第二章 彈性支撐複合材料平板的振動分析
2.3 複合材料多層一階剪變形平板理論
(3) 1 (1) 1 (3)
(1) (1) (1)
(1)
(1) (3)
振動產生橫向位移之最大動能為
其中K 第 個邊之單位長度平移彈簧常數；Li i KRi( )k 為第k 分層的第 個
用Rayleigh-Ritz方法以級數方式分別表示為
( )xk , ( )yk (k 1, 2,
( )
(2k 1) (2k 1) 0, , 1,2,3... ,
pq pq
U T p q P
C + C +
∂ −
∂Π = = =
∂ ∂ Q
可得到複合材料平板三層一階剪變形平板理論，其自然振動之控制特 徵方程式
[ ] [ ]
(
K -ω2 M) { }
C = 0 (2-75)其中 ； 是結構之勁度矩陣； 、 分別是由平板、邊
界支撐所提供之勁度矩陣；M為質量矩陣，經由求解上式即可得到平 板結構振動的自然頻率
P B
= +
K K K K KP KB
ω。（2-75）式之詳細組成內容如附錄二所 示。
第 三 章 最佳化總域極小化理論
「最佳化方法」是指找出問題其「最好的解決方案」的方法。此 法已被廣泛運用在解決數學、應用科學、工程、生物科技、商業和管 理等領域的最佳化問題上，例如在工程上，考量產品尺寸選用材料組 合、成本、強度等因素；在商業和管理上，有關排班表、投資組合、
人員與物流管理等，都是最佳化的問題。另外，尤其是有些領域上的 問題是沒有解析解的，或是問題同時有太多的考量因素與條件時，都 可以將這些棘手的問題轉換變成數學模式的最佳化問題，再藉由電腦 的計算和模擬，而獲得解答。本文正是要應用最佳化方法，以非破壞 方式識別複合材料板結構的材料常數與邊界支撐彈簧常數，在文中將 簡明地敘述這個方法及最佳化演算法的基本概念。
傳統有關求解最佳化模型的數值方法 [27~31]，可以沒有限制條 件和有限制條件來區分。首先考慮「沒有限制條件」：（一）單變數 函數最小值搜尋，這是多變數目標函數最小值演算法的基礎，而其方 法有解析解方法求函數一次微分為零的解；若一次微分很難求得、不 存在或不連續時，應用數值迭代方式直接求解的零次方法，如二分法 的 「 費 邦 那 西 搜 尋 」 （Fibonacci Search） 、 「 黃 金 分 割 搜 尋 」
（Golden Section Search）和割線法（Secant Method）；或使用二次方 法的多項式近似法之「牛頓法」等。（二）多變數函數最小值搜尋，
其方法有「零次方法」的隨機搜尋法、前面提到的「費邦那西搜 尋」、「黃金分割搜尋」；或使用一次、二次之直線搜尋（Line Search）法，如「準牛頓法」（Qusi-Netwoon Method）、「牛頓法」
（Netwoon Method）。接下來則是考慮「有限制條件」：（一）單變 數函數最小值搜尋，其方法有直接搜尋法（多項式近似法、費邦那西 搜尋法與黃金分割搜尋法）；或懲罰函數（Penalty Function）法配合 循序無限制（Sequential Unconstrained ）條件最小化技巧，將問題轉 換為無限制條件最佳化問題。（二）多變數函數最小值搜尋，其方法 有「直接搜尋法」的可行方向法、梯度投影法；應用「懲罰函數法配 合循序無限制條件最小化技巧」將原先的有限制條件的非線性問題，
轉 換 成 一 系 列 的 無 限 制 條 件 最 佳 化 問 題 ； 線 性 規 劃 法 （Linear Programing， LP） ； 或 是 循 序 線 性 規 劃 法 （Sequential Linear Programing， SLP）與循序非線性規劃法（SNLP）等。
另 外 ； 相 關 的 最 佳 化 方 法 還 有 「 模 擬 退 火 法 」 （Simulated Annealing Algorithm）[44~47]、「基因演算法」（Genetic Algorithm） [48~53] 與「類神經網路」（Artificail Neural Networks）[54~57] 等。
