摺紙對國三學生建構幾何堆裡證明的影響

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響. 研究生：吳嵐婷. 中華民國一 0 二年一月.

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(3) 致. 謝. 論文寫作過程，曾幻想過致謝裡應該寫些什麼好。資料分析遇到瓶頸時，曾跟同事開玩笑：如果我的論文有 120 頁，那致謝應該佔了 100 頁吧！現在我真的要畢業了，才發現這些感謝實非三言兩語就可以表達的清楚。謝謝我的指導教授：謝豐瑞博士，謝謝老師總是用無比的耐心來對待常常賴皮的我，給我無數的研究建議和鼓勵，帶領我走出資料分析的迷霧，去了 PME 還做了一年的補救教學。雖然我愛講些有的沒的，但我從沒忘記老師的期許，還有老師用身教告訴我的：不到最後關頭不能輕易放棄。謝謝口試委員邱守榕教授、羅昭強教授、施皓耀教授，在百忙之中抽空為拙作提供寶貴的意見，使得這本論文能更加完整。謝謝師門學長姊和學弟妹的時相討論，書志學長、佳叡學長、婷瑩學姐、國亨學長、嘉聲學長、俊麟學長、志瑋學長、慈宜學姐、佩蓁學姐、啟台學長、桂銘、筱芸、雅霙、旻怡、鈺傑、韋樺、怡寶，砥礪學習的時光令人難忘，需要討論的話，我很樂意盡棉薄之力。特別是玉惇和世偉，同窗的緣分從教師甄試延續到碩班，箇中辛苦只有一起經歷過的人才懂。尤其婷瑩學姐和志瑋學長陪伴的 118 末日工作小組，讓我最後三個月工作到天亮的日子不孤單，一起討論一起吃吃喝喝一起互相安慰取暖或嚇得半死，能跟你們一起畢業我很開心也很驕傲。恭喜「分錢五人組」任務圓滿達成！祝福我們彼此今後的目標順利、順心。謝謝我的同事、好友和學生們總是給我許多的體諒與支持。謝謝新光國中的同事，這兩年包容了我所有事情和脾氣，成全我想在工作、課業和論文寫作想三全的私心，義無反顧的代課和代導之恩我點滴銘記在心。小阿姨、以凡、胖丁、筱兼、雅婷、慈婷和如婷，電話裡的閒聊雖然對話內容很無聊，但給了我許多溫暖和動力。怡君老師總是記得從遙遠的淡水捎來關心。心靈導師逸鈴老師總是知道如何緩和我的焦慮，用食物攻勢溫暖了我的身心靈，保全了我的健康，在連我都不相信自己的時候，只有妳一直相信我。親愛的室友兼剋星 Donna 姐，妳是我心目中的廚神和家事女神，還有半夜三點陪我的 skype 約會，今前今後朵公主永遠可以指使杜嵐做東做西。最後，謝謝我的家人我爸、我媽(雖然她至今還是以為我每天 11 點睡)、我妹、我弟，和常常倚門等我回家的阿嬤，沒有家人的支持和鼓勵，我沒有辦法走到現在。集眾人的祝福和幫助，很幸福的完成這份論文，未來的路還很長，最大的收穫是謙卑，在研究上、教學上、人生，我都還只是個新手，還有太多太多的事等著我去探索和體驗，希望我能一直保持謙卑的心態的去完成。 102.01.21.

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(5) 摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響摘要證明是人類發展數學思考和學習邏輯演繹推理的工具之一。然而，卻也是學子們學習數學的大關卡之一，不知證明如何開始，及如何建構輔助線一直是學生的困惑。本研究以尚未正式學習幾何證明的 52 位國三學生為樣本，利用兩階段的摺紙操作活動讓學生發現弦切角的大小並完成形式化證明，透過《數值操作單》、《符號操作單》、和學生在學習單上四個問題的問答，探討摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響。研究工具設計讓學生能夠使用不同的摺紙方法，從實際數值開始再逐步抽象到數學符號表徵，自己推導出弦切角角度大小和弦及切線所夾弧度之間關係，並對此做出形式化證明。研究結果顯示，操作單及其上的圖形所提供的示能性，讓學生對其進行操作，摺紙的過程可能是有目標性的操作或可能是無目標性的操作；內部心理歷程和外部動手操作會交互影響，直到學生得到可行的解題想法；輔助線的出現有時不全然是操作單上已出現的摺痕，但此輔助線的出現或消失是受原摺線的影響；在實際數值探索階段看似多餘的摺線，可能引動學生在符號形式探索推理階段的思考；摺紙操作不僅增加了學生數學課堂的參與度，也讓學生跨出了建構輔助線的第一步。在摺紙過程中，學生反覆進行了內部和外部的探索歷程，將摺紙的操作動作和次序，轉換成形式化證明的邏輯推理和步驟。. 關鍵字：幾何證明、摺紙、探索活動.

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(7) 目第壹章. 錄. 緒論 ............................................................................. 1. 第一節. 研究動機 ............................................................... 1. 第二節. 研究目的暨研究問題 ........................................... 3. 第三節. 名詞解釋 ............................................................... 4. 第貳章. 文獻探討 ..................................................................... 6. 第一節數學思維 ................................................................. 6 第二節學生學習幾何推理證明的相關研究 ................... 10 第三節摺紙融入教學的相關研究 ................................... 13 第参章. 研究方法 ................................................................... 19. 第一節研究架構 ............................................................... 19 第二節研究方法與研究設計 ........................................... 22 第三節研究對象 ............................................................... 23 第四節研究工具 ............................................................... 24 第五節研究工具的沿革 ................................................... 26 第六節研究限制 ............................................................... 35 第肆章. 研究結果 ................................................................... 36. 第一節各種摺法引動之數學概念及推理 ....................... 36 i.

(8) 第二節學生心理歷程轉換的現象與特徵及符號形式探索推理記錄的特徵 ............................................................. 59 第三節學生摺紙方法、證明的想法或形式之關聯 ....... 74 第四節摺紙活動對學生證明想法的影響 ....................... 96 第伍章. 研究結果 ................................................................. 116. 第一節結論 ..................................................................... 116 第二節建議 ..................................................................... 118 參考文獻 ................................................................................. 119. ii.

(9) 圖. 目. 錄. 圖 2-3.1 引自 EP-spectrum 部分架構圖 ............................................................... 17 圖 3-1.1 EP-spectrum 架構圖和本研究兩階段對應關係 ..................................... 19 圖 3-1.2 本研究架構圖 ......................................................................................... 20 圖 3-5.1 現行某版本課本內容 ............................................................................. 27 圖 3-5.2 第一次研究工具設計之操作單 1 ........................................................... 28 圖 3-5.3 第一次研究工具設計之操作單 2 ........................................................... 28 圖 3-5.4 第一次研究工具設計之操作單 3 ........................................................... 29 圖 3-5.5 第二次研究工具設計之學習單 ............................................................. 30 圖 3-5.6 第二次研究工具設計之操作單 ............................................................. 31 圖 3-5.7 第三次研究工具設計之操作單 ............................................................. 32 圖 3-5.8 第三次研究工具設計之學習單第一頁 ................................................. 32 圖 3-5.9 第三次研究工具設計之學習單第二頁 ................................................. 33 圖 3-5.10 第四次研究工具設計之操作單 ............................................................ 34 圖 4-1.1 左為 S24 之《數值操作單》；右為 S24 之學習單 Q1 回答 ................. 38 圖 4-1.2 左為 S06 之《數值操作單》；右為 S06 之學習單 Q1 回答 ................. 39 圖 4-1.3 以 PO 直線為對稱軸示例 ....................................................................... 41 圖 4-1.4 現行某版本課本內容 ............................................................................. 42 圖 4-1.5 左為 S03 之學習單 Q2 回答；右為 S44 之學習單 Q2 回答 ............... 43 圖 4-1.6 左為 S03 之《數值操作單》；右為 S44 之《數值操作單》 ................ 43 圖 4-1.7 左為 S05 之學習單 Q2 回答；右為 S06 之學習單 Q2 回答 ................ 44 圖 4-1.8 左為 S05 之《數值操作單》；右為 S06 之《數值操作單》 ................ 44 圖 4-1.9 左為 S12 之學習單 Q2 回答；右為 S25 之學習單 Q2 回答 ................ 45 圖 4-1.10 左為 S01 之學習單 Q2 回答；右為 S09 之學習單 Q2 回答 .............. 45 圖 4-1.11 左為 S31 之學習單 Q2 回答；右為 S47 之學習單 Q2 回答 .............. 45 圖 4-1.12 利用圓周角概念解題學生之《數值操作單》示例 ............................ 46 圖 4-1.13 做出 PO 直線的《數值操作單》示例 ................................................. 47 圖 4-1.14 S50 之數值操作單 ................................................................................. 48 圖 4-1.15 左為 S12 之學習單 Q2 回答；右為 S48 之學習單 Q2 回答 .............. 49 圖 4-1.16 S50 之學習單 Q2 回答 .......................................................................... 49 圖 4-1.17 左為第一位學生之圖形；右為第二位學生之圖形 ............................ 50 圖 4-1.18 左為 S13 之《數值操作單》；右為 S13 之學習單 Q1 回答 ............... 51 圖 4-1.19 左為 S37 之《數值操作單》；右為 S37 之學習單 Q2 回答 ............... 52 圖 4-1.20 左為 S01 之《數值操作單》；右為 S01 之學習單 Q2 回答 .............. 55 圖 4-1.21 左為 S01 之《符號操作單》；右為 S01 之學習單 Q3 回答 .............. 55 圖 4-1.22 左為 S44 之學習單 Q1 回答；右為 S44 之學習單 Q2 回答 ............. 56 圖 4-1.23 S49 之學習單 Q2 回答 ....................................................................... 57 iii.

