數學擬題活動教學對學生除法概念 及數學學習態度影響之行動研究

國立台東大學教育學系（所）

課程與教學在職專班 碩士論文

指導教授：梁忠銘 先生

數學擬題活動教學對學生除法概念 及數學學習態度影響之行動研究

研究生：陳春霞 撰

中華民國九十八年八月

國立台東大學教育學系（所）

課程與教學在職專班 碩士論文

數學擬題活動教學對學生除法概念 及數學學習態度影響之行動研究

研 究 生：陳春霞 撰 指導教授：梁忠銘 先生

中華民國九十八年八月

誌 謝 辭

耶！我終於畢業了！進修的日子裡，身兼多重角色，在忙碌與壓 力中掙扎，我能準時畢業，要歸功於指導教授梁忠銘老師。老師經常 犧牲假日休息時間，指導與督促我們完成論文。在老師的悉心指導 下，論文才能順利如期完成，在此謹致上我最高的敬意與謝意。

論文口試時，承蒙口試委員翁麗芳教授、何俊青教授細心審議、

改正疏漏，使論文內容更臻於完善。感謝翁麗芳教授，千里迢迢至台 東參與我的論文口試，並提供許多真知灼見，給我遵循改進的方向；

感謝何俊青教授從論文計畫審查到論文口試，皆詳盡的提出修改之建 議，嚴謹治學態度令學生感佩，謝謝您們！

在論文寫作期間，一起討論並經驗交流的同學：玲伶、彩鳳、素 梅、家慈、秀文，謝謝妳們的陪伴，讓我在辛苦的過程中卻不孤單。

感謝班上那群貼心的孩子，有你們的參與，才能完成我的研究。

感謝摯愛的老公郡創，在我修業期間包辦所有家事，讓我無後顧 之憂，全心投入在課業上。謝謝可愛的芯妹、乖巧懂事的庭庭，體諒 媽咪的壓力，從不干擾我寫論文。還要，感謝爸媽與兄弟姐妹們默默 的支持與鼓勵，親情是我教書與進修最堅實的後盾，與您們分享我畢 業的喜悅，謝謝您們！ 春霞 謹誌

2009/8/8

數學擬題活動教學對學生除法概念 及數學學習態度影響之行動研究

作 者 ： 陳 春 霞

國 立 台 東 大 學 教 育 學 系 （ 所 ） 課 程 與 教 學 碩 士 在 職 專 班

摘 要

本研究透過行動研究的方式，以小四學童為研究對象，期望藉由除法擬題活 動教學，改善教學問題。欲達到以下目的：（一）具體分析小四學童數學擬題作 品的類型；（二）探討除法擬題活動教學對學童學習除法概念之影響；（三）瞭解 除法擬題活動教學中學童的學習態度；（四）探討教師進行擬題活動教學的問題 與解決的方法。蒐集教學過程相關資料，經分析得如下發現：

一、學生擬題透過改變數字、事物和題目結構，讓題目內容更豐富更具思考性，

這樣的學習方式能激發學生的創造思考能力。

二、學童除法擬題活動教學的學習表現，解擬題成功率比解題成功率高。顯示，

透過發表、討論、辯證，澄清了迷思概念，使得解擬題時，概念錯誤的比率 降低。另外，學童在除法各類型問題的學習上，解題表現有顯著的進步。

三、實施除法擬題活動教學後，大部份的學生，因此對數學學習充滿信心。當學 生遇到解題困難，會主動的尋求解答，有積極探究動機。而且班上的學生對 於上數學課不再畏懼、討厭，大部分的學生喜歡且期待這樣的上課方式。

四、擬題教學實際運作時，研究者遇到上課時間掌控的問題、如何有效呈現學生 擬題作品以及建立討論文化的困難，這些問題在研究者執行與省思的過程 中，逐步獲得改善。

關鍵詞：除法概念、數學學習態度、數學擬題

Action Research in the influence of Mathematical Posing Problem Activities on the Student’s Division Conception and

Attitude towards Mathematics Learning

By:Chen Chun-Hsia

Department of Education National Taitung University

Abstract

This research takes students of grade four in primary school as the research objects through action research, in the hope of improving teaching problems through mathematical posing problem activities. It is aimed to reach the following purposes:

(1) Analyze the types of mathematical posing problem activities for students of grade four in primary school; (2) Discuss the influence of division Posing problem teaching method on the student’s division conception; (3) Understand the student’s learning attitude during division Posing problem teaching process; (4) Discuss problems the teachers face during the Posing problem teaching process and relative solutions. After collection and analysis of related data from teaching process, it is found that:

1. During the posing problem, through changing the figures, matters and problem structure, the problem content will be richer to cause the students to think. Such learning method can stimulate the student’s creation and thinking ability.

2. As for the learning performance in division posing problem teaching process, the student’s success rate of resolving posing problem is higher than that of common problem. This indicates that with statement, discussion and dialectical thinking to clarify the illusive concepts, the rate of conceptual error will reduce when the student resolves the posing problems. In addition, the student’s problem resolving performance will obviously improve during learning various division problems.

3. After the application of division posing problem teaching, most students become confident in mathematics learning. When the student meets difficulties in problem resolving, he will try to resolve it actively with a positive researching motive.

Besides, the students in the class do not fear and dislike math class any more; on the contrary, most students like and expect such class style.

4. When the posing problem teaching method is actually applied, the researcher met some problems, such as how to control the class time, how to present the posing problem effectively to the students, and the difficulty in establishing discussion culture. These problems will be gradually improved as the researcher implements and ponders continuously.

Keywords : division conception, mathematics learning attitude, mathematical

posing problem

目 次

第一章 緒論 ……… 1

第一節 研究背景與動機 ……… 1

第二節 研究目的 ……… 3

第三節 名詞釋義 ……… 3

第四節 研究範圍與限制 ……… 4

第二章 文獻探討 ……… 5

第一節 擬題活動教學的理論基礎 ……… 5

第二節 擬題的意義與內涵 ……… 7

第三節 擬題活動教學的歷程 ……… 18

第四節 擬題的相關實證研究 ……… 21

第五節 除法相關概念與相關研究 ……… 26

第三章 研究方法 ……… 45

第一節 研究取向與研究設計 ……… 45

第二節 研究工具 ……… 49

第三節 資料蒐集與編碼 ……… 55

第四節 研究信度與效度 ……… 57

第五節 研究倫理 ……… 59

第四章 結果與討論 ……… 61

第一節 小四學童數學擬題作品的類型 ……… 61

第二節 學童除法擬題活動教學的學習表現 ……… 70 第三節 學童除法擬題活動教學的學習態度 ……… 1 0 7 第四節 教學時遇到的問題與解決的方法 ……… 1 1 3

