數學證明該怎麼教，這件事在數學家和數學教育家之間長期是一個極 受爭論的議題，然而，至今尚未達成一個共識(Arzarello, 2007 ; Kleiner, 1991)。其中一個論點是關於教師在證明形式的教學時，應該把焦點擺放在 概念和語法上，或是關注於語義方面(Hanna, 2000)。而在台灣，一般教注 重前者，即概念和語法，的教學。因此，當教師教導學生如何建構一個數 (Ding & Jones, 2006)。因此，有學者開始研究幫助學生建構輔助線的教學 工具(例如 Matsuda & Okamoto, 1998)。有的學者研究使用動態幾何軟體 (DGS)來幫助學生做探索，例如 Geometer’s Sketchpad (Goldenberg & Cuoco, 1988)和 Cabri-gèométrie (Jones, 2000)。謝豐瑞(2011)1提到，使用摺紙的探 索活動也可以幫助學生數學思考、推理、發現和建構輔助的數學物件。
Johnson(1957)在其著作《Paper folding for the mathematics class》中，
採用兩個基本假設與四個摺紙動作，從如何在一張紙上摺出一條直線開始，
14 Song, & Wang, 2008)。
本研究的理論基礎主要來自 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)所提出的架構，
根據這架構和部分猜測去設計本研究的研究工具。
Hsieh、Horng 和 Shy(2012)曾提及動手操作的探索活動的多種特徵，
例如摺紙能改變圖形原本形狀，或從操作的過程中得到立即的回饋…等，
並認為這些操作後產生的新圖形對於成功建構幾何證明是有幫助的。在該 文章中他們更進一步舉例說明摺紙操作的探索活動在台灣地區是如何被 用在證明教學中。
1.探索的立場 ( Position on Exploration)
探索活動融入數學或證明的教學中，一直是各界關切的重要議題。在 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)的研究中對探索和證明之間的關係提出了內部 和外部兩個面向的詮釋：○1 把探索看成一個心理過程○2 把探索當成是一個 包含和外界環境(可能如動手做或是 DGS 工具)操作和互動的活動。前者的
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2.探索在證明中的價值 (Exploration’s Value in Proving) 2.1 探索和發現 (Exploration and Discovery)
發現在探索的歷程中是一個必要的元素。想要精通某個領域的根本想 法，包括數學，需要的不只是抓取一般化的原則，還包含了發展一個方法 去做猜測，同時化獨立解題為可能(Bruner, 1960)。根據 Bruner 的說法，學 生在探索的歷程中發現了什麼，對他們的思考同時是有用且有意義的。
2.2 探索的特徵 (Characteristics of Exploration)
從文獻探討和 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)自身的研究經驗，他們歸納 出探索的特徵有以下五點：讓個體可以去○1 建構數學物件，○2 改變物體形 體，○3 從不同的方向進行探索，○4 覺察多元的視覺資訊，和○5 接收立即的 回饋。
2.3 示能性和動手操作的探索活動 (Perceived Affordance and Hands-on Exploration)
部分學生如果沒有經由親自動手操作的過程，很難自己想像得到操作 之後的結果(Piaget and Inhelder, 1967)。對於這樣的學生，經由動手操作的 活動來從事探索，可以有助於他們在操作完成後”看到”結果。使用具體物 件教學，由於物體本身的示能性，能增加學生操作的可能。而這些動作可 能是無目標性的開始，或開始於有目標性的操作。
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“Affordance”這個字由 Gibson(1977, 1979)首先提出，指物體本身提示 於人其作用。Norman(1998)更進一步將此概念拆成”actual affordance”和”
perceived affordance”，後者的意思指的是人本身覺知到物體本身提示性的 特質而使人了解其作用。
3.將探索活動用於課堂證明教學的理由
學生可以有機會像數學史上那些數學家一樣，應用直覺來發現樣式，
猜測預感，發現想法，一般化形式最後形成猜想(Lakatos, 1976; Polya, 1981)。
Hsieh、Horng 和 Shy(2012)也提到，經由探索來建構數學證明，對於學習 者有正向的幫助，如增強動機、自我感覺及認知。
對於學生經常性的反應不知從何切入進行證明，尤其是有涉及建構輔 助物件的問題，他們提到探索活動○1 互動和操作的特質，○2 能往不同方向 探詢解法○3 能輕易的改變紙張的圖形等本質，而能提供學生更多的解題資 訊，並促進學生對證明、推理的了解。
3.1 探索活動能激活(activate)學生直覺的使用
Bruner(1960)提倡發現學習法(discovery learning)，鼓勵學生通過科學 活動來發展直觀(intuitive)與分析(analytic)的技巧。Hsieh、Horng 和 Shy(2012)指出，當學生在證明中激活了直覺，他們會把所建構出的部分步 驟或結構當作不言而喻或本來就知道的結果。並且操作活動能讓學生經由 觀察得到大量的附加經驗(incidental experiences)如數學物件的相關關係、
物件的數學性質，以及這些和待答問題或證明的關係。
根據 Ausubel 的意義學習理論，學生學習新知識時的能力與經驗，就 代表他的認知結構，配合他的認知結構，教他新的知識，就會使他產生有 意義的學習(張春興，2006，P219)。
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4. Hsieh、Horng 和 Shy(2012)提出的 EP-spectrum
證明可以視為一連串活動的產出，始於探索(exploration)，依次是猜測 (conjecturing)、非形式解釋(informal explanation)、及論證(justification Argument)，最後是證明的輸出(proof production)。各階段之間關係並非互 斥，學生有可能同時經歷多於一個階段。也並非每個證明輸出都需要經歷 所有階段。設計了一個摺紙操作活動，讓學生透過摺紙操作，來證明圓的 切線段等長。研究結果發現，有 54%的學生能完成摺紙活動並寫出正式的 證明。
圖 2-3.1 引自 EP-spectrum 部分架構圖
4.1 探索(exploration)階段
操作單上圖形所提供的示能性，讓學生能夠對其動作，如摺、畫…等。
4.2 猜測(conjecturing)階段
探索活動的設計方向可以粗分成○1 abducted situation 和○2 adducted situation。前者由於探索範圍和限制較為開放，可能會產生較多不完整或錯 誤的推論。後者提供操作者得到一次成功(one-shot errorless)的探索機會。
本研究選擇設計一個較為開放的研究問題，讓學生自己透過操作，發 展出自己的摺紙方法和證明方式。
探索活動
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4.3 非形式解釋(informal explanation)階段
在此階段，學生對其操作行為的解釋，會使用到和個人經驗相關的語
4.4 論證(justification Argument)階段
此階段和非形式解釋階段最大的差異在於邏輯步驟的使用。本階段的 主要特徵有：○1 論證敘述並不一定要嚴謹(rigorous)，○2 論證的敘述可能會 出現多餘的元素和物件，○3 推論過程所使用的物件關係並不全部都來自前 一步驟的推理或公設，○4 推理步驟和探索步驟混用，○5 本階段所得到的結 論可能是一般化也可能是局部特例(context- or context-bound)。研究中也特 別指出，學生通常會使用口語敘述(verbal statement)來表示其想法或數學概 念。
4.5 證明的輸出(proof production) 階段
演繹推理的使用是本階段和論證階段最大的不同。
在 Hsieh、Horng 和 Shy(2012)的研究中，他們設計了一個操作活動讓 學生經由一次成功(one-shot errorless)的探索歷程，完成證明的輸出。本研 究設計了兩個操作活動，讓學生從兩個相似度很高的探索活動中，自己推 導出弦切角大小為何(以 x 表示)的發現，並就其發現做出證明。
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