函數組成。建立彈性支撐平板之總勢位能，並對其變形函數未定係數. i.

(4) 變分，可以建立振動特徵方程式，再求解此方程式，即可得到板之自然頻率、模態。文中主要探討兩大類複材板：一是複合材料積層板；另一則是複合材料三明治板。在複合材料積層板部分，考慮積層薄板和積層厚板兩種，而其所使用之理論分別為古典積層板理論與一階剪變形理論；而複合材料三明治板部分則是使用分層理論，亦即多層一階剪變形理論。複材板的邊界是以長條狀墊片彈性支撐，積層薄板部分是考慮四個邊界全部彈性支撐，或同時板中央還有彈簧支撐，還是部分彈性支撐等情形；積層厚板時，則考慮單邊彈性支撐；而複合材料三明治板，則考慮四邊全部彈性支撐。接著利用限制性總域極小化程序，以廣義拉格蘭吉乘子方法，將原先有限制條件之最小化問題，轉變成無限制條件之最小化問題。配合振動實驗測量與里茲方法理論分析，建立實驗與理論之自然頻率差值最小平方為目標函數，並採隨機多起始點搜尋、設計變數單位化及貝氏分析法，以非破壞性方式識別彈性支撐複合材料板結構之系統參數。並藉由識別各種彈性支撐複合材料積層板與三明治板試片為範例，說明本方法之可行性與精確性。本文之研究方法，將可輕易應用於其他不同型式彈性支撐結構之系統參數識別。. ii.

(5) Parameters Identification of Flexibly Supported Composite Plate Structures Student：Ching-Rong Lee. Advisor：Dr. Tai-Yan Kam. Department of Mechanical Engineering National Chiao Tung University. ABSTRACT Due to their high strength/stiffness to weight ratios, the fiber reinforced composite. materials. have. become. important. in. weight-sensitive. applications like aeronautical and aerospace industry as well as many other fields of modern technology to fabricate high performance structures. As well known, there are many methods for manufacturing laminated composite components and different manufacturing or curing processes may produce different mechanical properties for the components. And the composite plates in these structures are connected to other members using different joining methods. One popular way to analyze the mechanical behaviors of the composite plates is to consider the plates being supported at the boundary by equivalent elastic restraints. The attainment of the actual behavioral predictions of the flexibly supported composite plates, however, depends on the correctness of the system parameters such as the elastic constants of the plates and the spring constants of the elastic restraints at the plate boundaries. Therefore, the determination of realistic material and spring constants of laminated composite components has become an iii.

(6) important topic of research. In this paper several methods are proposed for vibration analysis of elastically restrained rectangular symmetrically laminated composite thin or thick plates and the laminated composite sandwich plates. The methods are constructed based on the Rayleigh-Ritz method in which the deformation characteristic functions are expressed as the Legendre’s orthogonal polynomials. The displacement models of the thin or thick laminated composite plates and laminated sandwich plate are constructed on the basis of the classical laminate plate theory (CLPT) or the first-order shear deformation theory (FSDT) and the layer-wise linear displacement theory, respectively. Extremization of the functional, the total potential energy, with respect to the displacement coefficients leads to the eigenvalue problem. The solution of above equation gives the theoretical natural frequencies of flexibly supported composite plates. The Rayleigh-Ritz method is then used to study the free vibration of different kinds of plates with various supporting conditions such as thin laminated composite plates supported by strip-type elastic pads around the peripheries of the plates with or without center elastic supports, thin plates partially supported by edge elastic restraints, thick laminated composite plates partially supported by edge elastic restraints, and laminated sandwich composite plates supported by strip-type elastic pads around the peripheries of the plates. In this paper, a constrained minimization method is presented for the nondestructive parameters identification of flexibly supported composite plate structures. A frequency discrepancy function is established to measure the sum of the differences between the experimental and theoretical predictions of natural frequencies of the elastically restrained laminated composite plates. The use of a multi-start global minimization method to identify the iv.

(7) elastic constants by making the frequency discrepancy function a global minimum, and a design variables normalization technique for expediting the convergence of the search of the global minimum. The accuracy and applications of the proposed method are demonstrated by means of several examples. The present method can be extended without difficultly to the material and spring constants identification of other types of structures.. v.

(8) 誌謝承蒙吾師金大仁博士的耐心指導與教誨，使本文得以順利完成，並且學習到為人處世及求學之正確態度，在此致上無限的感激與敬意。同時要感謝蕭國模、蔡佳霖、林世章、張瑞榮、佘海豐、賴峰民和吳家宏等博士的細心審閱全文，並提供寶貴意見。感謝爸爸、媽媽、愛妻雪玉及女兒欣芸、映儒，對我求學的全力支持、體諒包容，讓我可以全力以赴、無後顧之憂地完成學業。另外，要感謝空軍官校教學部航機系堯年主任、健康學長、海明學長、唐傑和其他師長們的關懷與鼓勵，以及航太系梁燕祝老師在實驗方面的熱心協助。此外，要感謝實驗室偉芬學姐、志明學長、士璋、曉強、永剛、俊行、財維、東恩、正義、坤森、鎮隆、志鴻、國晉、巧鈴、昌毅、于昇、崧任、建郎、維成，在學業上的切磋與照顧，使我能克服學業和研究上的困難；建勳、慶博、欣翰、哲偉、加融、耀文、國真、聖傑、永立和魁原，在生活上的協助；更感謝張馨櫻小姐在實驗室期間的關懷和協助，讓我感受到實驗室的溫暖。僅以此文獻給所有關心我的家人、師長和朋友們。李清榮. 謹誌. 2006.4 于交大. vi.

(9) 目. 錄. 中文摘要…………………………………………………………………. i 英文摘要…………………………………………………………….. iii 誌謝 ………………………………………………………………… vi 目錄 ………………………………………………………………… vii 表目錄 ……………………………………………………………… x 圖目錄 ……………………………………………………………… xii 符號說明………………………..…………………………………… xiv 第一章緒論……………………………………………………………. 1 1.1 前言…………………………………………………………….. 1 1.2 文獻回顧 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 2 1.3 研究方法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . . 4 第二章彈性支撐複合材料平板的振動分析……...…………………… 6 2.1 複合材料古典平板理論……………………………………….. 6 2.1.1 位移場與應變…………………………………………….. 6 2.1.2 應力與應變關係………………………………………….. 8 2.1.3 平板的應變能與動能…………………………………….. 11 2.1.4 平板邊界彈性支撐的應變能…………………………….. 11 2.1.5 瑞雷－里茲法與特徵值、特徵向量…………………….. 13 2.2 複合材料一階剪變形平板理論…………………………….…. 15 2.2.1 位移場與應變…………………………………………….. 15 2.2.2 應力與應變關係………………………………………….. 16 2.2.3 平板的應變能與動能…………………………………….. 19 2.2.4 平板邊界彈性支撐的應變能…………………………….. 20 2.2.5 瑞雷－里茲法與特徵值、特徵向量………………….…. 21 2.3 複合材料多層一階剪變形平板理論……………………….…. 24 2.3.1 位移場與應變…………………………………………….. 24 2.3.2 應力與應變關係………………………………………….. 28 vii.

(10) 2.3.3 平板的應變能與動能…………………………………….. 28 2.3.4 平板邊界彈性支撐的應變能…………………………….. 29 2.3.5 瑞雷－里茲法與特徵值、特徵向量…………………..… 30 第三章最佳化總域極小值理論………………………………………... 32 3.1 最佳化設計…….………………………………….…………… 35 3.2 多起始點方法…….….………………………………………… 36 3.3 區域最小化程序……..………………………………………… 37 3.4 總域最小化程序…….……………….………………………… 39 3.5 廣義拉格蘭吉乘子方法……………………………………..… 40 第四章實驗之安裝與試驗……………………………………………... 41 4.1 複合材料積層板標準試片之製作與拉伸試驗………………. 41 4.2 彈性支撐複合材料平板振動實驗之安裝與自然頻率量測…. 43 4.3 邊界彈性墊片支撐之模擬……………………………………. 44 4.3.1 等效單位長度之平移彈簧常數………………………….. 45 4.3.2 等效單位長度之扭轉彈簧常數………………………….. 45 4.4 自然頻率實驗量測與理論分析之驗證………………………. 46 4.5 三明治板於不同長寬比、心層材料與邊界彈簧剛性對自然頻率之影響………………………………………………………. 48 第五章反算識別彈性支撐複合材料平板之材料常數………………... 50 5.1 反算方法之簡介………………………………………………. 50 5.2 反算方法之建立………………………………………………. 50 5.3 反算方法之測試………………………………………………. 57 第六章結果與討論……………………………………………………... 60 6.1 彈性支撐複合材料積層板之材料常數反算…………………. 60 6.1.1 複合材料積層薄板四個邊界為連續且形成封閉之彈性 61 支撐或同時具有中心彈簧支撐………………………….. 6.1.2 複合材料積層薄板四個邊界為部分彈性支撐 ………… 65 6.1.3 複合材料積層厚板單邊彈性支撐 ……………………… 67 6.2 彈性支撐複合材料三明治板之材料常數反算.…..…..……… 69 viii.

(11) 第七章結論與未來展望………………………………………………... 73 參考文獻 …………………………………………………………… 75 附錄一 ……………………………………………………………… 83 附錄二 ……………………………………………………………… 85. ix.