(10) 圖 4-1.24 S49 之學習單 Q3 回答 .......................................................................... 58 圖 4-2.1 左為 S37 之學習單 Q2 回答；右為 S37 之學習單 Q3 回答 ................ 60 圖 4-2.2 左為 S07 之《數值操作單》；右為 S07 之《符號操作單》 ................ 61 圖 4-2.3 左為 S07 之學習單 Q1；右為 S07 之學習單 Q2 .................................. 61 圖 4-2.4 左為 S24 之學習單 Q1 回答；右為 S37 之學習單 Q1 回答 ................ 63 圖 4-2.5 左為 S09 之學習單 Q1 回答；右為 S09 之學習單 Q2 回答 ................ 64 圖 4-2.6 S09 之學習單 Q3 回答 ............................................................................ 65 圖 4-2.7 左為 S12 之學習單 Q1 回答；右為 S12 之學習單 Q2 回答 ................ 65 圖 4-2.8 S12 之學習單 Q3 回答 ............................................................................ 66 圖 4-2.9 左為 S28 之學習單 Q3 回答；右為 S28 之學習單 Q4 回答 ................ 67 圖 4-2.10 左為 S28 之學習單 Q1 回答；右為 S28 之學習單 Q2 回答 .............. 68 圖 4-2.11 左為 S11 之學習單 Q3 回答；右為 S11 之學習單 Q4 回答 ............... 69 圖 4-2.12 左為 S31 之學習單 Q3 回答；右為 S31 之學習單 Q4 回答 .............. 71 圖 4-2.13 左為 S35 之學習單 Q3 回答；右為 S35 之學習單 Q4 回答 .............. 71 圖 4-2.14 推導出𝟏𝟖𝟎 − 𝒙𝟐學生學習單回答示例 ................................................ 72 圖 4-2.15 左為 S52 之《符號操作單》；中為 S52 之學習單 Q3 回答；右為 S52 之學習單 Q4 回答 ............................................................................... 73 圖 4-3.1 S09 在左右兩張操作單上所摺弦切角角度大小幾乎相同 ................... 75 圖 4-3.2 左為 S07 之《數值操作單》；右為 S50《數值操作單》 ..................... 78 圖 4-3.3 S07 之學習單 Q1 和 Q2 的回答 ............................................................. 78 圖 4-3.4 左為 S12 之《數值操作單》；右為 S12 之《符號操作單》 ............... 81 圖 4-3.5 S12 學習單 Q2 之回答 ............................................................................ 82 圖 4-3.6 左為 S12 學習單 Q3 之回答；右為 S12 學習單 Q4 之回答 ................ 83 圖 4-3.7 左為 S20 學習單 Q3 之回答；右為 S20 學習單 Q4 之回答 ................ 84 圖 4-3.8 左為 S21 學習單 Q3 之回答；右為 S21 學習單 Q4 之回答 ................ 86 圖 4-3.9 S13 學習單 Q1、Q2 之回答 ................................................................... 87 圖 4-3.10 S13 學習單 Q3、Q4 之回答 ................................................................. 88 圖 4-3.11 S31 之學習單 Q3 和 Q4 的回答............................................................ 89 圖 4-3.12 S36 之學習單 Q3 和 Q4 的回答 ........................................................... 89 圖 4-3.13 左為 S11 之《數值操作單》；右為 S11 之《符號操作單》 .............. 90 圖 4-3.14 左為 S11 的 Q1 回答；右為 S11 的 Q2 回答 ...................................... 90 圖 4-3.15 左為 S11 的 Q3 回答；右為 S11 的 Q4 回答 ...................................... 91 圖 4-3.16 左為 S44 的 Q1 回答；右為 S44 的 Q2 回答 ...................................... 92 圖 4-3.17 左為 S41 的 Q1 回答；右為 S41 的 Q2 回答 ...................................... 93 圖 4-3.18 左為 S41 的 Q3 回答；右為 S41 的 Q4 回答 ...................................... 93 圖 4-3.19 左為 S16 的《數值操作單》；右為 S16 的《符號操作單》 .............. 94 圖 4-3.20 左為 S16 的 Q1 回答；右為 S16 的 Q2 回答 ...................................... 94 圖 4-3.21 左為 S16 的 Q3 回答；右為 S16 的 Q4 回答 ...................................... 94 iv.

(11) 圖 4-4.1S50 之《數值操作單》摺紙過程[引自研究者在 PME36 發表的照片]98 圖 4-4.2 S50 之《數值操作單》[引自研究者在 PME36 發表的圖] .................. 98 圖 4-4.3 S50 之學習單 Q1、Q2 回答 ................................................................... 99 圖 4-4.4 左為 S50 之《符號操作單》；右為 S50 之學習單 Q3 回答 ............... 100 圖 4-4.5 S50 在學習單 Q4 的回答 ...................................................................... 101 圖 4-4.6 左為 S47 之《數值操作單》；右為 S47 之《符號操作單》 .............. 103 圖 4-4.7 S47 之學習單 Q2 回答 .......................................................................... 104 圖 4-4.8 S47 之學習單 Q3 回答 .......................................................................... 105 圖 4-4.9 在學習單畫圖的學生之回答示例 ........................................................ 107 圖 4-4.10 左為 S46 之《數值操作單》；右為 S46 之《符號操作單》 ............ 108 圖 4-4.11 左為 S46 之學習單 Q1 回答；右為 S46 之學習單 Q2 回答 ............ 109 圖 4-4.12 左為 S46 之學習單 Q3 回答；右為 S46 之學習單 Q4 回答 ............ 111 圖 4-4.13 S03 的學習單 Q1 和 Q2 回答 ............................................................. 113 圖 4-4.14 S07 之學習單 Q1 和 Q2 回答 ............................................................. 113 圖 4-4.15 S40 之學習單 Q1 和 Q2 回答 ............................................................. 114 圖 4-4.16 S33 之學習單 Q1 和 Q2 回答 ............................................................. 114 圖 4-4.17 左為 S06 之學習單 Q3 回答；右為 S44 之學習單 Q1 回答 ............ 115. v.

(12) vi.

(13) 第壹章第一節. 緒論研究動機. 在我國的中學數學課程中，學生第一次接觸到形式化的數學證明是在幾何課中，對九年級的學生來說，雖然已經經歷過八下幾何課程的訓練，但要其自己動手書寫證明，仍是一件困難重重的事情。有研究指出，有些中學學生甚至在學完幾何課程之後，還沒有辦法寫出一個簡單的三角形全等證明(Usiskin, 1987)。幾何推理和幾何證明常是學生聞幾何色變的單元，不知如何著手也是學生經常反應的問題之一，即便是絞盡腦汁寫出了一點東西，學生往往也無法理直氣壯、清楚明白自己在做什麼。除此之外，偶爾證明過程中若出現輔助線的建構，對他們來說更是「傑克，這真是太神奇了」。這個單元一直是讓我深受挫敗的一個單元，花了很多時間來教導教科書上所述的幾何推理內容，然而學生卻常顯露出身心俱疲的狀態。我曾請教過一些資深老師這個教學問題，通常得到的建議都是「跟學生說這是經驗法則」，或是「多作一些題目就知道該怎麼下手了」，但我總希望能夠有更積極的做法。如果我們能提供一些方法，有助於學生在幾何證明過程中輔助線的建構和邏輯步驟的排序，也許可以減低學生對於幾何推理這單元的習得無助感。想到這裡，第一個閃過我腦中的念頭是輔助教具的使用，而在眾多可選擇的輔助器材中，「紙張」可以輕易地翻轉、摺(或對摺)、畫記…等，可以算得上是最便利、最唾手可得，沒有場地限制的工具了。近年來，摺紙數學已經逐漸受到數學界的重視，像美國數學學會刊物 Natices of the AMS 在 2010 年 5 月出版一篇名為”Origami and Partial 1.

(14) Differential Equations”〈摺紙與偏微分方程〉的論文。謝豐瑞教授十七年前在〈使幾何教學活潑化〉一文中利用摺紙創造幾何圖形及驗證幾何圖形的性質，積極呼籲數學教育界重視摺紙與剪紙的價值與意義。現在，國內更有一批學者和教育工作者將摺紙連結尺規作圖，實踐在實際教學現場中，而初步的資料亦顯示出其有效性。摺紙除了能將許多數學概念和幾何性質具象化，當操作者動手摺出一件作品之後，本身就能得到許多成就感和自信。讓我感到好奇的是，能不能透過摺紙幫助學生學習幾何推理？而摺紙對學生證明會產生什麼影響？摺紙的步驟和方法對學生書寫證明有何關連？都是本研究感興趣的問題。本研究選擇以「弦切角的證明」為探討的主題，希望從判斷弦切角大小的問題解決的角度出發，透過動手操作的摺紙探索活動嘗試來了解摺紙在學生建構幾何推理證明中所扮演的角色。. 2.

