在第一節的研究結果中，我們看到《數值操作單》及《符號操作單》
所潛藏的示能性，引動學生連結的數學概念及學生所展現的摺紙方法。在 第二節的研究結果中，我們看到了學生從實際數值探索階段到符號形式探 索推理階段，從數字到符號 x 的引入後，心理歷程的轉換及其探索的記錄 之現象與特徵(主要看學習單 Q3)。在本節中，我們將聚焦於學生形式化證 明輸出的特徵(主要看學習單 Q4)。
由於摺法的不同會直接造成摺痕上的差異，本研究從資料蒐集和觀察 發現，在前、後階段中學生的摺法變化並不大，但摺痕卻有明顯的改變。
因此在本節報導方式，會先就整體摺痕的變化作概括的論述，接著再就摺 痕數量變化與學生解題思想及其形式化證明的關聯，作進一步的探討。
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針對這樣的結果，研究者推測這可能是一個典型的現象(prototypical type)，當《數值操作單》上摺弦切角的問題情境被引入時，學生的心理運 思開始運作，由於每位學生在學習的過程中，對於「角」的概念心像各有 不同，若學生傾向於習慣看大於 45 度的角，那他在操作單上所摺出的弦
符號操作單
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切角就有比較高的機會大於 45 度；而對傾向於習慣看小於 45 度的角的學 生來說亦同。
而這樣的習慣傾向並不容易被改變，因此，當在《符號操作單》上被 要求再摺一次弦切角，學生的心理運思很可能再喚起和操作《數值操作單》
時一樣的心像，造成了有高達 76.9%學生在兩張操作單上所摺的弦切角之 間差異不大的結果。
此現象和摺紙的關聯
根據文獻上顯示，進行一個證明最困難的不是如何繼續，而是如何開 始。當學生在沒有標記刻度的《符號操作單》上摺出了一個和《數值操作 單》差不多的角度時，摺痕和操作單上的附圖會形成新的圖形，這個在《符 號操作單》上的新圖形對學生來說是一種新的刺激，但由於和《數值操作 單》上的圖形相似度極高，容易將《數值操作單》曾做的操作動作和新的 圖形產生連結，嘗試使成功經驗遷移到較需符號表徵的新情境。
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○2 《符號操作單》上的摺痕數量較《數值操作單》上的摺痕數少
研究者本身的教學經驗是，若使用傳統的紙筆教學，學生並無法建構 出很多條輔助線，或是較難建構出不直觀的輔助線。然而，在本研究中，
學生在數值實例的探索階段所建構出來的摺線和輔助線平均來說超過 4 條，
而在教科書中所印的證明，所需要的輔助線只有直線 PO，學生所建構出 來的摺線，其中有很多都是使用紙筆教學很難想到的。
從圖 4-3.2 可以看出學生 S07 所建構出來的摺線，和摺紙可以輕易地 將角度對摺等分的特性有關，其作法是：先摺出弦 PQ 形成弦切角。但是 接下來他並沒有使用《數值操作單》左半圓的標記角度，而是做出直徑 PO 後得到 90 度的角度，再摺出切線 L 和直徑 PO 的角平分線得到 45 度，利 用類似二分法的方式，藉由不斷的摺出角平分線逐步逼近其所摺的弦 PQ，
最後再把這些角度相加求和，得到一個有小數點後五位的估計值，不論是
《數值操作單》或是學習單上，都可以看到該生做了許多很繁瑣的計算來 得到第一階段實際數值實例階段的答案。
該生將操作單不斷的對摺再對摺，想要用二分法的方式將已知角度逼 近未知的弦切角角度，若是平時的紙筆問答，很難能得出如圖 4-2.3 般眾 多且交錯複雜的摺線；而 S50 的摺線雖然沒有前者多，但像該生一樣同時 作出這兩條輔助線(OP 直線和 OQ 直線)對大部分學生來說仍是困難的。
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圖 4-3.2 左為 S07 之《數值操作單》；右為 S50《數值操作單》
圖 4-3.3 S07 之學習單 Q1 和 Q2 的回答
研究另外發現，有 32 位學生(約 61.5%)在《符號操作單》上的摺痕數 量都有變少的跡象；有 14 位學生(約 26.9%)在《符號操作單》上的摺痕數 量和《數值操作單》一樣多。對大部分學生來說，在實際數值探索階段中，
其摺紙步驟和摺痕較多，所有樣本平均用了 4.15 條摺痕；而到了符號形式 階段時，所有樣本平均摺痕數量減少為 2.9 條(平均變少了 25%)，前後兩 階段操作單上摺痕數量變化如表 4-3.1。
摺痕數量變少 摺痕數量不變 摺痕數量變多
人數 (52 人) 32 14 6
% 61.5 26.9 11.5
表 4-3.1 前後兩階段操作單上摺痕數量變化
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此現象和摺紙的關聯
學生得以建構出這麼多條輔助線的原因，可以藉 Norman(1999)示能性 (perceived affordance)的想法來看。操作單上所印的數學物件提供了示能性，
及操作單本身具有很強烈的可操作性，使得學生能做出許多不同的動作，
例如：摺、畫、摺、翻、轉或對摺…等。因此能建構出許多不同的輔助物 件，而這個動作在傳統的紙筆形式問題中可能沒有辦法這麼多元。
