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多項式的運算與應用

在文檔中 99math1 (頁 15-20)

15. 求二次函數 y = f (x) = 2x2+ 4x− 5 且 1 ≤ x ≤ 4 , 求 y 的最大值與最小值?

16. 某超商若賣定價50元便當, 每天可賣出80個, 現今舉辦促銷活動, 依以往經驗, 便 當每降價1元, 每天可多賣出20個。 已知便當的成本每一個30元, 問此超商應將促 銷價訂為多少元, 才會有最大利潤? 又此最大利潤為何?

17. 下圖中兩函數圖形, 分別為 f (x) = xn, g(x) = xm 的圖形, m, n 為正整數, 則下 列敘述哪些正確? (1) f (x) 為偶函數 (2) g(x) 為奇函數 (3) 相交點 A 坐標為

(1, 1) (4) n > m (5) g(x) 為嚴格遞增函數

x y

f (x) = xn

g(x) = xm A

2.2

多項式的運算與應用

多項式的係數:

多項式 f (x) = anxn+ an−1xn−1 +· · · + a2x2 + a1x + a0

1. 常數項 a0 = f (0)

2. 所有的係數和 a0 + a1 + a2 +· · · + an = f (1)

3. 偶次項係數和 a0 + a2 + a4 +· · · = 12[f(1) + f(−1)]

4. 奇次項係數和 a1 + a3 + a5 +· · · = 12[f(1) − f(−1)]

若 f (x) ∈Z[x] 所有係數 ai 均為整數則稱多項式 f (x) 為整係數多項式。

若 ∀aiR 稱 f (x) 為實係數多項式。

多項式的四則運算:

多項式的四則運算可用分離係數法、 長除法、 綜合除法等。

Note: deg (f (x)± g(x)) 未必等於 deg f(x)± deg g(x) deg (P (x)· Q(x)) = deg P (x)+ deg Q(x)

除法定理:

被除式=除式 × 商式 + 餘式

即 f (x) = g(x) · q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x)

求某特定項: 展開式比較係數法 (特定係數法)、 恆等式代入法、 長除法與綜合除法:

1. 展開式比較係數法: 針對某項係數展開比較。

2. 恆等式特殊值代入法: 針對 f (x) = g(x)· q(x) + r(x) 代入特殊值左右兩式 恆等, 可求得某特定項。

3. 長除法: 通常使用於被除式次數不大, 或除式非一次式時。

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 多項式的運算與應用 · 4. 綜合除法: 通常使用於被除式次數頗大, 且除式為一次式時 (ax− b) 。

(以 ba 為除數, 所求得的商, 須除以 a 才是真正的商式) 綜合除法的應用:

1. 求 f (x) 除以 (x− α) 的餘式值。

2. 將 x 的多項式變形為 (x−α) 的多項式。 可求諸如 f(0.99), f(1.01), f(1.499), · · · 函數值之近似值。

3. 求 f (x + α) 的展開式, 降冪排列。

Note: 用綜合除法時除式為 (x− ba) 所得的商是除式 (ax − b) 所得商的 a 倍。

餘式定理:

設 a 6= 0 , 則多項式 f(x) 被一次式 ax − b 所除的餘式是 f( ba) f (x) = g(x)· q(x) + r(x), deg r(x) < deg g(x)

當 g(α) = 0 時, 函數值 f (α) = r(α) 值。

1. 長除法: 被除式次數不大, 或除式非一次式時通常使用長除法。

2. 綜合除法: 被除式次數頗大, 且除式為一次式時通常使用綜合除法。

3. 餘式定理: 當長除法與綜合除法都不適用時, 或 g(α) = 0, α 好解時, 函數值 f (α) 好算時, 可利用餘式定理求餘式。

因式定理:

設 a 6= 0 , 則多項式 f(x) 被一次式 ax − b 所整除的充要條件是 f( ba) = 0 α 是f (x)的一個零解 ⇔ f(α) = 0 零解的定義(方程式的根)

⇔ R(α) = 0 餘式定理

⇔ f(x) = (x − α)Q(x) 除法算則

⇔ (x − α)是f(x)的因式 因式的定義 多項式的應用:

多項式的值與插值多項式。

1. 求數值: 餘式定理應用。 長除法、 綜合除法 求 3(4 +

√13

3 )4− 17(4 +

√13

3 )3+ 28(4 +

√13

3 )2− 11(4 +

√13

3 ) + 3 = 2 求 2 × 75 − 13 × 74 − 9 × 73 + 11× 72+ 15× 7 − 17 = −59

2. 插值多項式: 給定相異實數 x1, x2, x3 分別對應到 y1, y2, y3 ; 若多項式 f (x) 滿足 f (x1) = y1, f (x2) = y2, f (x3) = y3 且次數 ≤ 2 則

(a) 簡易多項式: 可假設 f (x) = ax2+bx+c, 再分別將三點 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入, 解多項式係數 a, b, c 三元一次聯立方程組。