(15) 第二節研究目的暨研究問題研究目的：本研究欲了解摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響。. 為了能達到研究目的，本研究以弦切角角度大小的發現和證明為例，設計了兩個階段的摺紙活動(研究工具請詳見第参章第四節)，先讓學生從具體的圖形和實際數值開始嘗試探索和推理，再逐漸進行符號操作及形式化證明。由於第一階段偏向實際數值探索推理，故把第一階段稱為實際數值探索推理階段；第二階段偏向符號形式探索推理，故把第二階段稱為符號形式探索推理階段。. 對應以上研究目的，有以下四點研究問題： 1. 學生的各種摺法引動了哪些數學概念及推理？從實際數值階段到符號形式階段，本研究探討 2. 學生心理歷程轉換的現象與特徵為何？符號形式探索推理記錄的特徵為何？ 3. 學生摺紙方法、證明的想法或形式之間有何關聯？ 4. 摺紙活動對學生證明想法的影響為何?. 除上所述研究問題之外，在本研究過程中，任何相關於本研究目的而出現的新問題，研究者以開放接納的態度，嘗試尋找合理的分析和詮釋，並以客觀的角度在內文中穿插報導。. 3.

(16) 第三節. 名詞解釋. 一、摺紙活動在此指學生在本研究發現弦切角大小並證明的探索活動中，對操作單所進行的所有動作，包括摺、對摺、翻轉，甚至畫記…等。二、幾何推理證明依據國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域，9-s-12 的細目詮釋，數學證明是由已知條件或已經確定是正確的性質來推導出某些結論。此所指之幾何推理證明即：依據題目給的已知條件，並利用一些已學過的幾何性質，經過演繹及合理的邏輯步驟，逐步推論出題目所要的結論，謂之。三、輔助線及摺線在本研究中除了操作單上原本即給定的圖形和線段外，其他在摺紙活動的探索過程中所出現的摺痕或摺線段或用筆所做的畫記皆稱為摺線，而學生在敘述證明的過程中實際有使用到的摺線則改稱為輔助線。四、《數值操作單》供學生進行摺紙探索，允許學生將其改變樣貌及畫記的紙張，其上印有含實際刻度的圓和切線 (參見第參章第四節) 。五、《符號操作單》供學生進行摺紙探索，允許學生將其改變樣貌及畫記的紙張，其上印有同數值操作單的圓和切線，不同的是圓周上沒有實際標記刻度 (參見第參章第四節) 。六、實際數值探索推理階段本研究所設計的第一個摺紙操作活動，藉由《數值操作單》上的圖形和實際數值讓學生進行摺紙探索，從摺紙的歷程得到推理的步驟，求 4.

(17) 得其所摺弦切角大小的實際角度，我們將此階段稱為實際數值探索推理階段 (參見第參章第四節) 。七、符號形式探索推理階段本研究所設計的第二個摺紙操作活動，藉由《符號操作單》上的圖形和引入未知數 x，讓學生進行摺紙探索，從摺紙的歷程得到推理的步驟，以 x 表示其所摺弦切角大小，並利用形式化證明驗證其發現為真，我們將此階段稱為實際數值探索推理階段 (參見第參章第四節) 。. 5.

(18) 第貳章. 文獻探討. 第一節數學思維 (一)思維與數學思維許多學者都曾進行關於思維的研究，但各家所探討的面向不一。「思維」(thinking)以及它的同義詞或近似詞，例如：思考、思索、思想等，在我們每天的生活中幾乎不停的被使用著。《詞源》中說，思維就是思索、思考的意思。 Dewey(1991)在「我們如何思考」( How we think)中，認為任何在腦海裡的活動(anything that goes on in our heads)都是思維(thinking)。張春興在其所著的《教育心理學》中也提到：思維是運用記憶中的訊息，重新組織整合從複雜關係中獲得的理解與意義的歷程，是人類了解環境吸收知識的主要心理歷程。另在其所主編的《張氏心理學辭典》(2006 重訂版)中，思維是內在的心理認知歷程，在此歷程中，個體將心理上所認知的事件，經表像過程予以抽象化，以便在心理上運作處理，從而對事件的性質得以理解並獲知其意義。各領域對「思維」一詞，也有各自的界定。如：現代心理學視思維為一種受社會所制約、同言語緊密聯繫，探索和發現嶄新事物的心理過程，是對現實進行分析和綜合時，間接概括反映現實的過程(席振偉，1995)。思維科學從訊息理論的觀點出發，認為思維是人接收信息、儲存信息、加工信息、以及輸出信息的活動過程。從哲學認知論的角度來看，思維是一種理性認識的過程(任樟輝，1999)。且任樟輝綜合各家所說，提出「思維」是指具有意識的人腦對客觀事物的本質屬性和內部規律性的概括、間接的反映。 6.

(19) 不論是從何種觀點出發，「思維」總離不開「人腦」和「客觀事物」之間的交互關係。然而有關思維，至今仍尚未有一個公認定義。謝佳叡(民 90)對思維的定義為「思維是運用概念，去判斷、推理數學內容，進而認識它的法則或規律。」他認為此界定鎖定在思維的認識功能上，較具侷限性和嚴謹性。由上述可看出思維的描述眾說紛紜，對於「數學思維」自然也沒有一個統一的界定。廣義的區分，也許我們可以把數學思維看成是思維的一部分子集，只是將所要關注的事物鎖定在數學上。由於數學思維牽涉到許多數學概念、知識、和方法，在一些討論關於數學思維的書中總是離不開數學解題： Wallas 認為思維的過程有四個階段(Robertson, 2001)： (1) 準備階段 (preparation)：蒐集相關資訊，在問題中找出限制條件，以此限制評估過渡性解答，並淘汰不可行的答案。 (2) 籌劃階段(incubation)：無法解決的問題先被拋開，並逐步形成計畫。 (3) 頓悟階段(illumination)：即前階段的終點，突如其來的頓悟，出現解題關鍵。 (4) 確認階段(veriffication)：確認解題方式以及答案的正確性。. Mayer(1992)數學解題思維四步驟： (1) 轉譯(translating)：將問題中的每句話轉換為心理表徵(mental representation)。 (2) 整合(integrating)：建立整個問題情境的心理表徵。 (3) 計畫(planning)：決定一個解決問題的計畫。 (4) 執行(excuting)：實行計畫。. 7.

(20) K. Duneker 將數學思維過程分成三個層次(Mayer, 1983)： (1)一般的範圍(general range)：確定解題的大致範圍，明確解題方向。 (2)功能性解決(functional solutions)：依可能方向縮小範圍，尋找符合方向。 (3)特殊性解決(specific solutions)：進一步縮小範圍，具體化為特殊方向。而當思維在後一步驟受阻時，就必須回到上一個層次，重新調整直到解決。謝佳叡(民 90)指出「認知思維」和「解題思維」與思維之啟動與轉化之間存在著緊密的關係。本研究欲研究學生藉由摺紙操作來建構證明的歷程和思考，雖然整個操作探索活動是一個解題的過程，但在此過程中，「認知思維」和「解題思維」並不是單獨存在的，而是交錯並行的。. (二)數學認知思維和數學解題思維謝佳叡(民 90)針對國中生的數學認知，在其碩士論文「國中生配方法學習歷程中之數學思維研究」指出「認知思維」、「解題思維」與思維之啟動、轉化存在緊密的關係，其所列的關係表如下，設定以中學生的數學認知為主：. 8.

(21) 觀點取向. 認知思維. 任務. 認識的任務. 解題思維利用既有認知獲得某種實踐結果. 功能. 建立新的思維方法. 搜尋腦中有效的解決方法. 思維的啟動與轉化機制同與思維啟時運作，其中思維轉化為. 思維啟動為其主要機制，且. 主要機制，思維啟動則為. 強於思維轉化的機制. 動、轉化關聯輔助機制啟動與轉化達成平衡時認. 其品質通常憑藉於啟動機制. 知思維才算穩固. 的效能. 成效思維方式. 思維方式質性變化較少，甚思維方式質性變化較多. 質性變化. 至無變化. 表 2-1.1 引自謝佳叡(民 90)之認知思維和解題思維比較表. 本研究操作活動的過程，開始於利用既有認知及舊往經驗來摺紙，學生啟動解題思維，當啟動與轉化達成平衡時，即證明的輸出。且證明的過程亦代表思維的運作，不同的證明方法，表示背後所隱藏的思維模式不同 (蘇俊鴻，民 88)。因此，如果能夠釐清數學證明方法與思維模式關聯，將有助學生對於證明問題的領悟與了解。. 9.

