2.3 時間演化
2.3.2 實現時間演化的量子電路
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Chapter 3
量子易辛自旋鏈模擬結果
我們利用 Qiskit Aer 下的 VQE 求得量子易辛自旋鏈的近似基態，探討磁化量 在不同橫場及縱場下的變化，我們對鐵磁鏈（J < 0）及反鐵磁鏈（J > 0）作探 討，所有的計算結果均針對|J| = 1 的情形。我們也以所謂的二分漲落（bipartite fluctuations）以及量子費雪訊息（Quantum Fisher Information）來觀察基態的糾 纏程度。最後我們也模擬自旋鏈的淬火情形，即探討量子態在突然改變的哈密頓 算符下隨時間演化的情形。
3.1 基態的模擬
首先我們討論以 VQE 求得的量子易辛自旋鏈的基態性質。在 VQE 演算法中 要求傳統電腦與量子電腦分工，意味著傳統電腦與量子電腦間的資訊傳輸速度等 將可能成為效能瓶頸。根據我們實際操作的經驗，近端傳統電腦及遠端 IBM-Q 量子電腦間不僅因為相隔遙遠而通訊速度不佳，且每一個重複的最佳化步驟還需 排程重新進入量子電腦而造成實際耗費的總時間比單純使用古典模擬器長。再者 為達到更準確的結果或計算更大的系統而需要增加電路深度 d，將無可避免使用 更多會造成誤差的 CNOT 閘，在量子電路上的計算時間增長也會增加量子位元的 去相干 ( decoherence )，進而降低結果的精確度。因為現時間點無法克服上述之 技術問題，我們以 Qiskit 提供的古典模擬器在傳統電腦上對基態的各物理量作期 望值計算，所得期望值將與精確對角化（exact diagonalization）結果比較來分析 VQE 在處理易辛模型問題上的成效。我們也將執行 VQE 演算法後所輸出的最低
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模擬器/最佳化器 系統大小 (N ) 深度 (d) 最大迭代數 (maxiter) Statevector simulator 4 7 1000
COBYLA 6 12 10000
8 21 100000
模擬器/最佳化器 系統大小 (N ) 深度 最大試探數 (max_trials) QASM simulator 4 7 5000
SPSA 6 7 15000
Table 3.1: 作 VQE 計算使用的模擬器及配對的最佳化器所採用的參數，對不同鏈長 N ，所使用 的參數不同。
能量、其對應的量子態及已最佳化的參數等儲存，以方便擴充各類觀測量基態期 望值的測量，以及將基態波函數傳輸至 IBM-Q 電腦上進行期望值計算。
我們使用兩種模擬器來計算期望值：Statevector Simulator 及 QASM Simula-tor。Statevector Simulator 可直接將 VQE 所獲得最低能量量子態向量 |ψmin⟩ 作 觀測量 ˆO 的期望值計算：
⟨ ˆO⟩ = ⟨ψmin| ˆO|ψmin⟩ . (3.1)
而 QASM Simulator 則如第 1.2 節提到的，將 VQE 所得基態在 N -量子位元的標 準基底 |i0, i1,· · · , iN−1⟩（i0, i1,· · · , iN−1 ∈ [0, 1]）測量到的次數比（機率）輸出；
也就是，對於最低能量量子態
|ψmin⟩ = ∑1
i0,i1,··· ,iN−1=0
ci0,i1,··· ,iN−1|i0, i1,· · · , iN−1⟩ , (3.2)
將輸出 Pi0,i1,··· ,iN−1 =|ci0,i1,··· ,iN−1|2 的實驗測量結果。我們則可如下
⟨ ˆO⟩ = ∑1
i0,i1,··· ,iN−1=0
|ci0,i1,··· ,iN−1|2⟨i0, i1,· · · , iN−1| ˆO|i0, i1,· · · , iN−1⟩
=
∑1 i0,i1,··· ,iN−1=0
Pi0,i1,··· ,iN−1⟨ ˆO⟩i0,i1,··· ,iN−1 (3.3)
計算觀測量 ˆO 的期望值。
我們如 2.2 小節所述以 Ry 及 CZ 建構的變分形式電路來產生具糾纏性質的 試探波函數，其中電路深度 d 視系統大小（N ）及實驗結果作調整。至於最佳 化器則依不同模擬器 Statevector Simulator 或 QASM Simulator 分別測試 Qiskit
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Figure 3.1: 利用 Statevector Simulator 得到不同長度 N 自旋鏈在不同縱場值下之基態能量對橫 場強度作圖。左側為鐵磁鏈，鏈長分別為 N = 4 (a)、N = 6 (c)、N = 8 (e)；右側為反鐵磁鏈，
鏈長分別為 N = 4 (b)、N = 6 (d)、N = 8 (f)。實線為精確對角化所得的基態能量解。
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maxiter；SPSA 則是控制最大試探數 ( max trials )。隨著系統大小及深度增加，迭代數或試探也必須增加以降低誤差。表 3.1 為我們的模擬所使用的參數；另外，
執行 QASM Simulator 的 shots 均為 10000。
調整變分形式的參數來使能量最小化是 VQE 演算法的原理，VQE 計算最終 所得到的能量若接近基態能量時，所得的量子態也應近似基態。圖 3.1 為我們 以 VQE 藉 Statevector Simulator 模擬量子易辛自旋鏈在不同橫場值 hx 及縱場 值 hz 下所得的能量值，並與精確對角化所得的基態能量作比較。對於 N = 8 的 自旋鏈，我們觀察到 VQE 能量值較明顯地偏離精確解。圖 3.2 則為以 QASM Simulator 獲得的能量值。