模擬退火法，是從「統計力學」觀念發展而來，通常物質必須經由高 溫緩緩退火，才能使晶粒有足夠的時間移動到其最低能量的組成形 態。一般的演算法搜尋過程中，不斷尋找降低目標函數的可行解，若 像「快速焠火」的過程則容易困在區域極小值中，而模擬退火法則是 要能使目標函數從區域極小值中跳脫，找到總域極小值，因此迭代過 程必須容許「上坡」，即目標函數些微上升的解。模擬退火法需要不 斷的評估非常多的設計點是其缺點。基因演算法的概念是從達爾文
（Charles Darwing）的「物競天擇，適者生存，不適者淘汰」的進化
理論發展而來，解釋了自然界的基本現象，物種在不斷變遷或惡劣的 環境中為了生存及適應環境，而不斷進化，產生生存力及適應力更強
的下一代。遺傳演算法的運算，是將參數經過二進位編碼成一字串
（ 就 像 是 生 物 的 基 因 DNA） ， 隨 機 重 複 N 個 字 串 的 原 始 族 群
（Population）代表不同的設計點，然後這些設計點的基因可經由複
製（Reproduction）、交配（Crossover）及突變（Mutation）等過程產 生下一代。最適應的基因組合（可行且目標函數小者）將會被加強，
而不合適的基因組合則會被淘汰。經由每一代間進行演化的過程，而 生存者繼續藉由繁殖不僅將優良的基因延續，還有可能使下一代擁有 更好的基因。而新產生的族群就作為搜尋的新出發點，對整個搜尋空 間做逐次的搜尋，經過數代之後尋得問題的最佳解。基因遺傳法的特 色如下：「多點的搜尋法則」，同時考慮搜尋空間上的多個點而多點 搜尋；以編碼進行運算而不是參數本身，「跳脫搜尋空間的限制」
（如連續、可微）；只需要適應函數的資訊（目標函數值），不需要 導數或其它輔助資訊，「運算簡單」；搜尋的過程並非經由固定的路 徑，而是經由「機率規則」方式來引導搜尋的方向。缺點為許多問題 有編碼上的困難（編碼細節的好壞會影響結果的好壞）；不保證最適 化（當結論太快出現時，結果可能會接近最佳方案卻不是最佳方 案）、運算成本極高（需經由複製、交配及突變產生下一代，且當計 算代數越多可降低誤差，但花費的時間越多）、可以運用的商業套裝 軟體不多。
類神經網路，是一種以電腦來模擬人類腦神經細胞網路的科學。
在人們逐漸了解腦細胞的思考與學習模式後，希望電腦也能用類似人 的方式來解決問題。而對於類神經網路而言，許多的節點就像是一個 個的處理器，可以同時地接受輸入訊號並產生輸出。在類神經網路模
型中，許多同一層的節點彼此是不相關的，要找到這些節點各自的最 佳連接權值，常常需要學習很長的一段時間。即使找到了最佳解，往 往也只是區域最佳解（Local optimal）。因此基因演算法可以幫助類 神經網路跳出區域最佳解，藉著不同的連接權值範圍之間的交配與突 變，學習可以在一個新的地域開始。這一點對於需要全域最佳解
（Global optimal）的類神經網路而言是很重要的。
3.1 最佳化設計（Optimal Design）
在工程設計上，整個設計的流程其實很自然的包含了迴圈形式的
迭代過程。設計者經由不斷地深入了解問題，思考解決方法、而產生 了各種新的方案，再藉由不斷的試驗評估其可行性，最後在有限的時 間和資源條件限制下，找出一個最好的解決方案，而這其實就正是最 佳化設計的流程。最佳化設計乃是尋找一組變數 x，而x X∈ ⊂ Rn， 使得在受某些限制條件下或在不受限制條件的系統模式（目標函數）
F(x) 能夠達到最佳性能（目標函數之最大值或最小值）。最佳化設計
的程序，是先經由有系統的整理相關領域知識後，再將實際問題建立 成正確的最佳化數學模型，再以數值方法求解最佳的解，數值方法概 以沿著搜尋軌跡做反覆迭代來改變設計變數的值以達到目標函數之最 佳解。而最佳化設計其數學標準形式描述如下：
