九年級學生面對幾何證明題之答題策略及評判標準

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(1) . 國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文指導教授：謝豐瑞博士九年級學生面對幾何證明題之答題策略及評判標準 . 研究生：柳桂銘中華民國一 ○ 四年八月 .

(2) 謝誌總算完成碩士論文了，這一路上發生的事實在太多。這一切的因緣際會，我要特別感謝高中的數學老師─黃靜卿老師，從高中起，在老師的潛移默化之下，我便決定未來要當像黃老師一樣的數學老師。猶記當時剛退伍，於是決定給自己最後一次機會再度挑戰跨考數學研究所，在此要特別感謝我的高中同學朱有聖，在這段期間全賴他，我才能獲得許多與數學系相關的珍貴資料，也是他的推薦，才使我能順利在謝豐瑞老師門下學習。千言萬語也不足以感謝謝豐瑞老師這幾年的指導，以及一再包容我一拖再拖的論文。老師真是我的貴人，剛來師大就讀之初，老實說對數學教育的研究毫無概念，從碩一起，每次週六看著大家 meeting 的日子，也是我學習的機會，每每在討論時，老師的見解總是一針見血，讓我加深了許多的見識。而到我開始寫論文時，每次的論文討論，老師總是不厭其煩的一再提點、修正我的缺點。從老師身上，我真的收穫滿滿。十分感謝師門的學長姐的教導，書志學長、佳叡學長、婷瑩學姊、國亨學長四位博班的學長在我就讀期間敎會我太多事情；謝謝志瑋學長和嵐婷的幫忙，在我論文卡關的時期，兩位總是花額外的時間來解決我的問題；謝謝師門中的各位學長姊、同學、學弟妹，每次的討論與意見都是我進步的養分。最後要感謝我的家人，當初包容我從光電與通訊工程的領域，貿然的換領域考進數學系，讓我還能夠有機會再度接觸我最愛的數學，並且朝著我當初立下的志願前進。桂銘 104 年 8 月 .

(3) 摘要. 本研究探討國中九年級學生面對幾何證明題時作答的答題策略以及評判證明題時的標準項目。研究樣本取同校數學程度較好的班級一班及數學程度較差的班級二班，共計 87 人。本研究的研究結果有： 1. 無論是否為上課教過的證明題，經驗證明基本策略皆為多數學生答題時所使用的基本策略。 2. 上課教學對學生的影響與學生數學程度高低相關。上課是否敎過對程度較佳的 A 組學生有明顯的影響，而程度較差的 B 組學生則無明顯的影響。 3. 學生認為他們的回答是證明／說明，主要取決於題型及回答的格式。 4. 學生對轉換證明基本策略的認同程度最高，認同程度也最集中；歸納證明基本策略的認同程度最低，認同程度也最分散，權威、感官證明基本策略則介於兩者之間。 5. 不同數學程度的學生對各種證明基本策略的認同程度之順序相同。 6. 評判證明題的標準主要以「是否利用相關性質證明」、「利用數據驗證」、「是否依照某種格式」、「證明過程是否簡單」、「證明過程是否詳細」等五項為主。 7. 教師評判證明題的標準項目與學生評判證明題的標準項目幾乎完全不同。關鍵字：幾何、證明、數學證明、幾何證明 .

(4) 目錄第壹章. 緒論………………………………………………………………………1 . 第一節. 研究動機…………………………………………………………………………………………….1 . 第二節. 研究目的與研究問題…………………………………………………………………………2 . 第三節. 名詞界定…………………………………………………………………………………………….2 . 第貳章. 文獻探討……………………………………………………………….3 . 第一節. 何謂數學證明…………………………………………………………………………………….3 . 第二節. 數學證明在教育現場的探討………………………………………………………………6 . 第參章. 研究方法……………………………………………………………..13 . 第一節. 研究架構…………………………………………………………………………………………..13 . 第二節. 研究方法與研究設計……………………………………………………………………….16 . 第三節. 研究樣本…………………………………………………………………………………………..17 . 第四節. 研究工具…………………………………………………………………………………………..18 . 第五節. 研究流程…………………………………………………………………………………………..19 . 第六節. 研究限制…………………………………………………………………………………………..21 . 第肆章. 研究結果……………………………………………………………..22 . 第一節. 學生使用的證明基本策略………………………………………………………………..22 . 第二節. 學生認為其作答為證明或說明………………………………………………………..46 . 第三節. 學生認同的證明方式……………………………………………………………………….57 . 第四節. 學生評判證明題的標準……………………………………………………………………65 . 第伍章. 結論與建議…………………………………………………………88 . 第一節. 結論…………………………………………………………………………………………………..88 . 第二節. 後續研究建議…………………………………………………………………………………..91 . i.

(5) 參考文獻…………………………………………………………………………….92 附錄 A…………………………………………………………………………………95 . ii.

(6) 表次目錄表 2‐2‐1 Liu & Manouchehri (2012)的研究結果………………………………………………………9 表 3‐1‐1 編碼與證明基本策略對照表……………….………………………………………………..15 表 3‐3‐1 正式問卷樣本人數…………………………………………………………………………………17 表 4‐1‐1 「無意義」的分類標準………………………….………………………………………………23 表 4‐1‐2 「外在證明基本策略」的分類標準…………………………………………………………24 表 4‐1‐3 「經驗證明基本策略」的分類標準…………………………………………………………26 表 4‐1‐4 四邊形題「轉換證明基本策略」的分類標準………………………………………….30 表 4‐1‐5 內角和題，學生的證明分類(全體學生)…………………………………………………32 表 4‐1‐6 四邊形題，學生的證明分類(全體學生) .………………………………………………34 表 4‐1‐7 內角和題、四邊形題證明基本策略使用人數(全體學生)………………………35 表 4‐1‐8 內角和題與四邊形題各證明基本策略的人數對照表(全體學生)…………37 表 4‐1‐9 A 組學生內角和題與四邊形題的綜合比較…………………………………………39 表 4‐1‐10 內角和題與四邊形題各證明基本策略的人數對照表(A 組學生)………..40 表 4‐1‐11 B 組學生內角和題與四邊形題的綜合比較……………………………………….41 表 4‐1‐12 內角和題與四邊形題各證明基本策略的人數對照表(B 組學生) ……….42 表 4‐2‐1 內角和題各證明基本策略的證明／說明分布表(全體學生)…………………46 表 4‐2‐2 內角和題無意義類學生的證明／說明分布表(全體學生)…………………….46 表 4‐2‐3 四邊形題各證明基本策略的證明／說明分布表(全體學生)…………………48 表 4‐2‐4 四邊形題無意義類學生的證明／說明分布表(全體學生)…………………….48 表 4‐2‐5 內角和題與四邊形題「經驗證明基本策略」證明／說明比較(全體)….49 表 4‐2‐6 「外在證明基本策略」的證明／說明分布表(A 組學生)…………………………51 表 4‐2‐7 「經驗證明基本策略」的證明／說明分布表(A 組學生)………………………..52 表 4‐2‐8 「轉換證明基本策略」的證明／說明分布表(A 組學生)…………………………52 表 4‐2‐9 「外在證明基本策略」的證明／說明分布表(B 組學生)…………………………53 表 4‐2‐10 「經驗證明基本策略」的證明／說明分布表(B 組學生)………………………54 iii.

