圖 3‐5‐1 研究流程圖
第六節 研究限制
1. 研究的問卷僅以三題證明題探測學生解證明題的基本策略以及評判 證明題的標準，並未對學生進行面對面的訪談，無法確定學生完整 的想法。因此當學生的回答無法明確斷定時，研究者將採嚴格分析 認定，只報導能夠確定的部份。
2. 本研究對象為苗栗縣某國中，9 年級共有 10 班，學生程度、家庭背 景與學習資源等未必與其他地區國中相似，故本結果無法擴大到全 國國中 9 年級學生。
第肆章 研究結果
Harel & Sowder(1998)在 Students’ Proof Scheme: Results from
Exploratory Studies 中的分類，將學生使用的證明基本策略依其認知層次 高低區分為「外在」(External)、「經驗」(Empirical)及「分析」(Analytical) 三類，其中「外在」一類另有「儀式」(Ritual)、「權威」(Authoritarian)、
「符號」(Symbolic)等三個子分類；「經驗」一類有「歸納」(Inductive)
參考 Harel & Sowder(1998)的研究分類，研究者將學生的證明基本策 略分成「無意義」、「外在」、「經驗」與「轉換」等四類。對於無法寫出 有意義的證明／說明過程的學生，則將其分入「無意義」一類，而 Harel
& Sowder(1998)原「分析」一類，因本研究問卷所設計的題目，只能觀 察學生是否具備其子分類「轉換」的證明基本策略，故將本分類改稱為
「轉換」。在開始進行分類之前，研究者先針對本題列出分類標準。
0. 無意義：
證明／說明的方式並非針對題目所要求者，將其歸至「無意 義」一類。
表 4‐1‐1「無意義」的分類標準
分類編號 使用的基本策略 證明／說明方式
0.1 無意義 不是有意義的證明／說明內容
在本題中，若學生在證明區的回答，並非針對其勾選的選項 進行證明，而是回答其他內容時，本研究將此類的學生歸類於「無 意義」，如下圖所示。
圖 4‐1‐2 「無意義」例二 1. 外在(External)：
表 4‐1‐2「外在證明基本策略」的分類標準 分類編號 使用的基本策略 證明／說明方式
1.1 儀式(Ritual) 學生的證明只使用了某些固定的格式或是 某些固定的步驟、流程，而非依題意進行合 理推論、發揮而完成證明。
1.2 權威(Authoritarian) 直接指出該證明的出處，而沒有將該證明呈 現於證明區內
「儀式」(Ritual)此一分類代表學生的證明只使用了某些固定 的格式或是某些固定的步驟、流程，而非依題意進行合理推論、
發揮而完成證明。當學生在本題中勾選了某個答案，接著在證明
／說明處則列舉了許多與該答案相關性質，但是並沒有辦法利用 這些性質完成證明。對學生而言，證明是一堆「性質」所堆砌而 成的結果，而如此堆砌的過程，則可視為「儀式」的一種，如下
圖 4‐1‐3「儀式」基本策略範例
若學生在證明的過程中，直接指出該證明曾經由何人證過、
或是於何處出現過，而沒有將相關證明過程呈現於證明區之中，
則將此種證明基本策略歸類於「權威」(Authoritarian)一類，如下 圖所例：
2. 經驗(Emperical)：
在本分類中，學生主要依賴自己本身的經驗來完成證明／說 明。在此，本研究將此分類再細分為「歸納」(Inductive)及「感 官」(perceptual)這 2 個子分類。
表 4‐1‐3「經驗證明基本策略」的分類標準 分類編號 使用的基本策略 證明／說明方式
2.1 歸納(Inductive) 1. 利用舉例的方式歸納、推廣得到結論 2. 透過舉例並且利用實際數值驗證公式的