(22) 第二節學生學習幾何推理證明的相關研究學習數學證明的困難性證明是人類發展數學思考和學習邏輯演繹推理的工具之一。然而，卻也是學子們學習數學的大關卡之一。林福來(2003)在台灣地區進行全國性的抽樣調查，發現剛學完幾何證明單元的國三學生中，大約有四分之一的學生可作出可被接受的證明，大約有三分之一的學生其證明是不完備的，有三分之一的學生是空白或無關的敘說。根據 Moore(1994)針對大學生做形式化證明之認知困難的研究，他認為三個主要認知困難的來源為：(a)概念的理解(concept understanding)，(b) 數學語言與符號(mathematical language and notation)，(c)如何開始一個證明 (getting started on a proof)。曾政清(2002)綜合各家認為，數學證明失敗的經驗，主要是邏輯組合的順序有誤，或是無法找出邏輯的誤謬。中學生處理有輔助線需求之幾何證明的錯誤分析陳姿妍(1996)在其論文中對中學生處理有輔助線需求之幾何證明會出 1 歐氏幾何知識對現的錯誤分析，認為學生出錯的原因可能有以下幾點：○ 2 圖形外的輔助線對中學生而言較困許多中學生而言不是結構性的連接。○ 3 學生所學的是一個相關組集，並沒有邏輯序列。○ 4 學生在圖形及命難。○ 5 學生無法產生適當的證明程序時，直題組集的影響下，僅依賴直觀認知○. 觀認知主導解題策略。. 由上可以看到，國內外研究都發現學生在面對數學證明時，邏輯順序的排列一直是他們在數學證明中出錯的主因之一，有什麼樣的教學實驗和學習策略可以幫助學生克服這一障礙是研究者很有興趣的主題。. 10.

(23) 利用教學實驗和學習策略克服學生學習幾何證明上的障礙近年來國內也有許多關於教學實驗和學習策略的設計，希望可以找出方法克服學生學習幾何證明上的障礙，甚至提升學生自行建構幾何證明的能力。例如：吳慧真(1996)發展分析能力套件、動手操作、邏輯序列、及破除迷思等套件進行教學實驗；曾政清(2002)設計局部推理的教學活動，發展因應的教學套件(偵錯、配對、排序、接龍)來教學；林福來、鄭英豪 (2003)提出「閱讀著色」和「解析提問」的學習策略，來幫助無法寫出完備證明的學生能提升至可接受證明的程度。也有另一些研究，利用動態幾何軟體為輔助，讓學生在動態幾何教學環境中，透過操作去發現、歸納、猜測一些幾何性質或特徵，進而發展高層次形式論證的能力(黃哲男，2001)。或藉由合作學習來幫助學生學習幾何推理與證明(李宜芬，2001)。有些學者認為，如要發展學生的數學證明能力，要讓學生體會數學發現的過程。數學證明的教學應有下列幾點：(1)將概念寓於試驗的遊戲當中， (2)發展形成猜測、推理與檢驗的能力，(3)執行數學的證明(Avital&Hansen, 1976)。林福來和鄭英豪(民 86)曾指出在數學證明的問題當中，被操弄的往往是其中抽象的數值關係，故在進行證明的過程，必須能夠將某些數值關係視為一個物或符號才能進行，此時學生必須對此關係有結構性的概念，同時也以結構性的思維來操作才行。綜上所述可以歸納出這些研究都認為，教師應該幫助學生從運算性到結構性的思維過度，並表徵成形式化符號，以進行有效推論。研究者在教學現場上確實遇到學生在學習幾何推理證明上的障礙，看了這些文章和論文，發現原來有這麼多學者曾經做過這麼多相關研究，在這部分也有了相當的成果，研究者希望能設計出一個適合目前所任教學生 11.

(24) 之教學工具，藉由幫助學生對問題發展形成猜測，學習推理與證明，也從根本性的去了解，學生在操作活動中其展現的特徵，及其思考的歷程。. 12.

(25) 第三節摺紙融入教學的相關研究數學證明該怎麼教，這件事在數學家和數學教育家之間長期是一個極受爭論的議題，然而，至今尚未達成一個共識(Arzarello, 2007 ; Kleiner, 1991)。其中一個論點是關於教師在證明形式的教學時，應該把焦點擺放在概念和語法上，或是關注於語義方面(Hanna, 2000)。而在台灣，一般教注重前者，即概念和語法，的教學。因此，當教師教導學生如何建構一個數學證明的時候，「論證『一個性質為什麼可以這樣證明』」遠比「論證敘述本身」來的重要(Hsieh、Horng 和 Shy, 2012)。學生經常疑惑於老師為什麼會想到要用這樣的方法來證明某個性質，尤其當這個性質的證明需要使用到輔助線的時候，學生總是覺得這些輔助線是憑空出現的。當學生被要求自己獨力建構一個數學證明的時候，更讓他們覺得無所適從，大部分的學生對於在證明中增加輔助元素都倍感困難 (Ding & Jones, 2006)。因此，有學者開始研究幫助學生建構輔助線的教學工具(例如 Matsuda & Okamoto, 1998)。有的學者研究使用動態幾何軟體 (DGS)來幫助學生做探索，例如 Geometer’s Sketchpad (Goldenberg & Cuoco, 1988)和 Cabri-gèométrie (Jones, 2000)。謝豐瑞(2011)1 提到，使用摺紙的探索活動也可以幫助學生數學思考、推理、發現和建構輔助的數學物件。 Johnson(1957)在其著作《Paper folding for the mathematics class》中，採用兩個基本假設與四個摺紙動作，從如何在一張紙上摺出一條直線開始，藉由摺紙探討中學幾何中常見的幾何性質，以及各類正多面體的平面展開圖，提供中學教師將摺紙融入課堂的範例(陳宥良，民 97)。 Scher(1996)認為，利用摺紙、動態幾何與證明等三階段方式教導圓錐曲線，會比直接介紹其代數方程式更能幫助學生產生有意義的學習。且他進一步指出，任何的電腦幾何模型程式均無法取代動手操作過程中所獲得 13.

(26) 的喜悅感，而且電腦操作的細節容易遺忘，摺紙動作令人印象深刻，而且學生如果擁有豐富的實作經驗，將有助於電腦幾何模型發揮更大的功效 (陳宥良，民 97) 。 1 摺紙能幫助學陳宥良(民 97)指出透過摺紙學習尺規作圖的成效有：○ 2 摺紙能幫生熟練基本尺規作圖步驟，理解作圖步驟所應用的對稱性質。○ 3 摺紙助學生分析作圖問題，檢驗想法的正確性，找出正確的作圖步驟。○. 能提升學生尺規作圖學習興趣。並且，在台灣的一份國家抽樣調查中，其訪問對象超過兩千位國、高中的學生，結果顯示在這些學生心目中的理想教師應該讓學生從事探索活動(大約有 80%)以及動手操作活動(大約有 81%)來體會數學(Hsieh, Tang, Song, & Wang, 2008)。本研究的理論基礎主要來自 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)所提出的架構，根據這架構和部分猜測去設計本研究的研究工具。 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)曾提及動手操作的探索活動的多種特徵，例如摺紙能改變圖形原本形狀，或從操作的過程中得到立即的回饋…等，並認為這些操作後產生的新圖形對於成功建構幾何證明是有幫助的。在該文章中他們更進一步舉例說明摺紙操作的探索活動在台灣地區是如何被用在證明教學中。 1.探索的立場 ( Position on Exploration) 探索活動融入數學或證明的教學中，一直是各界關切的重要議題。在 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)的研究中對探索和證明之間的關係提出了內部 1 把探索看成一個心理過程○ 2 把探索當成是一個和外部兩個面向的詮釋：○. 包含和外界環境(可能如動手做或是 DGS 工具)操作和互動的活動。前者的 14.

(27) 立場是基於其問題解決的本質，將之看成是證明的一個必要成分。後者的立場經由和外界互動來強化其內部探索。除此之外，他們還認為，探索在證明中的功能並不僅是發現數學性質，還有發現或心理建構證明的邏輯步驟。由於操弄物件同時也需要心理探索，這兩樣的結合同時促進了直覺思考和邏輯思考。 2.探索在證明中的價值 (Exploration’s Value in Proving) 2.1 探索和發現 (Exploration and Discovery) 發現在探索的歷程中是一個必要的元素。想要精通某個領域的根本想法，包括數學，需要的不只是抓取一般化的原則，還包含了發展一個方法去做猜測，同時化獨立解題為可能(Bruner, 1960)。根據 Bruner 的說法，學生在探索的歷程中發現了什麼，對他們的思考同時是有用且有意義的。 2.2 探索的特徵 (Characteristics of Exploration) 從文獻探討和 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)自身的研究經驗，他們歸納 1 建構數學物件，○ 2 改變物體形出探索的特徵有以下五點：讓個體可以去○ 3 從不同的方向進行探索，○ 4 覺察多元的視覺資訊，和○ 5 接收立即的體，○. 回饋。 2.3 示能性和動手操作的探索活動 (Perceived Affordance and Hands-on Exploration) 部分學生如果沒有經由親自動手操作的過程，很難自己想像得到操作之後的結果(Piaget and Inhelder, 1967)。對於這樣的學生，經由動手操作的活動來從事探索，可以有助於他們在操作完成後”看到”結果。使用具體物件教學，由於物體本身的示能性，能增加學生操作的可能。而這些動作可能是無目標性的開始，或開始於有目標性的操作。. 15.