(7) 表 4‐2‐11 「轉換」證明基本策略的證明／說明分布表(B 組學生)……………………….55 表 4‐4‐1 「依據證明的內容」評判證明題標準之子項目………………………………………65 表 4‐4‐2 「依據學習的成效」評判證明題標準之子項目………………………………………69 表 4‐4‐3 「依據解題的過程」評判證明題標準之子項目………………………………………72 表 4‐4‐4 各評判標準項目人數比例(全體學生)……………………………………………………80 表 4‐4‐5 主要評判標準(全體學生)………………………………………………………………………82 表 4‐4‐6 各組在不同評判標準佔該組人數比例………………………………………………….83 表 4‐4‐7 主要評判標準(A 組)……………………………………………………………………………….84 表 4‐4‐8 主要評判標準(B 組)……………………………………………………………………………….85 表 4‐4‐9 主要評判標準比較…………………………………………………………………………………86 . iv.

(8) 圖次目錄圖 3‐1‐1 研究架構圖………………………………………………………………………………………......13 圖 3‐5‐1 研究流程圖………………………………………………………………………………………......20 圖 4‐1‐1 「無意義」例一………………………………………………………………………………………..23 圖 4‐1‐2 「無意義」例二………………………………………………………………………………………..24 圖 4‐1‐3「儀式」基本策略範例………………………………………………………………………………25 圖 4‐1‐4「權威」基本策略範例………………………………………………………………………………25 圖 4‐1‐5 利用畫圖舉例歸納…………………………………………………………………………………27 圖 4‐1‐6 無畫圖舉例歸納…………………………………………………………………………………….28 圖 4‐1‐7 利用數值驗證歸納範例…………………………………………………………………………28 圖 4‐1‐8 無法確定形狀範例…………………………………………………………………………………29 圖 4‐1‐9「感官」基本策略範例……………………………………………………………………………30 圖 4‐1‐10 四邊形題「轉換證明基本策略」範例……………………………………………………31 圖 4‐1‐11 內角和題「轉換證明基本策略」範例一…………………………………………………32 圖 4‐1‐12 內角和題，學生的證明分類(全體學生)………………………………………………33 圖 4‐1‐13 四邊形題，學生的證明分類(全體學生) ………………………………………………34 圖 4‐1‐14 內角和題、四邊形題證明基本策略使用人數綜合比較………………………36 圖 4‐1‐15 內角和題與四邊形題「無意義」使用人次(全體學生) …………………………37 圖 4‐1‐16 A 組學生內角和題與四邊形題的綜合比較………………………………………….39 圖 4‐1‐17 B 組學生內角和題與四邊形題的綜合比較…………………………………………..41 圖 4‐1‐18 內角和題與四邊形題「無意義」使用人次(B 組) ………………………………….43 圖 4‐1‐19 內角和題與四邊形題「經驗」使用人次(B 組) ………………………………………44 圖 4‐2‐1 四邊形題轉換證明基本策略「說明」範例一………………………………………….50 圖 4‐2‐2 四邊形題轉換證明基本策略「說明」範例二………………………………………….51 圖 4‐3‐1 權威、感官證明基本策略……………………………………………………………………….57 圖 4‐3‐2 歸納證明基本策略…………………………………………………………………………………58 v.

(9) 圖 4‐3‐3 轉換證明基本策略…………………………………………………………………………………58 圖 4‐3‐4 全體學生的評分情形(盒狀圖) ………………………………………………………………59 圖 4‐3‐5 A 組學生的給分情形(盒狀圖) ………………………………………………………………..62 圖 4‐3‐6 B 組學生的給分情形(盒狀圖) ………………………………………………………………..63 圖 4‐4‐1 評判「一般化」範例…………………………………………………………………………………66 圖 4‐4‐2 評判「已知條件」範例一…………………………………………………………………………66 圖 4‐4‐3 評判「已知條件」範例二…………………………………………………………………………67 圖 4‐4‐4 評判「相關性質」範例一…………………………………………………………………………68 圖 4‐4‐5 評判「相關性質」範例二…………………………………………………………………………68 圖 4‐4‐6 評判「內容完整」範例…………………………………………………………………………….69 圖 4‐4‐7 評判「上課敎過」範例…………………………………………………………………………….70 圖 4‐4‐8 評判「上課認真」範例…………………………………………………………………………….70 圖 4‐4‐9 評判「耐心完成證明」範例…………………………………………………………………….71 圖 4‐4‐10 評判「思考過程謹慎」範例…………………………………………………………………71 圖 4‐4‐11 評判「是否融會貫通」範例……………………………………………………………………72 圖 4‐4‐12 評判「過程是否詳細範例」…………………………………………………………………..73 圖 4‐4‐13 評判「實際操作」範例一……………………………………………………………………….74 圖 4‐4‐14 評判「實際操作」範例二……………………………………………………………………….74 圖 4‐4‐15 評判「過程是否簡單」範例……………………………………………………………………75 圖 4‐4‐16 評判「過程是否易懂」範例……………………………………………………………………75 圖 4‐4‐17 評判「快速完成證明」範例一……………………………………………………………….76 圖 4‐4‐18 評判「快速完成證明」範例二……………………………………………………………….76 圖 4‐4‐19 評判「適當的證明長度」範例……………………………………………………………….77 圖 4‐4‐20 評判「利用數據驗證」範例一……………………………………………………………….78 圖 4‐4‐21 評判「利用數據驗證」範例二……………………………………………………………….78 圖 4‐4‐22 評判「依照某種格式」範例一……………………………………………………………….79 vi.

(10) 圖 4‐4‐23 評判「依照某種格式」範例二……………………………………………………………….79 圖 4‐4‐24 評判「是否畫圖」範例…………………………………………………………………………..80 . vii.