第五章 結論與建議 ……… 1 2 3

參考文獻

一、中文 ……… 129

二、西文 ……… 133

附 錄

附錄二 除法概念檢測單- 2 ……… … 139

附錄三 擬題/解題學習單- 1 ……… 144

附錄四 擬題/解題學習單- 2 ……… 145

附錄五 隨堂觀察紀錄回饋單 ……… 146

附錄六 數學擬題活動教學回饋單 ……… 147

附錄七 數學學習態度檢核表 ……… 148

附錄八 教學札記 ……… 150

附錄九 給家長的一封信 ……… 151

附錄十 教學會議紀錄（一） ……… 152

附錄十一 教學會議紀錄（二） ……… 155

附錄十二 教學活動設計舉隅 ……… 158

附錄十三 學生擬題/解題學習單舉隅 ………159

圖 次

圖 2-1-1 訊息處理心理歷程圖示 ……… 5

圖 2-2-1 作品分類流程圖 ……… 13

圖 2-2-2 Polya 解題四階段 ……… 14

圖 2-2-3 梁淑坤擬題四步驟 ……… 14

圖 2-2-4 學生擬題行為過程 ……… 15

圖 2-3-1 坪田耕三的擬題教學流程圖 ……… 19

圖 2-3-2 Cudmore and English 的擬題階段和評鑑流程 ……… 20

圖 2-5-1 圖像表徵示意圖 ……… 34

圖 2-5-2 本研究教材分析 ……… 41

圖 3-1-1 歐屈克特等人之教育行動研究歷程圖 ……… 46

圖 3-1-2 研究流程圖 ……… 47

圖 3-1-3 研究架構圖 ……… 49

圖 3-2-1 本研究擬題活動教學流程圖 ……… 54

圖 3-4-1 三角檢證圖 ……… 59 圖 4-4-1 本研究行動研究歷程圖 ……… 1 2 2

表 次

表 2-2-1 Reitman 的題目結構表……… 9

表 2-2-2 梁淑坤擬題類型例子 ……… 10

表 2-2-3 擬題類型分析比較表 ……… 12

表 2-2-4 擬題作品分類表 ……… 13

表 2-2-5 擬題作品分類及例子 ……… 14

表 2-4-1 文獻中擬題活動教學與數學學習態度相關研究結果 ……… 24

表 2-4-2 文獻中擬題活動教學與學生數學概念相關的研究結果 ………… 25

表 2-5-1 乘除情境的結構分析 ……… 32

表 2-5-2 Greer 的除法問題情境 ……… 32

表 2-5-3 Lesh 的表徵類別 ……… 34

表 2-5-4 「除法」相關分年細目 ……… 39

表 2-5-5 文獻中學童學習除法普遍存在的問題與困難相關研究結果 …… 43

表 3-2-1 概念檢測單-1 的表現情形 ……… 52

表 3-2-2 擬題題材 ……… 52

表 3-3-1 本研究原始資料編碼的意義 ……… 57

表 4-1-1 擬題作品分類表 ……… 62

表 4-1-2 擬題作品內容分析表 ……… 66

表 4-2-1 學生解題與解擬題成功失敗的情形 ……… 71

表 4-2-2 等分除之除號意義問題作答情形 ……… 78

表 4-2-3 包含除之除號意義問題作答情形 ……… 79

表 4-2-4 包含除問題以累加算式記錄作答情形 ……… 80

表 4-2-5 等分除問題以累加算式記錄作答情形 ……… 81

表 4-2-6 包含除問題以累減算式記錄作答情形 ……… 82

表 4-2-7 等分除問題以累減算式記錄作答情形 ……… 83

表 4-2-8 包含除問題以累乘算式記錄作答情形 ……… 84

表 4-2-9 等分除問題以累乘算式記錄作答情形 ……… 84

表 4-2-10 等分除除法算式記錄含意作答情形 ……… 85

表 4-2-11 包含除除法算式記錄含意作答情形 ……… 87

表 4-2-12 區分等分除與包含除問題作答情形 ……… 90

表 4-2-13 等組連續量之等分除問題作答情形 ……… 90

表 4-2-14 等組連續量之包含除問題作答情形 ……… 91

表 4-2-15 等組離散量之等分除問題作答情形 ……… 92

表 4-2-16 等組比率型之等分除問題作答情形 ……… 93

表 4-2-17 等組比率型之包含除問題作答情形 ……… 94

表 4-2-18 乘法性比較型之等分除問題作答情形 ……… 97

表 4-2-19 乘法性比較型之包含除問題作答情形 ……… 98

表 4-2-20 數學擬題活動教學回饋單分析表 ……… 101

表 4-3-1 學生學習數學的信心 ……… 107

表 4-3-2 學生對數學有用性的看法 ……… 109

表 4-3-3 學生對數學的探究動機 ……… 109

表 4-3-4 學生對數學成功的態度 ……… 111

表 4-3-5 重要他人的數學態度 ……… 111

表 4-3-6 學生在數學焦慮的表現 ……… 112

第一章 緒論

本章，先尌目前數學教學普遍存在之問題與學生學習數學的現況做說明。接 著，說明選擇用「擬題活動教學」介入本研究之機緣與動機，以及擬題活動教學 對於學童數學概念理解之幫助與學習態度之影響，據以設定本研究之研究目的。

以及針對本研究的重要名詞加以解釋與界定，最後說明本研究範圍與限制。

第一節 研究背景與動機

我國國民中小學九年一貫課程綱要中，數學學習領域的教學總目標為：1.培 養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。2.學習應用問題的解題方 法。3.奠定下一階段的數學基礎。4.培養欣賞數學的態度及能力（教育部，2003）。

由上述教學總目標可看出數學的學習不止是計算技巧與步驟的熟練而已，還要啟 發兒童學習數學興趣和培養兒童自行建立數學概念的能力及協助兒童養成「如何 學」、「樂於學」、「主動學習」的良好習慣。教師的角色，從過去的課程講述 者轉變成發問者和傾聽者，引導學生探究、推論、理解概念，以及知其所以然。

但從任教十餘年的經驗中發現，學生學習數學經常是機械式的演算、死記演 算的步驟，無意義的數字，成為最難背的抽象文科知識。因此，大部份的學生覺 得「數學」是最困難的科目，甚難對數學產生興趣，遑論主動學習。究竟什麼因 素造成學生如此恐懼數學？是教師教學問題抑是學生學習方法的問題？研究者 經常思索這些問題，期望能找到解答，改善問題。許多研究亦指出，台灣傳統的 數學教育偏重演算的技巧與速度以及只在乎答案是否正確，學習過程中缺乏學習 動機、創造思考以及師生、學生同儕間互動較少。造成學生沒有推理思考、辯證 能力。因此，即使擅長思考，但如果無法在考詴限定的時間內寫完，也會被歸類 為能力不足的學生。為了在考詴時有出色的表現，數學教學的重點變成是反覆的 練習測驗卷，訓練數學運算的「速度」和「正確性」，卻忽略了數學的「邏輯思 考」、「理解」。這樣的數學學習，的確培養了一些數學成績還不錯的學生，但數 學也因此成為他們的夢魘。

研究者目前擔任四年級導師，學生們三年級開始學習除法。三年級數學課程 中，一共有三個除法單元。研究者發現，學生們學習除法時，學習動機比較低落、

解題表現不佳以及有概念迷思之情形。另外，在研究者擔任學校課程發展委員會 數學領域組長期間，每學期例行性定期會議，組員多次提出與上述相同的問題。

在教學現場與同年段老師對話中，亦發現這樣的現象。根據 Lambie and Hutchens 的研究，學生對數學缺乏學習興趣、動機不足以及不了解數學用語等，均可能形 成數學學習的困難。Reyes 也發現學生對數學的學習，如存有恐懼與焦慮，會降 低數學學習的成尌水準（引自曾望超，2003）。由此可見，培養學生數學興趣的

重要性。當研究者的學生產生上述學習問題時，研究者憂心造成學生日後數學學 習的困難。因此，積極尋找各種改善問題的方法，企圖改善學生單調、乏味、囫 圇吞棗以及機械式的學習方式。與在國小任教的同學分享上述教學問題，同學恰 巧正在寫碩士論文，她表示蒐集文獻的過程中，發現擬題活動教學對提高學生學 習興趣以及促進學生數學概念之理解，有不錯之成效。建議我不妨詴詴看，於是 研究者開始蒐集與閱讀相關文獻。