(28) “Affordance”這個字由 Gibson(1977, 1979)首先提出，指物體本身提示於人其作用。Norman(1998)更進一步將此概念拆成”actual affordance”和” perceived affordance”，後者的意思指的是人本身覺知到物體本身提示性的特質而使人了解其作用。 3.將探索活動用於課堂證明教學的理由學生可以有機會像數學史上那些數學家一樣，應用直覺來發現樣式，猜測預感，發現想法，一般化形式最後形成猜想(Lakatos, 1976; Polya, 1981)。 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)也提到，經由探索來建構數學證明，對於學習者有正向的幫助，如增強動機、自我感覺及認知。對於學生經常性的反應不知從何切入進行證明，尤其是有涉及建構輔 1 互動和操作的特質，○ 2 能往不同方向助物件的問題，他們提到探索活動○ 3 能輕易的改變紙張的圖形等本質，而能提供學生更多的解題資探詢解法○. 訊，並促進學生對證明、推理的了解。 3.1 探索活動能激活(activate)學生直覺的使用 Bruner(1960)提倡發現學習法(discovery learning)，鼓勵學生通過科學活動來發展直觀(intuitive)與分析(analytic)的技巧。Hsieh、Horng 和 Shy(2012)指出，當學生在證明中激活了直覺，他們會把所建構出的部分步驟或結構當作不言而喻或本來就知道的結果。並且操作活動能讓學生經由觀察得到大量的附加經驗(incidental experiences)如數學物件的相關關係、物件的數學性質，以及這些和待答問題或證明的關係。根據 Ausubel 的意義學習理論，學生學習新知識時的能力與經驗，就代表他的認知結構，配合他的認知結構，教他新的知識，就會使他產生有意義的學習(張春興，2006，P219)。. 16.

(29) 4. Hsieh、Horng 和 Shy(2012)提出的 EP-spectrum. 證明可以視為一連串活動的產出，始於探索(exploration)，依次是猜測 (conjecturing)、非形式解釋(informal explanation)、及論證(justification Argument)，最後是證明的輸出(proof production)。各階段之間關係並非互斥，學生有可能同時經歷多於一個階段。也並非每個證明輸出都需要經歷所有階段。設計了一個摺紙操作活動，讓學生透過摺紙操作，來證明圓的切線段等長。研究結果發現，有 54%的學生能完成摺紙活動並寫出正式的證明。. 探索活動. 圖 2-3.1 引自 EP-spectrum 部分架構圖. 4.1 探索(exploration)階段操作單上圖形所提供的示能性，讓學生能夠對其動作，如摺、畫…等。 4.2 猜測(conjecturing)階段 1 abducted situation 和○ 2 adducted 探索活動的設計方向可以粗分成○. situation。前者由於探索範圍和限制較為開放，可能會產生較多不完整或錯誤的推論。後者提供操作者得到一次成功(one-shot errorless)的探索機會。本研究選擇設計一個較為開放的研究問題，讓學生自己透過操作，發展出自己的摺紙方法和證明方式。. 17.

(30) 4.3 非形式解釋(informal explanation)階段在此階段，學生對其操作行為的解釋，會使用到和個人經驗相關的語句，多於數學名詞和符號。開始進入說服(persuading)解釋的過程，且會有 (a)重新得到或蒐集他們所有的材料，(b)思索使用適當的詞彙來表示物件和關係，(c)會找尋適合的邏輯法則來說明其操作發現的過程中之因果關係， (d)會去除探索階段產生的多餘答案(e)想要輸出一些有組織的句子。這幾點是學生開始從圖形、語言思考的探索階段到開始使用邏輯論證的過渡。 4.4 論證(justification Argument)階段此階段和非形式解釋階段最大的差異在於邏輯步驟的使用。本階段的 1 論證敘述並不一定要嚴謹(rigorous)，○ 2 論證的敘述可能會主要特徵有：○ 3 推論過程所使用的物件關係並不全部都來自前出現多餘的元素和物件，○ 4 推理步驟和探索步驟混用，○ 5 本階段所得到的結一步驟的推理或公設，○. 論可能是一般化也可能是局部特例(context- or context-bound)。研究中也特別指出，學生通常會使用口語敘述(verbal statement)來表示其想法或數學概念。 4.5 證明的輸出(proof production) 階段演繹推理的使用是本階段和論證階段最大的不同。在 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)的研究中，他們設計了一個操作活動讓學生經由一次成功(one-shot errorless)的探索歷程，完成證明的輸出。本研究設計了兩個操作活動，讓學生從兩個相似度很高的探索活動中，自己推導出弦切角大小為何(以 x 表示)的發現，並就其發現做出證明。. 18.

(31) 第参章. 研究方法. 第一節研究架構本研究採用 Hsieh、Horng 和 Shy (2012)在 From exploration to proof production 一文中所提出的 EP-spectrum 作為研究架構的藍本，在修改之後使其較符合本研究的研究目的。本研究的操作活動可分為兩個階段(研究工具請詳見第参章第四節)：第一階段從數字實例出發，讓學生經由操作活動自己探索推理出答案，我們把此階段稱為「實際數值探索推理階段」；第二階段延續第一階段的活動，只是將實際數值逐步抽象化，再一次經由探索推理來完成形式化證明，我們把此階段稱為「符號形式探索推理階段」。此兩階段對應 Hsieh、Horng 和 Shy 的 EP-spectrum 之關係如圖 3-1.1；本研究主要分析之架構為圖 3-1.2：. 探索活動. 實際數值探索推理. 符號形式探索推理. 圖 3-1.1 EP-spectrum 架構圖和本研究兩階段對應關係. 19.

(32) 外部探索摺紙. 解釋論核. 邏輯步驟. 操作. 推演理繹. 說服. 連. 操. 結. 作. 證明. 知覺刺激. 外在問題情境. 內部探索心理運思. 圖 3-1.2 本研究架構圖. 對上述的架構圖，針對特別的地方在以下作說明： 1. 本研究兩個階段的活動皆分別提供學生相對應的操作單。操作單上所印不同的圖形能帶給學生不同的示能性(perceived affordance)，讓學生能依照操作單上的圖示和學習單上的指示，進行如：摺、對摺、翻轉，甚至畫記等動作。上述的每一個動作都會在操作單上留下摺痕或摺線段，進而改變整個操作單原本的樣貌。而這種立即得到回饋的特性，能引導學生逐步得到一連串的步驟。在本研究中的解題過程，廣義來說都是探索活動。 2. 本研究的第一個操作活動，亦即「實際數值的探索推理階段」，涵蓋 EP-spectrum 裡的探索活動、解釋、和論核等三階段。 3. 本研究的第二個操作活動，亦即「符號形式的探索推理階段」，涵蓋 EP-spectrum 裡的探索活動、解釋、和形式化證明等三階段。 4. 探索活動又可分為兩個部分：外部探索(摺紙等外顯的動作)和內部探索 (心理運思)。個體經由感官，知覺外部的實際問題情境後，會先進入內部探索的心理運思，才會引動摺紙操作；而外部探索過程的任何時刻所 20.

(33) 得到的結果，都可能使個體連結其所學過的概念或經驗，得到進一步的操作動作，或進入解釋，進行說服的過程。 5. 從內部探索階段到解釋階段的說服過程，還可以分成兩個部分。第一個部分的說服(convince)，有說服自己相信的意思；另一部分的說服 (persuade)，則有使別人相信的意思。 6. 在學生發展出可順利解題的策略或方法之前，外部探索和內部探索之間可能藉由操作、連結和說服等動作，形成一個循環且持續的迴路。 7. 摺紙探索之後，一定要先經過心理運思才能達到解釋階段。 8. 若在解釋階段無法達到說服的目的，個體可能直接重回摺紙探索做修正或調整，亦或是捨棄原來的解題策略另起爐灶；也有可能回到心理運思，審視已建構出來的結果，得到數學物件間的新關係，再回到解釋階段。 9. 論核(justification argument)同時具有論證及核實的意思，所謂論證即使用數學推理及邏輯步驟來支持一個假設；核實指經過心理運思確認此邏輯步驟為真。 10. 從解釋階段到論核階段，其中的差異在於邏輯步驟(logical steps)的使用。 11. 從論核階段到證明階段，其中的差異在於演繹推理(deductive reasoning) 和符號形式的使用，而後者特別包含了數學符號和數學語言。. 21.

(34) 第二節研究方法與研究設計根據研究目的「了解摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響」，我們將本研究定位為基礎性研究(basic research)。但從幫助人們了解問題的本質，以及企圖增進國中學生學習幾何證明成效之觀點來看，應亦兼具教學上的應用性。本研究最主要的教學活動為弦切角的摺紙操作探索活動，活動實施的時間點，依附在整個教材的脈絡底下，利用平時課堂上課時間進行，整個教學活動一個班需兩節課，因此本研究共花了四節課，安排在一天之內完成教學活動。由於研究者本身也是研究對象的數學老師，考量到若以研究者的角色參與教學活動，可能會受到研究目的和研究問題的影響，而干擾教學活動的進行。因此在實施整個摺紙操作的探索活動時，研究者完全拋開研究角色，全心投入教學，直到課堂結束，才恢復回研究者的身分進行資料分析，盡量做到研究中有教學，而又不影響教學的情況。本研究屬質性分析，採用內容分析法(content analysis)法，資料的主要來源是學生手寫的學習單和摺紙操作單兩張(《數值操作單》、《符號操作單》)。分析方法以質的分析為主，由學生的操作單上的摺紙痕跡、學習單的答題歷程及所提供的理由作為分析的依據，對某些特別的答案也有做錄音訪談，期能更深入了解學生的想法，平實地加以報導。. 22.