(11) 第壹章緒論本研究主要探討國中學生面對證明題時，所使用的證明基本策略為何，同時亦探討國中學生評判證明題時，會關注哪些評判標準的項目。 . 第一節. 研究動機 . 在成長的過程中，「證明題」是在求學路上必經的一個關卡。在這些與無數證明題為伍的日子裡，我們順利學習到證明題的相關知識，也透過證明的步驟，再學習了許多新的數學知識。然而，當年身邊的同學並不是都像我們一樣，甚至可以說，他們在證明題的學習上感到困擾，而最終並沒有往數學的領域繼續深入鑽研下去。十餘年後，直至今日，到了教學現場又再度碰到學生學習證明的章節，往日情景又再度浮現。雖然課程內容與往昔相比已經改頭換面，而證明的課程安排也較當年有更多的彈性空間，但是看到部份學生的表情，仍然不禁想起當年同學的情況。 Harel & Sowder (1998)提到，證明基本策略(proof scheme)可依照認知層次分成三大類，而這三大類又可再細分為若干的子類。看了兩位學者所提出的研究之後，不禁讓我把這個研究結果和我們學生的現況聯想在一起，究竟我們的學生在證明時，會使用何種證明基本策略？而在評判證明題時，又會有哪些標準？這實在是令人十分好奇。因此，本研究想要呈現現階段的國中 9 年級學生使用證明基本策略的現況以及評判證明題的標準，藉以讓後續相關研究能夠進一步加以分析、研究，讓學生都能更順利的體會數學證明的美妙！ 1.

(12) 第二節. 研究目的與研究問題 . 本研究欲了解國中 9 年級學生面對幾何證明題時所採取的證明基本策略，以及學生評判證明題的標準。基於上述研究目的，擬定了下列研究問題： 1. 面對證明題時，不同數學程度的學生使用的證明基本策略為何？ 2. 對於不同的證明基本策略，學生的認同程度為何？ 3. 學生評判證明題的標準為何？ . 第三節. 名詞界定 . 1. 證明題：本研究所指的證明題，係指給定已知條件，而要求答題者論述指定結論的數學問題。 2. 數學程度：本研究所指數學程度為學生校內數學學習表現情形。其中以 A 組班代表學生數學程度較佳的班級；B 組班代表學生數學程度較差的班級。 3. 認同程度：本研究所指的認同程度為學生針對證明方法的評分高低。評分較高者視為較認同；評分較低者則視為較不認同。 . 2.

(13) 第貳章文獻探討 . 第一節. 何謂數學證明 . 數學證明自古以來，證明一直以來都無法有公認的定義。「所謂證明，不只在不同文化有不同的含意，就連在不同時代也有不同的含意。」 (Wilder,1968)。早在西元前 300 年，歐幾里得(Euclid)所著的《幾何原本》(Elements) 便以 5 大公設及未定義項以演繹的過程逐步推導出各種相關的幾何性質，雖然在用詞、敘述上與現今不盡相同，但仍是關於幾何證明方面最重要的著作之一。 Fawcett(1938)認為若學生清楚的知道證明的本質為何，則他將有以下 7 種行為： 1. 發現命題中重要的關鍵字與句子，同時想知道定義。 2. 需要相關的證據來支持他所被迫接受的結論。 3. 分析證據，同時分辨事實與假設的不同。 4. 判斷可推論出結論的假設。 5. 評判、取捨某些假設項目。 6. 透過評鑑論證以判斷命題的正確性。 7. 持續檢驗推論中潛在的假設項目。 3.

(14) Tall(1998)認為，證明在不同的社群中有不同的定義，對法官與陪審團來說，證明即是「超越合理的懷疑」；對於統計學者而言，證明是數字統計的結果；對科學家而言，證明則是實驗的結果。同時，數學證明與一般說服他人的不同之處在於數學證明包含以下兩點： 1. 清楚的闡明定義(definition)與論述(statement) 2. 將事實從一個論述推至另一個論述的演繹過程。此外，Healy & Holyes(2000)也認為數學中的形式演繹推論與從生活經驗歸納或非形式的辯論完全不同。林福來等(民 84)認為不同的數學哲學觀在數學證明上會有不同的對應觀：形式主義認為數學證明是公理化系統的研究、直觀主義認為數學證明為直觀推理、非形式主義(準經驗主義、擬經驗主義)認為數學證明是一種改進推測的手段、邏輯主義認為數學證明是從公設或已證明的命題出發，以邏輯論證推得結論的過程、數學證明的社會觀則認為數學證明是一種溝通、討論數學的方式。這五種觀點並不是完全互相獨立，而是對應不同的哲學觀，有不同的強調的重點。蕭文強(民 81)認為：「判斷命題“若 p 則 q”正確與否,其間只靠基本概念(定義)、基本假設(公理)及以前已經證實為正確的命題(定理) ,而且推論手法必須合乎邏輯,這個過程就是數學證明。」 Duval(2002)認為：「一個有效的推理包含兩個階段的推論組織：第一個階段是將許多命題(proposition)組織成一個演繹步驟(deductive step)，第二個階段是將許多演繹步驟組織成一個證明。」(引自李芳庭， 2007) 4.

(15) Balacheff(1988)將證明分成三種不同的層次：解釋(explanation)、證明 (proof)與數學證明(mathematics proof)。解釋為使他人了解敘述之有效性的論述，而解釋是否有效則取決於解釋者是否能清楚的表達。證明則是在某個時期能被社群接受的解釋。數學證明為能被數學家所接受的證明。證明的目的在於提出「證據」使人信服，Mason et al. (1982)即提出了證明的功能：使自己信服、使朋友信服、使敵人信服。數學證明亦為證明的其中一環，利用形式化的定義與演繹的方式來說服數學家，然而無論數學證明的形式為何，數學證明皆為一種說服對方的活動。 . 5.

(16) 第二節. 數學證明在教育現場的探討 . 數學證明的教育觀點多數教育研究者都認為形式證明不是數學證明的學習目標，而應是使學生能在學習中了解證明的意義(Healey & Hoyles,1998; Hanna & Janke, 1996; Usiskin,1980)。Hanna(1990)認為證明可分為說明性證明(proof that explain)與嚴密性證明(proof that prove)，而說明性證明與嚴密性證明在有效程度上並無差異，在教學上應強調溝通及社會性，而非嚴密的形式。因此在數學教育上，證明主要應為數學的理解與溝通，證明應是數學課程中必要的工具，而非數學的終極目標(Hanna & Janke,1996)。因此 Harel & Sowder (1998)並未強調證明應該要形式化，而是以更寬廣的觀點來看待學生所寫下的回答。他們讓選修不同數學主題的大學生回答與其課程相關的證明問題，從學生的回答中進行適當的分類，將學生的回答分成 3 種不同認知層次的證明基本策略(proof schemes)。依照認知層次由低而高，依序為：外在信念證明基本策略(External conviction proof scheme)、經驗證明基本策略(Empirical proof schemes)及分析證明基本策略(Analytical proof schemes)。 1. 外在信念證明基本策略(External conviction proof scheme)：當學生評斷證明過程是否正確時，所依據的是證明的格式。或是在寫下證明的過程傾向於遵循某些準則，而不是依照題目已知的性質進行合理的演繹推論。以下可分為三種類型： 6.