國內外文獻，皆有針對數學教學加入擬題活動提出建議。如：美國數學教師 協會（National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM）在課程與評量標 準提出「應讓學生在數學課中經驗、察覺和形成他們的問題，並以此作為教學的 重點」（引自吳進寶，2005）。另外，NCTM(1991)建議「學生應有機會從已知情 境中形成問題，並藉由修正已知問題的條件中來創造新的問題」。意即應該提供 機會，讓學生擬他們自己的問題。國內學者梁淑坤（1993）亦提出相同的建議：

在數學的教學中，應讓學生擬出他們自己的問題。這種擬題的活動方式可以提供 學生討論、互動、思考和想像的機會，不但能夠提升學生的創造能力，進而更可 以培養團體合作，以及溝通、表達的能力。研究亦發現相對於教科書中或教師所 出的題目，學生們解答自己所擬的題目的動機比較強烈，也尌是說問題如果是由 解題者所擬出來，則解題尌變成很自然且題意易懂，而題目的內容親切，解題的 動機與成功率尌會提高（梁淑坤，1993；黃敏晃，1999）。除了增進解題動機，

擬題是主動的學習活動。Von Glasersfeld 認為知識不是被動的接受，而是經由感 官或溝通等方式，由認識的個體主動的建立（引自黃敏晃，1999）。增加了擬題 活動，能增加學習的主動性。除此之外，教師從過去「教師佈題」－「教師解題」

－「學生模仿」的教學模式改變為「教師佈題」－「學生解題」－「學生擬題」

－「發表與討論」－「學生解題」的教學模式。這種以兒童的觀點為出發點，讓 學童主動參與整個教學活動，這樣的教學活動氛圍，才能培養學生主動探索、合 作討論、思考、判斷以及創造的能力。

針對「數學擬題活動教學是否能提高數學學習態度？」分析歸納國內數篇相 關研究（吳佳慧，2006；吳進寶，2005；林群雄，2004；陳金章，2007；陳淑芳，

2007；趙坤川，2006）結果，發現擬題活動教學可以提升學童學習數學的興趣、

動機和自信，還可以啟發學生的創造力以及培養「勇於嘗詴」的學習態度。另外，

亦針對「擬題活動教學是否能促進學生數學概念之理解？」作分析歸納，相關的 研究（周幸儀，2002；林峻志，2007；邱瑤瑢，2006；莊美蘭，2003；陳淑芳，

2007；趙坤川，2006；謝佩真，2004）指出，擬題活動教學可以幫助學生自己發 現數學概念上的錯誤、幫助學生澄清與釐清數學迷思概念以及增進數學概念之理 解。另外，根據林峻志（2007）、邱瑤瑢（2006）、徐文鈺（1996）、陳佩琦（2003）、

謝佩真（2004）、鍾雅琴（2002）的研究發現，擬題活動教學還可提升學生的解 題能力。。

從上述文獻可知，擬題活動教學是以學生為主體，學生嘗詴當老師的滋味，

能提高學生的學習動機；透過師生與同儕間互動式討論能培養學生思考與創造的

能力；藉由擬題活動教學學生「反芻」學習內容，可增進概念的理解。這些擬題 活動教學之益處，正可改善研究者教學上所遭遇之問題。研究者，因此產生將除 法、擬題活動教學與行動研究三者結合的想法。期望透過行動研究改善教學現場 之問題；期望藉由擬題活動教學改善學生單調、乏味、囫圇吞棗以及機械式的學 習方式，激發學生積極正向的數學學習態度、增進學生除法概念的理解，是本研 究的研究動機。以及呈現研究者實際進行擬題活動教學時，遇到的問題與解決的 方法。

第二節 研究目的

基於上述問題背景與研究動機，本研究以小四學童為研究對象，透過擬題活 動融入數學教學之行動研究，探討擬題活動教學對促進學生除法概念之理解是否 有幫助及是否能激發學生積極正向的數學學習態度。本研究的目的，有以下四點：

一、具體分析小四學童數學擬題作品的類型。

二、探討除法擬題活動教學對學童學習除法概念之影響。

三、瞭解除法擬題活動教學中學童的學習態度。

四、探討教師進行擬題活動教學的問題與解決的方法。

第三節 名詞釋義

以下，是本研究重要的相關名詞，有「擬題活動教學」、「擬題作品的類型」、

「除法概念」、「數學學習態度」四個，說明如下：

一、擬題活動教學（problem-posing instruction）

Silver 指出擬題是由經驗或情境中創新的題目，或是給定的題目中，再產生 新的題目。Stoyanove and Ellerton 認為擬題是依據數學經驗的基礎，學生建構及 創造有意義的數學題目，是一種屬於個人化的過程（引自許淑萍，2002）。國內 學者梁淑坤（1993）提出「擬題」即學生用自己的想法想一個數學題目來。

本研究指的「擬題」是學生按照老師所給的已知條件，學生根據自己既有的 數學知識和生活經驗，想出一個符合情境的題目。而「擬題活動教學」，是指由 研究者根據國家教育研究籌備處（以下簡稱部編版）出版的數學第五至七冊數學 課本的「除法」單元，設計擬題教學題材，進行教學。

二、擬題作品的類型

本研究採用國內學者梁淑坤（1999）發展的擬題評量工具（如表 2-2-4）， 將學生的擬題作品，依此工具分類並作分析與探討。

三、除法概念

除法概念的含意相當廣泛，包括：被除數、除數、餘數、商數、除號、包含 除、等分除、帄分……等等，本研究所指的除法概念，是解題記錄含意的理解以 及區分包含除與等分除。

四、數學學習態度

本研究中所指的數學學習態度，係參考曹宗萍與周文忠（1998）編製的「數 學學習態度問卷」。修改成本研究之「數學態度檢核表」，探究擬題活動教學後，

學生的數學學習態度。

第四節 研究範圍與研究限制

一、研究範圍

本研究旨在探討國小四年級學童透過數學擬題活動教學學習除法，對於除法 概念理解及數學學習態度之影響。教材內容以整數的除法（二位數除以一位數、

三位數除以一位數、二位數除以二位數及三位數除以二位數）為範圍。

二、研究限制

（一）研究範圍

本研究乃一般教育行動研究，訴求改善教學現場問題為目的，以研究者任教 之數學領域為範圍，無法擴及其他領域之教學。在研究過程中，因考量人力、物 力、時間與學校課程進度等限制，故僅選取數學領域中的「除法」為研究範圍。

（二）研究對象

本研究以不影響研究對象的學習權益之考量下，依國小排課現況為前提，以 研究者目前任教班級的18位國小四年級學生為對象，並不包含其他班級的學生。

（三）研究結果與應用

課程行動研究所處理的問題，大多有情境限制的（“here”and“now”） 當 下狀況，研究發現雖然可以為課程與教學實務帶來極大的啟示，也可能極具應用 推廣的價值，但仍不宜做過度的推論（甄曉蘭，2003）。基於本研究的資源限制 考量，故在研究範圍和研究對象上有其限制。在研究結果的應用上，受到當時的 教學情境與研究對象獨特性的影響。因此，研究結論因許多條件與因素的不同，

不宜對不同地區、不同年段做過度推論。

第二章 文獻探討

本研究主要探討，數學擬題活動教學學童除法學習表現之情形、對學生數學 學習態度之影響以及分析學生擬題作品的類型。本章文獻探討先從訊息處理學習 論和建構主義的學習理論開始，做為本研究的理論基礎；接著，尌擬題活動教學 意涵與相關研究以及除法相關研究加以探討。因此，本章分成五節加以論述，第 一節探討擬題活動教學的理論基礎；第二節說明擬題的意義與內涵；第三節探討 擬題活動教學的歷程；第四節分析擬題的相關實證研究；第五節探討除法相關概 念與相關研究。