Minimize F(x)= F(x1,x2,...xn)
s.t. hj(x1,x2,...xn)=0 ; j=1,2,L, p
g x xk( , ,... ) 0 ;1 2 xn ≤ k =1,2, ,L m (3-1)
xil ≤ xi ≤ xiu ; i=1,2,L,n
其中n、 p 和 m分別為設計變數、等式限制條件及不等式限制條件之 數目， 和 則為設計變數之合理上、下限制容許值（Lower Bound and Upper Bound）。
xil xiu
而本文研究之「彈性支撐複合材料結構系統參數之識別」，牽涉 到相當多的變數，且目標函數為非線性，都增加了總域極小值收斂的 困 難 及 不 可 靠 度 。 因 此 ， 文 中 將 應 用 廣 義 拉 格 蘭 吉 乘 子 法
（Augmented Lagrange Multiplier Method）將原始受限制條件問題先 轉變成無限制條件的問題，再配合隨機多起始點的方法（Multi - Start
Method）及貝氏分析法（Bayesian Approach）所發展的總域極小值演
算法 [27、28] 進行最佳化反算。此演算法是基於運動質點在保守力場 中能量守恆觀點，在無限制條件下的目標函數 F(x)（即位能值），應 用多起始點搜尋最小位能（如圖3-1所示）。
3.2 多起始點方法
一般最佳化方法，是採用單起始點方式來搜尋極小值，而其所獲 得之極小值亦僅是區域局小值，並無法確認是否獲得總域之極小值。
而本文之方法正是要改善此一困境，利用隨機多起此點搜尋方式，可 以增加搜尋獲得上、下限範圍內之各個區域極小值的機會。且以能量 守恆的觀念來計算出目標函數值(亦即為質點位能)，其迭代過程容許 目標函數些微上升的解，使目標函數可從區域極小值中跳脫，找到總 域極小值，詳如3.3 節之區域極小化程序所述。
在最佳化設計中取多起始點的方法，乃是針對設計變數x 的合理i 區間（上、下限）內，利用隨機取樣的方式取出一系列的起始點，並 且以此為開始做搜尋軌跡方式，找出其區域極小值。而在文中取多起 始點的方式，乃應用 IMSL 軟體的 RNUN 副程式，對設計變數x 於i 上、下限區間範圍內，以隨機取樣的方式選取初始猜測值。如此我們 可以找出一些區域極小值 Fj 以及對應的區域極小點xj。接著我們要 從中找尋總域極小值 F*，其須滿足下列的式子：
F* =min{Fj} (3-2)
3.3 區域極小化程序（Local Minimization Procedure）
由多起始點之方式，隨機找出初始值 x，而x X∈ ⊂ Rn，使用搜 尋軌跡方式是基於單位質量的質點在 n 維保守力場中的運動方程式及 初始條件而來，如下所示：
( )x t&& = −∇F x( ( ))t (0) 0
x = ；x (0) 0x& = (3-3)
然後以能量守恆的觀念來計算出目標函數值，其中 為質點位
能，也是計算中的目標函數（如圖 3-1 所示），
( ( )) F x t
x& 、&&分別表示質點x 在n 維空間上的速度與加速度。
將（3-3）式乘以 ( )x t& ，可以得到 1 2
( ) ( ( )) ( )
2 d T
x t F x t x t dt
⎛ ⎞ = −∇
⎜ ⎟
⎝ & ⎠ & (3-4)
再將（3-4）式對時間 t 做積分，範圍從 0 到 t，便可得到能量守恆關
動能減少，所以質點軌跡移動的方向應往相反方向搜尋。
[ ]
[ ]
* ( 1)!(2 )!
( ) ( ) ( , ) 1
(2 1)!( )!
r
n n r
P F x F x q n r
n n r
+ −
⎡ = ⎤ ≥ = −
⎣ ⎦ + − (3-10)
其中本文取 之值為 0.99。當時 則視為收斂，則可得到總 域極小值
q* q n r( , )≥q* ( )
F x 及其對應之最佳設計變數值x。
F x 及其對應之最佳設計變數值x。