(17) (1) 儀式證明基本策略(Ritual proof scheme)：學生評判一段數學論述所依據的是格式，而不是這段數學論述內容的正確與否。 (2) 權威證明基本策略(Authoritarian proof scheme)：當學生評判一段數學論述所依據的是「老師上課講過」或「教科書有提到」，如此證明的概念稱為「權威」 (authoritarian)。 (3) 符號證明基本策略(Symbolic proof scheme)：學生透過符號的操作完成證明，然而卻沒有注意這些符號的操作過程是否合理，例：矩陣運算，若 A1 為矩陣， x1 A1 + x 2 A2 + K + x n An = O ，學生寫下 x1 =. x 2 A2 + K + x n An 。 A1. 2. 經驗證明基本策略(Empirical proof schemes)：學生證明的過程是透過實際數據驗證當成證據、或是利用舉例的方式因而歸納出結論、或利用直觀的方式完成證明。以下分為二種類型： (1) 歸納證明基本策略(Inductive proof scheme)：當學生針對一個或多個例子進行實際數值的驗證當成證據來說服他人，則稱之為歸納證明基本策略。 (2) 感官證明基本策略(Perceptual proof scheme)：當學生在證明的過程中，只注意到他眼前所呈現的特. 7.

(18) 例，而忽略該物件的變換性，以直觀的方式(或演繹推理) 作為論述的理由。 3. 分析證明基本策略(Analytical proof schemes)：證明的過程，學生所利用的是合理的邏輯演繹方式，則稱為分析證明基本策略。 (1) 轉換證明基本策略(transformational proof scheme)：當學生證明的過程，能考慮到該物件的變換性，而討論所有可能狀況，或利用演繹推理的方式完成證明。 (2) 公理化證明基本策略(axiomatic proof scheme)：學生的證明過程是由「未定義項」及「公理」作為出發，而進行演繹推理，則稱為公理化證明基本策略。 Harel & Sowder(1998)以證明基本策略(proof schemes)的想法來看待學生的回答，認為學生會受到證明基本策略的影響，因此，對學生而言，數學上什麼是學生能夠檢驗(justification)的項目，才是證明的重點，即是學生在數學上的溝通與其社會性。 Van Heile(1986)認為直觀除了觀察(observation)之外，更重要的是「透過直接觀察所得的結論」，同時以視覺結構為基礎所得到的結論也是直觀思考的一部份。另外，若視覺結構的強度不夠時，則可加入推理性思考來加強視覺結構。 8.

(19) 學生及教師在數學證明的表現及看法 Liu & Manouchehri (2012)以 4 大數學主題(數論、幾何、機率、代數). . 設計了一連串的問卷，利用 Harel & Sowder (1998)所發展的證明基本策略(proof schemes)架構，探討各主題間學生所擁有(own)的證明基本策略與偏好(preferred)的證明基本策略的情形，研究對象為經濟相關課程的 41 位學生。研究結果指出：(一) 數論類有 35 位學生擁有經驗證明基本策略(Empirical proof scheme)、偏好經驗證明基本策略者亦達 32 位，相較於擁有及偏好分析證明基本策略(Analytical proof schemes)者分別只有 2 位與 7 位。(二) 幾何類有 17 位學生擁有經驗證明基本策略、偏好經驗證明基本策略者有 8 位，擁有及偏好分析證明基本策略者則有 11 位與 32 位。(三) 機率類有 14 位學生擁有經驗證明基本策略、偏好經驗證明基本策略者有 4 位，擁有及偏好分析證明基本策略者則有 9 位與 37 位。(四) 代數類有 21 位學生擁有經驗證明基本策略、偏好經驗證明基本策略者有 6 位，擁有及偏好分析證明基本策略者則有 10 位與 34 位。 (五) 不論哪一類的題目，外在證明基本策略(External conviction proof schemes)皆只有少數學生擁有，而在證明上使用，同時皆無學生偏好此種證明基本策略的內容、方式。表 2‐2‐1 Liu & Manouchehri (2012)的研究結果 . 數論 . 幾何 . 機率 . 代數 . 合計 . 擁有偏好擁有偏好擁有偏好擁有偏好擁有偏好. 無 . 4 . 2 . 8 . 1 . 15 . . 10 . 1 . 37 . 4 . 外在 . 5 . . 3 . . . . . . 8 . . 經驗 . 35 . 32 . 17 . 8 . 14 . 4 . 21 . 6 . 87 . 50 . 分析 . 2 . 7 . 11 . 32 . 9 . 37 . 10 . 34 . 32 . 110. 9.

(20) . 從上結果可知，學生在數論類的證明多數人會使用經驗證明基本策. 略，也偏好經驗證明基本策略的證明方式；在幾何、機率、代數類的證明，使用經驗證明基本策略者則相對略多於分析證明基本策略者，但是偏好分析證明基本策略者則皆超過 30 人，達 78%以上。即針對不同題型，學生擁有的、偏好的證明基本策略皆有所不同，而可以確定的是，外在證明基本策略並非學生優先選用及偏好的證明方式。整體而言，學生最多人偏好形式化的分析證明基本策略，然而最多人擁有的則是經驗證明基本策略。 . 許丞緯(2008)以算幾不等式的證法為例，分析高一學生較喜歡的證. 明方法及相關特徵、難易度、正確度等特性。研究指出，五種證明「使用的物件」的特徵：抽象符號、特例、運算、圖形、數字，至少皆有三分之一以上的學生喜歡，亦顯示學生對證明使用的物件的特徵並無特別的喜好。而在證明特徵上，學生喜好步驟銜接自然的證法，同時有效性、一般性與嚴謹性也是學生喜歡的證明特徵，此結果亦與 Liu & Manouchehri (2012)的研究結果相似。另外一方面，想法難、步驟多則是學生不喜歡的證明特徵。李芳庭(2007)則以國三學生學習幾何推理證明的情形為例，探討國三學生在課堂中對於幾何教學的習得情形。研究指出，對於老師教過的證明題，學生再次作答時，常有無法順利抓取證明的成分、紀錄格式不嚴謹等現象。林政輝(民 91)的研究指出，部份國中學生在說明理由時無法擺脫經驗論證的原因為這些學生認為舉例是最明顯、最容易明瞭的方式。 10.