(12) 表. 目. 錄. 表 4-1. 複合材料積層板與邊界支撐之材料常數…………………... 88. 表 4-2. 彈性支撐複合材料積層板之自然頻率計算………………... 88. 表 4-3. (a) 簡單支撐正方形複合材料積層厚板 [00 / 900 ]S 之第一個自然頻率 (b)彈性支撐正方形複合材料積層厚板( h / b =0.03)之自然頻率…. 89. 表 4-4. 複合材料三明治板具有不同邊界條件之自然頻率………... 90. 表 4-5. 彈性支撐 ⎡⎣ (0 o / 90 o ) S / core ⎤⎦ S 板於不同長寬比和心層材料之正規化自然頻率………………………………………………... 91. 表 4-6. 彈性支撐 ⎡⎣(45o /− 45o )S /core ⎤⎦S 板於不同長寬比和心層材料之正規化自然頻率…………………………………………………... 92. 表 6-1. 複合材料積層板結構試片編號、疊層角度、幾何尺寸與密度… 93. 表 6-2. 複合材料積層板結構試片之編號及實驗量測所得自然頻率值…………………………………………………………... 93. 表 6-3. 彈性支撐積層板層數為六層，使用不同數目頻率之反算結果.. 94. 表 6-4. 彈性支撐積層板層數為八層，使用不同數目頻率之反算結果… 95. 表 6-5. 彈性支撐積層板層數為十二層，使用不同數目頻率之反算結果... 96. 表 6-6. 複合材料積層板試片 [00 ]6 其反求之局部與總域極小值….. 96. 表 6-7. 彈性支撐積層板層數為六層之反算…..……………………. 97. 表 6-8. 彈性支撐積層板層數為八層之反算…..………..................... 97. 表 6-9. 彈性支撐積層板層數為十二層之反算…………….....…….. 98. 表 6-10. 複合材料積層板具有中間彈簧支撐之自然頻率實驗值…... 98. 表 6-11. 具有中心彈簧支撐之[00 ]8 積層板，使用不同數目實驗頻率之反算… 99. 表 6-12. 具有中心彈簧支撐之積層板，使用實驗頻率之反算結果….... 100. 表 6-13. 複合材料積層板邊界部分支撐之自然頻率實驗值………... 100. 表 6-14. Gr/ep ⎡⎣0o / 90o / 0o ⎤⎦ 2 S A 型式部份彈性支撐之自然頻率理論值… 101. 表 6-15. Gr/ep ⎡⎣0o / 90o / 0o ⎤⎦ A 型式部份彈性支撐 Ee =1 Mpa 之理論 2S. 頻率反算…………………………………………………....... 101 x.

(13) 表 6-16. Gr/ep ⎡⎣0o / 90o / 0o ⎤⎦ 2 S A 型式部份彈性支撐 Ee =15 Mpa 之理論. 表 6-17. Gl/ep ⎡⎣0o / 90o / 0o ⎤⎦ 2 S A 型式部份彈性支撐之自然頻率理論值… 102. 表 6-18. Gr/ep ⎡⎣0o / 90o / 0o ⎤⎦ A 型式部份彈性支撐以理論頻率之反算.... 103. 頻率反算…………………………………………………....... 102. 2S. 表 6-19. Gr/ep ⎡⎣0o / 90o / 0o ⎤⎦ A 型式部份彈性支撐以實驗頻率之反算... 103 2S. 表 6-20. Gr/ep 複材板不同型式部份彈性支撐以實驗頻率之反算…. 104. 表 6-21. 複材積層板單邊彈性支撐之自然頻率實驗值 ……………. 104. 表 6-22. Gr/ep 或 Gl/ep 複材板單邊彈性支撐之自然頻率理論值….. 105. 表 6-23. Gr/ep ⎡⎣0o ⎤⎦ 60 複材板單邊彈性支撐以理論頻率之反算………. 105. 表 6-24. Gl/ep ⎡⎣ 0 o. 表 6-25. 複材積層板單邊彈性支撐以實驗頻率之反算……………... 106. 表 6-26. 彈性支撐 Gr/ep 三明治板之自然頻率值………………….... 107. 表 6-27. 彈性支撐 Gr/ep ⎡⎣0o3 /core(I ) / 0o3 ⎤⎦ 三明治板以理論頻率之反算... 108. 表 6-28. 彈性支撐 Gl/ep 複合材料三明治板之自然頻率理論值….... 109. 表 6-29. 彈性支撐 Gl/ep 三明治板以理論頻率之反算…….………... 109. 表 6-30. 彈性支撐 Gr/ep ⎡⎣030 / core(I)/030 ⎤⎦ 三明治板以實驗頻率之反算..... 110. 表 6-31. 彈性支撐 Gr/ep 三明治板以實驗頻率之反算…….………... 110. / 9 0 o ⎤⎦. 15S. 複材板單邊彈性支撐以理論頻率之反算.. 106. xi.

(14) 圖. 目. 錄. 圖 2-1. 複合材料古典板理論位移場示意圖………………………... 111. 圖 2-2. 層板座標與材料主軸座標的關係…………………………... 111. 圖 2-3. 複合材料層板沿厚度方向單位長度之合力與合力矩……... 112. 圖 2-4. 四邊彈性支撐矩形層板幾何尺寸示意圖 (A) 結構系統模型 (B)理論分析數學模型….……………………………….. 113. 圖 2-5. 一階剪變形位移場示意圖…………………………………... 113. 圖 2-6. 多層一階剪變形位移場示意圖……………………………... 114. 圖 3-1. 以能量守恆觀點，若起始點落於 R* = Y1 ∪ Y2 ∪ Y3 ∪ Y4 內，皆可成功搜尋到目標函數之總域最小值 X * 。…………….. 114. 圖 3-2. 區域極小化流程圖 (BLOCK 1)………………….………. 115. 圖 3-3. 總域極小化流程圖………………….……………………. 116. 圖 3-4. A.L.M. 區極小化流程圖 (BLOCK A) …………………... 117. 圖 4-1. 熱壓機……………………………………………………. 118. 圖 4-2. 複合材料積層板成型溫度及壓力條件………………….... 118. 圖 4-3. 鑽石切割機………..……………………..…………………. 119. 圖 4-4. 拉伸試驗之複合材料積層板試片外形..……..…………….. 119. 圖 4-5. MTS 拉伸試驗機………………...…..…………………….. 120. 圖 4-6. 自然振動頻率量測實驗之儀器配置圖…………………..…. 120. 圖 4-7A 彈性墊片受垂直力圖……………………......………………. 121 圖 4-7B 彈性墊片受彎矩圖……..…………………….……………… 121 圖 4-8. 鋁板四邊為自由邊界之頻譜圖……………………………... 122. 圖 4-9. 複材積層板 [00 ]8 四邊以彈性支撐之頻譜圖……………..…. 122. 圖 6-1. 複合材料積層薄板彈性支撐示意圖 (a)四個邊界為連續且形成封閉之彈性支撐(b)同時具有中心彈簧支撐………….. 123. 圖 6-2. 不同型式之複材積層薄板部分彈性支撐示意圖…..……..... 123. 圖 6-3. 複材積層板 [0o / 90o / 0o ]2 S 以 A 型式部分彈性支撐之頻譜圖 124. 圖 6-4. 複合材料積層厚板單邊彈性支撐之示意圖…..……..……... 124. 圖 6-5. 複材積層板 Gr/ep [00 ]60 單邊彈性支撐之頻譜圖………….. 125 xii.

(15) 圖 6-6. 彈性支撐複合材料三明治板之示意圖…..……..…………... 125. 圖 6-7. 彈性支撐 Gr/ep ⎡⎣030 / core(I)/030 ⎤⎦ 三明治板之頻譜圖.……...…. 126. xiii.

(16) 符號說明 u、v、w. ：積層板在平板參考座標系x、y、z 方向的位移量. u0、 v0、 w0. ：積層板中間面在平板參考座標系x、y、z方向的位移量. ∂w( x, y ) 、 ∂w( x, y ) ∂y ∂x. ：積層板垂直於x, y軸之截面的旋轉量. ε x0 、 ε y0 、 γ xy0. ：積層板中間面的應變. κ x 、 κ y 、 κ xy. ：中間面上於xz、yz平面的彎曲曲率與xy平面的面外扭轉曲率. σ、、σ13、σ12 1 σ、 2 σ 23. ：單層纖維的方向的應力. ε、、γ 13、γ 12 1 ε、 2 γ 23. ：單層纖維的方向的應變. θ. ：積層板參考座標系x軸與材料主軸方向之逆時針方向夾角. [Q ]. ：材料主軸座標系上的勁度矩陣. ⎡⎣Q ⎤⎦. ：積層板參考座標系x、y、z 上的轉換勁度矩陣. σ、、σ xz、σ xy x σ、 y σ yz. ：各層於參考座標軸方向的應力. ε、、γ 13、γ 12 1 ε、 2 γ 23. ：各層於參考座標軸方向的應變. kα、k β. ：剪力修正係數. N、 i Mi. ：積層板的合力、合力矩. Zn. ：第n層板之下表面至中間面的距離. Aij、Bij、Dij. ：拉伸勁度矩陣、偶合勁度矩陣、彎曲勁度矩陣. U P 、 T 、U B. ：積層板彎曲的最大應變能、橫向位移之最大動能、邊界彈性支撐的最大應變能. ∏. ：積層板的總勢位能. U t 、U r. ：平移彈簧之應變能、旋轉彈簧之應變能 xiv.

(17) Vn 、 M n. ：邊界彈性支撐所受之剪力、彎曲力矩. K Li 、 K Ri. ：邊界單位長度的平移與旋轉彈簧常數. KP 、 KB 、 M. ：平板本身的勁度矩陣、邊界彈性支撐的勁度矩陣、質量矩陣. λ 、ω 、 C. ：單位化之特徵值、未單位化之特徵值、特徵向量. θ x 、θ y. ：垂直x、y軸之截面的旋轉量. W 、 Θx 、 Θ y. ：撓度特徵函數、橫切面轉角特徵函數. Fˆ ( x) 、 F * ( x) 、 F ( x) ：區域極小值、臨時總域極小值、總域極小值 Pr 、 q(n, r ). ：機率. x 、 xiL 、 xiU. ：設計變數、設計變數下限值、上限值. hj 、 gk. ：等式限制條件及不等式限制條件. Ei 、ν ij 、 Gij. ：（ i =1,2,3）楊氏係數、波松比、剪力模數. Ec 、ν c. ：三明治板心層之楊氏係數、波松比. Ee. ：邊界支撐彈簧之彈性常數. e( x ). ：目標（或誤差）函數. ωiP 、 ωim 、 ω *. ：理論預測、實驗量測之自然頻率值、兩者差值之單位化矩陣. ψ (x , μ ,η ,γ p ). ：無限制條件的廣義拉格蘭吉乘子之新目標函數. μ j ,η j , γ p. ：拉格蘭吉乘子. αi. ：設計變數之修正係數. ξ (k ). ：於第 k 分層區域座標z方向之位置. ti. ：第 i 層之層板厚度. xv.

