以量子電腦模擬量子自旋鏈 - 政大學術集成
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(2) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(3) 致謝 首先要誠摯感謝指導教授林瑜琤老師，無論是在學業、程式還是論 文撰寫上都充滿熱忱且不厭其煩地教導，讓我在各方面都受益無窮。 接著感謝共同指導教授許琇娟老師，一直都非常熱心地給予對量子計 算生疏的我許多幫助。還有感謝擔任口試委員的臺大物理系高英哲老 師以及中原資工系黃琮暐老師在論文修改上提供了許多寶貴的意見。 再來感謝所上助教高筱嘉小姐、邵雅淑小姐對我們的照顧；以及感 謝學長何政緯、同學喬雯和蕭邦不斷幫笨拙的我忙。 最後由衷感謝一直以來都在背後全力支持我的家人。 也在此特別感謝臺大-IBM 量子電腦中心協助實驗進行。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(4) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(5) 摘要 我們利用雲端 IBM-Q 量子電腦及其搭配的程式套件 Qiskit 來探 討量子自旋鏈的基態性質及淬火動力學。我們先在傳統電腦上運用變 分量子特徵值解法求得自旋鏈的近似基態波函數，再以量子電腦或 Qiskit 提供的模擬器測量磁化量、量子費雪訊息等觀察量。我們根據 所得的結果討論變分法及目前量子電腦在處理量子多體問題上的侷 限。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 關鍵字：IBM-Q、Qiskit、量子電路、量子自旋鏈、變分量子特徵值 解法、量子糾纏、量子費雪訊息. Ch. engchi. iii. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(6) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. iv. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(7) Abstract We study ground-state properties and quench dynamics of the quantum Ising chain using IBM’s cloud-based quantum computer and its programming framework Qiskit. The approximate ground states of the. 政 治 大. spin chain are obtained by means of the Variational Quantum Eigen-. 立. solver (VQE), implemented on conventional computers. Measurements. ‧ 國. 學. of several observables, such as magnetization and quantum Fisher information, for the ground states are then carried out on a quantum. ‧. computer or on a simulator provided by Qiskit. Based on our results,. sit. y. Nat. we discuss some limitations of the VQE and its implementation on a. io. n. al. er. quantum computer for solving the quantum many-body problem.. Ch. engchi. i Un. v. Key words: IBM-Q, Qiskit, quantum circuit, quantum spin chain, Variational Quantum Eigensolver (VQE), quantum entanglement, quantum Fisher information. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(8) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vi. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(9) Contents 致謝. i. 摘要. iii. 立. Abstract. v. ‧ 國. 學. Contents. 政 治 大. 1. ‧. 1 量子計算工具簡介. vii. 量子電腦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.2. Qiskit 環境中的量子電路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. sit. n. al. er. io. 2 問題及方法. y. Nat. 1.1. Ch. n U engchi. iv. 1 1 9. 