(21) Porteous(1990)的研究中發現，只有 15%的學生會提供具有一般性的敘述來證明，其他學生則會接受經驗性的證明敘述所傳達的真確性。楊凱琳(民 93)的研究指出：「有些學生認為演繹證明不能保證沒有反例，證明只是針對那一個附圖，或是那個特定的形狀，對於其他的形狀則必須再證一次，不能用同一個證明代表全部的情形。學生決定反例是不是存在的重點在於，與這個圖形相關的知識與已知所給的條件限制，而不是演繹證明的完成與否。」 Moore(1994)指出學生做證明時的困難來源，其中之一為「概念理解」，而概念理解則包含概念定義、概念心像與概念使用等三部份。綜合以上，學生喜歡的證明與其效力及解釋力有顯著的正相關 (Hoyles,2000)，然而卻不一定能了解一般性證明所代表的必要性 (Fischbein & Kedem,1982)，甚至認為演繹方式所證明的結果不一定具有一般性(Chazan,1993)。 Knuth(2002)認為當老師在判斷喜不喜歡一個證法時，有下列四種判斷的標準：方法是否有效、內容是否正確、過程是否詳細、是否需要高等數學的知識。這篇文章的研究對象是老師，因此所呈現的是老師們判斷證明題的標準，而不是學生判斷證明題的標準。 Hoyles(2000)亦指出：(1) 學生對「敘述」形式的證明的喜歡程度高於「代數」形式；(2) 學生對證法的喜歡程度與「老師的背景」、「老師的想法」、「老師給證法的分數」無顯著相關；(3) 學生對證法的喜歡程度與「證明的效力」、「證明的解釋力」有顯著正相關。(引自許丞緯， 2008) 11.

(22) Bayazit(2012)針對 6 位中學數學職前教師(prospective secondary mathematics teachers)對數學證明的看法進行研究。研究結果指出，這 6 位職前教師皆認為證明即為一種呈現「某事是對的」的方法。而在證明的結構上，這 6 位職前教師認為他們的證明都是從已知條件出發，然後進行某些動作而得到結論。針對證明的有效性的部份，這 6 位職前教師認為一個證明是否有效，其標準在於「邏輯演繹」。這些看法都與數學家對於證明的看法一致，亦顯示職前教師對證明的看法與學生已不同。綜觀本節所述，學生所喜歡的證明與他們所呈現的證明與數學家認為的證明存在有一定的落差。再者，利用證明基本策略(proof schemes) 來探測學生具備與偏好的證明型態，目前僅只於國外有相關研究(Liu & Manouchehri,2012)。因此，本研究以「四邊形中點連線」性質、「 n 邊形內角和」及「三角形大邊對大角」性質為例，探討學生在證明上的相關表現情形。 . 12.

(23) 第參章研究方法 . 第一節. 研究架構 . . 圖 3‐1‐1 研究架構圖 13.

(24) 研究架構圖說明：下方橢圓為面對證明題時，每個人的心中都有屬於自己的證明基本策略(proof schemes)，而在這些證明基本策略的背後，最核心之處則是每個人認為的證明的標準。當學生回答證明題時，則引動自己的證明基本策略，透過證明基本策略，最後寫出自己回答的證明內容。當學生評判證明內容時，評判的準則是其心中先設定的證明的合格標準。透過與自己證明的標準的比較，學生產生自己對每一種證明內容的認同程度，同時也產生對每一種證明內容的看法(優缺點)。而當學生判斷自己的證明內容為證明或說明時，評判準則亦為心中對證明的標準。 Harel & Sowder (1998)將學生的回答分成 3 種不同認知層次的證明基本策略(proof schemes)，而其中每一層次的證明基本策略中亦有若干分類較細的證明基本策略： 1. 外在信念證明基本策略(External conviction proof schemes) 1.1 儀式證明基本策略(Ritual proof scheme) 1.2 權威證明基本策略(Authoritarian proof scheme) 1.3 符號證明基本策略(Symbolic proof scheme) 2. 經驗證明基本策略(Empirical proof schemes) 2.1 歸納證明基本策略(Inductive proof scheme) 2.2 感官證明基本策略(Perceptual proof scheme) 3. 分析證明基本策略(Analytical proof schemes) 3.1 轉換證明基本策略(Transformation proof scheme) 3.2 公理化證明基本策略(Axiomatic proof scheme) 14.

(25) 本研究參考 Harel & Sowder (1998)證明基本策略的分類項目，針對學生回答的內容進行編碼，其編碼項目與證明基本策略的對應如下：表 3‐1‐1 編碼與證明基本策略對照表編碼 1 . 證明基本策略外在信念證明基本策略(External conviction proof schemes) . 1.1 . 儀式證明基本策略(Ritual proof scheme) . 1.2 . 權威證明基本策略(Authoritarian proof scheme) . . 符號證明基本策略(Symbolic proof scheme) . 2 . 經驗證明基本策略(Empirical proof schemes) . 2.1 . 歸納證明基本策略(Inductive proof scheme) . 2.2 . 感官證明基本策略(Perceptual proof scheme) . . 分析證明基本策略(Analytical proof schemes) . 3 . 轉換證明基本策略(Transformation proof scheme) . . 公理化證明基本策略(Axiomatic proof scheme) . 部份學生的答題內容空白，或答題的內容並沒有針對題目要求寫出相關的答案，因而無法歸類到任何一種基本策略之中，此類學生另以編碼 0：無意義來分類之。 . . 15.

(26) 第二節. 研究方法與研究設計 . 本研究之研究目的為探討「學生回答證明題之基本策略及學生評判證明題的標準」，本研究屬基礎型研究(basic research)，企圖了解學生在面對證明題時的解題方法及學生心目中證明題的評判標準。本研究利用開放式問卷調查的方式，蒐集學生的回答，依據學生的回答進行歸納分析(inductive analysis)。本研究以「四邊形中點連線」與「 n 邊形內角和」為例，讓學生寫下他們的證明／說明過程，再由另外一位同學進行批改，另外再以三角形「大角對大邊」為例，設計三種不同證明方法，讓學生批改，回答期間並無時間限制。透過這個流程，可探知學生在回答證明題時所使用的基本策略為何，同時亦可探知學生評判證明題的標準。在資料的分析上，本研究以質的分析為主，量的分析為輔。 . 16.