正確性
2.2 感官(Perceptual) 只觀察某特定圖形，並以此為依據得到結論
「歸納」主要是學生舉例，接著利用度量或直接計算等方式 驗證該例正確，進而用以歸納、推廣、代表所有情況的方式。以 下三種類型，研究者皆歸於此分類中。
第一種類型的學生利用畫圖舉例的方式來完成證明：學生在 作答區畫了許多四邊形中點連線，並觀察其中的共通特性，最後 得到自己的結論。顯然，利用舉例的方式進而歸納、推廣而完成 了證明，故此種方式將其歸類於「歸納」。
圖 4‐1‐5 利用畫圖舉例歸納
第二種類型的學生也是利用舉例，和上述類型不同的是：此 類型的學生雖有舉例，但是卻沒有畫圖。同樣的，學生雖然沒有 利用畫圖的方式來舉例，但是利用文字敘述的方式仍然屬於舉例 的一種。因此，對於此種類型的學生，研究者亦將其歸類於「歸 納」一類。在以下範例中，學生雖沒有畫出圖形，但透過學生的 描述可知其判斷後所歸納出的結論是「平行四邊形」，故仍將此 類學生分類於「歸納」。
圖 4‐1‐6 無畫圖舉例歸納
第三種類型則是利用實際數字帶入檢驗公式是否正確，如下 圖：
圖 4‐1‐7 利用數值驗證歸納範例
圖 4‐1‐8 無法確定形狀範例
「感官」此分類的學生主要受限於他眼前所呈現的特例來推 論完成證明，而非利用一般化的例子完成證明。部分學生在證明 區只畫了一個圖，並且利用該圖形觀察、推論以得到結論。學生 依賴他所繪的圖形的特性，不論是透過直接觀察或使用演繹的方 式，終究學生的注意力僅限於其眼前圖形所呈現的相關特性，而 不是所有四邊形共同具有的特性。對此類的學生，其焦點皆擺在 眼前的特例，因此研究者在此將此類學生歸類於「感官」此一分 類中。
圖 4‐1‐9「感官」基本策略範例
3. 轉換：
當學生將題目已知條件的相關性質，透過演繹推理等方式，
因而證得相關的結論，研究者將此類的學生分類於「轉換」一類。
表 4‐1‐4 四邊形題「轉換證明基本策略」的分類標準
分類編號 使用的基本策略 證明／說明方式
3.1 轉換(Transformational) 利用「三角形兩邊中點連線」的性質或 其他合理的邏輯演繹方式推導得到相關 的結論
的條件、性質進行演繹、推理，得到最後的結論，因此亦分類為
「轉換」一類。
圖 4‐1‐10 四邊形題「轉換證明基本策略」範例
而在內角和題中，學生將所列出來的若干個n邊形，由其中 一頂點開始往其他頂點連線，將該n邊形切割成為n−2個三角 形。接著再利用三角形內角和為180°此已知條件，由n=3開始，
得到三角形內角和為
(
3−2)
×180°，依序n
=4,5,6,...以此類推，皆可 透過相同的方法得到n邊形內角和為(
n−2)
×180°這個結論。
雖然無法將所有的n邊形皆逐一驗證，但是證明的方式，使 用的是合理的演繹、推論過程，因此將其皆歸類於「轉換」一類。
圖 4‐1‐11 內角和題「轉換證明基本策略」範例一
(一) 面對熟悉的題目，學生的答題分類
本題要求學生證明n邊形內角和為
(
n−2)
×180°，由於本題的證明出 現於教科書，老師在進行教學時，也曾經證明本題，因此將本題稱為學 生所熟悉的題目(以下簡稱內角和題)。內角和題的學生證明分類如下：
表 4‐1‐5 內角和題，學生的證明分類(全體學生)
類型 人數(人) 比例 有意義者比例
無意義 30 34.88%
外在 4 4.65% 7.14%
經驗 30 34.88% 53.57%
轉換 22 25.59% 39.29%
0.00%
(二) 面對較陌生的題目，學生使用的證明基本策略