(b) 牛頓插值多項式: 可假設 f (x) = A(x− x1)(x− x2) + B(x− x1) + C , 再分別將三點 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入, 解 A, B, C 聯立方程組。

(c) 拉格朗日插值多項式: 有固定公式, 可處理大量數據運算。

設 f (x) = A(x −x2)(x− x3) + B(x− x1)(x− x3) + C(x− x1)(x− x2) , 再分別將三點 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 代入, 解 A, B, C 聯立方程組。

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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 多項式的運算與應用 · 一般已知 n + 1 個相異值求 n 次拉格朗日插值多項式:

Pn(x) = Xn

k=0

yk × Yn

i=0,i6=k

(x− xi) (xk− xi)

= Xn

k=0

yk · (x− x0)(x− x1)· · · (x − xk−1)(x− xk+1)· · · (x − xn) (xk − x0)(xk− x1)· · · (xk − xk−1)(xk− xk+1)· · · (xk− xn)

= y0 · (x− x1)(x− x2)· · · (x − xn) (x0 − x1)(x0− x2)· · · (x0 − xn) + y1 · (x− x0)(x− x2)(x− x3)· · · (x − xn)

(x1 − x0)(x1− x2)(x1− x3)· · · (x1 − xn) +· · ·

+yk · (x− x0)(x− x1)· · · (x − xk−1)(x− xk+1)· · · (x − xn) (xk− x0)(xk− x1)· · · (xk − xk−1)(xk − xk+1)· · · (xk − xn) +

· · · + yn · (x− x0)(x− x1)· · · (x − xn−1) (xn− x0)(xn− x1)· · · (xn − xn−1) 整係數多項式的一次因式檢驗法(牛頓定理):

(整係數多項式方程式有理根檢驗法) 整係數多項式的一次因式檢驗法:

設 f (x) = anxn + an−1xn−1+· · · + a2x2 + a1x + a0 是整係數 n 次多項式。

若 px − q 是 f(x) 的因式, 且p和q為互質的整數, 則 p|an 且 q|a0

(即 p 必為 an 的因數, q 必為 a0 的因數)。

精選範例

例題1 求多項式 2x4− 7x2 − 9x − 5 除以 x2 − 2x − 1 的商與餘式?

[Ans:商:2x2 + 4x + 3 餘式 x− 2]

例題2 求特定項:

(a) 設 x 的多項式 x2+3 等於 a(x−1)(x−2)+b(x−2)(x−3)+c(x−1)(x−3) 求 a, b, c 值? [Ans:: a = 6, b = 2, c = −7 ]

(b) 已知兩多項式 x3+ 3x2− 4x + a 與 (x2+ x− 1)(x + b) − 5x + 5 相等, 求 a, b 值? [Ans:: a = 3, b = 2]

(c) 設 f (x) = 3x3− 5x2 + 4x− 1, g(x) = x2 + x + 2 求 f (x)÷ g(x) 之商式 與餘式? [Ans:: 商 3x− 8, 餘式 6x + 15]

(d) 設 f (x) = 3x4− 16x3+ 23x2+ 11x− 29 = a(x − 2)4+ b(x− 2)3+ c(x− 2)2+ d(x− 2) + e 求 a, b, c, d, e 值? [Ans:: a = 3, b = 8, c = −1, d = 7, e = 5]

(e) 用綜合除法求 4x4 − x2 + 5 除以 (2x− 3) 的商式與餘式?

[Ans:: 商 2x3 + 3x2 + 4x + 6, 餘式 23 ]

https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 多項式的運算與應用 · 例題3 設 x4 + 2 = (x2 + 2x− 5)(x2 + ax + b)− 28x + 47 求 a, b 值?

[Ans:: a = −2, b = 9 ]

例題4 若多項式 2x3− x2 + bx + a 可被 (x− 2)(x + 3) 整除, 求 a, b 值?

[Ans::a = 18, b =−15]

例題5 若 f (x) = 2x5− 13x4− 9x3+ 11x2+ 15x− 17 , 求 f(7) 值? [Ans::f (7) =

−59]

例題6 試分解出 f (x) = 6x4 − 5x3 + 9x2 + 4x− 4 的整係數一次因式?

[Ans::f (x) = (2x− 1)(3x + 2)(x2 − x + 2)]

例題7 設多項式 f (x) 除以 x− 1 的餘式為5, 除以 x + 2 的餘式為 −1, 則 f(x) 除以 (x− 1)(x + 2) 的餘式為何? [Ans:: 2x + 3]

例題8 求 x100− 10x + 9 除以 (x − 1) 的餘式? [Ans::0]

例題9 找出多項式 f (x) = 16x3 − x2 + 116 x − 1 的一次因式?