(35) 第三節研究對象本研究的對象是研究者所任教的兩個九年級班級。正在學習「圓」單元，且學生於八年級下學期已經開始學習幾何課程。研究對象在本教學活動之前並未正式學習過幾何證明的單元，然而在八年級的下學期的課程中，學生曾經看過教師使用嚴謹的步驟和數學語言來解題或證明某些幾何性質，例如：三角形的全等性質或是三角形的相似性質…等等。在進行本操作活動前，學生已學過圓心角、圓周角及其相關公式，且知道弦切角的定義，但不知道弦切角的角度大小以及弦及切線的夾弧之間的關連性。希望透過學生自己動手操作的摺紙活動，讓學生自己發現這之間的關係，並主動給出相對應其摺紙方法的幾何證明。研究樣本共 52 份，A 班和 B 班恰好各 26 份。實際上兩個班級的人數皆超過 26 人，但 A 班有抽離教學的資源班學生 2 位，B 班有抽離教學的資源班學生 1 位，中輟生 1 位，因這些學生平時上課並不會出現在課堂上，故不將這 4 位學生列入有效樣本中。由於是完全的常態分班，兩個班級內部學生彼此之間的程度差異頗大，從 PR199 到 PR5-都有，根據學生第一次參加大型基測模擬考的平均成績來說，A 班學生平均 PR 值 40，B 班學生平均 PR 值 42。【311】A 班平時上課師生互動較少，學生不習慣於表達自己的意見，理解力較弱，對於新觀念理解，需多舉實例及較長的時間才能消化吸收。【312】B 班數學測驗成績略高於全校平均。大部分學生平常上課發言踴躍，習慣主動提問和思考，上課氣氛活潑，但較需費神注意上課秩序。. 1. 在此指的 PR 值是學生參加坊間模擬考命題中心的測驗，測驗時間為 2011/12/20，參與測驗的學生人數達 144151 人且分布全國各地。 23.

(36) 第四節研究工具 1 探索弦切角角度大小的摺紙活動學習單一本研究所使用的工具有：○ 2 和此兩階段相對應之操作單一(其後改張(共分為兩階段的探索活動)，及○. 稱《數值操作單》)、操作單二(其後改稱《符號操作單》)。本研究之測量工具依據學習單上的題目可區分成兩個探索活動： 1 弦切角角度大小的摺紙活動。 ○. 2 弦切角角度大小的形式化證明。 ○. 學習單共有四題，每一階段各兩題，題型皆為問答題，均要求學生寫下詳細的作法與過程，以利觀察其想法。針對題目設計的構想，詳述如下：本研究所使用的研究工具如附件一，我們發展了兩階段的探索活動，不限制學生的摺紙方法及證明，提供學生親自動手操作的機會，以開放的態度面對學生的摺紙方法，希望透過兩階段的探索歷程，學生能自己得到一個相對應的證明步驟及方法。第一階段的探索活動開始時，為避免學生受到學習單上所印問題的誘導而影響其摺紙方法，. 《數值操作單》. 先發下《數值操作單》讓學生先做，《數值操作單》上的圖形如右圖所示，左半圓已標示好相對應的刻度，右半圓則無，請學生通過切點 P，在圓的右半部摺出一條弦。並請學生互相交換看一下，確認每位同學都摺出一個弦切角(對弦切角的大小並不設限)，同時可以藉此機會檢驗學生是否清楚弦切角的定義。. 24.

(37) 接著要求學生想辦法利用摺紙的方式得出其在右半圓所摺弦切角角度的大小，將答案填入學習單上的填答區(一)(以後稱學習單 Q1)。此作法的目的是想藉由具體數值實例引發學生嘗試解決問題的動機，讓學生綜合先前所學的幾何性質，估算出其所摺弦切角度大小，並請學生寫下理由。填答區(二) (以後稱學習單 Q2)則是要求學生對其在學習單 Q1 及《數值操作單》上完成的每一步驟詳細記錄於本區。由學生寫出的步驟序列及說明，研究者可以補足操作單上的摺痕順序，還原學生的摺紙歷程。在此階段中學生使用實際數值在探索活動中進行推理，為了能更清楚得凸顯本階段的特徵，我們把第一階段又命名為「實際數值探索推理階段」。接著，學習單的第二階段探索活動開始逐. 《符號操作單》. 步將問題抽象化，填答區(三) (以後稱學習單 Q3)希望學生在《符號操作單》上再重新一次其在《數值操作單》中的摺紙步驟，不同的地方在於，在此階段中我們拿掉了在《數值操作單》中的實際數值，改成假設「弦和切線 1 2. 的夾弧為 x 度」，希望學生經由解題得到「所摺弦切角度大小為倍所夾弧度」的答案，作為填答區(四) (以後稱學習單 Q4)形式化證明的暖身。最後，請學生根據自己的摺法，將證明書寫於學習單 Q4。在此階段中學生使用符號在探索活動中進行推理，為了能更清楚得凸顯本階段的特徵，我們把第二階段又命名為「符號形式探索推理階段」。. 25.

(38) 第五節研究工具的沿革本研究的研究工具設計，經過多次與專家的討論，幾經波折、實驗、與修改，才逐漸形成最後正式教學實驗時所使用的學習單、《數值操作單》、和《符號操作單》。為了忠實呈現最初在設計本教學活動時的原始想法，在本節中，我們會將當初活動設計時重要的歷程、轉折及理由詳列如下，俾利讀者理解研究者一路走來的心路歷程。在研究者本身的教學經驗中，國三學生對弦切角這個名詞及其角度大小的計算相較於圓的其他角如：圓心角、或圓周角，在學習上較困難也較容易遺忘。各個版本的教科書對於弦切角角度大小的推導，大多不外乎用很嚴謹的符號形式和數學語言及輔助線來證明，但對於尚未正式接觸過數學證明的學生來說，這樣的內容和分段討論似乎稍微有點吃力，如下所示茲舉其中一個版本為例(圖 3-5.1)。. 26.

(39) 圖 3-5.1 現行某版本課本內容要完成上圖的證明，必須先做出直徑 CD 這條輔助線，利用它作為橋樑，把圓周角和弦切角這兩個圓的角連結在一起，學生的先備知識已經知道圓周角的大小為其所對圓弧度數一半，藉此進而推出弦切角的度數等於所夾弧度的一半。而本研究最初的活動設計理念，就是希望透過摺紙活動這個媒介，讓學生自己經歷一遍如教科書上的證明，讓此證明中輔助線的出現不再那麼虛無縹緲、難以捉模。故在設計探索活動之初，不論是學習單上的問題，或是操作單上的圖形，都傾向一試成功導向(one-shot oriented)的設計方式，題目以題組呈現，共有三張操作單(圖 3-5.2、圖 3-5.3、圖 3-5.4)：. 27.

(40) 圖 3-5.2 第一次研究工具設計之操作單 1. 圖 3-5.3 第一次研究工具設計之操作單 2. 28.

(41) 圖 3-5.4 第一次研究工具設計之操作單 3. 在原本的課程脈絡中，學生學習這些圓的角的順序為圓心角、圓周角，最後才是弦切角，因此設計操作單 1 做為暖身，讓學生用學過的圓的角來熟悉摺紙及摺紙特有的一些性質，如可輕易對摺等分，可以疊合角度或線段來比較大小…等等。操作單 2 才正式進入欲探索的主題，先請學生摺出一個 40 度的圓周角，藉此讓操作單上出現直徑 PQ 這條輔助線，接著希望學生能發現：已經摺出的 40 度角和欲求的 50 度角互餘，只要能摺出通過切點 Q 的切線，利用 90 度扣掉 40 度的圓周角，就可以得到 50 度的弦切角。而第 3 小題，則是希望可以連結當對等弧時，圓周角和弦切角的大小一樣。最後的操作單 3 是為了讓學生再次練習摺不同角度的弦切角(銳角、鈍角)，看看他們是否確實了解弦切角的角度大小和其所夾弧之關係。這是設計活動時的初衷，然而當研究者嘗試對實驗對象之外的學生試驗時，發現了幾點設計上沒有考量到的缺失： 29.

(42) 1.. 礙於教育現場的上課時數限制，若要完整完成 3 張操作單，歷時甚久，不太能真正執行。. 2.. 操作單上的題目與題目之間連貫性不夠強，欲探索的物件之間關聯性不大，學生的學習難以遷移。. 3.. 操作單 1 中的絕大部分都是複習，和弦切角較無關，容易混淆學生的視聽。. 4.. 雖有學生摺出切線，但其切線的摺法純屬目測，過切點的直徑和切線明顯不成 90 度，造成很大的視差，對利用探索建立這個概念的學生學習可能會有阻礙。. 基於以上考量，決定探索活動僅聚焦於弦切角即可。在修正題目之後，設計了更新版本的學習單和操作單如下(圖 3-5.5、圖 3-5.6)：. 圖 3-5.5 第二次研究工具設計之學習單. 30.