總計 86 100.00% 100.00%
扣除「無意義」類的學生，在其他三個分類之中，研究者發現有高 經驗 30(35%) 40(47%) +10(+12%) 轉換 22(26%) 9(10%) ‐13(‐16%) 總計 86(100%) 86(100%)
0.00%
表 4‐1‐8 內角和題與四邊形題各證明基本策略的人數對照表(全體學生) 內角和
四邊形
無意義 外在 經驗 轉換
無意義 18 0 15 3
外在 1 0 0 0
經驗 8 4 15 13
轉換 3 0 0 6
將各個證明基本策略展開來看，研究者發現，無論學生回答的題目 是否上課曾經敎過，有 39 位學生(約佔全體學生的 45%)仍然使用同一種 證明基本策略(包含無意義)。
在內角和題為「無意義」，而在課本沒有提到的四邊形題能寫出有意 義的證明的人數有 11 位，但同時從另外三種證明基本策略變為「無意 義」的學生也有 18 位。雖然兩題在「無意義」分類的人數差異不大，
但從下圖來看，其成員約只有半數為兩題皆為「無意義」的學生。
另外在內角和題之中使用「經驗」的 30 位學生，其中有 14 位無法
表 4‐1‐9 A 組學生內角和題與四邊形題的綜合比較
證明基本策略」的人數比例大幅降低，在 A 組學生中，減少了 41%，同
研究者發現，在 32 位 A 組學生之中，有 21 位學生在內角和題的證
面對證明題，不論是較陌生的題目或是熟悉的題目，都有莫約一半
學生則是利用「經驗證明基本策略」回答內角和題。如下圖所示，在兩 題證明基本策略為「無意義」的學生中，有 16 位學生於此兩題皆無法 寫出有意義的證明內容，約佔全體 B 組學生的 30%。
圖 4‐1‐18 內角和題與四邊形題「無意義」使用人次(B 組)
另一方面，內角和題使用的證明基本策略為「經驗」的學生有 25 位，其中 14 位在四邊形題其回答則屬於「無意義」一類，而有 10 位學 生的證明基本策略仍屬「經驗」。而四邊形題中證明基本策略為「經驗」
的學生則有 22 位，其中有 12 位學生在內角和題使用其他證明基本策 略。如下圖，在兩題證明基本策略為「經驗」的學生中，有 10 位學生 於此兩題皆的證明基本策略皆為「經驗」，約佔全體 B 組學生的 20%。
圖 4‐1‐19 內角和題與四邊形題「經驗」使用人次(B 組)
從教學現場來看，內角和題為教科書上的題目，無論是先透過實例 讓學生了解，或是直接切入該章節的重點，最後本題在進行教學時，都 會引導至教科書上的證明方式，而其證明方式研究者將其分類於「轉換」
一類。但從 B 組學生的證明基本策略分類來看，即使教科書、課堂上皆 呈現過「轉換」此種證明基本策略的內容，B 組學生仍舊無法因為上課 敎過而改用「轉換」來完成證明，而主要使用的證明基本策略則是「經 驗」或為「無意義」二類。
無論題目是否為教科書上的題目，B 組學生多數皆利用數字驗證、
觀察圖形特性、歸納結論等方式來完成證明，即「經驗證明基本策略」。
除了使用「經驗證明基本策略」之外，大多的回答則屬於「無意義」一 類，使用「外在證明基本策略」的 B 組學生人數則所佔不多。
比較 A 組學生與 B 組學生的表現，可以發現老師課堂上的教學對 A
生，從以上數據顯示，「外在證明基本策略」不是學生在完成證明時會 採用的主要證明基本策略，因此當教師在進行數學證明的課堂教學時，
宜針對學生能力進行適當的教材、教法的安排及調整。
第二節 學生認為其作答為證明或說明
證明基本策略分類為「外在」的學生有 4 位，這 4 位學生皆一
研究者認為，造成此一現象的其中一個原因亦為題目的類型。