2.1. 量子易辛（Ising）自旋鏈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2. 變分量子特徵值解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 2.3. 時間演化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3.1. Trotter 分解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 2.3.2. 實現時間演化的量子電路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 3 量子易辛自旋鏈模擬結果. 17. 3.1. 基態的模擬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17. 3.2. 基態的序參數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. 3.3. 量子糾纏性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 3.4. 淬火的模擬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. vii. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(10) 4 結論與展望. 37. 參考文獻. 39. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. viii. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(11) Chapter 1 量子計算工具簡介 政 治 大. 近年量子電腦的發展引起了各界的廣泛關注，又因其本身即量子力學為基礎. 立. 的架構，理應於計算量子問題上比起古典電腦更具潛力及優勢。惟因量子位元的. ‧ 國. 學. 數目及雜訊等問題，現階段量子電腦尚遠離成熟階段。本論文將利用雲端 IBM-Q 量子電腦及其搭配的古典模擬器檢驗量子自旋鏈的基態性質，包含量子相變及淬. ‧. 火動力學，藉以初探 IBM-Q 量子電腦的性能。. sit. n. al. er. io. 量子電腦. y. Nat. 1.1. i Un. v. 自從著名物理學家費曼在 1980 年代初的演講中 [1] 提出量子電腦的優勢後過. Ch. engchi. 了數十餘年，量子電腦技術的研發也終於漸獲業界及政府科技預算的投入，從 D-Wave、IBM 到 Google 在與學術界緊密合作下陸續推出號稱具實用性的量子計 算器。此外，一系列支援量子計算的軟體，如 Microsoft 開發的 Q# [2]，Google 的 Cirq [3] 及 IBM 的 Qiskit [4]，也相繼推出。 本論文利用 IBM 公司提供的雲端量子電腦服務 IBM-Q 及支援的 Qiskit 軟體 套件來進行模擬。現時間點 IBM 量子電腦已擁有 53 個量子位元運算能力。. 1.2. Qiskit 環境中的量子電路. Qiskit 是 IBM 於 2017 年為使量子電腦實驗更容易進行而釋出的 Python 套件 庫 [4]，它提供了從基礎的量子電路建構到進階的演算法。Qiskit 分四個組件，分. 1. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(12) 別以古代四元素命名為 Terra，Aer，Aqua 及 Ignis （即土、風、水、火）。其中 Terra 組件提供量子計算基本的電路元件；Aer 組件提供用於傳統電腦的量子模 擬；Aqua 組件提供一系列的量子演算法，供使用者無需具備深入的量子計算理論 來作高階應用；Ignis 組件則提供減少雜訊及處理誤差的工具。 在我們的實驗中將使用 Terra 來建構量子電路，並利用 Aqua 中的 VQE 演算 法求量子自旋鏈的基態。另外我們使用 Aer 底下的模擬器 QASM Simulator 來模 擬量子電腦的運作及量測方式，結果可與代數運算的模擬器 Statevector Simulator 比較。 底下我們以簡單範例展示如何在 Qiskit 建構簡單量子電路。有別於傳統電腦 以二位元為資訊基礎，量子資訊的基礎為二維空間基底向量（常表示為 |0⟩ 和 |1⟩）. 治 政 之線性組合構成的量子位元。這裡我們將基底向量表示為 大 立 . (1.1). ‧. ‧ 國. . 0 |1⟩ = , 1. 學. . 1 |0⟩ = , 0. 如同 z 方向庖立（Pauli）自旋矩陣基底 |0⟩ = |↑⟩ 及 |1⟩ = |↓⟩。量子電路一般以. Nat. sit. y. |0⟩ 為起始的一條或多條向右延伸的橫線代表一或多個量子位元，途中放置數個. n. al. er. io. 量子閘（quantum gates）作用於其上，便構成一量子電路。量子閘即為么正算符. i Un. v. （unitary operator），可作用於一個或多個量子位元上。