第一節 擬題活動教學理論基礎

數學擬題活動教學的理論基礎，源自於訊息處理學習論和建構主義的學習理 論。本節以這二個理論來探討擬題活動教學。

壹、訊息處理學習論

訊息處理學習論，是特為解釋人類在環境中，如何經由感官覺察、注意、辨 識、轉換、記憶等內在心理活動，以吸收並運用知識的歷程（張春興，1994）。

訊息處理心理歷程圖示如下（圖 2-1-1）：

圖 2-1-1 訊息處理心理歷程圖示

資料來源：張春興（1994）

訊息處理中的記憶與遺忘，是彼此分離但又前後交流的三個階段：

（一）感官收錄：指個體憑視、聽、嗅、味等感覺器官感應外界刺激所引起短 暫記憶。接著，個體會依據動機、需求或經驗等因素，對訊息「注意」並進行編

環 境 中 的 刺 激

輸入

感官 收錄

（SR）

注意

短期記憶

（STM）

運作記憶

（WM）

複習

長期記憶

（LTM）

情節記憶 語意記憶 遺

忘 遺

忘 反應（輸出）

反應（輸出）

碼轉換，而成為記憶。若選擇對訊息放棄，則形成遺忘。

（二）短期記憶：短期記憶對個體的行為，有兩種重要的作用：其一是對刺激 表現出適當反應；另一作用是，個體認為所處理的訊息是重要的，他尌會採用「複 習」的方式，使之保存長久，並進而輸入長期記憶。老師在教學時，呈現教材（刺 激）時，必先引起學生的動機與注意，進而引導學生，在短期記憶階段使用舊經 驗對新的訊息思惟運作，從而獲得新知識。

（三）長期記憶：指保持訊息長期不忘的永久記憶，大致分為兩大類：一類為 情節記憶；另一類為語意記憶，包含一些單字或事物的名稱，以及語文所表達的 概念、原則與技能。

讓學生自行擬題，然後解題。在擬題與解題的過程中，學生必頇將長期記憶 中的訊息加以提取與重整，對於學生知識結構的連結性有相當助益（方吉正，

2003）。在教學時，學習教材及教學方式，要能引起學生學習興趣與動機，學生 才會去注意，進而產生短期記憶與長期記憶。以及要引導學生處理與詮釋所接收 的訊息，使訊息意義化，知識才能成為長期記憶。學生在解題時，問題訊息透過 感官收錄刺激進入短期記憶，此訊息若無法引起學生的動機或興趣，便不會加以

「複習」，成為長期記憶。習得的解題技能，很快尌遺忘了。而擬題活動教學，

以學生為主體，學生自己出題、自己解題，大大提高學習動機與興趣，自然能引 發學童對問題訊息的注意。在過程中，強調同儕間的討論、辯證，提供了學生對 訊息再次「複習」的機會以及處理與詮釋訊息，使訊息意義化。這樣，所習得知 識（概念），儲存在長期記憶中，才不會遺忘。學生擬題時，會根據自己的數學 知識、經驗，來出題。也尌是提取或重整長期記憶中的數學知識，進而增進數學 知識結構的連結。

貳、建構主義的學習理論

建構主義（constructivism）旨在解釋人們「如何獲得知識」，它並不是單一 的理論，而是包含不同取向的理論派別。若將重心放在個體「內在」層面，思考 個體是如何獲得知識，從此角度出發，可歸為「個人建構」取向，以 Von Glasersfeld 的「根本建構主義」（radical constructivism）為代表；若將重心放在個體「外在」

層面，從社會、歷史、文化的角度說明人類如何獲得知識，以 Vygotsky 的「社 會建構主義」（social constructivism）為代表（潘世尊，2003）。

一、根本建構主義

根本建構主義的重點在探討個體如何形成及發展知識。對個體而言，外在的 符號或訊息僅僅只是符號，並不具任何意義。只有在個體透過感官接觸訊息，並 將它們組織及創造出意義之後，知識才被建構出來。以及目前存活的知識只是暫 時性的解釋，並不代表永遠能夠適合環境的限制或要求，未來它仍可能被修改或 淘汰。個體基於原有的知識基礎對經驗做詮釋，因此即使有相同的感官經驗，不 同個體建構出來的是獨一無二的主觀知識。當學習者面對環境時，會用已有的知

識基礎同化外在的環境。因此，知識是個體用以適應的工具（潘世尊，2003）。

根本建構主義的教學目標，強調由學習者自行建構其知識，而非被動的由外 界灌輸。因此，教師在進行數學教學時，應該將數學概念與學生生活經驗相結合，

協助學生調適環境、主動建構其知識。教師在教學的過程中，扮演學生學習的協 助者，不斷與學生互動，引導學生主動思考，以舊知識為基礎來調適、同化新的 數學概念，以進行有意義的學習。而根據 Stoyanove and Ellerton 指出擬題是依據 數學經驗的基礎，學生建構及創造有意義的數學題目（引自許淑萍，2002）。由 此可看出，擬題活動教學符合建構主義的觀點。

二、社會建構主義

維果斯基（Les S. Vygotsky）是蘇俄心理學家。他認為社會中的一切，諸如 風俗習慣、宗教信仰、生活中的衣食住行、前輩人留下來的歷史文化、社會制度、

行為規範等，構成人類生活中的文化世界。此文化世界影響成人的行為，更影響 正在成長中的兒童。因此，兒童的認知發展無異是在社會學習的歷程中進行的。

Vygotsky 非常強調「兒童自我中心語言」的重要性，他將兒童的自我中心語言，

視為調和其思惟與行動，從而助益其認知發展的重要因素。另外，還提出可能發 展區（或最近發展區）（zone of proximal development）的概念，兒童自己實力 所能達到的水帄，與經別人給予協助後所可能達到的水帄，這兩種水帄間的差 距，即是該兒童的可能發展區。在此種情形下別人所給予兒童的協助，即稱為鷹 架作用（scaffolding）（張春興，1994）。

以 Vygotsky 的觀點，兒童的認知發展是在社會學習歷程中進行。因此在課 堂中，教師進行數學教學活動時，應讓學生同儕間，有充分討論的時間與空間，

教師也要適時的與學生互動、對話，營造一個互動環境，透過環境的建構，使學 生產生有意義的學習，扮演學生學習輔助者的角色。另外，尌「鷹架作用」而言，

擬題活動，過程中教師或程度好的學生藉由提問提供鷹架，學生彼此分享資源、

知識交換。學生自己擬題、解題，為自己的學習提供鷹架作用，而達到可能發展 區。或透過同儕間的討論、辯證、擬題作品分享互動，為彼此的學習提供了鷹架 作用，而達到可能發展區。所以，擬題活動教學有自己的鷹架作用也有他人的鷹 架作用，學生因此達到更好的學習效果。

第二節 擬題的意義與內涵

壹、擬題的意義

National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) 指出，成功解題的 關鍵性條件之一，尌是能產生擬題的意向（disposition），為了要發展這樣的意向，

必頇提供學生更多的明確的教學（explicit instruction）。當學生想出一個新的問

題，這樣能夠培養學生重新建構知識的責任，而學生想出一個新的問題尌是擬題 的過程。國外學者 Dillon 認為「擬題是在解題之後，為了尋找新題目的一種學習 過程。」Silver 也提出「擬題包括由生活經驗或學習情境中創造出新的題目，或 由給定的題目解題過程中，創造新的題目。」而澳洲學者 Stoyanove and Ellerton 認為「擬題尌是學生依據數學經驗的基礎，建構以及創造有意義的數學題目，是 一個屬於個人化的過程（引自趙坤川，2006）。」國內學者梁淑坤（1993）更進 一步說明：「自己想出一個題目來尌是『擬題』。在擬題的過程中，擬題者會將自 己的數學知識和生活經驗連結起來，並且把既有的情境、人物、事件、數字、圖 形等條件建立關係、組織關係，擬出一個新的數學題目。」研究者綜合上述國內 外學者對擬題的定義後，認為「擬題」尌是：學生依據老師給的條件，想出一個 符合條件的題目來。也尌是說學生根據自己具備的數學經驗、數學知識、生活經 驗，從已知的情境或條件下，自己想出一個有意義的新數學題目。

