圖 4‐4‐1 評判「一般化」範例
當學生在評分過程中所寫下的理由認為證明題應該從題目所給的 已知條件開始，進而完成證明，則研究者認為「利用已知條件」為此類 學生評判的標準之一。下圖範例一為學生直接提及需利用已知條件完成 證明之情況，另範例二學生認為題目之附圖不一定準確，因此不能以此 作為根據而完成證明，而是必須利用題目所給的條件完成證明，因此亦 將其分類於此。
圖 4‐4‐3 評判「已知條件」範例二
在證明的過程中，依據題目的已知條件，學生評判分數的標準之一 為判斷其內容是否利用相關的性質進行推理、演繹，則「利用相關性質」
為這些學生的評判證明題標準之一。下圖範例一學生認為證明過程的優 點為利用到相關的性質，而範例二的學生認為可利用「大邊對大角」性 質，顯然沒有意識到本題欲證明的性質即為「大邊對大角」性質，而造 成循環論證現象，雖造成此一現象，但學生認為證明應利用到相關的性 質。
圖 4‐4‐4 評判「相關性質」範例一
圖 4‐4‐5 評判「相關性質」範例二
當學生評判證明題之標準為檢視其證明內容是否完整，則將學生歸 於此分類，如下圖例：
圖 4‐4‐6 評判「內容完整」範例
2. 依據學習的成效
表 4‐4‐2「依據學習的成效」評判證明題標準之子項目 分類編號 評判標準
2.1 是否為上課教過的方法 2.2 上課是否認真
2.3 耐心完成證明 2.4 思考過程謹慎
2.5 是否將學習過的內容融會貫通
當學生評判證明題得分的原因為「上課有敎過」時，則將學生歸類 於此分類之中，如下例：
圖 4‐4‐7 評判「上課敎過」範例
當學生評判證明題的理由為「上課認真」時，則「上課是否認真」
為此類學生評判的標準之一。
圖 4‐4‐8 評判「上課認真」範例
圖 4‐4‐9 評判「耐心完成證明」範例
當學生認為答題者寫下的過程謹慎、細心，則此類學生認為「思考 過程謹慎」為評判的標準之一。
部份學生認為回答證明題時，不應直接利用「老師敎過」或「課本 這樣寫」當作證明的論述，而應該經融會貫通後，用自己的想法來完成 證明。此類學生普遍認為第一種摺紙基本策略(即感官、權威基本策略) 的證明論述的過程應有自己的想法，如下圖例：
圖 4‐4‐11 評判「是否融會貫通」範例
3. 依據解題的過程
表 4‐4‐3「依據解題的過程」評判證明題標準之子項目 分類編號 評判標準
3.1 證明過程是否詳細 3.2 利用實際操作解題 3.3 證明過程是否簡單 3.4 證明過程是否易懂 3.5 是否能快速完成證明
3.8 是否遵守格式 3.9 是否利用畫圖解題
當學生在評判證明題時，給分的依據特別針對證明的過程是否詳 細，而內容的合理性或正確性等為另外的評判項目，則「證明過程是否 詳細」為學生評判證明題的標準之一。如下圖，學生寫下的理由除了認 為證明內容很完整之外，另外還提及證明步驟清楚明瞭，也就是說學生 除了針對內容之外，過程的呈現也是評判項目。
圖 4‐4‐12 評判「過程是否詳細範例」
「權威、感官證明基本策略」及「歸納證明基本策略」利用實際操 作所呈現的結果當成證明的依據，部分學生認為此種作法合理，因此給 予正面的意見，也有部分的學生認為此種作法不妥，因此給予反面的意
圖 4‐4‐13 評判「實際操作」範例一
當學生認為證明過程是否簡單為其證明過程的特點時，則「證明過 程是否簡單」即為評判證明題的標準之一。
圖 4‐4‐15 評判「過程是否簡單」範例
對學生而言，「證明過程是否易懂」也是評判的標準之一，如下例：
圖 4‐4‐16 評判「過程是否易懂」範例
在證明的過程中，「是否能快速的完成證明」亦為學生評判證明題 的標準之一，即此類學生的評判標準為「證明所花費的時間」。下圖範 例一認為歸納證明基本策略會浪費太多時間，而範例二則認為權威、感 官證明基本策略可以節省時間。
圖 4‐4‐17 評判「快速完成證明」範例一
當學生認為證明的過程太冗長或太簡短時，學生所擷取到的資訊為
「證明的長度」，因此證明過程的長度為學生評判的標準之一。
圖 4‐4‐19 評判「適當的證明長度」範例
對學生而言，證明的過程是否能直接利用數據驗證(例：測量、將數 字帶入公式驗證等)？當學生在評判證明題的過程中如以此為依據，則 此類學生認為「利用數據驗證」為評判證明題的標準之一。
圖 4‐4‐20 評判「利用數據驗證」範例一
圖 4‐4‐21 評判「利用數據驗證」範例二
部分學生認為回答證明題應該有某些必備元素，如下圖範例一，學 生認為證明題應證明出結論(在本題中即為∠1>∠2)；而下圖範例二則認 為證明題存在有一種較正確的解題方式，意即有某種標準的格式。因此 具有此現象的學生，「依照某種格式」為他們評判證明題的標準之一。
圖 4‐4‐22 評判「依照某種格式」範例一
當學生評判證明題的依據為圖形時，則「是否利用畫圖解題」即為 評判標準之一。
