第四章 結果與討論
第二節 學童除法擬題活動教學的學習表現
本節分成三個部份，討論學生在擬題活動教學中的學習表現，用以瞭解除法 擬題活動教學對學童學習除法概念之影響：
一、解題表現：分析學生除法解題與解擬題情形以及分析解題失敗的原因，並且 提出主要的發現。
二、學習表現：根據第一次除法概念檢測與第二次除法概念檢測的結果，說明學 生除法的學習表現。
三、學生對擬題活動教學的接受情形：擬題活動教學的上課方式與學生過去學習 數學的經驗截然不同，研究者編製「數學擬題活動教學回饋單」，用以瞭解學生 對擬題活動教學的學習感受。
壹、 解題表現
研究者將學生16次解題和18次解擬題的記錄，依解題成功和解題失敗分類，
分析解題與解擬題的成功率。再將學生解題失敗的原因，區分為概念錯誤和計算 錯誤二種，作解析（如表4-2-1）。
表 4-2-1 學生解題與解擬題成功失敗的情形
次 別 類 別 解題成功(比率) 解題失敗 解 題 失 敗 原 因 概念錯誤 計算錯誤
第 1 次 解題 17（94.4％） 1 1 0
解擬題 18（100％） 0 0 0
第 2 次 解題 16（94.1％） 1 0 1
解擬題 17（100％） 0 0 0
第 3 次 解題 14（82.4％） 3 2 1
解擬題 15（88.2％） 2 1 1
第 4 次 解題 17（94.4％） 1 1 0
解擬題 17（94.4％） 1 0 1
第 5 次 解題 14（82.4％） 3 2 1
解擬題 16（94.1％） 1 0 1
第 6 次 解題 15（88.2％） 2 2 0
解擬題 17（100％） 0 0 0
第 7 次 解題 12（66.7％） 6 6 0
解擬題 17（94.4％） 1 1 0
第 8 次 解題 15（88.2％） 2 2 0
解擬題 16（94.1％） 1 1 0
第 9 次 解題 13（72.2％） 5 5 0
解擬題 17（94.4％） 1 1 0
第 10 次 解題 16（88.9％） 2 1 1
解擬題 17（94.4％） 1 1 0
第 11 次 解擬題 15（88.2％） 2 1 1
第 12 次 解擬題 13（76.5％） 4 4 0
第 13 次 解題 13（76.5％） 4 3 1
解擬題 15（88.2％） 2 1 1
第 14 次 解題 12（75.0％） 4 4 0
解擬題 15（93.8％） 1 0 1
第 15 次 解題 15（88.2％） 2 1 1
解擬題 17（100％） 0 0 0
第 16 次 解題 10（58.8％） 7 7 0
解擬題 14（82.4％） 3 2 1
第 17 次 解題 14（82.4％） 3 3 0
解擬題 16（94.1％） 1 1 0
第 18 次 解題 15（88.2％） 2 2 0
解擬題 16（94.1％） 1 1 0
註：第11、12次，使用「算式類」擬題，沒有解原題目（解題）的部分。
接著，比較與分析學生解題、解擬題成敗的情形，以及舉例分析與說明失敗 的原因。
一、比較和分析學生解題、解擬題成敗的情形
國內學者梁淑坤（1993）與黃敏晃（1999）研究發現，相對於教科書中或教 師所出的題目，學生們解答自己所擬的題目動機比較強烈，也尌是說問題如果是 由解題者所擬出來，則解題尌變成很自然且易懂題意。而題目的內容親切，解題 的動機與成功率也會提高。本研究解題成功率，除了第4次解題成功率與解擬題 成功率相等之外，另外15次解擬題成功率均比解題成功率高。這樣的結果與梁淑 坤（1993）、黃敏晃（1999）二位學者的研究結果相符合，也尌是題目由解題者 所擬，題意易懂且題目內容親切，可增進解題動機並提高解題成功率。數學擬題 活動教學，透過發表、討論、辯證，澄清迷思概念，使得解擬題時能正確的作答，
因此解擬題成功率較解題成功率高。
二、學生解題、解擬題失敗原因比較與分析
學生解題與解擬題失敗的原因，本研究分成二個部分做分析探討，分別是概 念錯誤與計算錯誤。在概念錯誤方面，除了第10次解擬題概念錯誤的人數與解題 概念錯誤的人數相等之外，有14次皆是解擬題概念錯誤的人數比解題概念錯誤的 人數少。這樣的結果顯示，透過公開發表、討論澄清的過程，幫助學生釐清錯誤 概念，而降低解擬題概念錯誤的情形。而在計算錯誤方面，有3次解擬題計算錯 誤的人數與解題計算錯誤的人數相等，分別是第3、5、13次。另外，有3次解擬 題計算錯誤的人數比解題計算錯誤的人數少；有3次解擬題計算錯誤的人數比解 題計算錯誤的人數多。接著，針對概念錯誤與計算錯誤，作進一步的解析：