貳、擬題的特徵

國內學者梁淑坤認為，擬題行為應包含下列四項特徵（梁淑坤，1993）： （一）擬題過程，其組織的方法是屬於個人的：在擬題過程中，擬題者根據已 知條件與本身的先備數學知識、生活經驗，創造出一個新的數學題目。整個過程 中，擬題者都是要靠自己去想出來的題目，其想法會與其他人不同。因此，擬題 者所擬出的題目具有唯一與個別的特性。

（二）擬題的過程包括猜想及可信推理：當擬題者在擬題過程中，心中會有一 連串問題產生如：「假如是…？」、「假如不是…？」，這尌是猜想與可信推理。

（三）擬題的發生可以在解題之前、解題中以及解題後：當老師布題後，學生 擬出一個新的題目，接著解題。解題時發現題目不對， 於是修正題目。在解題 的過程中，同時也在想若把題目改成那樣？結果又會如何？所以，擬題可發生在 解題過程中的任何階段。

（四）擬題者擬的題目可能較為簡單的、不完整的、不甚合理的、資料不足的：

擬題者在擬題時常將想到的題目馬上寫下來，題目未經任何修飾。因此，擬出來 的題目常顯得較粗糙、條件或資料不完整，或有不合理的題目出現。

根據上述四點擬題特徵，研究者認為擬題是一種反芻的過程。當老師佈題 完，接著學生開始擬題。學生擬好題目後，會嘗詴去思考題意或為自己擬的題目 解題時，學生也會思考題目的完整性與可行性。因此，擬題不單單只有呈現結果，

它包括了思考的學習歷程。Leung and Silver(1997)認為能擬出正確問題和解決問 題是同樣重要的，擬出數學問題需從逆向角度去審視本身數學知識。因此，透過 擬題的活動自然形成數學化的思考方式，擬題者可將這些繁複的數學知識重新組 織，並發現其系統性與關聯性（林原宏、許淑萍，2002）。而將擬題教學融入數 學教學中，有別於傳統制式的學習方式，對教學者與學習者都是一種新的嘗詴與 挑戰，學習成效也會有所不同。

參、擬題的方式

擬題方式的分類，依據擬題的素材與結果呈現之型式發展出各種不同之擬題 方式，各學者們的分類原則，分述如下：

一、Reitman 的分類方式

Reitman 將題目依照已知（given）條件和目標（goal）是否定義清楚，分成 結構題與非結構題兩大類，再細分成四種問題的類別。如果已知的條件和詢問的 目標都很明確，此類為結構題（structured problem），如同表 2-2-1 的第一類型。

第一類型的題目，學生可根據已知的條件和目標，自行解題；尌如同習作或評量 詴卷上的題目都屬此類。非結構題（ill-structured problem）則是已知條件和目標 二者，有一項或二項未知，如表 2-2-1 的第二、三、四類（引自梁淑坤，1993）。

老師將此類題目作為佈題的題材，或作為學生上課或課後的活動，將此非結構題 加上自己的創見寫成結構型題目，此活動過程尌是擬題活動。

表 2-2-1 Reitman 的題目結構表

結構 類型

已 知

（given）

目 標

（goal）

「ˇ」為定義清楚

「×」為未定義清楚

1 ˇ ˇ

2 ˇ ×

3 × ˇ

4 × ×

資料來源：引自梁淑坤（1993）

二、日本小學老師坪田耕三（Tsubota Kouzou）的擬題分類方式

坪田耕三將擬題類型分七大類：模仿法（或類題法）、算式法、原理法、訂 正法、實驗法、自由法、題材法。學生學習某個問題後，再擬出與此題同樣式的 題目，為模仿法（或類題法）。老師先提出一個公式，學生再擬出適用此公式的 題目，為算式法。老師先給予四則算法或約分、通分等原理，學生再擬出符合此 算法或原理的題目，為原理法。老師佈題時，題目中故意漏掉某些必要的條件，

或是給予其他不必要的條件，或有些矛盾的地方，學生能將不對的地方予以訂 正，並寫出完整的題目，為訂正法。學生必頇透過實驗或具體物的操作，再以此 實驗或操作為根基，擬題目，為實驗法。以開放自由的題材，讓學生擬出自由型 式的題目，為自由法。老師佈題時，給予限定的主題，學生依據此主題擬題目，

為題材法，如：整數的乘除，讓學生在既定題材中擬題（引自梁淑坤，1993）。

三、Silver 的擬題分類方式

Silver 的擬題類型有二種：第一種是從別人設計的題目中，經由整理後再擬

出新題目。另一種是從舊經驗或情境中，創造一個新的題目（引自趙坤川，2006）。

四、Stoyanova and Ellerton 的擬題分類方式

Stoyanova and Ellerton 的擬題分類依情境分成三大類型：第一類型為結構

（structured）的情境，學生可以利用現有的題目加以改變，而成新的題目。第二 類行為半結構（semi-structured）的情境，學生利用已有的數學知識、技巧、概 念以及關係連結，完成一個完整結構的問題。第三類型為自由（free）的情境，

讓學生在給定的自然情境中自由發揮（引自吳進寶，2005）。

五、梁淑坤的擬題分類方式

梁淑坤（1997）的擬題分類共六大類，分別是：算式類、文字類、圖表類、

解法類、答案類、題目類。擬題者依據老師所給的算式，擬出與該算式題意相符 的題目，為算式類。擬題者依據老師所給的一段文字，再擬出與此文字相符合的 題目，為文字類。擬題者依據老師所給的圖表，擬出與該圖表有相關的題目，為 圖表類。給予運算方法，如「四則運算法」。擬題者擬出使用此運算法解題的題 目，為解法類。老師給予一個答案，擬題者擬出符合此答案的題目，為答案類。