(18) 第. 一. 章. 緒. 論. 1.1 前言纖維強化複合材料可藉由不同角度的疊層、編織、纏繞方式或製程變化來達成材料結構所需的高強度、高勁度、質量輕、耐衝擊、耐腐蝕與耐疲勞性，且易於隨著使用的目的而調整其組織結構，這是傳統金屬材料所做不到的。因此廣泛的應用於航太工業、造船、汽車、電子產業及運動器材等等，尤其是對重量有特別要求的結構。然而複合材料結構不同於傳統均質結構，其易受不同的製程影響，而使得材料性質有很大的差異。即使是相同的材料，因為不同的製程規劃、儀器設備與環境因素影響下，其生產的複合材料成品結構性質(彈性常數) 將可能不同。若以標準拉伸試驗方式進行材料常數測試，並無法很簡單、有效率的完成，而且標準拉伸試驗只能探討複合材料結構的局部行為，因為拉伸試片體積小且外形非常簡單，工業產品其實際尺寸較大、外形相對複雜，因此很難製造出可以正確模擬工業產品之拉伸試片。所以，應用拉伸試驗並無法得到工業產品其材料真實之彈性常數，而且複合材料結構使用一段時間後，其內部原有缺陷會使結構剛性下降或是因疲勞因素促使結構強度降低，此時結構材料彈性常數將與原先拉伸試驗之結果相差更大。在實際應用上，對於具有彈性支撐結構物，若以一般方式進行其彈性常數測試，勢必會對其結構件本身及其邊界造成破壞。因此，本文擬提出一簡單、省時的方法且結構使用一段時間後仍能精確、可靠與非破壞的方式識別複合. 1.

(19) 材料板結構含邊界彈性支撐之所有彈性常數，並進而評估其可靠度。. 1.2 文獻回顧有關複合材料積層板的變形理論分析方面，是由古典板理論（Classical Plate Theory，簡稱 CPT）[1、2] 所對應發展出來的古典積層板理論（Classical Laminated Plate Theory）[3、4]，其忽略了側向剪應變效應，即平板之截面在變形前垂直中間面（Mid-plane），在變形後仍然保持平面，且垂直於中間面，對於薄板的分析而言可以得到很不錯的結果。但是當複合材料積層板為厚板時，由於此理論忽略了側向剪力的影響，而且複合材料側向的剪力模數比纖維方向的楊氏係數低很多，很容易產生側向剪變形，因此古典積層板理論並不適合用來分析複合材料厚板，可以改用 Mindlin 提出的一階剪變形理論（The First-order Shear Deformation Theory，簡稱 FSDT）[5] 來分析，將側向剪力的影響加以考慮；但因其側向剪力分佈為常數，不同於實際的分佈狀況，於是 Mindlin、Whitney 和 Reddy [6~9] 提出了剪力修正因子來修正。後來又有一些學者 [10~16] 陸續提出了高階剪變形理論，其目的都是為了改進古典平板理論的缺點，以提高複合材料厚板或三明治板分析結果的準確性。複合材料三明治板結構是由多層不同纖維方向的複合材料層板，及不同性質的夾心層材料膠合而成，因此每一層勁度會有很大的差異。因此其受力後，沿著厚度方向的剪變形比均質材料平板複雜許多。Mau [17] 提出多層一階平板理論，把板沿厚度方向分成許多層，每一層用一個一階剪變形理論來模擬，並且要滿足層間位移連續的限制條件，類似理論有許多學者陸續提出 [18~21]。 2.

(20) 結構動態特性 [11~16、22~26] 之考慮，對於結構設計是相當重要的，所謂的動態特性指的就是自然頻率（Natural Frequencies）及其相應的振型（Mode Shape）。這是因為結構可能因共振而產生過大之變位或應力，超過材料之容許極限而產生破壞；或是振動中所產生之反復應力，雖然其應力值並未超過材料之容許極限，但卻可能因為反復次數過多而造成材料疲勞破壞；另外振動亦會伴隨產生噪音、結構的顫動，使得使用者產生不舒服的感覺。對於結構量測低階自然頻率遠比量測其位移與應變容易，通常低階自然頻率在工程設計較受重視，因低階自然頻率容易受外界激發而引起結構共振。文獻 [27~31] 是介紹一般工程最佳化概念，隨著複合材料的廣泛使用與結構可靠度評估而逐漸受到重視與矚目，許多知名學者將工程最佳化運用在複合材料力學領域之相關研究，Deobald 及 Gibson、Frederiksen [32、33] 以里茲（Rayleigh-Ritz）模態分析方法及數值迭代方式、最佳化方式決定複合材料之彈性常數。Castagnede et al. [34] 利用超音波方法量測複合材料之彈性常數。Fallstrom 及 Jonsson [35] 以雷射光全像攝影攝影技術(量測振動頻率和模態)及最佳化的方法決定複合材料之彈性常數。 Nielsenand 及 Toftegaard [36] 應用反算方法決定纖維複合材料在溼度影響下之的彈性常數。Berman 及 Nagy [37] 利用實驗量測模態與自然頻率，並結合解析方式求解結構質量與勁度矩陣，當實驗、預測兩者之模態與自然頻率差值達到最小時，即可決定材料性質。Kam 及 Lee、Liu [38~41] 研發利用自然頻率和模態或位移方式識別樑結構彎曲勁度之方法。Kam 及 Wang [42、43] 利用最佳化方法及複合材料積層板之位移及(或)應變的關係識別其彈性常數。. 3.

(21) 隨著複合材料的廣泛使用與對結構高可靠度的需求，以非破壞性方式識別複合材料彈性常數逐漸受到重視與矚目。相關文獻一般是以超音波檢測或是動態自然頻率測量；配合模態展開以最佳化理論作為識別複合材料彈性常數，但是這些研究大都面臨以下的困難： 1. 無法完全精確識別所有的彈性常數。 2. 最佳化方法無法有效搜尋出總域極小值，初始猜測值需在總域極小值附近。 3. 彈性常數之識別結果誤差過大。 4. 無法識別複合材料三明治板結構。 5. 未能同時考慮結構含邊界彈性支撐時之所有彈性常數。故本文將針對這些問題提出改進，以精確、可靠與非破壞的方法識別邊界彈性支撐之複合材料結構其所有彈性常數，以確保產品在生產或使用時能給予更真實之材料彈性常數與邊界條件，進而更有效評估其可靠度及壽命。. 1.3 研究方法本文研究方法，將以受限制條件之總域極小化程序，配合實驗與里茲方法，以隨機多起始點搜尋、設計變數單位化，識別複合材料積層板與三明治板結構之彈性常數。研究方向包含兩部份：第一為邊界彈性支撐複合材料積層板的材料彈性常數識別，第二為邊界彈性支撐複合材料三明治板的材料彈性常數識別。第一部份乃利用古典板位移場理論、一階剪變形位移場理論來模擬，配合隨機多起始點搜尋之總 4.

(22) 域極小化理論，再對一未知彈性係數與邊界彈性支撐性質之複合材料積層板結構之自然頻率（考慮最低前六、七或八個自然頻率值），同時利用頻譜分析儀量取實驗值與里茲方法分析理論猜測值，並取兩者之最小平方差方式，作為最佳化理論之目標函數；經最佳化程序後，反求此邊界彈性支撐複合材料積層板的所有彈性常數，並與標準試片拉伸試驗值作比較。第二部份則以分層位移場理論，將三明治層板整個厚度視為三層，上、下面層與夾心層分別以不同的一階剪變形位移場模擬，並將一個撓度及六個橫切面旋轉角之特徵函數應用里茲方法以級數方式來表示，配合隨機多起始點搜尋之總域極小化理論。對一未知彈性常數含邊界彈性支撐之複合材料三明治層板結構之自然頻率（考慮最低前八個自然頻率值），同時利用頻譜分析儀量取實驗值與里茲方法分析理論猜測值，並取兩者之最小平方差方式，作為最佳化理論之目標函數；經最佳化程序後，反求此邊界彈性支撐複合材料三明治板的所有彈性常數，並與標準試片拉伸試驗值作比較。本文研究將提供一可靠、有效率且精確度高的方法，以非破壞性方式識別一未知材料彈性常數與邊界彈性支撐之複合材料結構統參數，且即使是正在使用中的結構，也可以不需要將其拆下來，可直接進行其實驗頻率量測反求識別結構彈性常數與邊界彈性支撐之性質。如此可以確保產品在生產或使用時能給予更真實之材料彈性常數與邊界條件，進而對結構安全與系統可靠度提供更有效、精確評估。. 5.

(23) 第. 二. 章. 彈性支撐複合材料平板的振動分析. 有關複合材料積層板變形理論的選用，若是考慮薄的平板時，只需要應用古典平板理論來分析即可。但對於較厚的平板時，古典平板理論將不再適用，必須將側向剪應變的影響考慮進來，可將複合材料層板的變形沿厚度方向以一階剪變形平板理論或高階剪變形平板理論來分析。. 2.1 複合材料古典平板理論複合材料積層板古典平板變形理論，其忽略了側向剪應變 γ yz 與. γ xz 的影響，即平板之截面在變形前垂直中間面，在變形後仍然保持平面，且垂直於中間面，並將其厚度方向變位視為常數。此一假設應用於薄的平板時可以得到不錯的結果。. 2.1.1 位移場與應變根據上述假設，其位移場可表示如下 u ( x , y , z ) = u0 ( x , y ) − z. ∂w( x , y ) ∂x. v ( x, y , z ) = v0 ( x, y ) − z. ∂w( x, y ) ∂y. w( x , y , z ) = w0 ( x , y ). 6. (2-1).

