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ground state m2(a) 鐵磁鏈淬火至 (hx, hz) = (1.0, 1.0)
Figure 3.16: 不同模擬器（QASM 及 Statevector）模擬易辛自旋鏈的序參數（磁化量平方）的淬 火行為與 QuTiP 計算結果比較。鐵磁鏈的起始狀態取|0000⟩，反鐵磁鏈的起始狀態設為 |0101⟩。 圖 3.16。這裡的 Trotter 離散時間單位（Trotter step）設為 ∆t = 0.1，模擬時間 至 t = 5。我們同時利用 QuTiP 套件 [20] 求相對應的 Schrödinger 方程式解以作 比較。無論是 QASM 或 Statevector 的模擬結果均頗吻合 QuTiP 數值解。
接著我們討論使用 IBM-Q 量子電腦模擬自旋鏈的淬火行為。我們的計算皆使 用有 20 個量子位元的 ibmq_almaden，取 shots=8192，且進行實驗時的相干時間
（coherence time）T2、讀取誤差及 CNOT 誤差平均分別約為 54 µs、3% 及 2%。
為減少在量子電腦上的計算誤差，我們無法如同使用模擬器般無限度增加 Trotter
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U (∆t)ˆ
(a) t = ∆t
U (∆t)ˆ U (∆t)ˆ
(b) t = 2∆t
U (∆t)ˆ U (∆t)ˆ U (∆t)ˆ
(c) t = 3∆t
U (∆t)ˆ U (∆t)ˆ U (δt)ˆ
(d) t = 2∆t + δt
Figure 3.17: 藉由增加 Trotter 步驟電路模擬時間演化。
步驟的數量，取而代之我們仿照 [14] 增加數據點的方式，固定 ∆t 的同時以最 多 M = 5 個 Trotter 步驟為限並調整最後一個 Trotter 步驟中的離散化時間 δt。
以 M + 1 個 Trotter 步驟為例，時間演化算符可表示為 e−i ˆHt ≈ (e−i ˆH∆t)Me−i ˆHδt
（見圖 3.17）。我們同樣選擇 |0000⟩ 作為鐵磁鏈的起始態，|0101⟩ 為反鐵磁鏈的 起始態。因為圖 3.16 顯示不同模擬器獲得的結果無任何明顯差別。我們以下僅 以 Statevector Simulator 的結果與量子電腦計算的結果作比較。最長模擬時間為 t = 2.5。
圖 3.18 首先顯示單顆量子位元 z 軸自旋期望值的淬火行為，可看出量子電腦 計算結果明顯偏離古典模擬器，雖然在某些情況下（如圖 3.18b）顯示不錯的定性
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ground state m2(a) 鐵磁鏈淬火至 (hx, hz) = (1.0, 1.0) ground state m2
(b) 鐵磁鏈淬火至 (hx, hz) = (2.0, 0.0)
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Figure 3.20: IBM-Q 量子電腦模擬自旋鏈二分漲落的淬火行為，與古典模擬器及 QuTiP 數值解 作比較。鐵磁鏈起始態取|0000⟩，反磁鏈起始態為 |0101⟩。
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Chapter 4 結論與展望
在本論文我們用 Qiskit 模擬器執行變分量子特徵值解法（VQE）來分析量子 易辛自旋鏈各項基態性質，包含序參數（磁化量）、量子糾纏性質及淬火動力學。
我們利用二分漲落及量子費雪訊息（QFI）分析量子糾纏性質。關於淬火模擬，
我們運用 Trotter 分解法將自旋鏈的時間演化閘拆解成單量子位元閘及雙量子位 元閘的組合，也嘗試於 IBM-Q 量子電腦上進行模擬。
VQE 演算法利用變分原理調控試探波函數的一組參數來獲得最低能量的量子 態。此演算法的設計雖然結合了量子電腦與傳統電腦的運用，但因涉及迭代步驟 需重複登入遠端量子電腦，故直接在量子電腦上執行 VQE 並不實際。取而代之，
我們於傳統電腦執行 VQE 來獲得量子態之最佳化參數，再以模擬器或在 IBM-Q 量子電腦進行期望值計算。我們的實驗結果顯示，以量子電腦上的量子閘建立 VQE 所得之多體量子態往往產生極大誤差，導致期望值遠偏離精確解。有鑑於上 述量子電腦的侷限性，我們主要以模擬器執行期望值計算。
模擬器結合 VQE 的計算結果大致吻合精確對角化所得的基態能量及磁化量，
但卻無法呈現正確的量子糾纏性質。更詳細地說，在高量子糾纏度的有序態，
VQE 基態往往偏離精確解，而在低糾纏度的順磁態，VQE 則可找到近似精確基 態。未來我們應尋找更合適的 VQE 試探波函數來實現具量子糾纏性質的自旋鏈 基態。
現階段量子電腦技術尚未成熟，雜訊及造成量子退相干（decoherence）的各種 來源仍有待硬體端的改良，但我們在短時間的淬火模擬尚可獲得性質上頗吻合精 確解的結果。引入誤差處理以及選擇品質好的量子位元 [14]，可望進一步改善執
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行量子電腦的精確度。
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參考文獻
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