(43) 圖 3-5.6 第二次研究工具設計之操作單操作單上的切線 L 事先幫學生畫好，利用引導的問題，讓學生透過摺紙的方式確認其確實為切線，在確認的過程中，摺出通過切點垂直於切線 L 的輔助線。在修正學習單的同時，和專家的討論也激盪出不同的創意和火花：弦切角角度大小的證明方式很多，教科書上所指出的僅是其中一種：延續學生之前所學課程中所提到的切線性質，直徑會和切線垂直於切點，來導入證明。然而本研究欲探討的是摺紙對國三學生建構幾何推理證明的影響，所以在學習單問題的設計上，慢慢朝著「不限制學生該摺幾度的弦切角角度」的方向思考。考量到研究對象的程度，操作單上 R 點並非實際數值，學生從一開始 1 2. 回答 Q2 的圓周角有多大時就必須使用符號如  QPR= QR 這樣的數學語言，對程度較差、學習意願較為低落的學生而言，符號的使用似乎在這樣的探索活動中變成一種阻礙。研究者由此萌生何不讓學生回到實際數值做為探索開始，再逐步到達數學語言和符號形式的推理的想法，用學生熟悉的實際數字開啟探索的第一步。因此在學習單和操作單的設計上，把圓上的等分點刻度標記出來，請學生摺出一個以切點 P 為頂點，任意大小的弦切角，再利用操作單上的度數標記來回答所摺弦切角角度大小為何，藉由學習單上的問題，讓學生觀察出所有摺痕所產生的數學物件之關係，進而得出自己的假設，並利用文字和符號加以說明(圖 3-5.7、圖 3-5.8、圖 3-5.9)。. 31.

(44) 圖 3-5.7 第三次研究工具設計之操作單. 圖 3-5.8 第三次研究工具設計之學習單第一頁. 32.

(45) 圖 3-5.9 第三次研究工具設計之學習單第二頁然這樣的工具設計對於研究目的想探討的「摺紙對國三學生書寫證明有何影響」所能提供的資訊並不多，其原因為當把一整個圓上等分點刻度都做上標記時，學生只會利用摺紙的方式摺出形成弦切角的那條弦，至於之後所有的度數判斷和觀察，很有可能會回歸到紙筆的角度計算，雖然紙筆也是一種探索的形式，卻非本研究的主要重點。因此，研究者和專家繼續進行討論，希望我們所提供給學生的操作單能提供更多的示能性，刺激學生產生動手摺紙的需求。最後決定拿掉右半圓的度數標記，僅保留左半圓的部分，但要求學生在摺那條通過切點 P 的弦時，必須摺在沒有刻度的右半圓，藉此刺激學生產生摺紙的需求，利用左半圓給定的度數標記來為他所摺的弦切角做合理的估計(圖 3-5.10)。 33.

(46) 為避免學生必須一直依賴實際刻度才能知道弦切角的大小，而無法跳脫數值完成一般化的符號形式推導，我們也設計了第二個階段的探索活動：拿掉一開始探索時的左半圓刻度，請學生用一樣的方法再做一次摺紙探索，希望藉由這樣的過渡活動，讓學生能達到如教科書上的公式推導。. 圖 3-5.10 第四次研究工具設計之操作單. 34.

(47) 第六節研究限制 1.. 本研究因取樣方便，選取研究者在台中所任教的兩個班級作為施測對象，學生程度較差，研究結果較不具一般性，無法推廣到全國國三學生的真實狀況。. 2.. 本研究以學生在學習單上的答題歷程及所提供的理由，和操作單上的摺紙摺痕，作為資料分析的依據。雖有對部分特殊情形進行錄音訪談，但受限於部分客觀因素，無法對每位學生都做訪談，如果學生沒有將其思考歷程完整表達出來，只能針對其呈現的內容做合理的推論。. 3.. 本研究並未探究補習班教學或其他變向對學生答題的影響。. 35.

(48) 第肆章. 研究結果. 第一節各種摺法引動之數學概念及推理本研究的研究設計和臺灣教科書上的動手操作活動不同，傳統的教科書雖會在某些章節加入探索活動，但多半傾向利用題組引導學生逐題回答一系列封閉式的問題，當學生按照這些探索活動的提示依序作答，就能完成解題或證明，而其過程中的想法和解題的算式，每位學生都大同小異、不盡相同。本研究的研究設計，希望有別於這種類型的探索活動，故在設計研究工具時，並不限定某種特定的解題方法，讓學生利用所學習過的任何數學知識，經由摺紙活動，自由探索弦切角角度大小。研究者的實際教學經驗中，學生學習證明最主要的困難之一，並不是怎麼接下去，而是不知如何開始。證明往往和推理密不可分，要完成一個題目或假設的問題，必須從已有信息中提取新資料，但在很多情況下，一個證明(特別是幾何證明)所需要的條件或信息並不會直接呈現在題目中，而是需要建構出輔助線之後才能得到。摺紙特有的性質如操作性和互動性…等等，可以讓學生通過動作(在此指摺紙動作)改變圖形原有的樣貌，並嘗試不同的證明方向。由於研究工具的設計選擇開放性的問題，學生在學習單上的回答及操作單上的摺紙方法也相對發散，為能具焦報導摺紙對學生建構幾何推理證明的影響，在本節中針對學生的摺紙方法做分類，在同一種類型下，討論學生的摺紙及其幾何推理證明之間的關係。本小節主要探討學生在回答「實際數值探索推理階段」（第一階段）的兩個問題時，所使用的摺法連結了哪些數學概念、引動哪些推理；並探討學生在進行完「實際數值探索推理階段」後，在「符號形式探索推理階段」（第二階段）中，所使用的摺法連結了哪些數學概念、引動了哪些推理。 36.

(49) 實際數值探索推理階段（第一階段）第一階段的兩個問題(以下稱學習單 Q1 和學習單 Q2)其主要區別在於，學習單 Q1 主要是請學生對他們在《數值操作單》所作出的摺痕和角度做判斷，得到他們心目中自己所摺弦切角的角度，將答案寫在學習單 Q1 的填答區內；而學習單 Q2 則是要求學生將當時判斷學習單 Q1 的弦切角有多大時，所用到的摺紙步驟寫下來。題目上特別要求學生「請盡量敘述清楚明確讓老師看得懂」，希望學生在回答中能自己為在操作過程中，新建構出的數學物件標上代號並命名，也希望能使用這些數學物件的性質來當作他的理由。符號形式探索推理階段（第二階段）第二階段的兩個問題(以下稱學習單 Q3 和學習單 Q4)其主要區別在於，學習單 Q3 開始有未知數 x 的引入，請學生假設他們在《符號操作單》上所摺的弦和切線之夾弧弧度為 x 度，讓學生經由摺紙探索並猜測其所摺弦切角應如何以 x 來表示；而學習單 Q4 是希望學生經過了兩階段的探索活動後，能將歷程符號形式化的表示出來，題目中的敘述是請學生將其在學習單 Q3 所作的猜測和發現，以證明的形式寫出來。操作單本身所提供的示能性引動學生的摺紙動作研究者從收回的 52 份學習單中，觀察學生在操作單上所建構出的摺痕，以及學習單上所寫的步驟、過程及理由，來探討摺紙活動如何影響證明的產生。根據 Norman(1998)所提出的示能性(perceived affordance)，及本研究資料顯示，在探索活動開始前，學生可能不一定是連結了什麼數學概念，或已擬定好什麼解題策略才去摺紙，在剛開始時很可能是由於《數值操作單》上面所附圖形得到刺激，引動其對操作單作出一些摺紙動作，再經由這些動作所得到的摺痕或所對應到的左半圓給定角度，判斷出答案， 37.

(50) 更進一步的報導會在本節中詳加說明。而特別的是，相較於一般課堂上的探索問題，學生在回答本研究的學習單時，展現了較平常使用紙筆來探索，多了更多的主動性和參與感。摺法和做法的差異界定本研究所用工具由於是開放性的問卷，學生為找出一個自己認為合理可行的解題策略，在外在操作過程與其內部心理運思之間，會不斷進行著操作、連結、說服的動態循環歷程。研究者在回收操作單和學習單後發現，學生在回答學習單 Q1 時所使用的摺紙方法繁多，本研究針對學生摺紙方法和其後續證明有緊密關連的幾種加以報導。部分學生做法之間只有些微差異，若其主要所用到的摺法相同，且其做法差異對後續證明的產生並無影響，則將他們歸在同一類來做報導。在本研究中所指稱的摺法和做法，其主要的區別在於：在此，摺法指的是從探索活動一開始到最後證明的產生(或是僅有探索過程，最後無法達到符號形式的證明)，學生得到摺痕的方法，包含摺紙的順序及步驟這一連串的過程。「摺法」是一個較為整體的想法；相對的「做法」就是一個較為局部的概念，欲達到某一摺痕或目的，學生可以使用許多不同的方法來完成，而這些(中介的)不同方法，在本研究中稱之為做法。以下舉例說明之：下圖為 S24 和 S06 的學習單和操作單掃描圖(圖 4-1.1、圖 4-1.2)，. 圖 4-1.1 左為 S24 之《數值操作單》；右為 S24 之學習單 Q1 回答 38.