表格 1.1（Table 1.1）列出. Ch. engchi. 一些常用基礎量子閘之符號及其對應的矩陣，包含單量子位元閘及雙量子位元閘; 這些量子閘的矩陣均採用式 (1.1) 的標準基底。 常用的單量子位元閘除了分別表示三方向庖立自旋矩陣的 X, Y, Z 的量子閘 外，尚有以 x, y, z 為轉軸旋轉 θ 角度的旋轉閘 Rx (θ), Ry (θ), Rz (θ)，以及將 |0⟩, |1⟩ 轉換成 X 兩個本徵向量（|+⟩ 和 |−⟩）的哈達馬閘 ( Hadamard gate ) H： 1 |0⟩ − → |+⟩ ≡ √ (|0⟩ + |1⟩) , H 2 1 |1⟩ − → |−⟩ ≡ √ (|0⟩ − |1⟩) . H 2. (1.2). 哈達馬閘亦可視為對 y 軸旋轉 90◦ ，再對 x 軸旋轉 180◦ 的運作。更廣泛的旋轉閘. 2. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(13) 為涵蓋三個相位參數的 U3 (θ, ϕ, λ) 閘: . . cos( 2θ ). . U3 (θ, ϕ, λ) = . iϕ. e. sin( 2θ ). −e. sin( 2θ ). iλ+iϕ. cos( 2θ ). iλ. e. . .. 藉調整 θ, ϕ, λ 三參數，U3 閘可實現所有的單量子位元閘。例如， X = U3 (π, 0, π) , Y = U3 (π, π/2, π/2) , Z = U3 (0, 0, π) ,. 政 治 大. H = U3 (π/2, 0, π) .. 立. 上述單量子位元閘在 Qiskit 下均可直接運用，以 U3 (π/2, π/2, π/2) 閘為例：. ‧ 國. 學. 1 q = QuantumRegister (1). ‧. 2 qc = QuantumCircuit (q) 3 qc.u3(pi/2,pi/2,pi/2,q). n. Ch. 1 0. ，建構中的量子電路 qc 先將此量子位元. er. io. al. ( ). sit. y. Nat 程式碼中的 q 為一量子位元 |0⟩ =. i Un. v. 置入電路中，然後以 qc.u3(pi/2,pi/2,pi/2,q) 指令將 U3 (π/2, π/2, π/2) 作用 於 q 上。. engchi. 雙量子位元閘中我們主要應用到所謂的 CNOT 閘（controlled-NOT gate），以 CX 表示，其作用就是在第一個位元（控制位元）為 |1⟩ 的唯一情形下翻轉第二個 量子位元（目標位元），也就是 |00⟩ −−→ |00⟩ , CX. |01⟩ −−→ |01⟩ , CX. (1.3). |10⟩ −−→ |11⟩ , CX. |11⟩ −−→ |10⟩ . CX. 另一種解釋 CNOT 閘的方法為在第一個量子位元為 |1⟩ 時作用 X 閘於第二量子 3. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(14) 位元，故又稱為：受控-X 閘（controlled-X）, 且 CNOT 閘矩陣右下角的 2 × 2 矩 陣元素即為 X 閘矩陣（見表 1.1）。同樣地，也定義了受控-Y 閘（controlled-Y， CY ）及受控-Z 閘（controlled-Z，CZ ）。CNOT 閘是目前 IBM 量子電腦中唯一 可直接運作的雙量子位元閘；理論上，任意 N 量子位元閘可藉由 CNOT 閘及 U3 閘來實現 [5]。例如，CZ 閘可利用一 CNOT 閘及兩個作用在第二量子位元的 H-閘（也就是 U3 (π/2, 0, π)）透過關係式. (1.4). H(target)CX H(target) = CZ ,. 來實現，式中 H(target) 代表作用於目標位元的哈達馬閘。. 政 治 大. 關於多量子位元狀態，CNOT 閘常用以連結兩個量子位元，使其成為糾纏態. 立. （entangled state），底下為利用 CNOT 閘產生一對糾纏態的 Qiskit 的程式碼範. ‧ 國. 學. 例：. ‧. 1 q = QuantumRegister (2) 2 qc = QuantumCircuit (q). y. Nat. io. 4 qc.cx(q[0] ,q[1]) #Apply CNOT gate. n. al. 對應的電路圖如下：. Ch |0⟩. engchi. sit. # Apply H gate to the first qubit. er. 3 qc.h(q[0]). i Un. v. H. |0⟩ 起初電路引入兩個處於 |0⟩ 的量子位元，將 H 閘作用於第一個位元使其狀態轉換 成 |+⟩（見式 (1.2)），兩位元狀態成為： 1 1 √ (|0⟩ + |1⟩) ⊗ |0⟩ = √ (|00⟩ + |10⟩) , 2 2 再經由 CNOT 閘作用於兩個位元後，根據式 (1.3) 的法則，兩位元狀態成為一所 謂的 Bell 態： 1 √ (|00⟩ + |11⟩) . 2. (1.5). 4. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(15) 此狀態無法如 (1.2) 拆解成兩位元狀態的張量積態（tensor product state），故為 一糾纏態。