(27) 第三節. 研究樣本 . 本研究樣本為苗栗縣某國中 9 年級學生，該校依學生數理程度採分組教學，以 A 組代表數理程度較高的分組班，B 組則代表數理程度較低的分組班，該校共有 3 個 A 組班及 7 個 B 組班。本研究樣本依該校 A 組班及 B 組班之比例，選取 A 組班 1 班及 B 組班 2 班，共計 87 人。表 3‐3‐1 正式問卷樣本人數班級 . A . B1 . B2 . 班級人數(人) . 33 人 . 24 人 . 30 人 . 各組人數(人) . 33 人 . 54 人 . 17.

(28) 第四節. 研究工具 . 本研究以「證明題答題策略及評判問卷」(詳見附錄 A)為研究工具。本問卷共分成三個部份，第一部份要求學生回答 2 題證明題，藉此探討學生在回答證明題時的基本策略為何。而第二部份則讓其他同學批改第一部分所寫下的答案，藉此探討學生心中評判證明題的標準。第三部份則設計了三種不同方式的證明方法，讓學生評分並寫下評分的理由，藉此可觀察學生對不同證明方式的認同程度，並且觀察學生心中評判證明題的標準。參閱附錄 A，本問卷第一部份共有 2 題，第一題為教科書上出現過的題目，本題先要求學生判斷四邊形中點連線的形狀，再加以證明或說明，而在下方請學生勾選他的回答是證明或是說明；第二題為教科書沒有出現的題目，本題要求學生證明或說明「 n 邊形內角和為. (n − 2) × 180° 」，同時也在下方請學生勾選他的回答是證明或是說明。第二部份則針對其他同學在第一部份所寫下的證明／說明內容進行評分及批改，並且寫下優點或缺點等理由。本問卷第三部份則以「 ΔABC 中，已知 AC > AB 。試證： ∠1 > ∠2 。」設計三種不同的證明方法，讓學生分別針對此三種證法進行評分，並寫下優點或缺點。 . 18.

(29) 第五節. 研究流程 . 本研究流程共分成三個部份：前置準備階段、施測階段、資料分析與論文撰寫階段。前置準備階段： 1. 尋找適當的研究主題，並與專家討論研究方向，擬定研究目的。 2. 依據研究目的發展預試問卷，期間與專家進行多次討論。 3. 對預試問卷進行施測，回收後進行資料整理，檢驗問卷是否內容完善，並與專家進行討論，完成正式施測之問卷。施測階段：由合作教師選定適當時間進行施測。資料分析與論文撰寫階段：將蒐集的問卷進行質性分析，從學生回答的內容做適當的分類，並進行量化統計，以得到學生回答證明題時的基本策略；另外，觀察學生回答的內容，仔細歸納出不同的項目，並進行量化統計，從統計資料中進行分析，進而整理出學生評判證明題的標準。研究流程圖如下： . 19.

(30) . 圖 3‐5‐1 研究流程圖 . 20.

(31) 第六節. 研究限制 . 1. 研究的問卷僅以三題證明題探測學生解證明題的基本策略以及評判證明題的標準，並未對學生進行面對面的訪談，無法確定學生完整的想法。因此當學生的回答無法明確斷定時，研究者將採嚴格分析認定，只報導能夠確定的部份。 2. 本研究對象為苗栗縣某國中，9 年級共有 10 班，學生程度、家庭背景與學習資源等未必與其他地區國中相似，故本結果無法擴大到全國國中 9 年級學生。 . . 21.

(32) 第肆章研究結果第一節. 學生所使用的證明基本策略 . 本研究問卷共設計了兩道題目讓學生證明，其中一題為教科書有提到、學生曾經學過的題目(以下簡稱內角和題)；另外一題則是教科書沒有提到、學生較陌生的題目(以下簡稱四邊形題)。透過這兩個題目，本節欲了解學生在面臨熟悉的題目與較陌生的題目時，使用的證明基本策略上的分布狀況。本節的第(一)部分先分析當學生面對熟悉的題目時，所採取的證明基本策略的分類；在第(二)部分則是針對學生較陌生的題目，對其採用的證明基本策略進行分析，再對(一)、(二)部分進行綜合探討。本節的第(三)、(四)部分則是分別對 A 組學生與 B 組學生的證明基本策略進行分析，最後再比對第(三)、(四)部分的結果，回答研究問題。 Harel & Sowder(1998)在 Students’ Proof Scheme: Results from Exploratory Studies 中的分類，將學生使用的證明基本策略依其認知層次高低區分為「外在」(External)、「經驗」(Empirical)及「分析」(Analytical) 三類，其中「外在」一類另有「儀式」(Ritual)、「權威」(Authoritarian)、「符號」(Symbolic)等三個子分類；「經驗」一類有「歸納」(Inductive) 及「感官」(Perceptual)等二子分類；「分析」則有「轉換」(Transformational) 與「公理化」(Axiomatic)此二種子分類。 22.

(33) 參考 Harel & Sowder(1998)的研究分類，研究者將學生的證明基本策略分成「無意義」、「外在」、「經驗」與「轉換」等四類。對於無法寫出有意義的證明／說明過程的學生，則將其分入「無意義」一類，而 Harel & Sowder(1998)原「分析」一類，因本研究問卷所設計的題目，只能觀察學生是否具備其子分類「轉換」的證明基本策略，故將本分類改稱為「轉換」。在開始進行分類之前，研究者先針對本題列出分類標準。 0. 無意義：證明／說明的方式並非針對題目所要求者，將其歸至「無意義」一類。表 4‐1‐1「無意義」的分類標準分類編號使用的基本策略 0.1 . 無意義 . 證明／說明方式不是有意義的證明／說明內容 . 在本題中，若學生在證明區的回答，並非針對其勾選的選項進行證明，而是回答其他內容時，本研究將此類的學生歸類於「無意義」，如下圖所示。 . 圖 4‐1‐1 「無意義」例一 . 23.

(34) 圖 4‐1‐2 「無意義」例二 1. 外在(External)：表 4‐1‐2「外在證明基本策略」的分類標準分類編號使用的基本策略 1.1 . 儀式(Ritual) . 證明／說明方式學生的證明只使用了某些固定的格式或是某些固定的步驟、流程，而非依題意進行合理推論、發揮而完成證明。 . 1.2 . 權威(Authoritarian) . 直接指出該證明的出處，而沒有將該證明呈現於證明區內 . . 「儀式」(Ritual)此一分類代表學生的證明只使用了某些固定的格式或是某些固定的步驟、流程，而非依題意進行合理推論、發揮而完成證明。當學生在本題中勾選了某個答案，接著在證明／說明處則列舉了許多與該答案相關性質，但是並沒有辦法利用這些性質完成證明。對學生而言，證明是一堆「性質」所堆砌而成的結果，而如此堆砌的過程，則可視為「儀式」的一種，如下圖： . 24.