（一）概念錯誤解析
在本研究中，學生出現的錯誤概念包括除法計算過程中，不瞭解算式中除 數、被除數、商數、餘數所代表的意義以及不清楚除法橫式中各個數字的位置及 其含意，基本概念性知識不足，而造成解題失敗。或者是學生在計算過程中，相 加（或相減或相乘或相除）時，因程序性知識不熟練而出現錯誤，最後導致解題 失敗。舉例說明如下：
○1 有50顆水果，平分給8人，每人會有幾顆？還剩下幾顆水果？
學生解題記錄： 8＋ 8＝16 8＋16＝24
8＋24＝32 8＋32＝40 8＋40＝48
5 0 ÷ 8 ＝ 5 答：5顆，剩下3顆。 （971118單1S06）
說明：學生對於數學符號（＝）的意義不瞭解，也尌是概念性知識不足，而寫出
「50÷8＝5」不合數學邏輯的式子。
○2 有18顆糖果，平分給6人，每人可以分到幾顆？畫圈做做看，並把做法用減法 算式記下來。
學生解題記錄： ○○○ 18－6＝12 ○○○ 12－6＝6
○○○ 6－6＝0
○○○
○○○ 18÷3＝6
○○○ 答：6顆。 （971125單1S01）
說明：此題為「等分除問題」，學生卻以解「包含除問題」的方式來思考、計算 與作答。顯示，不清楚等分除的概念與包含除的概念。且圖像表徵與連減解題記 錄兩者未能連結，因而將答案寫成6顆。
○3 有28公分長的繩子，平分成4段，每段是幾公分？把做法用減法算式記下來。
學生解題記錄： 28－4＝20 20－4＝16
16－4＝12 12－4＝8 8－4＝4 4－4＝0
2 8 ÷ 4 ＝ 6 答：6公分。 （971127單1S08）
說明：一開始「28－4」即發生計算錯誤，此乃對減法概念性知識不足以及程序 性知識不熟練，連帶影響後續的計算，致使結果錯誤。
○4 23朵花，每5朵綁成一束，可以綁成幾束？還剩下幾朵？把做法用乘法算式記 下來。
學生解題記錄： 5×1＝5 5×2＝10
5×3＝15 5×4＝20 23－20＝3
15÷ 5＝ 3 答：3束。 （971202單1S07）
說明：學生將相減後的餘數（3）視為商數，對餘數與商數的意義，概念性知識 不足，導致寫成除法橫式時，產生錯誤。
○5 43朵花，每5朵綁成一束，可以綁成幾束？還剩下幾朵？
學生解題記錄： 5×1＝5 5×5＝25 5×2＝10 5×6＝30
5×3＝15 5×7＝35 5×4＝20 5×8＝40
43－40＝3
43÷5＝3…8 答：綁成3束，剩下8朵。 （971202單1S13）
說明：學生對餘數與商數概念模糊，導致記錄成除法橫式時，餘數與商數的位置 顛倒。
○6 23朵花，每5朵綁成一束，可以綁成幾束？還剩下幾朵？把做法用乘法算式記 下來。
學生解題記錄： 5×1＝5 5×2＝10
5×3＝15 5×4＝20 23－20＝3
23÷5＝20…3 答：20束，剩3朵。 （971202單1S03）
說明：學生對於計算過程中，各個數字代表的意義不瞭解，概念性知識不足，因 而將「20」視為商數。記成除法橫式時，對等號（＝）的意義與除法橫式概念不 清楚，而寫出「23÷5＝20…3」這樣完全不合數學邏輯的算式。
○7 39公分長的紙條，每7公分剪成1段，可剪成幾段？還剩下幾公分？把做法用 乘法算式記下來。
學生解題記錄： 7×1＝7 7×2＝14 7×3＝21 7×4＝28
7×5＝35
39－35＝4 39÷7＝5…4 答：5公分。 （971204單1S04）
說明：學生對單位量與單位數意義概念不清，將單位數 5 段，寫成單位量 5 公 分，出現單位量與單位數混淆的情形。
○8 55個果凍，平分給5個人，每人可以分到幾個？還剩下幾個果凍？
學生解題記錄： 5×1＝5 5×2＝10 5×3＝15 5×4＝20
5×5＝25 5×6＝30 5×7＝35 5×8＝40 5×9＝45 55－45＝10
55÷5＝9…10 答：9個。 （971209單1S04）
說明：對學生而言，餘數表示剩下的意思並不難理解。困難點在於餘數的處理式 以及餘數與被除數、除數、商數之間的關係。餘數的處理方式：是否已分到不能 再分了、剩下的還夠不夠再分。以此題為例，餘數10還能再分2次，學生在相減 和記錄成除法橫式時，完全沒發覺錯誤。由此可見，對餘數意義概念不清楚。
○9 50顆糖果，9顆裝一袋，可裝幾袋？還剩下幾顆？
學生解題記錄： 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36
9×5＝45 50－45＝5
50÷9＝5 答：5顆。 （971210單1S06）