另一個 Bell 態為兩量子位元單態 (two-qubit singlet state)， 1 √ (|01⟩ − |10⟩) , 2. (1.6). 其在電路中可如下建構： 1 |0⟩. X. |0⟩. X. 2. 3. H. 政 治 大 （虛線 1 處的狀態），接著第一個位元經過哈達馬閘作用，轉成庖立 X 的基向量 立. 電路中兩個量子位元的起始態為張量積態 |00⟩，各自受 X 閘的作用翻轉為 |11⟩. 1 1 √ (|0⟩ − |1⟩) ⊗ |1⟩ = √ (|01⟩ − |11⟩) 2 2. ‧. ‧ 國. 學. （式 (1.3)），故虛線 2 處的兩位元態為. Nat. sit. y. 再經過 CNOT 閘便得到具糾纏性的單態（虛線 3 處的狀態）。. er. io. 量子電路的最後一部份就是對量子位元投射到 |0⟩ 及 |1⟩ 進行量測，並將量測. al. iv n C 此量子位元被測量到處於 |0⟩ 或 |1⟩h的機率為分別為 e n g c h i U|α|2 及 |β|2。經由多次重複整 n. 結果儲存至古典位元。以單量子位元為例，假設其量子態為 |ψ⟩ = α |0⟩ + β |1⟩，. 個量子電路的流程，最終便得到實驗結果。上述流程以測量 |+⟩ 為例的 Qiskit 程 式碼如下： 1 q = QuantumRegister (1) 2 c = ClassicalRegister (1) 3 qc = QuantumCircuit (q,c) 4 qc.h(q) 5 qc. measure (q,c) 6 backend = Aer. get_backend (’qasm_simulator ’) 7 job= execute (qc , backend , shots =2048) 8 result = job. result (). 5. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(16) 9 hist = result . get_counts () 10 print (hist). 對應的電路圖如下： 0/1 |0⟩. H. c 程式碼第 2 行 c = ClassicalRegister(1) 引入一古典位元至電路中，用以儲 存測量結果。第 6 行 qasm_simulator 指定後端處理為 Aer 的模擬器 QASM. 政 治 大. Simulator，模擬將在近端使用的電腦上進行。QASM Simulator 為一（可引入雜. 立. 訊）的量子電路模擬器，模仿量子電腦的環境，用以執行建構好的量子電路，. ‧ 國. 學. 並傳回測量值的次數。第 7 行藉由 shots 設定測量次數為 2048 次，測量結果 可顯示 |0⟩ 及 |1⟩ 分別出現的次數。針對考慮的量子態，機率當然各為 1/2，不. ‧. 過有限次數的實驗結果，最後一行列出的結果將例如呈現：{’0’:. 1012, ’1’:. sit. y. Nat. 1036}，代表此次實驗測量獲得 |0⟩ 次數為 1012 次，|1⟩ 次數為 1036 次，約 0.502. io. er. 對 0.498 的機率比。. 對於多量子位元狀態，我們使用 QASM Simulator 時需要同樣多的古典位元作. n. al. Ch. i Un. v. 測量。以雙量子位元單態 (1.6) 為例，我們建構以下的電路圖作測量： |0⟩. X. |0⟩. X. engchi. H. c0 c1 多次模擬結果將例如顯示：{’01’:. 1034, ’10’:. 6. 1014}。. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(17) 量子閘. 電路符號. 矩陣 (. X閘. 0 1 1 0. X. Y閘. (. ). (. ). 0 −i i 0. Y. Z閘. 1 0 0 −1. Z. (. X-軸旋轉閘. 政 治 大 Rx (θ). 立. ‧ 國. Z-軸旋轉閘. Rz (θ). cos 2θ − sin 2θ sin 2θ cos 2θ. 學. Ry (θ). ‧. (. e−i 2 0 θ 0 ei 2 θ. n. al. Ch. engchi. er. io. H. sit. y. Nat. U3 閘. cos 2θ −i sin 2θ −i sin 2θ cos 2θ (. Y-軸旋轉閘. 哈達馬閘. ). i Un. v. U3 (θ, φ, λ). (. (. ). ). ). cos( 2θ ) −eiλ sin( 2θ ) eiϕ sin( 2θ ) eiλ+iϕ cos( 2θ ). 1 0 0 0 . 1 0 0 0. 受控-Z(CZ ) 閘. ). 1 1 1 √ 2 1 −1. . CNOT(CX ) 閘. ). 0 1 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 1. . 0 0 1 0 . 0 0 0 0 1 0 0 −1. Table 1.1: 常用量子位元閘及其矩陣表示. 7. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(18) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 8. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(19) Chapter 2 問題及方法 政 治 大. 量子易辛（Ising）自旋鏈為探討量子相變及其他許多量子多體性質之標準模. 立. 型。隨著可使用的量子位元的擴充，量子電腦有望漸成為探測量子多體物理之多. ‧ 國. 學. 樣現象的可靠工具。本章節將首先介紹量子易辛自旋鏈，接著介紹本論文利用 Qiskit 探討自旋鏈基態性質之方法。. ‧. 量子易辛（Ising）自旋鏈. io. sit. y. Nat. 2.1. n. al. er. 本 論 文 探 討 的 模 型 為 在 外 加 橫 向 及 縱 向 磁 場 下 的 易 辛 自 旋 鏈， 其 哈 密 頓 (Hamiltonian) 算符如下：. ˆ =J H. N ∑. Ch. engchi. z σ ˆjz σ ˆj+1 − hz. N ∑. j=1. j=1. i Un. σ ˆjz − hx. v. N ∑. σ ˆjx. (2.1). j=1. J 為相鄰自旋與自旋間的鍵結強度，J < 0 及 J > 0 分別代表鐵磁鍵結與反鐵磁 鍵結。hx 為垂直自旋 z 軸（易辛軸）的橫場；而 hz 則是平行自旋 z 軸的縱場。 σ ˆ x 、ˆ σ z 為 x、z 方向的庖立矩陣（Pauli matrices）。下標 j 代表模型晶格點位置， 我們引入週期邊界條件 ( periodic boundary condition )：ˆ σN +1 = σ ˆ1 。 我們考慮絕對零度（T = 0）基態性質。鐵磁鏈（J < 0）在無縱場（hz = 0） 情形下，存在一臨界點（critical point）劃分弱橫場的有序鐵磁態及強橫場的無序 順磁態；此臨界點位於 hx /|J| = 1 處。因 hz = 0，可以. √1 (|000 · · · ⟩ 2. + |111 · · · ⟩). 描述弱橫場下完美的自發性量子鐵磁態。橫場為一量子擾動項，在橫場強度逐漸. 9. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(20) (a) 鐵磁鏈相圖. (b) 反鐵磁鏈相圖. Figure 2.1: 在絕對零度下鐵磁鏈及反鐵磁鏈基態之相圖。. 增強至臨界值，基態的有序鐵磁性因自旋的翻轉逐漸消失，自旋鏈基態在強橫場. 治 政 大 消失，系統處於順磁態。鐵磁鏈的相圖如圖 2.1a 所示。 立 反鐵磁鏈的基態相圖更為豐富些，如圖 2.1b 所示。在無縱場情形下（h. 作用上趨向 |+ + + · · · ⟩ 狀態。在縱場的作用下（hz ̸= 0），鐵磁鏈的臨界點隨即. z. = 0），. ‧ 國. 學. 反鐵磁鏈與鐵磁鏈的基態性質是一樣的：位於 hx /|J| = 1 的臨界點區分弱橫場的 有序反鐵磁態與強橫場的無序順磁態。但在縱場的作用下，反鐵磁態及臨界點仍. ‧. 可倖存。直至縱場強度大於 hz /J = 2，此時在無橫場的額外干擾下，反鐵磁性亦. Nat. sit. y. 完全消失，因為縱場強度足以將所有自旋翻轉至縱場方向。(hx /J = 0, hz /J = 2). er. io. 為一古典相變點（因無造成量子擾動的橫場，故稱為古典相變點），劃分零橫場下. al. n. iv n C 線連結 (hx /J = 1, hz /J = 0) 及 (hh = 0, hz /J x /J en g c h i= U2)。. 的古典反鐵磁態及古典鐵磁態。在 hx -hz 平面相圖區分反鐵磁態及順磁態的臨界. 2.2. 變分量子特徵值解法. 變分量子特徵值解法（variational quantum eigensolver, 以下簡稱 VQE）結合量 子及古典變分演算法，用以解決組合最佳化（combinatorial optimization）問題， 即在一組有限組態中找出最佳解的問題，如旅行商問題（the travelling salesman problem）中的最短路徑，或多體問題的最低能量狀態（基態） [6, 7]。我們將利用 包含於 Qiskit 套件庫 Aqua 中的 VQE 方法來求得量子易辛自旋鏈的基態解。. 10. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(21) Figure 2.2: VQE 演算法的架構，顯示傳統電腦（CPU）與量子電腦（QPU）的分工。此圖截自 於文獻 [6]。. 政 治 大. 同其他變分演算法，VQE 法主要依據變分原理：任一量子態 |ψ⟩ 均滿足 Egs ≤. ˆ ⟨ψ|H|ψ⟩ , ⟨ψ|ψ⟩. (2.2). 學. ‧ 國. 立. ‧. ˆ 為系統的哈密頓算符，Egs 為基態 |ψgs ⟩ 所對應之基態能量，即： 其中 H. y. (2.3). al. er. io. sit. Nat. ˆ gs ⟩ . Egs = ⟨ψgs |H|ψ. n. 變分演算法引入一組帶參數的試探波函數（trial wave function）|ψ(θ)⟩，並調整參. Ch. i Un. ˆ 數 θ 來達到能量期望值 ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ 的最小值，即解. engchi. v. ˆ min ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ . θ. (2.4). ˆ 基態（近似）波函數。 