圖 4‐4‐24 評判「是否畫圖」範例
依據上述各分類原則，研究者將學生的評判理由進行分類後，得到 以下結果：
表 4‐4‐4 各評判標準項目人數比例(全體學生)
依據 代碼 子項目 人數 比例
各項目 平均 1.1 證明內容是否一般化 10 11.49%
2.1 利用上課教過的方法 6 6.90%
表 4‐4‐5 主要評判標準(全體學生)
本節第(一)部分分析全體學生評判證明題的標準。在第(二)部
觀察 A 組學生與 B 組學生在 3 個項目的平均比例，可發現 A 組
例最高的前兩項可知，A 組學生認為證明題應該以相關性質完成證
B 組學生評判證明題最多人在意的項目為「是否有依照某種格
Knuth(2002)認為當老師在判斷喜不喜歡一個證法時，有下列四 種判斷的標準：方法是否有效、內容是否正確、過程是否詳細、是 否需要高等數學的知識。與本研究結果相互比較，在此四項老師評 判證明題的標準中，學生只在「過程是否詳細」此項評判標準與老 師相同，而其餘三項則不在學生的評判標準項目之列。此結果顯示 教師對證明題的評判標準與學生的評判標準幾乎完全不同。
因此在教學現場，教師的教學要傳授的知識為何？而學生是否 能確實學習到這些知識？經由以上的分析，本研究結果提供一份參 考數據，藉此在證明題的教學上，發展後續的改良及研究。
第伍章 結論與建議
可利用演繹方式得到明確結論，因此多數認為其回答為證明。
8. 教師評判證明題的標準項目與學生評判證明題的標準項目幾乎完全 不同，相同的評判標準為「過程是否詳細」此項。顯示在教學上，
學生在證明題所產生的概念與教師欲傳授的概念並不一致。
第二節 教學及後續研究建議
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20. Wilder, R. L. (1968). Evolution of Mathematical Concepts, John Wiley.
附錄 A：正式問卷
班級：__________ 座號：______ 姓名：___________
第一部分：請同學用黑色或藍色筆作答
一、 對於任意的四邊形ABCD，
E
、F
、G、H
分別為四個邊的中點，請問四邊形EFGH
一定會
是哪一種四邊形？□ 正方形 □ 梯形 □ 無法確定形狀
□ 長方形 □ 平行四邊形
□ 菱形 □ 鳶形
二、
1. 承上題，你能夠證明你的結論嗎？如果可以，請在下方證明；
如果沒辦法證明，請在下方說明：
我的證明或說明
附錄 A：正式問卷
□ 上面是我的說明
閱卷者： 座號：______ 姓名：___________
第二部分：請用紅筆在同學第二題的答案上批改。
批改時，只要針對他/她的證明或說明是否正確，不用管 同學在第一題的選擇是否正確
滿分十分，請問你給同學打幾分？______分 請說明你如此給分的原因：
有何優點使你給同學這個分數： 有何缺點使你給同學這個分數：
附錄 A：正式問卷
班級：__________ 座號：______ 姓名：___________
第一部分：請同學用黑色或藍色筆作答
三、 請試著證明或說明「
n
邊形內角和為( n
−2)
×180 °」：我的證明或說明
□ 上面是我的證明
□ 上面是我的說明
附錄 A：正式問卷
閱卷者： 座號：______ 姓名：___________
第二部分：請用紅筆在同學第二題的答案上批改。
批改時，只要針對他/她的證明或說明是否正確，不用管 同學在第一題的選擇是否正確
滿分十分，請問你給同學打幾分？______分 請說明你如此給分的原因：
有何優點使你給同學這個分數： 有何缺點使你給同學這個分數：
附錄 A：正式問卷
班級：__________ 座號：______ 姓名：___________
某次段考考卷上出現了一道題目：
「ΔABC中，已知AC> AB。試證：∠1>∠2。」
大白、小明與安安三人分別寫了三種不同的答案，如果你是老師，滿 分十分，你分別會給這三位同學幾分？為什麼？
大白的答案：
之前課堂上老師曾經展示過，當AC> AB時
把AC邊的∠ 摺到 AB 邊的 12 ∠ 會發現∠1>∠2，故得證
我給大白 ______分，因為…
大白答案的優點有： 大白答案的缺點有：
附錄 A：正式問卷
小明的答案：
(1) 如圖，∠ 的所有可能情形有銳角、直角、鈍角
A
(2) 針對這三種情形，分別量出 1∠ 與 2∠ 的角度大小 可發現不管哪種情形， 1∠ 都比 2∠ 大故∠1>∠2
鈍角
銳角 直角
我給小明 ______分，因為…
小明答案的優點有： 小明答案的缺點有：
附錄 A：正式問卷
安安的答案：
(1) 如圖，作∠ 的角平分線 AD
A
(1) 如圖，作∠ 的角平分線 AD