5)x + (1−√
5)y = 8− 2√
5 , 求 x,y 之值?
9. 設 a ∈ R, 若 a12 ∈ Q 且 a5 ∈ Q 則 a 是否必為有理數?Why?
10. 設 37 化為小數後, 小數點以下第 n 位數字為 f(n), 則 f(1) + f(2) + · · · + f (12) =?
11. 求滿足 |3x + 1| = 4 的實數 x 值?
12. 解方程式 |x − 1| + 2|x − 4| = 6, x ∈ R 13. 設 x, y 為正實數且 x + y = 2 , 求 2y
x + 2x
y 的最小值?
14. 設 a, b 是正實數, 試證: a + b2 ≥√
ab (算幾不等式) 1.2
式的運算
乘法公式:
1. 完全平方公式: (a± b)2 = a2 ± 2ab + b2 2. 平方差公式: a2 − b2 = (a + b)(a− b)
3. 立方和公式: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) 4. 立方差公式: a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)
5. 和立方公式: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a3 + b3) + 3ab(a + b) 6. 差立方公式: (a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a3 − b3)− 3ab(a − b) 分解因式:
把二次或二次以上的式子分解成較低次數的因式乘積, 稱為因式分解。
常見的因式分解方法:
1. 先提出公因式:(分組配對) 物以類聚法。 2xy + y − 2xz − z
2. 乘法公式: 平方公式、 平方差公式、 立方和、 立方差、 完全立方公式等。
3. 十字交叉乘法 (二次三項式):(ax + b)(cx + d) 4. 雙十字交叉乘法:(a1x + b1y + c1)(a2x + b2y + c2) 5. 拆項配方 (乘法公式) 法: x4 + x2 + x
根式的運算性質:
a ≥ 0,√
a 表為方程式 x2 = a 的非負解。
1. 若 a, b > 0 則 √
a2b = a√ b 2. 若 a, b > 0 則 √
a√
b = √ ab 3. 若 a, b > 0 則
√√a
b = qa b
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 式的運算 ·
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 式的運算 · 2. 無理數 p17 + √
80 的小數表示法中, 其整數部份為 ? 3. a = √
21, b = p21 +√
21 , 問 a, b 分別最接近哪一整數?
4. 化簡根式: p18− 2√
77 =? p9 + 4√ 5 =?
5. 比較 a,b 大小? a = √
5 +√
3, b = √
6 +√ 2 6. 展開下列各式:
(a) (2x3 + 3x− 1)(x2 + 4)
(b) (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ac)
7. 因式分解下列各式: (1) x4 + 3x2 + 4 (2) x2 − 8xy + 15y2 + 2x− 4y − 3 8. 因式分解下列各式:
(a) (x + 4)(x− 9) + 5x (b) x6 − 81
(c) x2 + y2 − z2 + 2xy
(d) (2x− 5)(x + 1) + (3x + 2)(x + 1)
(e) 2(3x + 1)2 − 3(3x + 1)(x − 3) + (x − 3)2 9. 將 96− 64 寫成標準分解式
10. 計算下列式子的值?
(a) 2011× 2012 − 2009 × 2013 (b) 40.5× 39.5
(c) (19)3 (d) (10.1)3 11. 設 a = √
3 + 1, b = √
3− 1 , 求 (a) a + b =
(b) ab = (c) a− b = (d) a2 + b2 =
(e) a2 − b2 = (f) a3 + b3 = 12. 設 x = p7−√
40, y = p7 +√
40 , 試求 x2 + 3xy + y2 之值?
13. 已知 a =
√3 + 1
√3− 1, b =
√3− 1
√3 + 1 求下列各值: (1)a+b (2)ab (3)a2+b2 (4)a2−b2
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 簡單多項式函數及其圖形 · 一次函數:
f (x) = ax + b, a 6= 0 又稱為線性函數。 圖形為斜率為 a, b 為直線 L 的截距。
直線的斜率: 直線 L 與 x 軸正向的夾角稱為斜角θ, 則直線斜率 m = ∆y∆x =
y2 − y1
x2 − x1 = tan θ x y
L : y = mx + b
∆x
∆y
點斜式:y − b = m(x − a) , 表必過點 (a, b) , 斜率為 m 的直線。
二次函數 f (x) = ax2 + bx + c 圖形與係數關係:
1. a 值: a > 0 開口向上, a < 0 開口向下。
2. b 值: 由頂點坐標 (−b2a , −b2 − 4ac
4a ) 在哪一象限判斷來決定。
3. c 值: 圖形與 Y 軸交點坐標 (0, c) 位置來判定。
4. ∆ = b2 − 4ac :
由圖形與 X 軸交點個數判定 (交點即方程式 ax2 + bx + c = 0 之解) (a) 若圖形與 X 軸交兩點 ⇔ ∆ > 0
(b) 與 X 軸相切 (交一點) ⇔ ∆ = 0 (c) 與 X 軸不相交 ⇔ ∆ < 0
x y
D > 0: 與 x 軸交兩點
x y
D = 0: 與 x 軸相切, 恰交一點 x
y
D < 0: 與 x 軸不相交 二次函數恆正、 恆負的條件:
f (x) = ax2 + bx + c
1. 若 ∀x ∈ R, f(x) ≥ 0 ⇔ a > 0, b2 − 4ac ≤ 0 2. 若 ∀x ∈ R, f(x) ≤ 0 ⇔ a < 0, b2 − 4ac ≤ 0 二次函數的極值:
f (x) = ax2 + bx + c 1. 當 x = −b2a 時
a > 0 , f (x)有最小值 − b2 − 4ac 4a a < 0 , f (x)有最大值 − b2 − 4ac
4a
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 簡單多項式函數及其圖形 · 奇函數圖形對稱於原點 (0, 0), 偶函數圖形對稱於 y 軸。
−2 −1 1 2 3 4
−4
−2 2 4 6
y = x y = x3 y = x5
奇函數圖形: 對稱原點
−2 −1 1 2 3
−4
−2 2 4
6 y = x4
y = x2 偶函數圖形: 對稱 y 軸
利用平移、 伸縮、 對稱性質描繪圖形:
1. 若 (x, y) 是函數 y = f (x) 圖形上的點, 則新函數 Y = y + k = f (x + h) 的圖形是 y = f (x) 圖形平移 (h, k) 單位。
2. 若 (x, y) 是函數 y = f (x) 圖形上的點, 而新函數 Y = by, X = ax 則 Y = f (X) 圖形是 y = f (x) 圖形 x 軸方向左右伸展a倍、y 軸方向左右伸 展b倍。
3. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (−x, y) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 y 軸。
4. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (x,−y) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 x 軸。
5. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (−x, −y) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 原點 (0, 0) 。
6. 若 (x, y) 是圖形上一點, 且 (y, x) 也是圖形上的點坐標, 則圖形對稱於 x = y 例: |x| + |y| = 1 圖形具有對稱 x 軸、 對稱 y軸、 對稱原點、 對稱直線 y = x 特 點。
y = f (x) =|x| 圖形只具有對稱 y軸特點。y = x3 圖形具有對稱原點特點。
高次函數的圖形:*利用微積分性質 (遞增遞減區間、 極值、 反曲點、 開口方向、 漸近線
· · · 等) 描繪圖形。
精選範例
例題1 已知常用的溫度計有兩種華氏◦F 與攝氏◦C, 且彼此間的關係為線性函數, 又 0◦C = 32◦F, 100◦C = 212◦F 設 x◦C = y◦F , 試求 x, y 的關係式? [Ans:y =
9
5x + 32]
例題2 求下列二次函數在閉區間上的最大值與最小值? y = x2 − 2x + 3, x ∈ [−1, 2]
[Ans:x = 1, min = 2; x =−1, Max = 6]
例題3 設 f (x) = 2x2− 3x + k , 不論 x 為任何實數, 所對應的 f(x) 值恆為正數, 求實 數 k 的範圍? [Ans:k > 98 ]
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 簡單多項式函數及其圖形 · 例題4 一矩形周長為20, 求其矩形面積最大值, 又面積最大時其長與寬分別為何?
[Ans:面積最大 A = 25 長、 寬為5]
例題5 將函數 f (x) = 2x2 的圖形, 向左移 3 單位, 再向上移 4 單位, 所得之新圖形為 y = g(x) 的圖形, 求 g(x) 為何? [Ans:g(x) = 2(x + 3)2 + 4]
例題6 找出二次函數 f (x) = 2x2− 4x + 5 的頂點坐標及對稱軸方程式?
[Ans:V (1, 3), L : x = 1]
例題7 坐標平面上, 二次函數 y = ax2+ bx + c 圖形所表示的拋物線, 其對稱軸為 x = 1 且圖形通過 P (2, 6), Q(−1, 12) 求 a, b, c 的值? [Ans:a = 2, b = −4, c = 6]
習題2-1 簡單多項式函數及其圖形 1. 過兩點 P (−4, 3), Q(2, −3) 的直線斜率?
2. 如圖中, 直線 L1, L2, L3, L4 的 斜率分別為 m1, m2, m3, m4 試將斜率按大小排 序?
L L
L
L 1
2
3
4
X Y
3. 已知三點 A(3,−2), B(−1, −5), C(a, −2a + 1) 共線, 則 a =?
4. 二次函數 y = f (x) = x2 − 2x − 4 且 −3 ≤ x ≤ 3 , 求 y 的最大值與最小值?
5. 已知任意實數 x , 恆使 x2 − 6x + k 的值為正數, 求實數 k 的範圍?
6. 函數 y = x2 , 將其圖形如何平移可得到 Γ1 : y + 3 = (x− 1)2 的圖形?
7. 討論 Γ : y = 4x2 與 Γ′ : y + 3 = −4(x − 1)2 的圖形關係?
8. 討論 Γ : y = x2 與 Γ′ : y = 4x2 的圖形關係?
9. 試問沿著坐標軸方向平移, 如何可將二次函數 y = −2x2 + 4x − 1 的圖形移到 y = −2x2 − 12x − 14 的圖形上呢?
10. 求函數 f (x) = x2 − 4x + 2, 0 ≤ x ≤ 3 的最大值與最小值?
11. 設 x, y 為實數, 滿足 x + 2y = 4, x ≥ 0, y ≥ 0, 求 x2 + y2 的最大值與最小值?
12. 設 f (x) = (x− 1)2 + 3(x− 2)2+ (x − 3)2 , 當 x =? 時 f (x) 有最小值?
13. 設 f (x) = |x − 1| + 3|x − 2| + |x − 3| , 當 x =? 時 f(x) 有最小值?
順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 多項式的運算與應用 ·