(24) 其中 u , v , w 分別在平板參考座標系中 x、y、z 方向上之位移分量，而 u0 , v0 , w0 分別代表層板中間面在方向 x、y、z 上之位移量， ∂w( x, y ) ∂w( x, y ) 、則分別代表垂直於 x、y 軸之截面的旋轉量（如圖 2∂y ∂x. 1 所示）。利用上述的位移場，可得其應變－位移的關係. ∂u ∂u0 ∂2w − z 2 = ε x0 + zκ x εx = = ∂x ∂x ∂x ∂v ∂v0 ∂2 w − z 2 = ε y0 + zκ y εy = = ∂y ∂y ∂y. γ xy. (2-2). ∂u ∂v ⎛ ∂u0 ∂v0 ⎞ ∂2 w = + =⎜ + − 2z = γ x0y + zκ xy ⎟ ∂y ∂x ⎝ ∂y ∂x ⎠ ∂x∂y. 其中 ε x0 、 ε y0 與 γ xy0 代表中間面於x、y、z 方向的應變，分別為. ε x0 =. ∂v ∂u ∂v ∂u0 ， ε y0 = 0 ， γ xy0 = 0 + 0 ∂x ∂y ∂y ∂x. (2-3). 而 κ x 、 κ y 代表中間面上於 xz 、 yz 平面的彎曲曲率（ Bending. curvature ）， κ xy 代表中間面上於 xy 平面的面外扭轉曲率（ Twisting curvature），分別為. ∂2 w ∂2 w ∂2 w κ x = − 2 ， κ y = − 2 ， κ xy = −2 ∂x∂y ∂y ∂x. 7. (2-4).

(25) 2.1.2 應力與應變關係考慮一個單層複合材料平板，在材料主軸方向的應力與應變關係可以表示如下. ⎧σ 1 ⎫ ⎡ Q11 Q12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨σ 2 ⎬ = ⎢Q21 Q22 ⎪τ ⎪ ⎢ 0 0 ⎩ 12 ⎭ ⎣. 0 ⎤ ⎧ ε1 ⎫ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎨ε2 ⎬ ⎥ Q 66 ⎥⎦ ⎪⎩γ 12 ⎪⎭. (2-5). 其中下標1表示各層纖維的方向(材料主軸方向)，而下標2表示垂直各層纖維的方向， [Q ] 為勁度矩陣（Reduced stiffness matrix），定義如下： Q11 =. E1. 1 − υ12υ21. Q12 =. υ12 E2 1 − υ12υ21. Q21 =. υ21 E1 1 − υ12υ21. Q22 =. (2-6). E2. 1 − υ12υ21. Q66 = G12. 因複合材料是由不同角度的層板疊合而成，所以必須將材料主軸方向的性質，轉換至層板的參考座標系x軸方向，考慮參考座標系x軸與材料主軸方向之逆時針方向夾角為 θ （如圖 2-2 所示）。則在層板參考座標系的構成方程式（Constitutive equation）為. 8.

(26) {σ } = ⎡⎣Q ⎤⎦ {ε }. (2-7). 其中 ⎡⎣Q ⎤⎦ 為轉換勁度矩陣（Transformed reduced stiffness matrix），將（2-7）式展開寫成 ⎧σ x ⎫ ⎡ Q11 Q12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨σ y ⎬ = ⎢Q21 Q22 ⎪ ⎪ ⎩τ xy ⎭ ⎢⎣Q61 Q62. Q16 ⎤ ⎧ ε x ⎫ ⎥⎪ ⎪ Q26 ⎥ ⎨ ε y ⎬ Q 66 ⎥⎦ ⎩⎪γ xy ⎪⎭. (2-8). 其中 Q11 = Q11C 4 + 2(Q12 + 2Q66 )C 2 S 2 + Q22 S 4. Q12 = (Q11 + Q22 − 4Q66 )C 2 S 2 + Q12 (C 4 + S 4 ) Q16 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )C 3 S + (Q12 − Q22 + 2Q66 )CS 3. Q 22 = Q11 S 4 + 2(Q12 + 2Q66 )C 2 S 2 + Q22 C 4. (2-9). Q 26 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )CS 3 + (Q12 − Q22 + 2Q66 )C 3 S. Q 66 = (Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 )C 2 S 2 + Q66 (C 4 + S 4 ) Q12 = Q 21 , Q16 = Q 61 , Q 26 = Q 62 C = cosθ i , S = sin θ i. 從整個複合材料積層板而言，考慮各單層板之應力沿厚度方向積分，可得複合材料積層板的合力（ Force resultant ）與合力矩（Moment resultant）（如圖 2-3 所示），其結果如下 N. Ni = ∑ ∫ n =1. zn +1 zn. N. σ dz = ∑ ∫ n i. n =1. zn +1 zn. Qijn ( ε i0 + zκ i ) dz = Aij ε i0 + Bijκ i. 9.

(27) N. Mi = ∑ ∫ n =1. zn +1 zn. N. σ in zdz = ∑ ∫ n =1. zn +1 zn. Qijn ( zε i0 + z 2κ i ) dz = Bij ε i0 + Dijκ i. (2-10). 其中 i, j = 1, 2, 6 。 Zn 則為第 n 層板之下表面至中間面的距離， Aij 、 Bij 、 Dij 分別代表拉伸勁度矩陣（Inplane stiffness matrix）、偶合勁度矩陣（ Bending-stretching coupling stiffness matrix ）、彎曲勁度矩陣（Bending stiffness matrix）。. (A. ij. N. (. , Bij , Dij ) = ∑ ∫z Qijn 1 , z , z 2 n =1. zn + 1 n. ). dz ; i , j = 1 , 2 , 6 (2-11). 現將沿厚度方向之合力與合力矩寫成矩陣（2-12）式. ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢ A21 ⎪⎪ N xy ⎪⎪ ⎢ A61 ⎨ ⎬=⎢ M ⎪ x ⎪ ⎢ B11 ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ ⎪ ⎢ ⎩⎪ M xy ⎭⎪ ⎣⎢ B16. A12. A16. B11. B12. A22. A26. B21. B22. A62. A66. B61. B62. B21. B61. D11. D12. B22. B62. D21. D22. B26. B66. D61. D62. B16 ⎤ ⎧ u0, x ⎫ ⎪ ⎪ B26 ⎥ ⎪ v0, y ⎪ ⎥ B66 ⎥ ⎪⎪u0, y + v0, x ⎪⎪ ⎬ ⎥⎨ D16 ⎥ ⎪ − w, xx ⎪ D26 ⎥ ⎪ − w, yy ⎪ ⎪ ⎥⎪ D66 ⎦⎥ ⎪⎩ −2 w, xy ⎪⎭. (2-12a). 對於層板的橫向振動 (Transverse vibration)問題，可假設 u0 ( x, y ) = 0 及. v0 ( x, y ) = 0 。且層板又是對稱疊層時，則（ 2-12a ）式可簡化成（ 212b）式. ⎧ M x ⎫ ⎡ D11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ M y ⎬ = ⎢ D21 ⎪ ⎪ ⎩ M xy ⎭ ⎢⎣ D61. D12 D22 D62. D16 ⎤ ⎧ − w, xx ⎫ ⎪ ⎪ D26 ⎥ ⎨ − w, yy ⎬ ⎥ D66 ⎥⎦ ⎪⎩−2w, xy ⎪⎭. 10. (2-12b).

(28) 2.1.3 平板的應變能與動能考慮對稱疊層複合材料積層板之長度、寬度和厚度分別為a、b和. h（如圖 2-4B 所示）之自由振動，假設位移 w( x, y, t ) = W ( x, y )eiωt ，積層板彎曲的最大應變能(Strain energy)可表示為. 1 T σ εdV V 2 1 b a = ∫ ∫ ⎡ D11 2 0 0 ⎢⎣. UP = ∫. +4 D66. ( ) ∂ 2W ∂x∂y. ( ) ∂ 2W ∂x2. 2. 2. ( )( ) ( x )( x y ) + 4D. + 2 D12. ∂ 2W ∂x2. ∂ 2W ∂ 2. ∂ 2W ∂ ∂. + 4 D16. ∂ 2W ∂y 2. ( ) ( ) ( )⎤⎦ dxdy. + D22. 26. ∂ 2W ∂y 2. ∂ 2W ∂y 2. 2. (2-13). ∂ 2W ∂x∂y. 振動產生橫向位移之最大動能為. 1 ρ w& 2 dV ∫ 2 V 1 b a = ∫ ∫ ρ hw& 2 dxdy 2 0 0 b a 1 = ρ hω 2 ∫ ∫ W 2 dxdy 0 0 2. T=. (2-14). 2.1.4 平板邊界彈性支撐的應變能邊界彈性支撐之最大應變能為包含平移彈簧之應變能 U t 和旋轉彈簧之應變能 U r. Ut =. 1 VnWdS 2 ∫S. Ur = −. 1 ⎛ ∂W M ⎜ n 2 ∫S ⎝ ∂n. (2-15) ⎞ ⎟ dS ⎠. 11. (2-16).

(29) 其中 S 代表承受彈性支撐之邊界， Vn 、 M n 分別代表所受之剪力與彎曲力矩，且可以 W 表示成 Vn = K LnW. (2-17). ⎛ ∂W ⎞ M n = − K Rn ⎜ ⎟ ⎝ ∂n ⎠. (2-18). 若考慮平板四個邊界皆具有 n 段之部分彈性支撐時，若同時考慮於平板中心受一個平移彈簧支撐，將（ 2-17 ）、（ 2-18 ）式代入（ 2-. 15）、（2-16）式中，則可以得到，則 U B 可表示成 n y y K ⎧K U B = ∑ ⎨ L 1 ⎡ ∫ W 2 dy ⎤ + L 2 ⎡ ∫ W 2 dy ⎤ ⎢ y ⎥⎦ x = 0 ⎥⎦ x = a 2 ⎢⎣ y j =1 ⎩ 2 ⎣ x x K K + L 3 ⎡ ∫ W 2 dy ⎤ + L 4 ⎡ ∫ W 2 dy ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎦ y = b x x ⎦ y =0 2 ⎣ 2 ⎣ j −1. j −1. j. j −1. j −1. j. j −1. K R3 ⎡ x 2 ⎢⎣ ∫ x. j. j −1. +. j. j. y K + R1 ⎡ ∫ 2 ⎢⎣ y. +. j. ( ∂∂Wx ). 2. ( ∂∂Wy ). y K dy ⎤ + R 2 ⎡ ∫ ⎥⎦ x = 0 2 ⎢⎣ y. j. j −1. 2. x K + R 4 ⎡⎢ ∫ dy ⎤⎥ 2 ⎣ x ⎦ y =0. j. j −1. ( ∂∂Wx ). 2. ( ∂∂Wy ). 2. dy ⎤ ⎥⎦ x = a. (2-19). ⎫ dy ⎤⎥ ⎬ ⎦ y =b ⎭. [ ]. kc 2 W 2. a b x= , y= 2 2. 其中 K 和 K （ i =1,…,4 ）分別是第 i 個邊界之單位長度的平移和旋 Li. Ri. 轉彈簧常數； kC 則是平板中心處之平移彈簧常數； x j , y j （ j =1,…,. n）則是第 j 段邊界彈性支撐結束位置之區域座標；括號中之積分是計算4n 個邊界支撐。若平板四個邊界皆是承受一完整之彈性支撐時，則. (2-19)式中之 n=1，且 x0 = 0, x1 = a, y 0 = 0, y1 = b 。具撓性支撐平板之總勢位能為. 12.

