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Chapter 1
量子計算工具簡介
近年量子電腦的發展引起了各界的廣泛關注，又因其本身即量子力學為基礎 的架構，理應於計算量子問題上比起古典電腦更具潛力及優勢。惟因量子位元的 數目及雜訊等問題，現階段量子電腦尚遠離成熟階段。本論文將利用雲端 IBM-Q 量子電腦及其搭配的古典模擬器檢驗量子自旋鏈的基態性質，包含量子相變及淬 火動力學，藉以初探 IBM-Q 量子電腦的性能。
1.1 量子電腦
自從著名物理學家費曼在 1980 年代初的演講中 [1] 提出量子電腦的優勢後過 了數十餘年，量子電腦技術的研發也終於漸獲業界及政府科技預算的投入，從 D-Wave、IBM 到 Google 在與學術界緊密合作下陸續推出號稱具實用性的量子計 算器。此外，一系列支援量子計算的軟體，如 Microsoft 開發的 Q# [2]，Google 的 Cirq [3] 及 IBM 的 Qiskit [4]，也相繼推出。
本論文利用 IBM 公司提供的雲端量子電腦服務 IBM-Q 及支援的 Qiskit 軟體 套件來進行模擬。現時間點 IBM 量子電腦已擁有 53 個量子位元運算能力。
1.2 Qiskit 環境中的量子電路
Qiskit 是 IBM 於 2017 年為使量子電腦實驗更容易進行而釋出的 Python 套件 庫 [4]，它提供了從基礎的量子電路建構到進階的演算法。Qiskit 分四個組件，分
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別以古代四元素命名為 Terra，Aer，Aqua 及 Ignis （即土、風、水、火）。其中 Terra 組件提供量子計算基本的電路元件；Aer 組件提供用於傳統電腦的量子模 擬；Aqua 組件提供一系列的量子演算法，供使用者無需具備深入的量子計算理論 來作高階應用；Ignis 組件則提供減少雜訊及處理誤差的工具。
在我們的實驗中將使用 Terra 來建構量子電路，並利用 Aqua 中的 VQE 演算 法求量子自旋鏈的基態。另外我們使用 Aer 底下的模擬器 QASM Simulator 來模 擬量子電腦的運作及量測方式，結果可與代數運算的模擬器 Statevector Simulator 比較。 量子閘（quantum gates）作用於其上，便構成一量子電路。量子閘即為么正算符
（unitary operator），可作用於一個或多個量子位元上。表格 1.1（Table 1.1）列出 一些常用基礎量子閘之符號及其對應的矩陣，包含單量子位元閘及雙量子位元閘;
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為涵蓋三個相位參數的 U3(θ, ϕ, λ) 閘:
U3(θ, ϕ, λ) =
cos(θ2) −eiλsin(θ2) eiϕsin(θ2) eiλ+iϕcos(θ2)
.
藉調整 θ, ϕ, λ 三參數，U3 閘可實現所有的單量子位元閘。例如，
X = U3(π, 0, π) , Y = U3(π, π/2, π/2) ,
Z = U3(0, 0, π) , H = U3(π/2, 0, π) .
上述單量子位元閘在 Qiskit 下均可直接運用，以 U3(π/2, π/2, π/2) 閘為例：
1 q = QuantumRegister(1) 2 qc = QuantumCircuit(q) 3 qc.u3(pi/2 ,pi/2 ,pi/2 ,q)
程式碼中的 q 為一量子位元 |0⟩ = (10
)，建構中的量子電路 qc 先將此量子位元
置入電路中，然後以 qc.u3(pi/2,pi/2,pi/2,q) 指令將 U3(π/2, π/2, π/2) 作用 於 q 上。
雙量子位元閘中我們主要應用到所謂的 CNOT 閘（controlled-NOT gate），以 CX 表示，其作用就是在第一個位元（控制位元）為 |1⟩ 的唯一情形下翻轉第二個 量子位元（目標位元），也就是
|00⟩ −−→
CX |00⟩ ,
|01⟩ −−→
CX |01⟩ ,
|10⟩ −−→
CX
|11⟩ ,
|11⟩ −−→
CX
|10⟩ .