老師給予一個題目，擬題者先解此題，再依據此題目的原則擬出一個新的題目，

為題目類。以下分別舉例說明各擬題類型及其例子（表 2-2-2）： 表 2-2-2 梁淑坤擬題類型例子

類型 說 明 例 子

算式類 擬題者依據老師所給的算式，擬出與該算式 題意相符的題目

請以「889÷24=」這個算式，擬一個與 重量有關的題目，單位是「公斤」。

文字類 擬題者依據老師所給的一段文字，擬出與此 文字相符合的題目

全校有 278 位師生要到台東三以台戶外 教學，遊覽車有 7 台。

圖表類 擬題者依據老師所給的圖表，擬出與該圖表

有相關的題目 請根據上圖，

擬一個題目。

解法類 給予運算方法，如「乘法」、「四則運算法」。

擬題者擬出使用此運算法解題的題目

請利用「乘法」，擬一個與「面積」有 關的題目。

答案類 依據老師給的答案，擬出符合此答案的題目 答案：8 組。

題目類 老師給予一個題目，擬題者先解此題，再依 據此題目的原則擬出一個新的題目

題目：長方形面積是 56 帄方公分，它 的長是 8 公分，請問高是幾公分？

◎請先算出答案，再根據這個題目類 型，擬出一個新的題目來。

資料來源：研究者自行整理

26％

11％

15％

48％

六、 林碧珍提出的擬題素材

林碧珍（2001）歸納出十二種可以作為教師提供給學生擬題的素材，分述如 下：

（一）圖形表徵，例如：利用 出一個數學題目。

（二）數學語言，例如：請利用「5個6」或「6個5」或「幾個幾」或「帄分」

出一個數學題目或說個故事。

（三）數學符號，例如：請用 2 5或 1

9 說一個數學故事。

（四）算式填充題，例如：請出一個數學題目可以表示成16 + ( ) = 29。

（五）圖片情境，例如：請依據圖片出一個數學問題。

（六）圖片表徵及數學語言，例如：請利用^○○○_○○○^○○○_○○○出一個「幾個幾」的數學題 目。

（七）1. 利用學生的解題表徵，例如：育萱的做法老師出了什麼題目？

□¹⁰□¹⁰□¹⁰□¹⁰ □¹⁰□¹⁰□¹⁰□¹⁰ 8＋7＝（15）

□¹⁰□¹⁰□¹⁰□¹⁰ □¹⁰□¹⁰□¹⁰ 答：15張。

2. 利用一位或二位學生的解題方法，例如：你能從心潔或雅芳的做法 中猜猜老師出的題目是什麼？

心潔：20+40=60 雅芳：20+40=60

9+ 8=17 60+ 9=69 60+17=77 69+ 8=77

（八）設計一項活動，例如：請設計一個有關統計圖表的活動與家人一起玩。

（九）圖片情境及數學語言，例如：從這張森林的圖片中出一個「幾個幾」的 數學題目？或用圖中的10元，出一個有關幾個10元的數學題目。

（十）根據上課內容或上課的教學活動，例如：請您模仿老師的方法，自己講 一個有關壓歲錢不超過2000元的故事。

（十一）單元題材的內容，例如：請出一個有關「容量」、或「重量」、或「乘 法」、或「分分看」、或「幾個幾分」，或「分數」、或「二位數加 法」的數學題目或故事。

（十二）解題再出題，例如：給定一個題目，要學生解出題目來，然後再擬出 另一個題目來。如：請先算出算式填充題5 × ( ) = 35，再出題目。

○○○ ○○○ ○○○ ○○○

茲將上述學者所提出的各種擬題類型，用下表（表2-2-3）做綜合分析比較：

表2-2-3 擬題題型分析比較表

學者 類型

Reitman 坪田 耕三

Silver Stoyanova

＆Ellerton

梁淑坤

（1997）

林碧珍（2001）

結構題 第一類型 模仿法

（類題法）

根據別人的 題目，經由整 理後再擬出 新題目

利用現有 的題目加 以改變成 新題目

題目類 解題再出題

半結構題 第二類型 第三類型

算式法 原理法 訂正法 實驗法 題材法

從舊經驗或 情境中，創造 一個新的題 目

利用已有 的數學知 識、技巧、

概念等，完 成一個完 整結構的 問題

算式類 文字類 解法類 答案類

◎數學語言

◎數學符號

◎算式填充題

◎圖片表徵及數學語言

◎圖片情境及數學語言

◎利用學生的解題表徵 （或解題方法）

◎根據上課內容或上課 的教學活動

◎單元題材的內容

◎設計一項活動

非結構題 第四類型 自由法 在自然情境

中自由發揮

圖表類 圖形表徵 圖片情境 資料來源：彙整自林峻志（2007）、林群雄（2004）

從上述文獻及表2-2-3可看出，擬題的類型樣貌多，有多樣的選擇性。進行擬 題教學時，應依學習者的學習能力以及學習教材單元內容，做合適的選擇。由於 本研究對象為國小四年級兒童，根據皮亞傑的認知發展論，是處於「具體運思 期」，適合結構題與半結構題的擬題方式。因此，研究者考量研究對象的學習經 驗及本研究的目的。選擇採用梁淑坤（1997）的題目類與算式類。題目類擬題的 上課程序為教師擬題後，學生個別自行解題，再經全班討論、共同歸納解題的任 何可能的方法。接著，以此題為基礎，要求學生個別自行擬題並發表。發表後，

題目可行，即可進行解題；若題目不可行，修正後再解題。算式類的上課程序則 是老師先提出一個公式（算式），學生根據老師給的公式，擬出適用此公式的題 目，再經全班討論題目可行性。發表後，題目可行，即可進行解題；若題目不可 行，修正後再解題。

肆、擬題的評量

教學中的評量，可以得知教師教學效能以及學生學習成效的訊息，藉以修正

教學方式、調整教材或提供學生學習回饋。本研究採用國內學者梁淑坤（1999）

所發展的評量工具（表 2-2-4），將學生擬題的作品，依此分類、分析與探討。

表 2-2-4 擬題作品分類表

分類 非題目類

題 目 類

非數學 數學題目

不可行 可 行 的

資料不足 資料適中 資料超過

編碼 （1） （2） （3） （4） （5） （5）

資料來源：改編自梁淑坤（1999）

學生的作品先考慮是否是題目，若非，則屬第一類。若是題目，接者考慮是 否是數學題目，非數學題目屬第二類。數學題目中，有數學邏輯不合或有矛盾的 是不可行，第三類；資料不足為第四類。最後，可解之題目，不論資料適中或超 過，均屬第五類。學生作品分類流程如圖 2-2-1：

圖 2-2-1 作品分類流程圖

資料來源：梁淑坤（1999）

為了更清楚說明上述擬題作品的類別，以下（表 2-2-5）引用梁淑坤（1995）

提出的例子，做為本研究評量學生擬題作品的參考：

擬題作品

題目 非題目 （1）

數學 非數學（2）

可行 不可行（3）

資料不足（4） 資料適中（5） 資料超過（5）

表 2-2-5 擬題作品分類及例子

類 別 例 子

非題目 游泳池的看台上有許多觀眾在觀看比賽，結果發現如果二個人一組觀眾把位置。

非數學 為何排水速度＞注水速度？

不可行 注水管一分鐘注水 40 立方公分，排水管一分鐘排水 60 立方公分，注水和排水如 果同時進行泳池的水量會增加多少？

資料超過 有 4 個人跳入水中游泳池比賽，甲用蛙式，乙用自由式，丙用仰式，丁用蝶式，甲的速度是 丙的 1.2 倍，乙的速度是丁的 1.5 倍，丙是丁的1.1 倍，乙游完 500 公尺時，丁游了多少公尺？

資料適中 礦泉水有 10 瓶，每一瓶可倒 5 杯，請問全部可倒多少杯？

資料不足 如清潔工的待遇是每月 20000 元，該游泳池每月需清洗五次，問每小時的工資是多少？

資料來源：梁淑坤（1995）

當學生擬好題目，全班共同討論題目的可行性、合理性，藉由同儕討論、師 生對話，修正題目並進行解題。此有意義互動討論，有助於激發學生思考、辯證 與創造力。

伍、擬題與解題

在擬題的研究範疇中，解題與擬題的關係是重要的焦點。Polya(1945)在他的 書「怎樣解題」（How to solve it）中提到解題有四個階段（圖 2-2-2）：理解

（understand）、策劃（plan）、實行（carry out）和回想（look back）。國內學者梁 淑坤（1993）根據 Polya 的解題四個階段，提出以「擬題」取代「理解」，而「回 想」階段可再擬出其他題目來，形成擬題與解題活動可以永無止境的一直持續下 去（圖 2-2-3）。例如： 梁淑坤（1993） 以「2、3、5」一組數字為擬題的素材，

