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(a) 鐵磁鏈相圖 (b) 反鐵磁鏈相圖
Figure 2.1: 在絕對零度下鐵磁鏈及反鐵磁鏈基態之相圖。
增強至臨界值，基態的有序鐵磁性因自旋的翻轉逐漸消失，自旋鏈基態在強橫場 作用上趨向 |+ + + · · · ⟩ 狀態。在縱場的作用下（hz ̸= 0），鐵磁鏈的臨界點隨即 消失，系統處於順磁態。鐵磁鏈的相圖如圖 2.1a 所示。
反鐵磁鏈的基態相圖更為豐富些，如圖 2.1b 所示。在無縱場情形下（hz = 0），
反鐵磁鏈與鐵磁鏈的基態性質是一樣的：位於 hx/|J| = 1 的臨界點區分弱橫場的 有序反鐵磁態與強橫場的無序順磁態。但在縱場的作用下，反鐵磁態及臨界點仍 可倖存。直至縱場強度大於 hz/J = 2，此時在無橫場的額外干擾下，反鐵磁性亦 完全消失，因為縱場強度足以將所有自旋翻轉至縱場方向。(hx/J = 0, hz/J = 2) 為一古典相變點（因無造成量子擾動的橫場，故稱為古典相變點），劃分零橫場下 的古典反鐵磁態及古典鐵磁態。在 hx-hz 平面相圖區分反鐵磁態及順磁態的臨界 線連結 (hx/J = 1, hz/J = 0) 及 (hx/J = 0, hz/J = 2)。
2.2 變分量子特徵值解法
變分量子特徵值解法（variational quantum eigensolver, 以下簡稱 VQE）結合量 子及古典變分演算法，用以解決組合最佳化（combinatorial optimization）問題，
即在一組有限組態中找出最佳解的問題，如旅行商問題（the travelling salesman problem）中的最短路徑，或多體問題的最低能量狀態（基態） [6, 7]。我們將利用 包含於 Qiskit 套件庫 Aqua 中的 VQE 方法來求得量子易辛自旋鏈的基態解。
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Figure 2.2: VQE 演算法的架構，顯示傳統電腦（CPU）與量子電腦（QPU）的分工。此圖截自 於文獻 [6]。
同其他變分演算法，VQE 法主要依據變分原理：任一量子態 |ψ⟩ 均滿足
Egs ≤ ⟨ψ| ˆH|ψ⟩
⟨ψ|ψ⟩ , (2.2)
其中 ˆH 為系統的哈密頓算符，Egs 為基態 |ψgs⟩ 所對應之基態能量，即：
Egs =⟨ψgs| ˆH|ψgs⟩ . (2.3)
變分演算法引入一組帶參數的試探波函數（trial wave function）|ψ(θ)⟩，並調整參 數 θ 來達到能量期望值⟨ψ(θ)| ˆH|ψ(θ)⟩ 的最小值，即解
minθ ⟨ψ(θ)| ˆH|ψ(θ)⟩ . (2.4)
滿足式 (2.4) 的量子態為變分法所得的 ˆH 基態（近似）波函數。
VQE 演算法採量子電腦與傳統電腦分工的模式，利用一組可調控參數的量子 電路（稱為變分形式，variational form）產生試探波函數|ψ(θ)⟩ 後，量子電腦用 以計算能量期望值 ⟨ψ(θ)| ˆH|ψ(θ)⟩，傳統電腦則提供最佳化器（optimizer）調控波 函數參數直至能量期望值達最小值。圖 2.2 擷取自 [6]，展示 VQE 演算法的基本 架構。
變分形式可視為作用在於初始波函數的線性變換算符，即以量子電路實現 U(θ)|ψini⟩ = |ψ(θ)⟩。變分形式的選擇可能決定性影響近似最佳解的精確度。以鏈
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|0⟩ R
y(θ
1)
|0⟩ R
y(θ
2)
|0⟩ R
y(θ
3)
|0⟩ R
y(θ
4)
(a)
|0i R
y(θ
1) R
y(θ
5)
|0i R
y(θ
2) R
y(θ
6)
|0i R
y(θ
3) R
y(θ
7)
|0i R
y(θ
4) R
y(θ
8)
(b)
Figure 2.3: 利用旋轉閘 Ry(θ) 建構的兩類型變分形式電路：(a) 張量積態變分形式；(b) 產生糾 纏態的變分形式，兩紅色虛線間的量子閘可重複出現 d 次來建構深度為 d 的電路，以增加糾纏程 度。
長 N = 4 的量子易辛自旋鏈為例，圖 2.3a 及圖 2.3b 分別展示不具量子糾纏性質 的張量積態及量子糾纏態。變分形式主要以作用於每個自旋（量子位元）的旋轉 閘
Ry(θi) =
cos(θ2i) − sin(θ2i) sin(θ2i) cos(θ2i)
(2.5)
之旋轉角度 θi 來調整最佳的基態波函數。為產生量子糾纏性，我們又加上連結每 對自旋的受控-Z 閘，且串連同架構的量子閘 d 層（電路深度），用以控制量子位 元間的糾纏程度。圖 2.3b 顯示深度 d = 1 的情形，故深度 d 的電路變分參數共有 N (d + 1)個。圖 2.4 展示用張量積態及量子糾纏態兩類變分形式所獲得的量子易 辛自旋鏈之基態能量，可清楚看出糾纏變分形式能產出貼近精確解的結果。
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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 hx
−3.0
−2.5
−2.0
−1.5
−1.0
E/N
exact product state entangled state
Figure 2.4: 在縱場 hz= 0下，張量積態及量子糾纏態變分形式得到的反鐵磁自旋鏈基態能量與精 確解比對的結果。
關 於 最 佳 化 器， 我 們 選 擇 COBYLA（Constrained Optimization by Linear Approximation） [8]。此方法適用目標函數的導數不明的有拘束最佳化問題。我 們也嘗試用 SPSA（Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation）最佳化 器 [9]，此最佳化器具有抗雜訊的特性，因此計算頗為耗時。在實際結合量子電腦 與傳統電腦的計算執行上，VQE 演算法的迭代步驟需重複登入量子電腦而產生很 長的排程時間，故我們完全在傳統電腦上執行 VQE，儲存所獲得的基態近似波函 數，再以 QASM Simulator 或於量子電腦上就 VQE 所得的基態近似波函數作各 物理量期望值的計算。