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數與數線

在文檔中 99math1 (頁 3-7)

包含正整數 (可數數 Z+ )、0、 負整數三類。(自然數 N :1, 2, 3,· · · 。 皮亞諾假設 自然數定義: 0, 1, 2, 3, · · · )

有理數 Q:

若 m, n 均為整數, 且 n 6= 0 , 凡可表示成 p 整數比 mny 的數, 稱為有理數。

整數、 有限小數 (最簡分數後, 分母只含2或5的質因數)、 循環小數 (最簡分數後, 分母含有2或5以外的質因數) 都可化為 “整數比 mn ” , 都是有理數。

有理數的四則運算:

1. ba + d

c = bc + ad ac 2. ba − d

c = bc− ad ac 3. ba × d

c = bd ac 4. ba ÷ d

c = b a × c

d = bcad 有理數運算律: r, s, t 為有理數

1. 加法交換律: r + s = s + r 。 乘法交換律: r · s = s · r

2. 加法結合律: (r + s) + t = r + (s + t) 。 乘法結合律: (r· s) · t = r · (s · t) 3. 分配律: r· (s + t) = r · s + r · t

有理數次序: r, s, t 為有理數

三一律: r > s, r = s, r < s 三式中恰有一式成立。

遞移律: 若 r > s 且 s > t 則 r > t ( 若r > s 則 r + t > s + t

r > s, t > 0 則 rt > st r > s, t < 0 則 rt < st 稠密性:

數線上對應整數的點稱為整數點。 對應有理數的點稱為有理點。 數線上的任何區段 中, 都有“無限多個”同樣的對應點, 具有此性質稱為稠密性。

整數無稠密性。

(任意兩相異有理數之間, 都可找到一個有理數) 有理數具有稠密性。(稠密性隱藏“無 窮”的意涵)

有理點的尺規作圖: (每個有理點均可尺規作圖)

相似三角形: △P MN ∼ △P QR ⇔ P M : P Q = P N : P R = MN : QR 若 P B//AD 則 OP : OA = OB : OD

1. 數線上 ←→

OA

2. 過原點 O 作一直線 L

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P

Q R

M N

O P A

B

D L

3. 在 L 上作 n 等分點 B, D, 使 OB : OD = m : n , 連接 AD , 過 B 點作 平行 AD 直線, 交數線於 P 點。 則 OP = OB

OD × OA = mn OA 無理數:數線上, 不是有理數的數, 稱為無理數 (無法化為兩整數比值的數)。

形如 √n 的無理數:

自然數 n 的標準分解式中, 某一個質因數出現奇數次方時, 則 √

n 為無理數。

√n 的無理數的尺規作圖: 若 n 可表示成兩整數平方和, n = a2 + b2 可利用直角 三角形畢氏定理斜邊長 =√

n。

或利用直角三角形母子相似定理:

AB2 = BC × BD, AD2 = BD× CD, AC2 = BC × CD 比例中項作圖: √

AD = pBD× CD A

B D C Q L

P E

F

無理數的近似值:

形如 √n 的無理數, 無理數 √

n = √

a2 ± b .

= a ± b2a 。 無理數的多樣性:

除了形如 √n 的無理數外, 諸如 √3

2 = 1.25992105· · · 、1 + √

3 = 2.732 、 圓 周率 π = 3.141592653 · · · 、 特殊數 e = 2.7182818284 · · · , 化成十進位數都 是“不循環的無限小數”。

我們可造成許多無理數, 如 0.101001000100001 · · · , 它是由0與1組成, 夾在兩 個1之間“0的個數”逐漸增加, 是一個不循環的無限小數。

實數 R :

有理數與無理數合在一起稱為實數。 任意實數 α , 則 α2 ≥ 0

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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 數與數線 · 2. 數線上兩點 A(a), B(b) 的距離為 AB = |a − b| = |b − a|

3. 絕對值性質: 兩實數 a, b (a) |a| ≥ 0

(b) |a| = | − a|

(c) |a|2 = |a2| (d) |a||b| = |ab|

(e) |a|

|b| = |ab|, b 6= 0 (f) |a| ≤ |b| ⇔ a2 ≤ b2

(g) 三角不等式 |a + b| ≤ |a| + |b|

精選範例 例題1 已知 √

5 < √

6 < √

7 , 試問 √

6 比較接近 √

5 或 √

7 ? [Ans:較接近 √ 7]

例題2 設 a, b 為有理數, 且滿足 (a− b) + (a + b)√

2 = (3− a) + (4 − b)√

2 , 求 a, b 值? [Ans:a = 2, b = 1]

例題3 設 a, b 為實數, 且滿足 (a−1)2+(b−2)2 = 0 , 求a, b 值? [Ans:a = 1, b = 2]

例題4 設 a, b, c 為整數, 且滿足 (a− 1)2 + 2(b− 2)2 + 3(c + 1)2 = 1 , 求a, b, c 值?

[Ans:a = 0, 2, b = 2, c =−1]

例題5 設 a, b, c 為整數, 且滿足 |a − 1| + 2|b − 2| + 3|c + 1| = 1 , 求a, b, c 值?

[Ans:a = 0, 2, b = 2, c =−1]

例題6 若 a 為正整數, 且 1399 < 0.1a2 < 14

99 , 求 a 值? [Ans:a = 3]

習題1-1 數與數線 1. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為整數, 則 a, b 是否為整數?

2. 若 2a + 3b, 3a + 2b 均為有理數, 則 a, b 是否為有理數?

3. 已知 a, b 為有理數, 且 (2−√

2a + 5√

2b = 4 + 3√

2) , 求 a, b 值?

4. 將 1

5607 − 1

6853 化為最簡分數 ba , 求分母 a 及分子 b?

5. 將 1

4369 + 1

5911 化為最簡分數, 則其分母為 ?

6. 設 a, b ∈ Q 且 a < b , 則下列何者為真? (A)a < 2a + b3 < a + 2b3 <

b (B)a < 3a + b4 < a + 3b4 < b (C)a < a + 3b4 < 2a + 2b4 < b (D)a <

a + b

3 < b (E)a < 3a + 2b5 < 2a + 3b5 < b 7. 滿足 27 < n

300 < 6

11 的正整數 n有幾個?

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