(30) Π =U −T = UP + UB − T. (2-20). 2.1.5 瑞雷－里茲法(Rayleigh-Rize method)與特徵值、特徵向量將撓度函數 (Deflection function) W (ξ ,η ) ，應用 Rayleigh-Ritz 方法以級數方式表示為 I. J. W (ξ ,η ) = ∑∑ Cijφi (ξ )ϕ j (η ). (2-21). i =1 j =1. 其中 Cij 為未定係數， φi (ξ ) 、 ϕ j (η ) 是以 Legendre’s 正交多項式函數所組成， ξ = 2 x / a − 1 、 η = 2 y / b − 1 。而 Legendre’s 正交多項式函數. φi (ξ ) 表示如下 φ1(ξ ) = 1,. −1 ≤ ξ ≤ 1. φ2 (ξ ) = ξ , 當 n≥3時. φn (ξ ) = ⎡⎣(2n − 3)ξ × φn −1(ξ ) − (n − 2) × φn − 2(ξ )⎤⎦ /(n − 1) (2-22) 其滿足正交特性，具有如下之關係 ⎧⎪ 0 ∫−1φn (ξ )φm (ξ ) dξ = ⎨ 2 ⎩⎪ 2 n − 1 1. , 若n ≠ m , 若n = m. (2-23). 將（2-21）式代入（2-20）式，並且由 δΠ = 0 ，即 ∂Π ∂ (U − T ) = =0 ∂Cij ∂Cij. i , j = 1,2,3...I , J. 13. (2-24).

(31) 可得到複合材料積層板古典平板理論，其自然振動之控制特徵方程式（Governing eigenvalue equation）. ([K ] -ω [M ]) {C} = 0 2. (2-25). 其中 K = K P + K B ； K 是結構之勁度矩陣； K P 是由平板所提供之勁度矩陣； K B 則是由邊界支撐所貢獻之勁度矩陣。詳細之 K P 、 K B 和 M 表示如下. [ K P ]mnij = 16 {D11Emi22 Fnj00 / a 4 + D12 ( Emi02 Fnj20 + Emi20 Fnj02 ) /(a 2b2 ) + D22 Emi00 Fnj22 / b4 21 01 12 10 01 21 10 12 Fnj + Emi Fnj ) /(a 3b) + 2 D26 ( Emi Fnj + Emi Fnj ) /(ab3 ) + 2 D16 ( Emi. (2-26). }. 11 11 Fnj /(a 2b 2 ) +4 D66 Emi. [ K B ]mnij = 2 ∑ {⎡⎣ K L1 J njp φ m ( −1)φi ( −1) + K L 2 J njp φ m (1)φi (1) ⎤⎦ / a P. p =1. }. + ⎡⎣ K L 3 I mip ϕ n ( − 1)ϕ j ( − 1) + K L 4 I mip ϕ n (1)ϕ j (1) ⎤⎦ / b P. {. + 8 ∑ ⎡⎣ K R1 J njp φ 'm ( − 1)φ i' ( − 1) + K R 2 J njp φ 'm (1)φ i' (1) ⎤⎦ / a 3 p =1. + ⎡⎣ K R 3 I mip ϕ 'n ( − 1)ϕ 'j ( − 1) + K R 4 I mip ϕ 'n (1)ϕ 'j (1) ⎤⎦ / b 3 ⎤⎦. (2-27). }. + 4 k c φ m (0)φ i (0) ϕ n (0) ϕ j (0) /( ab ). [ M ]mnij = ρhEmi00 Fnj00. (2-28). m, i = 1, 2, 3,L M , I ; n, j = 1, 2, 3,L N , J ; p = 1, 2, 3,L P. 而 s r 1 ⎡ d ϕ (η) d ϕ j ( η) ⎤ ⎡ d r φ m ( ξ ) d s φi ( ξ ) ⎤ rs n E =∫ ⎢ ⎥ d η ; r , s = 0,1, 2 ⎥ d ξ ; Fnj = ∫−1 ⎢ r r −1 d ξs ⎦ d ηs ⎥⎦ ⎢⎣ d η ⎣ dξ 1. rs mi. I mip = ∫. ξp. ξ p −1. 其中. ξp. [ φ m (ξ ) φi ( ξ ) ] d ξ ;. 和. ηp. J njp = ∫. ηp. η p −1. ⎡⎣ ϕ j (η)ϕn (η) ⎦⎤ d η. 是第 p 段支撐之起始與終點自然座標。. 14. (2-29a) (2-29b).

(32) 2.2 複合材料一階剪變形平板理論當複合材料平板不再是薄板時，應用一階剪變形平板理論，將側向剪應變 γ yz 與 γ xz 的效應考慮進來，可以改善古典平板理論的缺點而與實際情形較接近。假設平板之剖面在變形前垂直中間面，在變形後仍然保持平面，惟未必仍垂直於中間面。. 2.2.1 位移場與應變根據上述假設，其位移場可表示如下 u ( x, y , z ) = u0 ( x, y ) + zθ x ( x, y ). v( x, y, z ) = v0 ( x, y ) + zθ y ( x, y ). (2-30). w( x, y, z ) = w0 ( x, y ). 其中 u , v , w 分別在平板參考座標中 x、y、z 上之位移分量，而 u0 , v0 , w0 分別代表積層板中間面在方向 x、y、z 上之位移量，. θ x ( x, y ) 、θ y ( x, y ) 則分別代表垂直於 x、y 軸之截面的旋轉量（如圖 2-5 所示）。利用上述的位移場，可得其應變－位移的關係. εx =. ∂θ ∂θ ∂u ∂u0 = + z x = ε x0 + z x ∂x ∂x ∂x ∂x. εy =. ∂θ y ∂θ y ∂v ∂v0 = +z = ε y0 + z ∂y ∂y ∂x ∂x. 15.

(33) εz =. ∂w ∂w0 = =0 ∂z ∂z. γ yz =. ∂w ∂v ∂w =θy + + ∂y ∂z ∂y. γ xz =. ∂u ∂w ∂w + =θx + ∂z ∂x ∂x. γ xy =. ∂ u ∂ v ⎛ ∂ u 0 ∂ v0 ⎞ + = + + ∂y ∂x ⎜⎝ ∂y ∂x ⎟⎠. (2-31). ∂θ y ⎞ ⎛ ∂θ ⎛ ∂θ x ∂θ y ⎞ 0 = + + z⎜ x + z γ ⎟ ⎜ ⎟ xy ∂x ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎝ ∂y. 由以上的應變場可以看出， γ yz 和 γ xz 沿厚度方向為一常數分佈，與實際之拋物線分佈有所不同。. 2.2.2 應力與應變關係考慮一個單層複合材料平板，在材料主軸方向的應力與應變關係可以表示如下 ⎧ σ 1 ⎫ ⎡ Q11 Q12 ⎪σ ⎪ ⎢Q Q22 ⎪⎪ 2 ⎪⎪ ⎢ 12 0 ⎨τ 23 ⎬ = ⎢ 0 ⎢ ⎪τ ⎪ 0 0 ⎪ 13 ⎪ ⎢ 0 ⎪⎩τ 12 ⎪⎭ ⎣⎢ 0. 0 0 Q44. 0 0 0 Q55. 0 0. 0. 0 ⎤ ⎧ ε1 ⎫ 0 ⎥ ⎪ ε2 ⎪ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ 0 ⎥ ⎨γ 23 ⎬ ⎥ 0 ⎥ ⎪γ 13 ⎪ ⎪ ⎪ Q66 ⎦⎥ ⎩⎪γ 12 ⎪⎭. (2-32). 其中下標1表示各層纖維的方向(材料主軸方向)，而下標2表示垂直各層纖維的方向， [Q ] 為勁度矩陣，定義如下： Q11 =. E1. 1 − υ12υ21. 16.

(34) Q12 = Q22 =. υ12 E2 1 − υ12υ21 E2. (2-33). 1 − υ12υ21. Q44 = G23 、 Q55 = G13 = G12 、 Q66 = G12. 因複合材料是由不同角度的層板疊合而成，所以必須將材料主軸方向的性質，轉換至層板的參考座標系x軸方向，考慮參考座標系x軸與材料主軸方向之逆時針方向夾角為 θ （如圖 2-2 所示）。則在層板參考座標系的構成方程式為. {σ } = ⎡⎣Q ⎤⎦ {ε }. (2-34). 其中 ⎡⎣Q ⎤⎦ 為轉換勁度矩陣，將（2-34）式展開寫成. ⎧ σ x ⎫ ⎡ Q11 Q12 ⎪σ ⎪ ⎢ ⎪⎪ y ⎪⎪ ⎢Q12 Q22 0 ⎨σ yz ⎬ = ⎢ 0 ⎢ ⎪σ ⎪ 0 0 ⎪ xz ⎪ ⎢ ⎪⎩σ xy ⎪⎭ ⎢⎣Q16 Q26. 0. 0. 0. 0. Q44. Q45. Q45. Q55. 0. 0. Q16 ⎤ ⎧ ε x ⎫ ⎥⎪ ⎪ Q26 ⎥ ⎪ ε y ⎪ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎨γ yz ⎬ ⎥ 0 ⎥ ⎪γ xz ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ Q66 ⎦ ⎪⎩γ xy ⎪⎭. 其中 Q11 = Q11C 4 + 2(Q12 + 2Q66 )C 2 S 2 + Q22 S 4 Q12 = (Q11 + Q22 − 4Q66 )C 2 S 2 + Q12 (C 4 + S 4 ) Q 22 = Q11S 4 + 2(Q12 + 2Q66 )C 2 S 2 + Q22C 4 Q16 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )C 3S + (Q12 − Q22 + 2Q66 )CS 3 17. (2-35).