(1.3)
另一種解釋 CNOT 閘的方法為在第一個量子位元為 |1⟩ 時作用 X 閘於第二量子
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位元，故又稱為：受控-X 閘（controlled-X）, 且 CNOT 閘矩陣右下角的 2× 2 矩 陣元素即為 X 閘矩陣（見表 1.1）。同樣地，也定義了受控-Y 閘（controlled-Y，
CY）及受控-Z 閘（controlled-Z，CZ）。CNOT 閘是目前 IBM 量子電腦中唯一 可直接運作的雙量子位元閘；理論上，任意 N 量子位元閘可藉由 CNOT 閘及 U3 閘來實現 [5]。例如，CZ 閘可利用一 CNOT 閘及兩個作用在第二量子位元的 H-閘（也就是 U3(π/2, 0, π)）透過關係式
H(target)CXH(target) = CZ, (1.4)
來實現，式中 H(target) 代表作用於目標位元的哈達馬閘。
關於多量子位元狀態，CNOT 閘常用以連結兩個量子位元，使其成為糾纏態
（entangled state），底下為利用 CNOT 閘產生一對糾纏態的 Qiskit 的程式碼範 例：
1 q = QuantumRegister(2) 2 qc = QuantumCircuit(q)
3 qc.h(q[0]) # Apply H gate to the first qubit 4 qc.cx(q[0] ,q[1]) # Apply CNOT gate
對應的電路圖如下：
|0⟩ H
|0⟩
起初電路引入兩個處於 |0⟩ 的量子位元，將 H 閘作用於第一個位元使其狀態轉換 成|+⟩（見式 (1.2)），兩位元狀態成為：
√1
2(|0⟩ + |1⟩) ⊗ |0⟩ = 1
√2(|00⟩ + |10⟩) ,
再經由 CNOT 閘作用於兩個位元後，根據式 (1.3) 的法則，兩位元狀態成為一所 謂的 Bell 態：
√1
2(|00⟩ + |11⟩) . (1.5)
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此狀態無法如 (1.2) 拆解成兩位元狀態的張量積態（tensor product state），故為 一糾纏態。另一個 Bell 態為兩量子位元單態 (two-qubit singlet state)，
√1
2(|01⟩ − |10⟩) , (1.6) 其在電路中可如下建構：
|0⟩ X H
|0⟩ X
1 2 3
電路中兩個量子位元的起始態為張量積態 |00⟩，各自受 X 閘的作用翻轉為 |11⟩
（虛線 1 處的狀態），接著第一個位元經過哈達馬閘作用，轉成庖立 X 的基向量
（式 (1.3)），故虛線 2 處的兩位元態為
√1
2(|0⟩ − |1⟩) ⊗ |1⟩ = 1
√2(|01⟩ − |11⟩)
再經過 CNOT 閘便得到具糾纏性的單態（虛線 3 處的狀態）。
量子電路的最後一部份就是對量子位元投射到 |0⟩ 及 |1⟩ 進行量測，並將量測 結果儲存至古典位元。以單量子位元為例，假設其量子態為|ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩，
此量子位元被測量到處於|0⟩ 或 |1⟩ 的機率為分別為 |α|2 及|β|2。經由多次重複整 個量子電路的流程，最終便得到實驗結果。上述流程以測量|+⟩ 為例的 Qiskit 程 式碼如下：
1 q = QuantumRegister(1) 2 c = ClassicalRegister(1) 3 qc = QuantumCircuit(q,c) 4 qc.h(q)
5 qc.measure(q,c)
6 backend = Aer.get_backend(’ qasm_simulator ’) 7 job=execute(qc, backend, shots=2048)
8 result = job.result()
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9 hist = result.get_counts() 10 print(hist)
對應的電路圖如下：
0/1
|0⟩ H c