滿足式 (2.4) 的量子態為變分法所得的 H VQE 演算法採量子電腦與傳統電腦分工的模式，利用一組可調控參數的量子 電路（稱為變分形式，variational form）產生試探波函數 |ψ(θ)⟩ 後，量子電腦用 ˆ 以計算能量期望值 ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩，傳統電腦則提供最佳化器（optimizer）調控波 函數參數直至能量期望值達最小值。圖 2.2 擷取自 [6]，展示 VQE 演算法的基本 架構。 變分形式可視為作用在於初始波函數的線性變換算符，即以量子電路實現 U(θ) |ψini ⟩ = |ψ(θ)⟩。變分形式的選擇可能決定性影響近似最佳解的精確度。以鏈 11. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(22) |0⟩. Ry (θ1 ). |0⟩. Ry (θ2 ). |0⟩. Ry (θ3 ). |0⟩. Ry (θ4 ) (a). Ry (θ1 ). |0i. Ry (θ2 ) Ry (θ3 ). Ry (θ7 ). ‧. Ry (θ8 ). Nat. y. Ry (θ4 ) (b). sit. |0i. Ry (θ6 ). 學. |0i. 立. Ry (θ5 ). 政 治 大. ‧ 國. |0i. n. al. er. io. Figure 2.3: 利用旋轉閘 Ry (θ) 建構的兩類型變分形式電路：(a) 張量積態變分形式；(b) 產生糾 纏態的變分形式，兩紅色虛線間的量子閘可重複出現 d 次來建構深度為 d 的電路，以增加糾纏程 度。. Ch. engchi. i Un. v. 長 N = 4 的量子易辛自旋鏈為例，圖 2.3a 及圖 2.3b 分別展示不具量子糾纏性質 的張量積態及量子糾纏態。變分形式主要以作用於每個自旋（量子位元）的旋轉 閘. . θ cos( 2i ) . Ry (θi ) = . sin( θ2i ). − sin( θ2i ) cos( θ2i ). (2.5). . 之旋轉角度 θi 來調整最佳的基態波函數。為產生量子糾纏性，我們又加上連結每 對自旋的受控-Z 閘，且串連同架構的量子閘 d 層（電路深度），用以控制量子位 元間的糾纏程度。圖 2.3b 顯示深度 d = 1 的情形，故深度 d 的電路變分參數共有 N (d + 1) 個。圖 2.4 展示用張量積態及量子糾纏態兩類變分形式所獲得的量子易 辛自旋鏈之基態能量，可清楚看出糾纏變分形式能產出貼近精確解的結果。. 12. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(23) exact product state entangled state. −1.0. E/N. −1.5 −2.0 −2.5 −3.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 政 治 大. Figure 2.4: 在縱場 hz = 0 下，張量積態及量子糾纏態變分形式得到的反鐵磁自旋鏈基態能量與精 確解比對的結果。. 立. ‧ 國. 學. 關 於 最 佳 化 器， 我 們 選 擇 COBYLA（Constrained Optimization by Linear Approximation） [8]。此方法適用目標函數的導數不明的有拘束最佳化問題。我. ‧. 們也嘗試用 SPSA（Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation）最佳化. sit. y. Nat. 器 [9]，此最佳化器具有抗雜訊的特性，因此計算頗為耗時。在實際結合量子電腦. io. er. 與傳統電腦的計算執行上，VQE 演算法的迭代步驟需重複登入量子電腦而產生很 長的排程時間，故我們完全在傳統電腦上執行 VQE，儲存所獲得的基態近似波函. n. al. Ch. i Un. v. 數，再以 QASM Simulator 或於量子電腦上就 VQE 所得的基態近似波函數作各 物理量期望值的計算。. 2.3. engchi. 時間演化. 為模擬自旋鏈的時間演化我們需建構時間演化算符（time evolution operator） 的電路。本節敘述我們如何透過 Trotter 分解法（Trotter decomposition）將 N 自 旋系統的時間演化算符拆解為單位元閘及雙位元閘構成的電路。. 13. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(24) 2.3.1. Trotter 分解法. ˆ 系統裡，起始量子態 |ψ⟩ (t = 0) 隨 在一於時段 t 與時間無關的哈密頓算符 H ˆ 的作用：1 時間的演化可視為么正算符 Uˆ (t) = exp(−iHt) ˆ |ψ(t)⟩ = Uˆ (t) |ψ(0)⟩ = e−iHt |ψ(0)⟩ .. (2.6). 一般來說，建構一多體（量子位元）哈密頓算符的時間演化算符 Uˆ (t) 之量子電路 是棘手的問題。