(51) 圖 4-1.2 左為 S06 之《數值操作單》；右為 S06 之學習單 Q1 回答觀察這兩位學生的圖形，以及他們所書寫的判斷弦切角之理由依據，可以發現兩位學生的一些共通點：他們的操作單摺痕除了右半圓題目所要求摺的弦切角所需的摺痕外，都還有一條通過 PO 的摺線。在圖 4-1.1 中，學生對於學習單 Q1 的回答是：「先摺出一個弦切角，然後把圓對摺，把弦切角的弦對過去，∴弦在 140~160 度之間，且又在中間左右，應該大約 150 度再除以 2 = ∠QPR。」而在圖 4-1.2 中，學生對於同一題的回答則是：「對照下來比 90 度還小將近一度。」該生同時也在操作單上用鉛筆和尺畫了三條水平線，以利其作為估計用。這兩位學生有共同的摺法，最主要的中心思想其實都是做出圓的對稱軸 PO 直線，目的是想把操作單上沒有標記弧度的右半圓對應到有標示弧度的左半圓。從學生 S24 在操作單上所遺留的摺紙痕跡(圖 4-1.1)，可以回朔該生的摺法，首先該生先依題意摺出一個山線(將線的兩側往下摺，從側面看其形像山)的弦以形成題目所要求的弦切角，然後將 PQ 弦沿著 PO 直徑做對稱，而這個動作同時也摺出了通過 PO 直徑的谷線(將線的兩側往上摺，從側面看其形像山谷)，該生用筆在圓周上標記出 Q 點在圓周上的對稱點位置，再使用虛線線條將該點和 P 點連接。從以上的資訊雖不確定這條虛線的弦對於該生做角度大小判斷時的助益多大，但該生從他在圓周上所標記的 Q 點之對稱點比對到了一個刻度範圍：「…∴弦在 140~160 度之間，且又在 39.

(52) 中間左右，應該大約 150 度再除以 2 = ∠QPR。」利用視覺感覺做估計，並沒有非常在意其刻度的準確性，大約取個中間值，得到「大約 75 度」的答案。而從圖 4-1.2(學生 S06)的操作單上可以看出，他一開始的動作跟圖 4-1.1 的學生一樣，也是先做出一條山線的弦，然其第二個步驟則是將操作單重新攤平後，摺出沿著 PO 直徑的山線摺痕，再利用這條山線摺痕將這兩條摺痕和圓周所圍成的區域面積對稱到左半部，因此在左半圓上出現一條谷線的弦。要判斷弦切角角度大小時，還用鉛筆在操作單上畫了三條看似水平線的線條輔助他做估計，而最終幫助他判斷角度大小的輔助線條，是最中間的那條連接左右兩邊弦端點的線，該生發現當這兩點連線時，並沒有通過圓心 O，而是通過圓心 O 下方一點點位置，因此他認為：「對照下來比 90 度還小將近一度。」，得到「89 度」這個答案。雖然兩個學生做的都是疊合和比對，但是其所使用的方法和操作動作仍有些微的不同，這樣的動作差異的確顯示，學生心中對於估計有不同層次的認知和接受程度，但這個差別並未反應在學生建構幾何推理證明之主要方法，故本研究在接下來的報導中會將此二者一起歸類到都是「做對稱」這個主要的摺法底下，而不會另外分成兩類探討。依此原則，研究者歸納出本研究中幾種學生主要的摺紙方法，以下逐一條列報導：. 40.

(53) 4-1.1 以 PO 直線為對稱軸第一種摺法是最多學生的學習單和操作單所共同有的方法，以圖 4-1.3a、圖 4-1.3b、圖 4-1.3c 為例：. Point Q. Point R. 圖 4-1.3a. 圖 4-1.3b. 圖 4-1.3c. 圖 4-1.3 以 PO 直線為對稱軸示例. 由圖 4-1.3 可看出，這些學生的摺紙痕跡各異其趣，但其中所共有的一條摺痕即為通過切點 P 而垂直切線 L 的 OP 直線，統計結果顯示有 47 位學生(90.4%)都做出了該條直線。通過觀察學生在學習單 Q2 中的描述及部分訪談的結果發現，雖然學生摺出這條摺線的理由各不相同，然這一條通過切點 P 和圓心 O 的直線都是最先被摺出來的摺痕。而要完成整個探索活動甚至到最後證明的產生，這個動作是一個關鍵性的動作，亦是國中課堂上證明弦切角的角度與其所夾弧的弧度關係時，常用的證明之主要步驟 (下圖 4-1.4 節錄自現行某版本課本內容)。. 41.

(54) 圖 4-1.4 現行某版本課本內容現行某版本課本內容中的證明是以 CD 直徑作為輔助線，利用所求之弦切角∠D’CB 和圓周角∠ECD’互為餘角關係，將圓周角∠ECD’的度數轉換成其所對弧度數的一半，推導出弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。然而並非所有學生在一開始摺出這條摺線時，都可以覺知「PO 直線垂直於切線 L」這個切線性質，從學習單上的回答，以下歸納出幾種學生在做這個動作時可能連結的數學概念： 1. 在學習單的 Q2 敘述中，有學生寫到「1.首先我依照老師說的對摺【註】，2.在[再]隨便摺出角度(右半邊)， 3.摺出另一邊時看到右半邊的線時，就相反摺出對角，4.在[再]看左邊圖形的刻度，預測出角度是多少」(S03 有加圖示)(圖 4-1.5 左) 「在 180 度的地方折一條線分成左右兩邊」(S44)(圖 4-1.5 右) 「1.折出 PQ 線段，2.利用圓規量出 Q 點到 180 度的距離，3.利用相同 42.

(55) 距離以 180 度為圓心，畫在別一半的圓上。」(S05) (圖 4-1.6 左) 「1.折出一條過 P 點的線，且圓周交於 O 點，2.由 P 點為中心畫一條由圓內穿過圓上到圓外，形成一條弦切角。」(S06) (圖 4-1.6 右) 【註：事實上，教師在教學過程中並未告知該如何進行，兩個階段的探索活動都是由學生按照學習單上的指示完成的。】. 學習單上的回應推測這些學生可能直觀的從操作單所附圖形，連結到圓的對稱性，由於圖形的左半部分提供了可供參考的角度，而右半部分卻沒有提供任何關於角度大小的資訊。因此這些學生把 PO 直線當做對稱軸將右半部分對摺到左半部分，是為了得到關於右半邊圖形的角度資訊。. 圖 4-1.5 左為 S03 之學習單 Q2 回答；右為 S44 之學習單 Q2 回答. 圖 4-1.6 左為 S03 之《數值操作單》；右為 S44 之《數值操作單》 43.

(56) 圖 4-1.7 左為 S05 之學習單 Q2 回答；右為 S06 之學習單 Q2 回答. 圖 4-1.8 左為 S05 之《數值操作單》；右為 S06 之《數值操作單》. 2. 在做出以 PO 直線為對稱軸這個動作的學生中，特別有一部分的學生，在學習單 Q2 的描述中多了一些數學名詞，在敘述中也可以看出學生已覺知數學物件之間的關係，舉例如下：「在紙上折一條垂直 L 的直徑…」(S12)(圖 4-1.9 左)、「1.先摺出∠QPR，2.再對摺出直角…」(S25) (圖 4-1.9 右)、「1.折出一條切線，2.折出交於 O 點(筆誤，應為 P 點)垂直 L 的線…」 (S01) (圖 4-1.10 左)、「…3.設 180 度為 A 點，使 AP  切線 L…」(S09) (圖 4-1.10 右)、「1.P 點與圓心垂直，2.L 切線和 P 點垂直的線合併∵就有 R 點…」(S31) (圖 4-1.11 左)、「1.摺出一條過 P 點的線，且此線交圓周於 Q 點。2.做過 P 點垂直直線 L 的線，L2…」(S47) (圖 4-1.11 右). 44.

(57) 圖 4-1.9 左為 S12 之學習單 Q2 回答；右為 S25 之學習單 Q2 回答. 圖 4-1.10 左為 S01 之學習單 Q2 回答；右為 S09 之學習單 Q2 回答. 圖 4-1.11 左為 S31 之學習單 Q2 回答；右為 S47 之學習單 Q2 回答此類學生在學習單上的回答有一些共同的特徵：(1)敘述上出現數學專有名詞、(2)注意到數學物件彼此之間的關係，也都有把這些關係記錄在 Q2 的答案中，如直角、垂直等、(3)對於原題目(操作單上的圖形)沒有出現的標記或符號，能自己給予一個代號方便敘述。. 從 Q1 到 Q2，學生寫下 Q2 答案的同時，不論他寫下什麼，都已進入內部探索的階段。當這些學生審視當前的摺痕時，有些學生能連結到曾學習過「通過切點的直徑會垂直切線」這個性質而把注意力放在「如何利用 45.