程式碼第 2 行 c = ClassicalRegister(1) 引入一古典位元至電路中，用以儲 存測量結果。第 6 行 qasm_simulator 指定後端處理為 Aer 的模擬器 QASM Simulator，模擬將在近端使用的電腦上進行。QASM Simulator 為一（可引入雜 訊）的量子電路模擬器，模仿量子電腦的環境，用以執行建構好的量子電路，
並傳回測量值的次數。第 7 行藉由 shots 設定測量次數為 2048 次，測量結果 可顯示 |0⟩ 及 |1⟩ 分別出現的次數。針對考慮的量子態，機率當然各為 1/2，不 過有限次數的實驗結果，最後一行列出的結果將例如呈現：{’0’: 1012, ’1’:
1036}，代表此次實驗測量獲得|0⟩ 次數為 1012 次，|1⟩ 次數為 1036 次，約 0.502 對 0.498 的機率比。
對於多量子位元狀態，我們使用 QASM Simulator 時需要同樣多的古典位元作 測量。以雙量子位元單態 (1.6) 為例，我們建構以下的電路圖作測量：
|0⟩ X H
|0⟩ X c0 c1
多次模擬結果將例如顯示：{’01’: 1034, ’10’: 1014}。
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Chapter 2 問題及方法
量子易辛（Ising）自旋鏈為探討量子相變及其他許多量子多體性質之標準模 型。隨著可使用的量子位元的擴充，量子電腦有望漸成為探測量子多體物理之多 樣現象的可靠工具。本章節將首先介紹量子易辛自旋鏈，接著介紹本論文利用 Qiskit 探討自旋鏈基態性質之方法。
2.1 量子易辛（Ising）自旋鏈
本 論 文 探 討 的 模 型 為 在 外 加 橫 向 及 縱 向 磁 場 下 的 易 辛 自 旋 鏈， 其 哈 密 頓 (Hamiltonian) 算符如下：
H = Jˆ
∑N j=1
ˆ
σjzσˆzj+1− hz
∑N j=1
ˆ σzj − hx
∑N j=1
ˆ
σjx (2.1)
J 為相鄰自旋與自旋間的鍵結強度，J < 0 及 J > 0 分別代表鐵磁鍵結與反鐵磁 鍵結。hx 為垂直自旋 z 軸（易辛軸）的橫場；而 hz 則是平行自旋 z 軸的縱場。
ˆ
σx、ˆσz 為 x、z 方向的庖立矩陣（Pauli matrices）。下標 j 代表模型晶格點位置，
我們引入週期邊界條件 ( periodic boundary condition )：ˆσN +1= ˆσ1。
我們考慮絕對零度（T = 0）基態性質。鐵磁鏈（J < 0）在無縱場（hz = 0）
情形下，存在一臨界點（critical point）劃分弱橫場的有序鐵磁態及強橫場的無序 順磁態；此臨界點位於 hx/|J| = 1 處。因 hz = 0，可以 √12(|000 · · · ⟩ + |111 · · · ⟩) 描述弱橫場下完美的自發性量子鐵磁態。橫場為一量子擾動項，在橫場強度逐漸
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(a) 鐵磁鏈相圖 (b) 反鐵磁鏈相圖
Figure 2.1: 在絕對零度下鐵磁鏈及反鐵磁鏈基態之相圖。
增強至臨界值，基態的有序鐵磁性因自旋的翻轉逐漸消失，自旋鏈基態在強橫場 作用上趨向 |+ + + · · · ⟩ 狀態。在縱場的作用下（hz ̸= 0），鐵磁鏈的臨界點隨即 消失，系統處於順磁態。鐵磁鏈的相圖如圖 2.1a 所示。
反鐵磁鏈的基態相圖更為豐富些，如圖 2.1b 所示。在無縱場情形下（hz = 0），
反鐵磁鏈與鐵磁鏈的基態性質是一樣的：位於 hx/|J| = 1 的臨界點區分弱橫場的 有序反鐵磁態與強橫場的無序順磁態。但在縱場的作用下，反鐵磁態及臨界點仍 可倖存。直至縱場強度大於 hz/J = 2，此時在無橫場的額外干擾下，反鐵磁性亦 完全消失，因為縱場強度足以將所有自旋翻轉至縱場方向。(hx/J = 0, hz/J = 2) 為一古典相變點（因無造成量子擾動的橫場，故稱為古典相變點），劃分零橫場下 的古典反鐵磁態及古典鐵磁態。在 hx-hz 平面相圖區分反鐵磁態及順磁態的臨界 線連結 (hx/J = 1, hz/J = 0) 及 (hx/J = 0, hz/J = 2)。