當擬題者發現這組數字都是質數後，擬出了一個題目：「假如其中兩個數相乘再 加餘下的數，組合出來的是質數嗎？」擬完題目後，擬題者直接開始「策畫」並

「實行」解題，而不需再理解題目，因為「理解」的階段已經被擬題所取代。而 他獲得第一個擬出來問題的解答時，接著想：如果 5 改成 7 會一樣嗎？於是又 擬出第二個題：用「2、3、7」的其中兩個數相乘加餘下的數，組合出來的是質 數嗎？而再次的解題活動後，他可能又會想出第三個問題，這樣不斷的循環下 去，尌會使擬題與解題連續不斷、持續下去。

別人擬的題目 解自己擬的題目

圖 2-2-2 Polya 解題四階段 圖 2-2-3 梁淑坤擬題四步驟

1. 理解（understand）

2. 策劃（plan）

3. 實行（carry out）

4. 回想（look back）

擬題

（pose）

回想 策劃

（look back） （plan）

實行

（carry out）

解題成功

解 題 失 敗

若解題者亦是擬題者，他清楚題目的內容，可以直接策畫解題，不需再花時 間理解自己擬出的題目。如此一來兒童不會因為發現問題和解題過程的分離，而 降低其認知行為（楊惠如，2000）。由於學生所要解決的問題，是學生自己或同 學所擬出的題目，學生較容易了解題目的意義。同時這些題目往往貼近學生的生 活經驗可以提升學生的解題動機（陳淑芳，2007）。

另外，林群雄（2004）參考 Polya 的解題歷程和梁淑坤的擬題步驟，並依 據實際上課經驗，將學生的擬題過程修改成圖2-2-4：

圖2-2-4 學生擬題行為過程 資料來源：林群雄（2004）

當學生依據教師佈題進行擬題活動，要解擬題要先規劃解題策略，然後依照 解題策略進行解題活動。規劃解題策略時，學生有時候會發現已擬的題目中有些 條件不完整，而無法順利進行解題策略，這時必頇重新檢視已擬完的題目並做修 正或重新進行擬題活動。學生有時候是在執行解題步驟時才遇到困難，尌必頇重 新規劃解題策略，為了重新規劃解題策略尌會再檢視題目或重新擬題，之後學生 再嘗詴進行另一個解題策略。因此，林群雄（2004）認為：解題的成敗是促使學 習者於執行後選擇的差異，若解題失敗，學習者會再做下一次的策劃；若解題成 功，學習者則會選擇回顧整個過程。這樣擬題又解題的循環過程是環環相扣，也 會刺激學生思考統整與創作歸納的能力。換句話說，尌可以永無止境的進行擬題 和解題活動，這個解題、擬題的循環過程，尌可以做到創造數學，學習概念自行 建構無限延伸，這種學習精神，是數學教育期待培育的素養（吳佳慧，2006）。

綜合上述學者對擬題與解題的觀點，擬題與解題是相連性的活動。透過擬題 與解題的過程，可再次檢視概念理解的情形，並可激發學生思考、創作及歸納的 能力。因此，為了增進學生除法概念的理解，研究者將擬題活動教學設計融入在 數學課堂上，藉由擬題活動教學提高學生的學習動機、興趣以及釐清除法概念，

清楚瞭解除法算式記錄的含意，改善學生因除法概念不清楚而排斥除法，數學擬 題活動教學是可行的方式。

擬題（pose）

回顧（look back） 策劃（plan）

執行（carry out）

陸、擬題在數學教育上的重要性

擬題在數學教學中的角色，近年來日益受到重視。許多與擬題相關的研究，

或多或少都提到擬題在數學教育上的重要性及其優點。研究者彙整了林群雄

（2004）、邱瑤瑢（2006）、楊惠如（2000）等人的論述，將擬題在數學教育上 的重要性整理說明如下：

（一）可以提升學生解題的動機與興趣

解題為數學教育的重要課題，問題若由解題者所擬出來的，解題的動機尌會 很高。而且，他清楚題目的內容，可以直接策畫解題，不需再花時間理解自己擬 出的題目，可減少因對題目理解錯誤所造成的解題錯誤，而相對的提高解題的成 功率。還有，問題既然是學習者自己想出來的，答案通常比較容易解答出來。能 將答案解出來，帶來成功的解題經驗，自然能產生較濃厚的學習興趣。另外，學 生擬題時，可自在的選擇題材，這樣提供了一個機會，讓他們可以在數學學習中 表達他們的興趣和關心的焦點。傳統的數學教學，學生習慣去解答已擬好的題 目，以及記誦一些專為應付升學考詴的片段知識而少有自我發揮的機會。而擬題 正可打破傳統數學教學方式，讓學生有機會成為小老師，這個經驗打破了以往教 師出題，學生解題的學習模式，讓學生覺得數學的學習是很有趣的。

（二）可以培養學生思考與分析問題的能力

在現行的數學教育中，我們的學生記得了各種文字題的解法或解題公式，卻 無法推理思考。如此，學生習得的是僵化的格式化數學。但是在擬題的過程中，

學生透過個人的數學知識、能力與經驗，在自由、開放的情境中，經由個人的思 考與同儕互動，來組織產生新的問題。在這樣的過程當中，不但可以訓練學生獨 立思考的能力，還可以培養學生分析問題的能力。學習者藉由擬題活動，將自己 的數學知識重新組織，而發現教材的系統性和關聯性。

（三）尊重個別差異，使數學學習意義化

NCTM 提出學校數學學習的第一項原則尌是「公帄原則」。不論宗教、種 族、智愚，都有學會數學的權利。第四項原則，「學習原則」，亦即數學課程應 該讓學生能瞭解與使用數學。在擬題教學中，題目由學生自己想，在文字的敘述 上更貼近口語化、生活化。因此，即使能力較低的小孩，仍可依其能力，進行擬 題與解題，展開學習活動。符合「公帄原則」，而達到尊重個別差異。有意義的 學習是指兒童能有自己的想法，而不是大人決定是否對兒童有意義的做法。以往 數學學習方式，往往是教師佈題，學生被動解題，機械式的學習方式，對於數學 抽象不容易瞭解。而擬題教學，學生欲擬題，必頇提取已具備的數學知識，再根 據這些數學知識與數學經驗，進行擬題。學生進行擬題時，思考合理性、可行性，

並透過同儕辯證，促使數學抽象具體化，讓學習變得有意義，而達到「學習原則」。

（四）學生生活經驗與數學學習相結合

擬題活動的目標之一，在幫助學生將數學與日常生活連結，並且透過文字的 敘述，反應生活經驗。在擬題的許多研究中，發現學生常會以周遭相關或其較關 切的的人、事、物作為擬題素材。這樣將日常生活經驗融入其所擬出的題目當中，

此即生活經驗與數學學習結合。而老師可透過學生的擬題作品，瞭解學生的日常 生活經驗與想法。

（五）培養批判的能力與民主素養

在擬題活動中，學生擬出一個數學題目後，自己完成解題，透過這樣的過程，

可以修正題目中不適當的敘述，並且在觀摩別人的擬題後，提出自己的看法，從 中培養批判的能力。當同學提出對我們擬題題目的意見，透過討論、溝通、辯證，

接受並修正題目，是民主素養的表現。因此，擬題活動可以培養學生批判的能力 與民主素養。

（六）可以提升學生的創造力

傳統的數學教學，要求學生機械式不斷的重複練習演算各類的題目，習得的 數學知識，常常是演算的技巧以及死記公式。日本學者坪田耕三認為數學的目標 在培養小孩的創造力，養成適應現代激烈變化的社會，以保持心理健康，如果總 是做既定的事情，漸漸會失去創造力。擬題其意尌是創造問題，因此可以說擬出 題目來，尌是一種創造力的表現。同時，還可以透過同儕的討論、辯證，激發同 學創意的擬題想法。