每完成一個動作，操作單上新圖形所給予的視覺回饋會刺激學生連結 新的概念，然後繼續操作，直到找出解題或證明的方法為止。弦切角的證 明需要輔助線的建構，對學生來說困難度頗高，但是經由這樣的操作動作，
提高了學生從無法證明到完成證明的比例和可能性。
《符號操作單》上的摺痕數量減少，表示歷經了實際數值階段的嘗試 和試誤之後，大部分學生在操作過程中，並非僅僅只做到按照題目要求計 算出弦切角大小而已，在外部探索和內部探索之間，會不斷的互相影響，
內部的心理過程會引起外部的操作動作；而每一個摺紙動作產生的新圖形，
也會刺激心理思考，選擇包裹式的一系列推理步驟，或是新的想法或解題 方向。這樣的操作、連結和說服的循環會不斷進行，直到學生漸漸釐清數 學物件之間的關係，然後發現弦切角證明的關鍵輔助線為止。
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○3 不論學生摺法為何，在《符號操作單》上一定會有直線 OP 這條摺線 觀察學生的操作單發現，在所有摺痕數量減少的學生中，不論其原本 在《數值操作單》上的摺法為何，通過切點 P 且垂直於切線 L 的 OP 直線 是學生在《符號操作單》中一定會建構出來的摺線。
而由於大多數的同學在《數值操作單》中的主要摺法是利用摺出直徑 OP，將弦 PQ 對稱到左半圓來得到標記刻度再做推理，故當進入符號形式 階段後，其實就不需要弦 PQ 的對稱弦了。因此，大多數在《符號操作單》
中使用的推理方式是用 90 度扣除圓周角的學生，最容易減少的是這一條 在實際數值探索推理階段必須，但在符號形式探索推理階段就不需要的對 稱弦。
以下以學生 S12 的摺痕和其形式化證明之關係舉例說明之。
如圖 4-3.4，左為 S12 之《數值操作單》，右為 S12 之《符號操作單》，
圖 4-3.4 左為 S12 之《數值操作單》；右為 S12 之《符號操作單》
對比兩張操作單的掃描圖可以看出，該生在《數值操作單》上的摺痕 共有 5 條，而這 5 條摺痕之中，最後用以解題的輔助線有 3 條(實線部分)；
但是到了第二階段，其《符號操作單》上的摺痕僅剩 2 條(實線部分)，且 皆是用以解題的重要關鍵摺線。
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從《數值操作單》上的紀錄可以看出，該生在實際數值探索推理階段 的探索過程中，幾乎已經把可以連線的任兩點連起來了，在這個過程中，
對稱是該生解題時很重要的核心概念，因此操作單上所有的摺線全都左右 對稱，在操作的歷程中，該生逐漸弄清楚其所建構出來的數學物件之間的 關係，也逐漸釐清他所得到的這些關係和題意所求之間的關聯性，最後選 擇其中的幾條《數值操作單》上的摺線當作其輔助線，利用等腰三角形底 角相等的性質完成題目所求。
圖 4-3.5 S12 學習單 Q2 之回答
而從 S12 在《數值操作單》的摺痕紀錄來看，可以推測該生在探索活 動的一開始心中可能並沒有一個確切的目標或解題策略，沒有想好做了這 一步之後的下一步該怎麼辦的無目標性導向操作，直到當他把所有可以連 的線都連起來之後，發現了等腰三角形，從這個時候開始，該生的動作就 轉成了為達成某種心中設定好的目標而操作的有目標性導向操作。因此，
在一個探索過程中，所做的動作並非一定全部都是有目標性導向操作或無 目標導向操作，很有可能的情形是，學生的動作在這兩種操作之間切換。
由圖 4-3.5 的敘述來看，該生經歷了摺紙的探索過程並得到解答，但 當被要求在學習單上描述其求解的步驟時，很明顯的可以看出在敘述過程 中，少了 RO 和直線 L 這條摺線，可見該生在摺紙和寫下步驟和原因之間，
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又經歷了一次內部探索的心理運思，對其步驟流程作出「選擇」，剔除掉 解題時用不到的摺線。
由於學生 S12 在實際數值探索推理階段經歷過上述的內部探索和摺線 選擇，而等腰三角形和 90 度在他的推理中是很重要的兩個概念。因此當 該生被要求在《符號操作單》上重新再操作一次時，學生就會先建構出直 線 OP 和過弦端點 Q 和圓心 O 的直線 OQ 這兩條直線了。
圖 4-3.6 左為 S12 學習單 Q3 之回答；右為 S12 學習單 Q4 之回答
學生在學習單 Q4 形式化證明的特徵
特徵 1：學生的形式化證明會將學習單 Q3 中的 x 替換成弧 PQ
從上圖 S12 的學習單 Q3 和學習單 Q4 的回答可以看出，該生心中認 可的形式化證明不能出現 x 這個符號，因此當被要求在學習單 Q4 作形式 化證明時，該生把他在學習單 Q3 中的所有 x 替換成弧 PQ，其所有的證明 想法及邏輯步驟都來自於已經過多次精煉簡化步驟之後的學習單 Q3，摺 痕的選擇及精煉，讓學生在一次次反覆的思考中，逐漸把目標聚焦在以該 方法解題時，所必需的數學概念和輔助線上。
從上圖 S12 的學習單 Q3 和學習單 Q4 的回答可以看出，該生心中認 可的形式化證明不能出現 x 這個符號，因此當被要求在學習單 Q4 作形式 化證明時，該生把他在學習單 Q3 中的所有 x 替換成弧 PQ，其所有的證明 想法及邏輯步驟都來自於已經過多次精煉簡化步驟之後的學習單 Q3，摺 痕的選擇及精煉，讓學生在一次次反覆的思考中，逐漸把目標聚焦在以該 方法解題時，所必需的數學概念和輔助線上。