說明：學生對單位量與單位數意義概念不清，因而將單位數 5 袋，寫成單位量 5 顆，出現單位量與單位數混淆的情形。
○10 一大瓶新鮮的柳橙汁有299毫升，平均分成4杯，每杯是幾毫升？剩下幾毫升？
用除法直式算算看。
學生解題記錄：
說明：計算的結果，商數74毫升是單位量，學生視為單位數74杯，出現單位量與 單位數混淆的情形，可見對商數的含意概念錯誤。
○11 大巨人走15步的距離是180公尺，請問大巨人走1步是多少公尺？用除法直式 算算看。
學生解題記錄：
說明：學生將「直式除法算式」，轉換成「除法橫式」時，被除數與除數的位置 寫顛倒。相對於加法與乘法的交換律，以為數字放在那個位置皆可。顯然，對「除 法橫式」的概念不清楚。
7 4 4 2 9 9
2 8 1 9 1 6
3
299÷4＝74…3 答：74杯，剩下3毫升。 （971225單1S17）
1 2 15 1 8 0
1 5 3 0 3 0
0
15÷180＝12 答：12 公尺。 （980106 單 1S05）
○12 60隻泰迪熊，每人分7隻，可分給幾人？
學生解題記錄： 7＋7＝14 14＋7＝21 21＋7＝28 28＋7＝35
35＋7＝42 42＋7＝49 49＋7＝56 60－56＝4
60÷7＝8…4 答：8隻，剩下4人。 （971218單2S12）
說明：8個7，代表每人7隻，分給了8個人。剩下4，代表剩下4隻。學生將二個數 字的含意，完全弄錯，顯示對計算過程中各數字的含意概念錯誤。
○13 李志明走15步的距離是185公分，請問李志明走一步是多少公分又幾毫米？
學生解題記錄：
說明：學生將餘數5，直接視為5毫米，對餘數的含意概念錯誤以及餘數與被除數 間的關係不瞭解，導致解題失敗。
根據上述解析，學生常因對數學符號、數字的概念性知識不足和計算時程序 性知識不熟練以及混淆單位量與單位數的意義，而導致解題失敗。但透過擬題活 動教學，公開發表、討論澄清之過程，幫助學生釐清錯誤概念，而降低解擬題概 念錯誤的比率。
（二）計算錯誤解析
本研究將計算錯誤，分成抄錯數字和未計算。抄錯數字是指學生在運算過程 中，因看錯而抄錯數字或因粗心而筆誤，將數字寫錯，致使解題失敗。未計算是 指，完全沒有作答，或者僅列出部分算式，沒有完成解題。舉例說明如下：
○1 30公分長的頭髮，每5公分剪成一段，可以減幾段？
學生解題記錄： 30－5＝25 25－5＝20
20－5＝15 15－5＝1 5－5＝0
3 0 ÷ 5 ＝ 6 答：6段。 （971120單1S12）
說明：15－5＝10，學生誤寫成「15－5＝1」，接著又漏寫算式「10－5＝5」。學 生在計算過程中，因誤寫與漏寫，致使解題失敗。
1 2 15 1 8 5 1 5
3 5 3 0
5
185÷15＝12…5 答：12 公分 5 毫米。 （980106 單 1S07）
○2 請根據這個算式【72÷9＝】寫出一個題目，並算算看。
學生擬題記錄：有70顆蘋果，9顆裝一袋，可以裝幾袋？ （971216單2S16）
說明：學生將題目的72寫成70，因抄錯或看錯數字，導致擬題失敗。
○3 一瓶新鮮的木瓜汁有366毫升，平均分成4杯，每杯幾毫升？剩下幾毫升？
學生解題記錄：
說明：題目數字是366，計算時寫成399，因抄錯數字，致使解題失敗。
○4 有36枝筆，平分給9人，每人可以分到幾枝筆？
學生解題記錄： 9＋9＝18 18＋9＝27
27＋9＝ （971118單1S18）
說明：最後一個算式已列出來，但未寫出計算結果。此題因未完成計算，而解題 失敗。
○5 快樂公司生產了200公升的沙拉油，每9公升裝成一桶，可裝成幾桶？剩下幾 公升？用除法直式算算看。
學生解題記錄： （971223單1S10）
說明：僅列出除法直式算式，並未加以計算。
○6 一條繩子長84公尺，12公尺剪成一段，請問共可剪幾段？用除法直式算算看。
學生解題記錄：
8 4 （971230 單 1S09）
說明：列出除法直式算式，並做了初步的估商，估商完尌停頓下來，而未繼續完 成計算。
學生因「抄錯數字」而發生計算錯誤，可能是學生粗心，或者是筆誤。「未 計算」的可能原因有：無時間繼續計算而未計算完整或無能力解題，導致解題失 敗。這些錯誤，都歸類在「計算錯誤」。
1 2 7 9 9 4 3 9 9 3 6
3 9 3 6
3 （971225 單 1S14）
9 200
貳、 學習表現
（二）問題類型：包含除之除號意義問題
檢測單-1 檢測單-2 有 42 公分長的緞帶，每 6 公分做一
朵緞帶花，總共可以做幾朵緞帶花？
朵緞帶花，總共可以做幾朵緞帶花？