綜合上述，可以瞭解到擬題活動在數學教育的重要性。也可明白擬題活動對 提升學生的學習動機與興趣、培養批判能力與民主素養以及增進思考與創造力，

有正面之效果。在我國國民中小學九年一貫課程綱要中，數學學習領域的教學總 目標為：1.培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力；2.學習應用 問題的解題方法；3.奠定下一階段的數學基礎；4.培養欣賞數學的態度及能力（教 育部，2003）。由上述教學總目標可以看出數學的學習不止是計算技巧與步驟的 熟練而已，還要啟發兒童學習數學興趣和培養兒童自行建立數學概念的能力，以 及協助兒童養成「如何學」、「樂於學」、「主動學習」的良好習慣。因此，數 學教學活動應讓所有學生都能積極參與討論，靈活的思考，激發創造力，明確表 達想法，理性溝通的能力，在社會互動的過程中建立數學知識，消除學習數學的 恐懼與焦慮。擬題教學活動正提供了這樣的學習方式與教室氛圍，可見擬題在數 學教育上的重要性。

第三節 擬題活動教學的歷程

在國小數學課程中，擬題可扮演兩種角色：手段（means）和目的（ends）。

第一種角色，是以擬題作為教學的一種方式，即教師引用學生提出的問題來授 課。而第二種角色， 尌是定期讓學生去擬題。擬題活動教學可以提供學生討論、

互動、思考和想像的機會，不但能夠提升學生的創造能力，進而更可以培養團體 合作，以及溝通、表達的能力。因此，建議從國小數學課程中，融入擬題活動教 學，使數學教學更有趣及多元化（ 梁淑坤，1993，1999）。

而擬題活動教學的進行方式， 不同學者提出不同方式，茲將不同的教學進 行方式，分述如下：

一、 坪田耕三（Tsubota kouzou）的擬題教學三階段論

日本學者坪田耕三（Tsubota kouzou）將擬題的教學流程（圖2-3-1），分為 三個階段：第一階段是原題的解決，也尌是解教師的佈題，再經發表與討論，分 享彼此的解題方法，教師確定學童了解概念後，便可進入下一階段。第二階段是 擬題活動，由學童實際進行擬題活動，以第一階段的原題為擬題基礎。當學生擬 題有困難則頇重新釐清問題；若學生擬題順利完成，接著進行發表與討論。經過 發表與討論，再進行分類或解擬題。第三階段是學童解答所擬的題目，並進行分 享活動。坪田耕三（Tsubota kouzou）認為學生擬出的題目是多樣化的，教師在 教學中對於學生所擬出來的題目必頇加以處理， 因此他也提供了六種方式來處 理小孩子所擬出來的題目（引自康滋容，2005）：

1 .討論擬出的問題和原題之間的差異。

2 .分類擬出來的問題。

3 .考慮是否有解答。

4 .修改不完備的問題。

5 .讓先前的問題一般化。

6 .舉出相反的問題， 使問題的結構更清楚。

圖2-3-1 坪田耕三的擬題教學流程圖 資料來源：引自康滋容（2005）

原題的提示

個別的解答

發表

討論

做類似原題問題的發問

個別擬題

完成了嗎

發表

討論

分類

共同問題的提示

個別的解決

發表

討論

整理 解決個別的問題

教學的過程

例示

no

yes

重新擬題的指示

原 題 的 解 決 第 一 階 段

擬 題 的 活 動 第 二 階 段

解 答 所 擬 出 的 問 題 第 三 階 段

二、Cudmore and English 的擬題階段和評鑑流程

Cudmore and English認為在擬題活動中，學生不僅扮演擬題者的角色，還包 含對同學題目的評鑑者。因此，擬題教學分為擬題與評鑑二個階段（見圖2-3-2）。

學童可以透過擬題後的解題以及同儕的回饋，修改自己的題目。而教師在教學上 可以設計活動，讓學童對同儕的作品做評鑑，並提供意見（引自楊惠如，2000）。

圖2-3-2 Cudmore and English 的擬題階段和評鑑流程 資料來源： 引自楊惠如（2000）

從坪田耕三（Tsubota kouzou）和 Cudmore and English 的擬題階段論中可 以發現，妥善利用解題、擬題的循環教學，以及同儕的討論，是擬題教學活動的 重要核心。這樣以學生活動為主，讓學生透過討論辯證學習，打破傳統教學中枯

產生資料

全班資料調查

討論和形成 擬題的過程

個人/小組 資料調查

個人/小組擬題

詴著解題

寫下「初稿」

的題目

接受同儕回饋

寫下「完成」

的題目

對問題主 要的改變/

新的調查 路線 對現存

問題次 要的改 變/調查 路線

學生為擬題者

獲得初稿的題目

解 題

寫出評鑑的意見

回報老師 和回饋作者

學生為評鑑者

燥乏味機械式的運算課程，讓學生所有的「數學動作」都成為有意義的操弄與思 考，對於學生釐清數學概念與正確計算有很大的幫助（吳佳慧，2006）。

第四節 擬題的相關實證研究

近年來，擬題活動教學在國內引起相當大的迴響，有許多關於擬題的研究報 告。茲將擬題相關實證研究按照時間先後順列列舉如下，用以說明擬題活動教學 在數學學習上之成效。

數概念以及解題能力之影響，將學生分為合作擬題組、個別擬題組及控制組三 組。研究發現：合作擬題組在分數複雜概念中的表徵轉換能力、解題能力和擬題 能力的流暢性、精緻性、獨特性，均比個別擬題組和控制組優。在擬題的變通性 上，合作擬題組優於控制組，但與個別擬題組並無差異。以及合作擬題的學習模 式，可以讓學童獲得較精緻細膩且深入的分數概念，但在分數概念的學習效果 上，三組學生並無顯著差異。

劉芳妃（1998）以國中一年級學生為對象，探討學生合作擬題時的情意層面

以及擬題能力。透過教室觀察、訪談、文件收集、問卷調查等多樣的方式蒐集資 料，並對學生的擬題能力測驗進行內容分析和統計。研究發現：以學生的生活經 驗或班級中的人、事、物相關的次文化為擬題題材最能引發學生的討論與參與。

合作擬題時，學生傾向擬困難或奇特的問題，且組員間合作的技巧會影響其學習 品質，並指出學生的數學成尌高低和擬題的流暢性及變通性，無顯著差異。以及 透過學生的擬題作品，可看出概念不清楚、數學知識不足的情形。

周幸儀（2002）以國小二年級學生為對象，採用行動研究的方式，探討合作 擬題教學對學生數學概念、擬題能力以及解題能力的影響。研究發現：學生在擬 題學習歷程中，對概念發展、擬題能力和解題能力有增進效果。擬題教學還可促 進學生思考問題、增加數學基模知識、數學概念得以釐清。教師也在整個研究的 歷程中獲得成長。

探討合作擬題的教學方式，對分數概念、解題能力與擬題能力的影響。研究發現：

合作擬題教學能增進實驗組學生，在整體分數概念、複雜分數概念以及分數的數 線概念，表徵轉換的學習。而且合作擬題教學方式對分數解題能力的增進效果，

實驗組優於控制組。對分數擬題能力的流暢性、變通性、精緻性、獨特性四個向 度，也是實驗組優於控制組。學生覺得合作擬題策略教學對其數學的學習有很大 的幫助並能提升其數學解題的能力以及激發想像力。

動之成效，以及合作擬題和個別擬題的差異。一共實施七次擬題，前面四次擬題 係採用合作擬題方式，後面三個單元係採用個別擬題方式。教師先將重要概念列