包含正整數 (可數數 Z+ )、0、 負整數三類。(自然數 N :1, 2, 3,· · · 。 皮亞諾假設 自然數定義: 0, 1, 2, 3, · · · )
有理數 Q:
若 m, n 均為整數, 且 n 6= 0 , 凡可表示成 p 整數比 mny 的數, 稱為有理數。
整數、 有限小數 (最簡分數後, 分母只含2或5的質因數)、 循環小數 (最簡分數後, 分母含有2或5以外的質因數) 都可化為 “整數比 mn ” , 都是有理數。
有理數的四則運算:
1. ba + d
c = bc + ad ac 2. ba − d
c = bc− ad ac 3. ba × d
c = bd ac 4. ba ÷ d
c = b a × c
d = bcad 有理數運算律: r, s, t 為有理數
1. 加法交換律: r + s = s + r 。 乘法交換律: r · s = s · r
2. 加法結合律: (r + s) + t = r + (s + t) 。 乘法結合律: (r· s) · t = r · (s · t) 3. 分配律: r· (s + t) = r · s + r · t
有理數次序: r, s, t 為有理數
三一律: r > s, r = s, r < s 三式中恰有一式成立。
遞移律: 若 r > s 且 s > t 則 r > t ( 若r > s 則 r + t > s + t
r > s, t > 0 則 rt > st r > s, t < 0 則 rt < st 稠密性:
數線上對應整數的點稱為整數點。 對應有理數的點稱為有理點。 數線上的任何區段 中, 都有“無限多個”同樣的對應點, 具有此性質稱為稠密性。
整數無稠密性。
(任意兩相異有理數之間, 都可找到一個有理數) 有理數具有稠密性。(稠密性隱藏“無 窮”的意涵)
有理點的尺規作圖: (每個有理點均可尺規作圖)
相似三角形: △P MN ∼ △P QR ⇔ P M : P Q = P N : P R = MN : QR 若 P B//AD 則 OP : OA = OB : OD
1. 數線上 ←→
OA
2. 過原點 O 作一直線 L
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數與數線 ·
P
Q R
M N
O P A
B
D L
3. 在 L 上作 n 等分點 B, D, 使 OB : OD = m : n , 連接 AD , 過 B 點作 平行 AD 直線, 交數線於 P 點。 則 OP = OB
OD × OA = mn OA 無理數:數線上, 不是有理數的數, 稱為無理數 (無法化為兩整數比值的數)。
形如 √n 的無理數:
自然數 n 的標準分解式中, 某一個質因數出現奇數次方時, 則 √
n 為無理數。
√n 的無理數的尺規作圖: 若 n 可表示成兩整數平方和, n = a2 + b2 可利用直角 三角形畢氏定理斜邊長 =√
n。
或利用直角三角形母子相似定理:
AB2 = BC × BD, AD2 = BD× CD, AC2 = BC × CD 比例中項作圖: √
AD = pBD× CD A
B D C Q L
P E
F
無理數的近似值:
形如 √n 的無理數, 無理數 √
n = √
a2 ± b .
= a ± b2a 。 無理數的多樣性:
除了形如 √n 的無理數外, 諸如 √3
2 = 1.25992105· · · 、1 + √
3 = 2.732 、 圓 周率 π = 3.141592653 · · · 、 特殊數 e = 2.7182818284 · · · , 化成十進位數都 是“不循環的無限小數”。
我們可造成許多無理數, 如 0.101001000100001 · · · , 它是由0與1組成, 夾在兩 個1之間“0的個數”逐漸增加, 是一個不循環的無限小數。
實數 R :
有理數與無理數合在一起稱為實數。 任意實數 α , 則 α2 ≥ 0
順伯的窩
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數與數線 · 2. 數線上兩點 A(a), B(b) 的距離為 AB = |a − b| = |b − a|
3. 絕對值性質: 兩實數 a, b (a) |a| ≥ 0
(b) |a| = | − a|
(c) |a|2 = |a2| (d) |a||b| = |ab|
(e) |a|
|b| = |ab|, b 6= 0 (f) |a| ≤ |b| ⇔ a2 ≤ b2
(g) 三角不等式 |a + b| ≤ |a| + |b|
精選範例 例題1 已知 √
5 < √
6 < √
7 , 試問 √
6 比較接近 √
5 或 √
7 ? [Ans:較接近 √ 7]
例題2 設 a, b 為有理數, 且滿足 (a− b) + (a + b)√
2 = (3− a) + (4 − b)√
2 , 求 a, b 值? [Ans:a = 2, b = 1]
例題3 設 a, b 為實數, 且滿足 (a−1)2+(b−2)2 = 0 , 求a, b 值? [Ans:a = 1, b = 2]
例題4 設 a, b, c 為整數, 且滿足 (a− 1)2 + 2(b− 2)2 + 3(c + 1)2 = 1 , 求a, b, c 值?
[Ans:a = 0, 2, b = 2, c =−1]
例題5 設 a, b, c 為整數, 且滿足 |a − 1| + 2|b − 2| + 3|c + 1| = 1 , 求a, b, c 值?
[Ans:a = 0, 2, b = 2, c =−1]
例題6 若 a 為正整數, 且 1399 < 0.1a2 < 14
99 , 求 a 值? [Ans:a = 3]
習題1-1 數與數線 1. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為整數, 則 a, b 是否為整數?
2. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為有理數, 則 a, b 是否為有理數?
3. 已知 a, b 為有理數, 且 (2−√
2a + 5√
2b = 4 + 3√
2) , 求 a, b 值?
4. 將 1
5607 − 1
6853 化為最簡分數 ba , 求分母 a 及分子 b?
5. 將 1
4369 + 1
5911 化為最簡分數, 則其分母為 ?
6. 設 a, b ∈ Q 且 a < b , 則下列何者為真? (A)a < 2a + b3 < a + 2b3 <
b (B)a < 3a + b4 < a + 3b4 < b (C)a < a + 3b4 < 2a + 2b4 < b (D)a <
a + b
3 < b (E)a < 3a + 2b5 < 2a + 3b5 < b 7. 滿足 27 < n
300 < 6
11 的正整數 n有幾個?
順伯的窩
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