Trotter 分解法（又稱 Trotter-Suzuki 分解法）提供一近似 Uˆ (t) 的 方法，常用於解多體系統動力學問題的演算法 [10]，此分解法也提供將多量子位 元時間演化算符分解成單位元閘及雙位元閘之可行性。Trotter 分解法主要建立在. 政 治 大. ˆ B] ˆ ̸= 0 的展開式 [11]： 對於兩不具交換性質的兩算符 [A,. 立. (. ˆ. ˆ B. )M. M →∞. .. Nat. ˆ. ˆ. ˆ. y. 在極小 δ ≪ 1 情形下，Trotter 展開式可如下作一階近似： ˆ. n. 或可視為二階近似的對稱性分解 [12]：. e. (2.8). er. io. al. sit. eδ(A+B) = eδA eδB + O(δ 2 ) .. (2.7). ‧. ‧ 國. ˆ A. eM eM. 學. ˆ. e(A+B) = lim. Ch. ˆ B) ˆ δ(A+. engchi δ. ˆ. ˆ. δ. i Un. v. ˆ. = e 2 A eδB e 2 A + O(δ 3 ) .. (2.9). 因量子多體系統哈密頓算符含至少兩不具交換性質的算符，式 (2.8) 或式 (2.8) 可 作為近似時間演化算符的工具。為利用 Trotter 分解法，我們則可將（非小量的） 時間 t 離散化地切割 M (≫ 1) 個小區間，利用么正算符的性質： e−iHt = (e−iH∆t )M , ˆ. ˆ. (2.10). 使 ∆t ≪ 1。 以我們所考慮的量子易辛自旋鏈 (2.1) 為例，其局域（單晶格）哈密頓含不具 1. 本論文設約化普朗克常數（reduced Planck’s constant）~ ≡ 1。. 14. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(25) 交換性質的算符分別為 Aˆj = −hx σ ˆjx ,. (2.11). z ˆj = J σ B ˆjz σ ˆj+1 − hz σ ˆjz .. 利用式 (2.9)，可將短時間的時間演化算符近似成 . Uˆ (∆t) ≈ =. ∏. e. ˆj −i ∆t A 2. ∏ ∏ ∏ ∆t ˆj e−i∆tCˆj e−i∆tD e−i 2 Aˆj . j. j. j. j. j. j. j. j. ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∆t ˆ ∆t ˆ ∆t ∆t ˆj e−i 2 Aj e−i 2 Dj e−i∆tCˆj e−i 2 D e−i 2 Aˆj j. 政 治 大. 立. (2.12). z Cˆj = J σ ˆjz σ ˆj+1 ,. ˆ j = −hz σ D ˆjz .. 學. ‧ 國. ˆj 再拆解成 這裡我們將式 (2.11) 中的 B. (2.13). ‧. y. Nat. ˆ j ] = 0， 可 直 接 將 其 指 數 形 式 分 解： 因 z 方 向 算 符 之 相 互 對 易 關 係 [Cˆj , D e−i∆t(Cj +Dj ) = e−i∆tCj e−i∆tDj 。 ˆ. ˆ. io. a. n. 2.3.2. sit. ˆ. er. ˆ. 實現時間演化的量子電路 l. Ch. engchi. i Un. v. 在量子電路中，單量子位元的時間演化算符可簡單地以旋轉閘表示，例如： e−i 2 σˆ →. Rz (θ). (2.14). e−i 2 σˆ. Rx (θ). (2.15). θ. θ. z. x. →. 雙量子位元位元的時間演化算符則較缺乏直覺的電路表示法。參考 [13, 14]，我們 利用兩 CNOT 閘及一 Z-軸旋轉閘來實現一對易辛量子位元的時間演化算符：. e−iγ σˆ. z ⊗ˆ σz. →. (2.16) Rz (−2γ) 15. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(26) 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 16. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(27) Chapter 3 量子易辛自旋鏈模擬結果 政 治 大. 我們利用 Qiskit Aer 下的 VQE 求得量子易辛自旋鏈的近似基態，探討磁化量. 立. 在不同橫場及縱場下的變化，我們對鐵磁鏈（J < 0）及反鐵磁鏈（J > 0）作探. ‧ 國. 學. 討，所有的計算結果均針對 |J| = 1 的情形。我們也以所謂的二分漲落（bipartite fluctuations）以及量子費雪訊息（Quantum Fisher Information）來觀察基態的糾. ‧. 纏程度。最後我們也模擬自旋鏈的淬火情形，即探討量子態在突然改變的哈密頓. sit er. io. 3.1. y. Nat. 算符下隨時間演化的情形。. n. 基態的模擬 a iv l C n hengchi U 首先我們討論以 VQE 求得的量子易辛自旋鏈的基態性質。在 VQE 演算法中. 要求傳統電腦與量子電腦分工，意味著傳統電腦與量子電腦間的資訊傳輸速度等 將可能成為效能瓶頸。根據我們實際操作的經驗，近端傳統電腦及遠端 IBM-Q 量子電腦間不僅因為相隔遙遠而通訊速度不佳，且每一個重複的最佳化步驟還需 排程重新進入量子電腦而造成實際耗費的總時間比單純使用古典模擬器長。