(35) 圖 4‐1‐3「儀式」基本策略範例若學生在證明的過程中，直接指出該證明曾經由何人證過、或是於何處出現過，而沒有將相關證明過程呈現於證明區之中，則將此種證明基本策略歸類於「權威」(Authoritarian)一類，如下圖所例： . 圖 4‐1‐4「權威」基本策略範例 25.

(36) 2. 經驗(Emperical)：在本分類中，學生主要依賴自己本身的經驗來完成證明／說明。在此，本研究將此分類再細分為「歸納」(Inductive)及「感官」(perceptual)這 2 個子分類。表 4‐1‐3「經驗證明基本策略」的分類標準分類編號使用的基本策略 2.1 . 歸納(Inductive) . 證明／說明方式 1. 利用舉例的方式歸納、推廣得到結論 2. 透過舉例並且利用實際數值驗證公式的正確性 . 2.2 . 感官(Perceptual) . 只觀察某特定圖形，並以此為依據得到結論. 「歸納」主要是學生舉例，接著利用度量或直接計算等方式驗證該例正確，進而用以歸納、推廣、代表所有情況的方式。以下三種類型，研究者皆歸於此分類中。第一種類型的學生利用畫圖舉例的方式來完成證明：學生在作答區畫了許多四邊形中點連線，並觀察其中的共通特性，最後得到自己的結論。顯然，利用舉例的方式進而歸納、推廣而完成了證明，故此種方式將其歸類於「歸納」。 . 26.

(37) 圖 4‐1‐5 利用畫圖舉例歸納第二種類型的學生也是利用舉例，和上述類型不同的是：此類型的學生雖有舉例，但是卻沒有畫圖。同樣的，學生雖然沒有利用畫圖的方式來舉例，但是利用文字敘述的方式仍然屬於舉例的一種。因此，對於此種類型的學生，研究者亦將其歸類於「歸納」一類。在以下範例中，學生雖沒有畫出圖形，但透過學生的描述可知其判斷後所歸納出的結論是「平行四邊形」，故仍將此類學生分類於「歸納」。 . 27.

(38) 圖 4‐1‐6 無畫圖舉例歸納第三種類型則是利用實際數字帶入檢驗公式是否正確，如下圖： . 圖 4‐1‐7 利用數值驗證歸納範例第四種類型的學生認為任意四邊形中點連線無法確定形狀，學生透過實際舉例、觀察，而歸納出「無法確定形狀」此一結論，因此亦屬於歸納此分類。 28.

(39) 圖 4‐1‐8 無法確定形狀範例「感官」此分類的學生主要受限於他眼前所呈現的特例來推論完成證明，而非利用一般化的例子完成證明。部分學生在證明區只畫了一個圖，並且利用該圖形觀察、推論以得到結論。學生依賴他所繪的圖形的特性，不論是透過直接觀察或使用演繹的方式，終究學生的注意力僅限於其眼前圖形所呈現的相關特性，而不是所有四邊形共同具有的特性。對此類的學生，其焦點皆擺在眼前的特例，因此研究者在此將此類學生歸類於「感官」此一分類中。 . 29.

(40) 圖 4‐1‐9「感官」基本策略範例 3. 轉換：當學生將題目已知條件的相關性質，透過演繹推理等方式，因而證得相關的結論，研究者將此類的學生分類於「轉換」一類。表 4‐1‐4 四邊形題「轉換證明基本策略」的分類標準分類編號使用的基本策略 3.1 . 轉換(Transformational) . 證明／說明方式利用「三角形兩邊中點連線」的性質或其他合理的邏輯演繹方式推導得到相關的結論 . 在四邊形題當中，學生依照所給條件，可以合理的利用「三角形兩邊中點連線」性質，再搭配平行四邊形的相關特性，最後得到任意四邊形中點連線為平行四邊形的結論。在此，利用合理 30.

(41) 的條件、性質進行演繹、推理，得到最後的結論，因此亦分類為「轉換」一類。 . 圖 4‐1‐10 四邊形題「轉換證明基本策略」範例而在內角和題中，學生將所列出來的若干個 n 邊形，由其中一頂點開始往其他頂點連線，將該 n 邊形切割成為 n − 2 個三角形。接著再利用三角形內角和為 180° 此已知條件，由 n = 3 開始，得到三角形內角和為 (3 − 2) × 180° ，依序 n = 4,5,6,... 以此類推，皆可透過相同的方法得到 n 邊形內角和為 (n − 2) × 180° 這個結論。雖然無法將所有的 n 邊形皆逐一驗證，但是證明的方式，使用的是合理的演繹、推論過程，因此將其皆歸類於「轉換」一類。 . 31.

(42) 圖 4‐1‐11 內角和題「轉換證明基本策略」範例一 (一) 面對熟悉的題目，學生的答題分類本題要求學生證明 n 邊形內角和為 (n − 2) × 180° ，由於本題的證明出現於教科書，老師在進行教學時，也曾經證明本題，因此將本題稱為學生所熟悉的題目(以下簡稱內角和題)。內角和題的學生證明分類如下：表 4‐1‐5 內角和題，學生的證明分類(全體學生) 類型 . 人數(人) . 比例 . 有意義者比例 . 無意義 . 30 . 34.88% . . 外在 . 4 . 4.65% . 7.14% . 經驗 . 30 . 34.88% . 53.57% . 轉換 . 22 . 25.59% . 39.29% . 總計 . 86 . 100.00% . 100.00% . . 32.

(43) 100.00% 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 無意義. 外在. 經驗. 轉換. . 圖 4‐1‐12 內角和題，學生的證明分類(全體學生) 從圖表顯示，在面對熟悉的內角和題時，學生大多會採取的證明基本策略主要為「經驗」及「轉換」，分別約有 34%與 25%的學生使用；另外證明方式被歸類於「無意義」比例也與前兩者相當，達全體的 34%；「外在」的證明基本策略依然最低，只有 4%的學生使用。扣除無意義的證明／說明之後，研究者發現，在這些有意義的證明裡，幾乎所有學生都是使用「經驗」或「轉換」的證明基本策略。因此，當學生面對自己熟悉的題目時，若學生有能力針對題目條件完成證明，則使用「經驗」及「轉換」此二種證明基本策略來完成證明的人數旗鼓相當。從教學現場來看，雖然本題曾經出現在教科書，而老師在課堂上也展示其證明，但仍只有約四分之一的學生的證明基本策略與教科書／老師相同。為何老師講解過的證明方法只有約四分之一的學生採用？為何仍有約三分之一的學生無法寫出有意義的證明？這些問題，研究者在此尚無法下定論，待後續的資料分析之後再探討其原因。 33.

