因此 Harel & Sowder (1998)並未強調證明應該要形式化，而是以更寬 廣的觀點來看待學生所寫下的回答。他們讓選修不同數學主題的大學生 回答與其課程相關的證明問題，從學生的回答中進行適當的分類，將學 生的回答分成 3 種不同認知層次的證明基本策略(proof schemes)。依照 認知層次由低而高，依序為：外在信念證明基本策略(External conviction proof scheme)、經驗證明基本策略(Empirical proof schemes)及分析證明 基本策略(Analytical proof schemes)。
1. 外在信念證明基本策略(External conviction proof scheme)：
當學生評斷證明過程是否正確時，所依據的是證明的格式。
或是在寫下證明的過程傾向於遵循某些準則，而不是依照題目已 知的性質進行合理的演繹推論。以下可分為三種類型：
(1) 儀式證明基本策略(Ritual proof scheme)：
學生評判一段數學論述所依據的是格式，而不是這段數 學論述內容的正確與否。
(2) 權威證明基本策略(Authoritarian proof scheme)：
當學生評判一段數學論述所依據的是「老師上課講過」
或「教科書有提到」，如此證明的概念稱為「權威」
(authoritarian)。
(3) 符號證明基本策略(Symbolic proof scheme)：
學生透過符號的操作完成證明，然而卻沒有注意這些符
2. 經驗證明基本策略(Empirical proof schemes)：
學生證明的過程是透過實際數據驗證當成證據、或是利用舉 例的方式因而歸納出結論、或利用直觀的方式完成證明。以下分 為二種類型：
(1) 歸納證明基本策略(Inductive proof scheme)：
當學生針對一個或多個例子進行實際數值的驗證當成證 據來說服他人，則稱之為歸納證明基本策略。
例，而忽略該物件的變換性，以直觀的方式(或演繹推理) 作為論述的理由。
3. 分析證明基本策略(Analytical proof schemes)：
證明的過程，學生所利用的是合理的邏輯演繹方式，則稱為 分析證明基本策略。
(1) 轉換證明基本策略(transformational proof scheme)：
當學生證明的過程，能考慮到該物件的變換性，而討論 所有可能狀況，或利用演繹推理的方式完成證明。
(2) 公理化證明基本策略(axiomatic proof scheme)：
學生的證明過程是由「未定義項」及「公理」作為出發，
學生及教師在數學證明的表現及看法
Liu & Manouchehri (2012)以 4 大數學主題(數論、幾何、機率、代數) 設計了一連串的問卷，利用 Harel & Sowder (1998)所發展的證明基本策 略(proof schemes)架構，探討各主題間學生所擁有(own)的證明基本策略 與偏好(preferred)的證明基本策略的情形，研究對象為經濟相關課程的 41 位學生。研究結果指出：(一) 數論類有 35 位學生擁有經驗證明基本 策略(Empirical proof scheme)、偏好經驗證明基本策略者亦達 32 位，相 較於擁有及偏好分析證明基本策略(Analytical proof schemes)者分別只有
(五) 不論哪一類的題目，外在證明基本策略(External conviction proof schemes)皆只有少數學生擁有，而在證明上使用，同時皆無學生偏好此 種證明基本策略的內容、方式。
表 2‐2‐1 Liu & Manouchehri (2012)的研究結果
數論 幾何 機率 代數 合計
擁有 偏好 擁有 偏好 擁有 偏好 擁有 偏好 擁有 偏好 無 4 2 8 1 15 10 1 37 4 外在 5 3 8
從上結果可知，學生在數論類的證明多數人會使用經驗證明基本策
一般性與嚴謹性也是學生喜歡的證明特徵，此結果亦與 Liu &
Manouchehri (2012)的研究結果相似。另外一方面，想法難、步驟多則
Porteous(1990)的研究中發現，只有 15%的學生會提供具有一般性的
Hoyles(2000)亦指出：(1) 學生對「敘述」形式的證明的喜歡程度高 於「代數」形式；(2) 學生對證法的喜歡程度與「老師的背景」、「老師
Bayazit(2012)針對 6 位中學數學職前教師(prospective secondary mathematics teachers)對數學證明的看法進行研究。研究結果指出，這 6 位職前教師皆認為證明即為一種呈現「某事是對的」的方法。而在證明 的結構上，這 6 位職前教師認為他們的證明都是從已知條件出發，然後 進行某些動作而得到結論。針對證明的有效性的部份，這 6 位職前教師 認為一個證明是否有效，其標準在於「邏輯演繹」。這些看法都與數學 家對於證明的看法一致，亦顯示職前教師對證明的看法與學生已不同。
綜觀本節所述，學生所喜歡的證明與他們所呈現的證明與數學家認 為的證明存在有一定的落差。再者，利用證明基本策略(proof schemes) 來探測學生具備與偏好的證明型態，目前僅只於國外有相關研究(Liu &
Manouchehri,2012)。因此，本研究以「四邊形中點連線」性質、「n邊 形內角和」及「三角形大邊對大角」性質為例，探討學生在證明上的相 關表現情形。
第參章 研究方法