(35) Q 26 = (Q11 − Q12 − 2Q66 )CS 3 + (Q12 − Q22 + 2Q66 )C 3S. (2-36). Q 66 = (Q11 + Q22 − 2Q12 − 2Q66 )C 2 S 2 + Q66 (C 4 + S 4 ) Q 44 = Q44C 2 + Q55 S 2. Q 55 = Q55C 2 + Q44 S 2 Q 45 = (Q55 − Q44 )CS C = cos θi. , S = sin θi. 從整個複合材料積層板而言，考慮各單層板之應力沿厚度方向積分，可得複合材料積層板的合力與合力矩（如圖 2-3 所示），其結果如下 N. Ni = ∑ ∫ n =1. zn +1 zn. N. σ dz = ∑ ∫ n i. n =1. zn +1 zn. Qijn ( ε i0 + zθ i ,i ) dz = Aij ε i0 + Bijθ i ,i. N. (Qx , Q y ) = ∑ ∫zz n +1 (σ nxz , σ nyz )dz n. (2-37). n =1. N. Mi = ∑ ∫ n =1. zn +1 zn. N. σ zdz = ∑ ∫ n i. n =1. zn +1 zn. Qijn ( zε i0 + z 2θ i ,i ) dz = Bij ε i0 + Dijθ i ,i. 其中 i, j = 1, 2, 6, Zn 則為第 n 層板之下表面至中間面的距離， Aij 、 Bij 、 Dij 分別代表拉伸勁度矩陣、偶合勁度矩陣、彎曲勁度矩陣。. (A. ij. N. , Bij , Dij ) = ∑ ∫ n =1. zn + 1 zn. (. Qijn 1 , z , z 2. ). dz ； i , j = 1 , 2 , 6. (2-38). N. Aij = kα k β ∑ Qijn t n ； ( i , j = 4 , 5) n =1. 18. (2-39).

(36) （2-39）式中， kα 、 k β 為剪力修正係數，是參考 Whitney [8]所建議之方式決定修正係數，如附錄一所示。現將沿厚度方向之合力與合力矩寫成矩陣（2-40）式 ⎧ N x ⎫ ⎡ A11 ⎪N ⎪ ⎢ ⎪ y ⎪ ⎢ A12 ⎪ Qy ⎪ ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ Qx ⎪ ⎢ 0 ⎨ ⎬=⎢ N xy ⎪ ⎪ ⎢ A16 ⎪ M x ⎪ ⎢ B11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ M y ⎪ ⎢ B12 ⎪ M xy ⎪ ⎢ B ⎩ ⎭ ⎣ 16. A12. 0. 0. A16. B11. B12. A22. 0 A44 A45. 0 A45 A55. A26. B12. B22. 0. 0. 0. 0 0 0. 0 0 0. 0. 0. 0 A66 B16 B26 B66. 0 B16 D11 D12 D16. 0 B26 D12 D22 D26. 0 0 A26 B12 B22 B26. B16 ⎤ ⎧ u0, x ⎫ ⎪ ⎪ B26 ⎥ ⎪ v0, y ⎪ ⎥ 0 ⎥ ⎪ w, y + θ y ⎪ ⎪ ⎥⎪ 0 ⎥ ⎪ w, x + θ x ⎪ ⎨ ⎬ (2-40) B66 ⎥ ⎪ u0, y + v0, x ⎪ ⎥ D16 ⎥ ⎪ θ x , x ⎪ ⎪ ⎪ D26 ⎥ ⎪ θ y , y ⎪ ⎥ D66 ⎥⎦ ⎪⎩θ x , y + θ y , x ⎪⎭. 考慮疊層角度對稱之複合材料積層板，且橫向振動問題，可假設其u0、v0 為零，（2-40）式可簡化成（2-41）式 ⎧ M x ⎫ ⎡ D11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎪ M y ⎪⎪ ⎢ D12 ⎨ M xy ⎬ = ⎢ D16 ⎪Q ⎪ ⎢ 0 ⎪ y ⎪ ⎢ ⎪⎩ Qx ⎪⎭ ⎢⎣ 0. D 12 D22 D26 0 0. D16 D26 D66 0 0. 0 0 0 A44 A45. 0 ⎤ ⎧ θ x,x ⎫ ⎪ 0 ⎥ ⎪ θ y , y ⎪⎪ ⎥⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎨θ x , y + θ y , x ⎬ ⎥ A45 ⎥ ⎪ θ y + w, y ⎪ ⎪ ⎪ A55 ⎦⎥ ⎪⎩ θ x + w, x ⎭⎪. (2-41). 2.2.3 平板的應變能與動能考慮複合材料平板之長度、寬度和厚度分別為a、b和h（如圖 2-. 4B 所示），平板彎曲的最大應變能可表示為. 19.

(37) 1 T σ εdV V 2. UP = ∫. = 12 ∫ [ D11 A. + 2 D16. ( ) ∂θ x ∂x. ∂θ x ∂x. (. ∂θ x ∂y. 2. + D22 +. ∂θ y ∂x. ( ) ∂θ y. 2. ∂y. + 2 D12. ) + 2D ( ∂θ y. 26 ∂y. ∂θ x ∂y. ( )( ) ∂θ y. ∂θ x ∂x. +. (2-42). ∂y. ∂θ y ∂x. )+ D ( 66. ∂θ x ∂y. +. ∂θ y ∂x. ). 2. + A44 ( ∂∂wy + θ y ) 2 + 2 A45 ( ∂∂wx + θ x )( ∂∂wy + θ y ) + A55 ( ∂∂wx + θ x ) 2 ]dA 振動產生橫向位移之最大動能為. 1 ρ (u& 2 +v& 2 + w& 2 )dV ∫ V 2 1 2 2 = ∫ ρ hω 2 (θ x +θ y + w 2 ) dA 2 A. T=. (2-43). 2.2.4 平板邊界彈性支撐的應變能邊界彈性支撐之最大應變能為包含平移彈簧之應變能 U t 和旋轉彈簧之應變能 U r. Ut =. 1 VnWdS 2 ∫S. (2-44). Ur =. 1 M n Θi dS ； i = x, y 2 ∫S. (2-45). 其中 S 代表承受彈性支撐之邊界， Vn 、 M n 分別代表所受之剪力與彎曲力矩，且可以 W 與 Θ i 表示成 Vn = K LnW. (2-46). M n = − K Rn Θi. (2-47). 20.

(38) 將（2-46）、（2-47）式代入（2-44）、（2-45）式中，可以得到. K L1 ⎡ b 2 ⎤ KL2 ⎡ b 2 ⎤ + W dy W dy ⎥⎦ x=0 ⎥⎦ x=a 2 ⎢⎣ ∫0 2 ⎢⎣ ∫0 a a K K + L 3 ⎡ ∫ W 2 dy ⎤ + L 4 ⎡ ∫ W 2 dy ⎤ ⎥⎦ y =0 ⎥⎦ y =b 2 ⎢⎣ 0 2 ⎢⎣ 0. UB =. b b K K + R1 ⎡ ∫ Θ x 2 dy ⎤ + R 2 ⎡ ∫ Θ x 2 dy ⎤ ⎥⎦ x=0 ⎥⎦ x=a 2 ⎢⎣ 0 2 ⎢⎣ 0 a a K K + R 3 ⎡ ∫ Θ y 2 dy ⎤ + R 4 ⎡ ∫ Θ y 2 dy ⎤ ⎦⎥ y =0 ⎦⎥ y =b 2 ⎣⎢ 0 2 ⎣⎢ 0. (2-48). 其中 K L1 、 … 、 K L 4 與 K R1 、 … 、 K R 4 分別表示於邊界 x = 0, a 和 y = 0, b 之單位長度的平移與旋轉彈簧常數（如圖 2-4B所示）。具撓. 性支撐平板之總勢位能為. Π =U −T = UP + UB − T. (2-49). 2.2.5 瑞雷－里茲法與特徵值、特徵向量將撓度函數 W 及橫切面轉角函數 (Cross-sectional rotation. function) Θ x 、 Θ y ，應用Rayleigh-Ritz方法以級數方式分別表示為 I. J. W (ξ ,η ) = ∑∑ Cij Φ i (ξ ) Ψ j (η ) i =1 j =1 M. N. Θ x (ξ ,η ) = ∑∑ Cmn Φ m (ξ ) Ψ n (η ) m =1 n =1 P. Q. Θ y (ξ ,η ) = ∑∑ C pq Φ p (ξ ) Ψ q (η ) p =1 q =1. 21. (2-50).