[Ans:: f (x) = 16(x − 1)(x − 2)(x − 3)]

例題10 設多項式 f (x) 分別除以 x− 1, x − 2, x − 3 所得餘式依次為 5, 10, 17 , 且 f(x) 除以 (x − 1)(x − 2)(x − 3) 的餘式為 r(x), 求餘式 r(x) ? [Ans:x2+ 2x + 2 例題11 已知多項式次數不超過3次, 且滿足 f (1) = 7, f (2) = 6, f (3) = 11, f (4) = 28,

求 f (5) 的值? [Ans:63

習題2-2 多項式的運算與應用

1. 設 f (x) = 8x3 + 4x2 − 16x + 5 , 將 f(x) 表成 (x − 1) 的多項式, 即 f(x) = a(x− 1)3 + b(x− 1)2 + c(x− 1) + d 之各項係數?

2. 試將 f (x) = 8(x− 1)3+ 28(x− 1)2 + 16(x− 1) + 1 展開並降冪排列?

3. 已知二次多項式 f (x) 滿足 f (1) = 5, f (2) = 11, f (3) = 19 , 求此多項式?

4. 計算 (x2− 4x + 3)(x3+ 2x2 − 4x + 3) 並降冪排列?

5. 試求 (9x + 8x2 + 7x3+· · · + 2x8 + x9)(x + 2x2 + 3x3 +· · · + 8x8 + 9x9) 的 展開式中的領導係數? 常數項? x10 項的係數?

6. 試求 f (x) = x4 − 3x3 + 4x2− 5x + 7 除以 x − 2 的商式及餘式?

7. 多項式 f (x) = x4 + ax + b 被 x2 + 3x + 1 所除, 商式為 x2 − 3x + 8 , 餘式為

−12x + 24 , 求常數 a, b 值?

8. 設 f (x) = x3+ 5x2− 10x + 5 , 將 f(x) 表成 (x − 2) 的多項式? 並求 f(2.001) 的值, 取近似值到小數點以下第三位?

9. 設 f (x) = x3 − 4x2 + 7x− 1 , 將 f(x) 表成 (x − 2) 的多項式?

(a) 求 f (2.003) 的值, 取近似值到小數點以下第三位?

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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 多項式的運算與應用 · (b) 求 f (2 +√

3) 值=?

(c) 求 f (x) 除以 (x− 2)2 的餘式?

10. 設 f (x) = x4 − 6x3 + 10x2− 17x + 18 = a4(x− 1)4 + a3(x − 1)3 + a2(x− 1)2+ a1(x− 1) + a0 , 其中 ai ∈ R 則 (a4, a3, a2, a1, a0) =? 又 f (1.01) 之近 似值取至小數點後第四位是多少?

11. 若 x4 − 2x3 + ax2 + 2x− b 能被 x2 + x− 2整除, 求 a =? b =?

12. 設 f (x) = (a + b)x2 + 5x + (c − 2), g(x) = −2x2 + (2a − b)x + 4 , 若 f (x) = g(x), 則 a, b, c =?

13. 多項式 x(x + 1)(x + 2)(x + 3)· · · (x + 9)(x + 10) 的展開式, x11, x9 項的係數 各為?

14. 設 f (x) = (x5 − 2x4 − 3x + 1)4 , 試求 f (x) 的展開式中, 各項係數和? 及其偶 次項係數和?

15. f (x) 為一多項式, a, b ∈ R, a 6= 0 , 若以 (ax − b) 除 f(x) 所得的商式為 q(x) , 餘式為 r, 則將 xf (xa) 除以 (x − b) 的商式及餘式為?

16. 求 (3x + 1)100 除以 (3x + 2) 的餘式?

17. 試求 f (x) = 3x3 − 4x2 + 5x− 2 除以 x − 2 的餘式為何?

18. 已知多項式次數不超過2次, 且滿足 f (1) = 1, f (2) = 2, f (4) = 10, 求 f (3) 的 值?

19. 設 f (x) 為三次多項式, 且 f (1) = f (−1) = 0, f(2) = 9, f(−2) = −15 , 試求 f (x)

20. 設 f (x)為一多項式, degf (x) = 3 且 f (1) = f (2) = f (3) = 4, f (4) = −8 求 f (x) =?

21. 多項式 f (x) = ax2 + bx + c 通過點 (11, 5), (12,−3), (13, 6) 求 f(14) =?

22. x4 + 4x2 + ax + b 可被 x2 + 1 整除, 求 a,b=?

23. 設 f (x) = x7 − 50x5 + 6x4 + 4x3+ 25x2− 30x + 11 , 求 f(7) 的值?

24. 設 f (x) = 3x4 − 17x3 + 28x2 − 11x + 3, 則 f(4 +

√13 3 ) =?

25. 求 115 − 4 · 114 − 73 · 113 − 50 · 112 + 70· 11 + 6 之值?

26. 設 f (x) = x5 + 2x2 − 3x − 1 求 f(1.99) 的近似值至小數點後第三位?

27. 設 f (x) = x3 − 5x2 − kx + 9 可被 x − 3 整除, 則 k =? 又 f(x) = 0 之根為?

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