定態時間序列與單根檢定

在處理時間序列資料時，若直接使用非定態的時間序列資料進行實證研究，

其最大的影響不外乎是由Granger and Newbold (1974) 發現非定態變數之間，可 能會產生所謂「假性迴歸」的問題，而對於單變數模型估計會造成的影響，以不 含截距項的AR(1): yt=a1yt-1+et為例，當∣a1∣<1，使用OLS 估計不會有太大的 問題，但當a1等於1 或很接近 1 時，用 OLS 估計，a1的估計值可能會出現被低 估的偏誤情形(Greene, 2003)。

因此後來使用時間序列資料進行實證研究的文獻，都必須先確定變數是否為 定態，其中最常見的定態檢定方法就是所謂的「單根檢定」（unit root test）。

單根檢定的結果若顯示時間序列變數為非定態時，必須將序列進行轉換至定 態為止，轉換方式通常為先取自然對數 ln(yt)，若仍未達定態再進行差分轉換，

一階差分：Rt=ln(yt)-ln(yt-1)，至多階差分，一般在進行一階差分後即可達到定態。

若一非定態的時間序列，經過d 次差分達到定態，此變數我們稱之「d 階整合變 數」 (integrated of order d)，我們以符號 (d)Ⅰ 來表示，其中d 代表此數列有 d 個 單根。

3.1.1 定態（stationary）

若數列資料呈現定態時，其數列會在一個長期平均值附近波動，會有回歸平 均值的情況，且依據Yule-Walker 公式的推導，當定態的數列受到外部衝擊時，

只會對其數列產生短暫性的影響，但對於非定態的的時間序列而言，外部衝擊的 影響則是永久。

定態的定義一般而言分成嚴格定態（strictly stationary）與弱式定態(weakly stationary)。如：令{yt}為一時間序列資料，F{yt1，yt2，yt3，…，ytn}為聯合分配 函數，嚴格定態要求時間序列過程的聯合分配函數不因時間變動而有所變動，即

Ft1,t2,t3,…,tn(y1, y2, y3,…yn)=Ft1+k,t2+k,t3+k,…,tn+k(y1, y2, y3,…,yn) 弱式定態要求時間序列變數{yt}必須符合下列性質：

1.E(yt)=E(yt-S)=µy

2.Var(yt)=Var(yt-s) =σy2 <∞

3.Cov(yt,yt-s)= Cov(yt-j,yt-j-s)=γs for all t ,t-s ,and t-s-j 其中µy、σy2、γs皆為有限的常數項。

一般文獻中採用多為弱式定態，本研究中所使用的即為弱式定態。

3.1.2 單根檢定

本研究採用一般學者較為常用的ADF (augmented Dickey-Fuller；ADF) 檢定及PP (Phillips-Perron；PP) 檢定法來進行檢定：

（一）ADF (Augmented Dickey-Fuller test)檢定

ADF 檢定法為 Dickey and Fuller (1981)提出用以改進其於 1979 年所發 展出的DF 檢定法，原有的 DF 檢定法是用 OLS 方法進行，所以迴歸估計

其中T 是樣本總數，ln(SSE)是 SSE（殘差平方和）取自然對數，ln(T)是樣 本總數取自然對數，k 為待估計參數。

（二）ADF 檢定式的形式設定

（三）PP(

Phillips-Perron test

雖然ADF 檢定法已將殘差項具序列相關的可能性考慮進去，但其卻忽略殘 差可能存在異質性 (heteroscedasticity) 的問題，此時則可使用 Phillips-Perron (1988) 提出的 PP 檢定法，來輔助 ADF 檢定，因為 PP 檢定允許檢定式的殘差自 我相關和異質變異，且其能沿用ADF 檢定之分配。此檢定法是利用函數化的中 央極限定理 (Functional Central Limit Theorem) 之無母數方法，來修正殘差項可 能有自我相關與異質性的問題。其使用時間序列資料 AR(1) 所得到的殘差項來

PP 檢定的寬帶（bandwidth）選取標準，本研究是利用 Newey and West (1994) 選取標準，並透過Bartlett kernel 的方式進行評估。