(39) 其中 Cij , Cmn , C pq 為未定係數， Φ 、 Ψ 是以 Legendre’s 正交多項式函數所組成， ξ = 2 x / a − 1 、 η = 2 y / b − 1 。而 Legendre’s 正交多項式函數. Φ (ξ ) 表示如（2-22）式所示，其滿足正交特性，如（2-23）式所示。將（2-50）式代入（2-49）式，並且由 δΠ = 0 ，即 ∂Π ∂ (U − T ) = = 0, i , j = 1, 2,3...I , J ∂Cij ∂Cij. ∂Π ∂ (U − T ) = = 0, m, n = 1,2,3...M , N ∂Cmn ∂Cmn ∂ (U − T ) ∂Π = = 0, ∂C pq ∂C pq. (2-51). p , q = 1, 2,3...P , Q. 可得到複合材料平板應用一階剪變形理論，其自然振動控制特徵方程式. ([K ] -ω [M ]) {C} = 0 2. (2-52). 其中 K = K P + K B ； K 是結構之勁度矩陣； K P 是由平板所提供之勁度矩陣； K B 則是由邊界支撐所貢獻之勁度矩陣； ω 為平板結構振動的自然頻率。（2-52）式可以表示成. ⎛ ⎡ K aa K ab K ac ⎤ ⎡ M aa ⎜⎢ ⎢ ⎥ K bb K bc ⎥ -ω 2 ⎢ 0 ⎜⎢ ⎜ ⎢ symmetric K cc ⎥ ⎢ 0 ⎦ ⎣ ⎝⎣. 0 M bb 0. 其中. 22. 0 ⎤⎞ ⎥⎟ 0 ⎥⎟ M cc ⎥⎦ ⎟⎠. ⎧ Cij ⎫ ⎧0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨Cmn ⎬ = ⎨0⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩C pq ⎭ ⎩0⎭. (2-53).

(40) (. ). aa 00 11 2 01 10 10 01 ⎡ ⎣⎡ K ⎦⎤ ijij = 4 × ⎣ A44 Ei i F j j / b + A45 Ei i F j j + Ei i F j j / ab. {. + A55 Ei11i F j00j / a 2 ⎤⎦ + 2 × F j00j ⎡⎣ K L1φi ( -1)φ i ( -1) + K L 2φi (1)φ i (1) ⎤⎦ / a + Eii00 ⎡⎣ K L 3ϕ j ( -1)ϕ j ( -1). }. + K L 4ϕ j (1)ϕ j (1) ⎤⎦ / b. ( = 2×(A. ) / a). 00 10 10 00 ⎡⎣ K ab ⎤⎦ = 2 × A45 Emi Fnj / b + A55 Emi Fnj / a ijmn. ⎡⎣ K ac ⎤⎦ ijpq. 44. Eip00 F jq10 / b + A45 Eip10 F jq00. (. ). bb 11 00 2 01 10 10 01 ⎡ ⎣⎡ K ⎦⎤ mnmn = 4 × ⎣ D11 Emm Fnn / a + D13 Emm Fnn + Emm Fnn / ab 00 00 Fnn11 / b 2 ⎤⎦ + A55 Emm Fnn00 + 2 × Fφ00nφ n × + D33 Emm. ⎡⎣ K bc ⎤⎦ mnpq. ⎡⎣ K R1φm ( -1)φm ( -1) + K R 2φm (1)φm (1) ⎤⎦ / a 11 10 01 10 = 4 × D13 Emp Fnq00 / a 2 + ⎡⎣ D12 Emp Fnq01 + D33 Emp Fnq ⎤⎦ / ab. {. + D23 E F / b 00 mp. 11 nq. 2. }+ A. 45. 00 mp. 00 nq. (2-54). E F. (. ). cc 11 00 2 10 01 01 10 ⎡ ⎣⎡ K ⎦⎤ pqpq = 4 × ⎣ D33 E pp Fqq / a + D23 E pp Fqq + E pp Fqq / ab 00 11 00 00 00 ⎡⎣ K R 3ϕ q ( -1) ϕ q ( -1) + D22 E pp Fqq / b 2 ⎤⎦ + A44 E pp Fqq + 2 × E pp. + K R 4ϕ q (1) ϕ q (1) ⎤⎦ / b 00 ⎡⎣ M aa ⎤⎦ = ρ hEii00 F j00j ； ⎡⎣ M bb ⎤⎦ = ρ h3 Emm Fnn00 /12 mnmn ij ij 00 00 ⎡⎣ M cc ⎤⎦ = ρ h3 E pp Fqq /12 pqpq. i, j, i , j = 1, 2, 3,LI , J ; m, n, m, n = 1, 2, 3,LM , N p, q, p, q = 1, 2, 3,LP, Q. 而其中 s r 1 ⎡ d ϕ (η) d ϕ j (η) ⎤ ⎡ d rφm (ξ ) d sφi (ξ ) ⎤ rs n E =∫ ⎢ dξ ; Fnj = ∫ ⎢ ⎥ dη ； r, s = 0, 1 (2-55) r s ⎥ r s −1 −1 d ξ d ξ d η d η ⎣ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ rs mi. 1. 23.

(41) 2.3 複合材料多層一階剪變形平板理論由於複合材料厚板是由很多不同纖維角度的層板所組成，其每一層間在同一方向上的勁度差異很大；或是三明治平板結構，其面層和心層在同一方向上的勁度亦是差異懸殊。上述原因將造成其位移場於厚度方向的變化很劇烈，若仍只用一個一階剪變形位移場理論，沿整個厚度方向的位移斜率為相同的一直線，將會與實際情形有很大的差異。因此考慮將每一層當成一個一階剪變形位移場，且其層間位移連續性也考慮在內，如此沿平板整個厚度方向的位移會由許多不同斜率的直線所組成（如圖 2-6 所示）。. 2.3.1 位移場與應變本理論將各層皆視為一個一階剪變形的平板來分析，隨著層數的增加其位移場自由度將增加。以 X 軸方向為例，由圖 2-6 可知，第一層的位移是由中間面位移 u0 和一旋轉角 θ x(1) 所組成，而基於層間位移必須滿足連續的條件，第二層的位移是以第一層與第二層交界面的位移為基礎，再旋轉一個的 θ x(2) 來模擬第二層的變位。同理，第三層是以第一層與第三層交界面的位移為基礎，再旋轉一個的 θ x(3) 來模擬第三層的變位。根據上述假設，其位移場可表示如下. u (1) = u0 ( x, y ) + ξ (1)θ x(1) ( x, y ) t t u (2) = u0 ( x, y ) + 1 θ x(1) ( x, y ) + ( z − 1 )θ x(2) ( x, y ) 2 2 t = u0 ( x, y ) + 1 θ x(1) ( x, y ) + ξ (2)θ x(2) ( x, y ) 2 24. (2-56).

(42) t t u (3) = u0 ( x, y ) − 1 θ x(1) ( x, y ) + ( z + 1 )θ x(3) ( x, y ) 2 2 t = u0 ( x, y ) − 1 θ x(1) ( x, y ) + ξ (3)θ x(3) ( x, y ) 2. 其中為各單層的局部座標，定義如圖 2-6 所示。同理可得 v (1) = v0 ( x, y ) + ξ (1)θ y(1) ( x, y ). t t v (2) = v0 ( x, y ) + 1 θ y(1) ( x, y ) + ( z − 1 )θ y(2) ( x, y ) 2 2 t = v0 ( x, y ) + 1 θ y(1) ( x, y ) + ξ (2)θ y(2) ( x, y ) 2. (2-57). t t v (3) = v0 ( x, y ) − 1 θ y(1) ( x, y ) + ( z + 1 )θ y(3) ( x, y ) 2 2 t = v0 ( x, y ) − 1 θ y(1) ( x, y ) + ξ (3)θ y(3) ( x, y ) 2. w(1) = w0 ( x, y ) = w( x, y ) w(2) = w0 ( x, y ) = w( x, y ). (2-58). w(3) = w0 ( x, y ) = w( x, y ) 其中 u ( k ) , v ( k ) , w( k ) 分別在第 k 個分層平板參考座標中 x、y、z 上之位移分量，而 u0 , v0 , w0 分別代表第一個分層中間面在方向 x、y、z 上之位移量，θ x( k ) ( x, y ) 、 θ y( k ) ( x, y ) 則分別代表第 k 個分層於垂直 x 、 y 軸之截面上的旋轉量（如圖 2-6 所示）。當層數增加時，可以得到以下通式：. 25.

(43) u (1) = u0 ( x, y ) + ξ (1)θ x(1) ( x, y ) u. (k ). k −2. ti (i ) t1 k −2 = u0 ( x, y) + ∑ θ x ( x, y) + ( z − − ∑ ti )θ x(i ) ( x, y) 2 i=2,4,... i =2,4,... 2 k −2 t t = u0 ( x, y) + 1 θ x(1) ( x, y) + ∑ i θ x(i ) ( x, y) + ξ (i )θ x(i ) ( x, y) (k = 2,4,6,...) (2-59) 2 i =2,4,... 2. u(k ) = u0 ( x, y) −. k −2. ti (i ) t1 k −2 x y z θ ( , ) + ( + + ∑ ti )θ x(i ) ( x, y) ∑ x 2 i=2,4,... i =2,4,... 2. k −2 t1 (1) t = u0 ( x, y) − θ x ( x, y) − ∑ i θ x(i ) ( x, y) + ξ (i )θ x(i ) ( x, y) (k = 3,5,7,...) 2 i =2,4,... 2. 同理 v (1) = v0 ( x, y ) + ξ (1)θ y(1) ( x, y ). v(k ) = v0 ( x, y) +. k −2. ti (i ) t1 k −2 x y z θ ( , ) + ( − − ∑ ti )θ y(i ) ( x, y) ∑ y 2 i=2,4,... i=2,4,... 2. k −2 t t = v0 ( x, y) + 1 θ y(1) ( x, y) + ∑ i θ y(i ) ( x, y) + ξ (i )θ y(i ) ( x, y) (k = 2,4,6,...) (2-60) 2 i =2,4,... 2. v(k ) = v0 ( x, y) −. k −2. ti (i ) t1 k −2 θ ( , ) + ( + + ∑ ti )θ y(i ) ( x, y) x y z ∑ y 2 i=2,4,... i =2,4,... 2. k −2 t1 (1) t = v0 ( x, y) − θ y ( x, y) − ∑ i θ y(i ) ( x, y) + ξ (i )θ y(i ) ( x, y) (k = 3,5,7,...) 2 i =2,4,... 2. w( k ) = w0 ( x, y ) = w( x, y ). (k = 1, 2,3,...). (2-61). 上述方程式中之 k ，表示第 k 個分層。考慮分成三層時，利用上述的位移場，對於層板的橫向振動問題，可假設 u0 ( x, y ) = 0 及. v0 ( x, y ) = 0 ，其應變－位移的關係. 26.