(44) (二) 面對較陌生的題目，學生使用的證明基本策略本題要求學生判斷並證明四邊形的中點連線為何種四邊形，對學生而言，本題並非在教學時一定會講解的題目，因此以學生的角度而言，是屬於較陌生的題目。基於上述的分類標準，本題學生證明／說明的分類情形如下：表 4‐1‐6 四邊形題，學生的證明分類(全體學生) 類型 . 人數(人) . 比例 . 有意義者比例 . 無意義 . 36 . 41.86% . . 外在 . 1 . 1.16% . 2.00% . 經驗 . 40 . 46.51% . 80.00% . 轉換 . 9 . 10.47% . 18.00% . 總計 . 86 . 100.00% . 100.00% . 100.000% 90.000% 80.000% 70.000% 60.000% 50.000% 40.000% 30.000% 20.000% 10.000% 0.000% 無意義. 外在. 經驗. 轉換. . 圖 4‐1‐13 四邊形題，學生的證明分類(全體學生) 從圖表顯示，在面對較陌生的四邊形題時，學生多數採取的證明基本策略為「經驗」，約有 47%的學生使用；「無意義」的回答則佔第二多數，約為全體的 42%；另外使用「轉換」此種證明基本策略的學生則只佔了其中的 10%；「外在」的證明基本策略最低，只有 1%的學生使用。 34.

(45) 扣除「無意義」類的學生，在其他三個分類之中，研究者發現有高達 80%的學生，其證明被分類於「經驗」此一證明基本策略之中，而被分類於「轉換」一類的學生則佔不到五分之一。也就是說，在有針對題目的要求而寫出證明的學生中，在面對較陌生的題目時，約有五分之四的學生其證明方法屬於「經驗」一類。從教學現場來看，老師的證明基本策略大多都是「轉換」一類。而在本研究問卷施測時，學生已經學完四邊形與三角形的相關知識，對於老師在課堂上使用「轉換證明基本策略」也習以為常，但為何使用「轉換證明基本策略」的學生只佔了 10%的比例，反而是「經驗證明基本策略」為多數所採用，另外也有 40%無法寫出有意義的證明內容？在此，研究者尚無法下定論，待後續的資料分析之後再探討其原因。綜合前面第(一)部分──學生熟悉的題目及第(二)部分──學生陌生的題目，研究者將針對各證明基本策略的分類人數進行探討，資料整理如下：表 4‐1‐7 內角和題、四邊形題證明基本策略使用人數(全體學生) . 人數(人) . 人數增減 . 內角和題 . 四邊形題 . 內角和題 → 四邊形題 . 無意義 . 30(35%) . 36(42%) . +6(+7%) . 外在 . 4(5%) . 1(1%) . ‐3(‐4%) . 經驗 . 30(35%) . 40(47%) . +10(+12%) . 轉換 . 22(26%) . 9(10%) . ‐13(‐16%) . 總計 . 86(100%) . 86(100%) . . . 35.

(46) 100.00% 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00%. 內角和題四邊形題. 無意義. 外在. 經驗. 轉換. . 圖 4‐1‐14 內角和題、四邊形題證明基本策略使用人數綜合比較從上表可以很簡單的發現「內角和題」及「四邊形題」間，各種證明基本策略人數的變化情形。在這四種不同的證明基本策略間，研究者發現「外在證明基本策略」與「無意義」的人數及比例並沒有太多的變化，「無意義」的人數略增 6 人。另外變化較大的證明基本策略則是「經驗」及「轉換」此二種，其中證明基本策略為「經驗」的人數多了 10 人，相較之下使用「轉換」的人數則少了 13 人。然而，即便「無意義」的人數變化不大，或者是「經驗」與「轉換」之間人數的消長關係，這些都不足以顯示每位學生在證明基本策略間的流動情形，因此，研究者利用下表再針對學生在證明基本策略間的流動情形進行探討。 36.

(47) 表 4‐1‐8 內角和題與四邊形題各證明基本策略的人數對照表(全體學生) 內角和無意義 . 外在 . 經驗 . 轉換 . 無意義 . 18 . 0 . 15 . 3 . 外在 . 1 . 0 . 0 . 0 . 經驗 . 8 . 4 . 15 . 13 . 轉換 . 3 . 0 . 0 . 6 . 四邊形 . 將各個證明基本策略展開來看，研究者發現，無論學生回答的題目是否上課曾經敎過，有 39 位學生(約佔全體學生的 45%)仍然使用同一種證明基本策略(包含無意義)。在內角和題為「無意義」，而在課本沒有提到的四邊形題能寫出有意義的證明的人數有 11 位，但同時從另外三種證明基本策略變為「無意義」的學生也有 18 位。雖然兩題在「無意義」分類的人數差異不大，但從下圖來看，其成員約只有半數為兩題皆為「無意義」的學生。 . 圖 4‐1‐15 內角和題與四邊形題「無意義」使用人次(全體學生) 37.

(48) 另外在內角和題之中使用「經驗」的 30 位學生，其中有 14 位無法在四邊形題寫出有意義的證明，約佔內角和題使用「經驗」人數的 47%；有 16 位在此 2 題皆固定使用「經驗」的證明基本策略，約佔內角和題使用「經驗」人數的 53%；而無人在四邊形題改用「轉換」。在「轉換」的證明基本策略，內角和題共有 22 位學生，其中到了四邊形題有 3 位同學無法寫出有意義的證明，有 13 位學生改用「經驗」，除此之外，只有 6 位同學仍使用「轉換」此一證明基本策略。綜合比較兩題間各證明基本策略人數的消長關係，研究者推論，約有 45%的學生在證明基本策略上，不會因為教科書或課堂上有講解過而有所不同。然而有 16 位學生(約佔全體學生 19%)在內角和題使用和教科書相同的「轉換證明基本策略」，而在四邊形題則改用其他證明基本策略，沒有繼續使用之前已用過的「轉換證明基本策略」。這顯示教科書、課堂上的講解對學生使用的證明基本策略會造成一定程度的影響。 (三) A 組學生的答題情形本節第(一)部分與第(二)部分呈現了全體學生在內角和題與四邊形題的證明基本策略上的分布情形，接下來本研究將全體學生分為 A 組班與 B 組班，並且分別分析這兩組在證明基本策略上的分布情形。 38.