(44) (1) ⎧ ⎫ (1) ∂θ x ξ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ (1) ⎪ ∂θ ⎧ε x(1) ⎫ ⎪ ξ (1) y ⎪ ⎪ ⎪ (1) ⎪ ∂ y ⎪ ⎪ ⎪ε y ⎪ ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡⎣ε (1) ⎤⎦ = ⎨γ yz(1) ⎬ = ⎨ θ y(1) + ⎬ ∂y ⎪ (1) ⎪ ⎪ ⎪ γ xz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂w θ x(1) + ⎪⎩γ xy(1) ⎭⎪ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ (1) (1) ⎪ (1) ∂θ ∂θ y ⎪ )⎪ ⎪ξ ( x + ∂y ∂x ⎭⎪ ⎩⎪. ⎧ ⎪ ⎪ ⎧ε x( 2) ⎫ ⎪ ⎪ ( 2) ⎪ ⎪ ⎪ε y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡⎣ε ( 2) ⎤⎦ = ⎨γ yz( 2) ⎬ = ⎨ ⎪ ( 2) ⎪ ⎪ ⎪γ xz ⎪ ⎪ ( 2) ⎩⎪γ xy ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪ t ∂θ (1) ⎪1( x ⎩⎪ 2 ∂y. ⎫ ∂θ x( 2) t1 ∂θ x(1) + ξ2 ⎪ ∂x 2 ∂x ⎪ (1) ( 2) ⎪ ∂θ y t1 ∂θ y + ξ2 ⎪ ∂y 2 ∂y ⎪ ⎪ ∂w θ y( 2) + ⎬ ∂y ⎪ ⎪ ∂w θ x( 2) + ⎪ ∂x ⎪ ( 2) ∂θ y(1) ∂θ x( 2) ∂θ y ⎪ + + )⎪ ) + ξ2 ( ∂x ∂y ∂x ⎭⎪. 27. (2-62). (2-63).

(45) ⎧ ⎫ ∂θ x(3) t1 ∂θ x(1) − + ξ3 ⎪ ⎪ ∂x 2 ∂x ⎪ ⎪ (1) (3) ⎪ ∂θ y t ∂θ y ⎧ε x(3) ⎫ ⎪ −1 + ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ (3) ⎪ ∂ ∂ y y 2 ⎪ ⎪ ⎪ε y ⎪ ∂w ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2-64) ⎡⎣ε (3) ⎤⎦ = ⎨γ yz(3) ⎬ = ⎨ θ y(3) + ⎬ ∂y ⎪ (3) ⎪ ⎪ ⎪ γ xz ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂w θ x(3) + ⎪⎩γ xy(3) ⎭⎪ ⎪ ⎪ ∂x ⎪ ⎪ (1) (3) (1) (3) ⎪ t ∂θ x ∂θ y ∂θ y ⎪ ∂θ ) + ξ (3) ( x + )⎪ + ⎪− 1 ( ∂x ∂y ∂x ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ∂y. 2.3.2 應力與應變關係複合材料多層一階剪變形平板理論，其單層之應力與應變關係與一階剪變形平板理論是相同的，所以與 2.2.2 節相同。只是要注意的是，因為本文的多層一階剪變形平板理論其座標軸只有第一層是置於其中間面，於其他層處並非如此。因此，若將複合材料三明治板分成三個分層時，不管上、下面層其疊層角度對稱與否，（2-40）式並不能直接簡化成（2-41）式，因為上、下面層處的 Bij 矩陣並非為零。. 2.3.3 平板的應變能與動能考慮複合材料平板層數為三層時，其長度、寬度和厚度分別為. a、b和h（如圖 2-4B 所示），而 i 表示第 i 層。平板彎曲的最大應變能可表示為 3. UP = ∑ ∫ k =1. V. 1 (k) (k) ( k ) σ ε dV 2 T. (k ). 28. (2-65).

(46) 振動產生橫向位移之最大動能為 3. (. ). 2 2 2 1 ρ ( k ) u& ( k ) + v&( k ) + w& ( k ) dV ( k ) (k ) ∫ V k =1 2. T =∑. (2-66). 2.3.4 平板邊界彈性支撐的應變能邊界彈性支撐之最大應變能為包含平移彈簧之應變能 U t 和旋轉彈簧之應變能 U r. Ut =. 1 VnWdS 2 ∫S. (2-67). Ur =. 1 M nΘi dS ； i = x, y 2 ∫S. (2-68). 其中 S 代表承受彈性支撐之邊界， Vn 、 M n 分別代表所受之剪力與彎曲力矩，且可以 W 與 Θ k 表示成. (2-69). Vn = K LnW M n = − K Rn Θi. ； i = x, y. (2-70). 將（2-69）式、（2-70）式代入（2-67）式、（2-68）式中，可得到. K L1 ⎡ b 2 ⎤ KL2 ⎡ b 2 ⎤ W dy W dy + ⎥⎦ x=0 ⎥⎦ x=a 2 ⎢⎣ ∫0 2 ⎢⎣ ∫0 a a K K + L 3 ⎡ ∫ W 2 dx ⎤ + L 4 ⎡ ∫ W 2 dx ⎤ ⎥⎦ y =0 ⎥⎦ y =b 2 ⎢⎣ 0 2 ⎢⎣ 0. UB =. ⎧ K R( k1) ⎡ b ( k )2 ⎤ K R( k2) ⎡ b ( k )2 ⎤ +∑ ⎨ Θ dy + Θ x dy ⎢ ∫0 x ⎥⎦ x=0 ⎥⎦ x=a 2 ⎢⎣ ∫0 k =1 ⎩ 2 ⎣ 2 2 ⎫ K (k ) a K (k ) a + R 3 ⎡ ∫ Θ(yk ) dx ⎤ + R 4 ⎡ ∫ Θ(yk ) dx ⎤ ⎬ ； k=1,2,3 ⎥⎦ y =0 ⎥⎦ y =b 2 ⎢⎣ 0 2 ⎢⎣ 0 ⎭ 3. 29. (2-71).

(47) 其中 K Li 第 i 個邊之單位長度平移彈簧常數； K Ri( k ) 為第 k 分層的第 i 個邊上單位長度旋轉彈簧常數。總勢位能為. Π =U −T = UP + UB − T. (2-72). 2.3.5 瑞雷－里茲法與特徵值、特徵向量將撓度函數 W 及橫切面轉角函數 Θ(xk ) , Θ(yk ) ( k = 1, 2, 3) 等七個，應用Rayleigh-Ritz方法以級數方式分別表示為 I. J. W (ξ ,η ) = ∑∑ Cij(1)φi(1) (ξ )ϕ (1) j (η ) i =1 j =1 M. N. (2 k ) (2 k ) Θ (ξ ,η ) = ∑ ∑ Cmn φm (ξ )ϕ n(2 k ) (η ) (k ) x. k =1~ 3. (2-73). m =1 n =1 P. Q. (2 k +1) (2 k +1) Θ (ξ ,η ) = ∑∑ C pq φ p (ξ )ϕ q(2 k +1) (η ) (k ) y. p =1 q =1. (2k ) ( 2 k +1) 為未定係數，其中 Cij(1) , Cmn Φ 、 Ψ 是以 Legendre’s 正交多項式 , C pq. 函數所組成， ξ = 2 x / a − 1 、 η = 2 y / b − 1 。而 Legendre’s 正交多項式函數 Φ (ξ ) 如（2-22）式所示，其滿足正交特性，如（2-23）式所示。將（2-73）式代入（2-72）式，並且由 δΠ = 0 ，即 ∂ (U − T ) ∂Π = = 0, i , j = 1,2,3...I , J ∂Cij(1) ∂Cij(1). ∂ (U − T ) ∂Π = = 0, m, n = 1,2,3...M , N (2k ) (2k ) ∂Cmn ∂Cmn. 30. (2-74).

(48) ∂ (U − T ) ∂Π = = 0, ( 2 k +1) ( 2 k +1) ∂C pq ∂C pq. p , q = 1,2,3...P , Q. 可得到複合材料平板三層一階剪變形平板理論，其自然振動之控制特徵方程式. ([K ] -ω [M ]) {C} = 0 2. (2-75). 其中 K = K P + K B ； K 是結構之勁度矩陣； K P 、 K B 分別是由平板、邊界支撐所提供之勁度矩陣； M 為質量矩陣，經由求解上式即可得到平板結構振動的自然頻率 ω 。（ 2-75 ）式之詳細組成內容如附錄二所示。. 31.

(49) 第. 三. 章. 最佳化總域極小化理論. 「最佳化方法」是指找出問題其「最好的解決方案」的方法。此法已被廣泛運用在解決數學、應用科學、工程、生物科技、商業和管理等領域的最佳化問題上，例如在工程上，考量產品尺寸選用材料組合、成本、強度等因素；在商業和管理上，有關排班表、投資組合、人員與物流管理等，都是最佳化的問題。另外，尤其是有些領域上的問題是沒有解析解的，或是問題同時有太多的考量因素與條件時，都可以將這些棘手的問題轉換變成數學模式的最佳化問題，再藉由電腦的計算和模擬，而獲得解答。本文正是要應用最佳化方法，以非破壞方式識別複合材料板結構的材料常數與邊界支撐彈簧常數，在文中將簡明地敘述這個方法及最佳化演算法的基本概念。傳統有關求解最佳化模型的數值方法 [27~31]，可以沒有限制條件和有限制條件來區分。首先考慮「沒有限制條件」：（一）單變數函數最小值搜尋，這是多變數目標函數最小值演算法的基礎，而其方法有解析解方法求函數一次微分為零的解；若一次微分很難求得、不存在或不連續時，應用數值迭代方式直接求解的零次方法，如二分法的「費邦那西搜尋」（ Fibonacci Search ）、「黃金分割搜尋」（Golden Section Search）和割線法（Secant Method）；或使用二次方法的多項式近似法之「牛頓法」等。（二）多變數函數最小值搜尋，其方法有「零次方法」的隨機搜尋法、前面提到的「費邦那西搜尋」、「黃金分割搜尋」；或使用一次、二次之直線搜尋（ Line. Search）法，如「準牛頓法」（Qusi-Netwoon Method）、「牛頓法」 32.