再者 為達到更準確的結果或計算更大的系統而需要增加電路深度 d，將無可避免使用 更多會造成誤差的 CNOT 閘，在量子電路上的計算時間增長也會增加量子位元的 去相干 ( decoherence )，進而降低結果的精確度。因為現時間點無法克服上述之 技術問題，我們以 Qiskit 提供的古典模擬器在傳統電腦上對基態的各物理量作期 望值計算，所得期望值將與精確對角化（exact diagonalization）結果比較來分析 VQE 在處理易辛模型問題上的成效。我們也將執行 VQE 演算法後所輸出的最低 17. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(28) 系統大小 (N ) 4 6 8 系統大小 (N ) 4 6. 模擬器/最佳化器 Statevector simulator COBYLA 模擬器/最佳化器 QASM simulator SPSA. 深度 (d) 7 12 21 深度 7 7. 最大迭代數 (maxiter) 1000 10000 100000 最大試探數 (max_trials) 5000 15000. Table 3.1: 作 VQE 計算使用的模擬器及配對的最佳化器所採用的參數，對不同鏈長 N ，所使用 的參數不同。. 能量、其對應的量子態及已最佳化的參數等儲存，以方便擴充各類觀測量基態期 望值的測量，以及將基態波函數傳輸至 IBM-Q 電腦上進行期望值計算。 我們使用兩種模擬器來計算期望值：Statevector Simulator 及 QASM Simula-. 政 治 大. tor。Statevector Simulator 可直接將 VQE 所獲得最低能量量子態向量 |ψmin ⟩ 作. 立. 學. ‧ 國. ˆ 的期望值計算： 觀測量 O. ˆ = ⟨ψmin |O|ψ ˆ min ⟩ . ⟨O⟩. (3.1). ‧. 而 QASM Simulator 則如第 1.2 節提到的，將 VQE 所得基態在 N -量子位元的標. y. Nat. sit. 準基底 |i0 , i1 , · · · , iN −1 ⟩（i0 , i1 , · · · , iN −1 ∈ [0, 1]）測量到的次數比（機率）輸出；. n. al. er. io. 也就是，對於最低能量量子態. Ch. 1 ∑. |ψmin ⟩ =. i Un. v. ,··· ,i h |i ecin,i g c i 0, i1, · · · , iN −1⟩ , 0 1. N −1. (3.2). i0 ,i1 ,··· ,iN −1 =0. 將輸出 Pi0 ,i1 ,··· ,iN −1 = |ci0 ,i1 ,··· ,iN −1 |2 的實驗測量結果。我們則可如下 ˆ = ⟨O⟩. 1 ∑. ˆ 0 , i1 , · · · , iN −1 ⟩ |ci0 ,i1 ,··· ,iN −1 |2 ⟨i0 , i1 , · · · , iN −1 |O|i. i0 ,i1 ,··· ,iN −1 =0. =. 1 ∑. ˆ i0 ,i1 ,··· ,i Pi0 ,i1 ,··· ,iN −1 ⟨O⟩ N −1. (3.3). i0 ,i1 ,··· ,iN −1 =0. ˆ 的期望值。 計算觀測量 O 我們如 2.2 小節所述以 Ry 及 CZ 建構的變分形式電路來產生具糾纏性質的 試探波函數，其中電路深度 d 視系統大小（N ）及實驗結果作調整。至於最佳 化器則依不同模擬器 Statevector Simulator 或 QASM Simulator 分別測試 Qiskit 18. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(29) hz hz hz hz hz hz hz. −1. −2. exact. −3 −4. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. ‧ 國 1.0. al. 2.5. −1. Ch. −2. −2 −3. −5. 3.0. 0.0. engchi hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. −1. 3.0. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. −3 −4. i Un. (d). v. hz hz hz hz hz hz hz. −2. exact. E/N. E/N. 2.5. −1. n. (c). 2.0. 2.0. (b). −4. io. 1.5 hx. 1.5 hx. er. 0.5. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. E/N. E/N. hz hz hz hz hz hz hz. exact. Nat. 0.0. 1.0. ‧. −4. 0.5. 學. −3. 0.0. 政 治 大. 立. −2. −5. 3.0. y. 0.0. −1. −5. −3 −4. (a). −5. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. sit. −5. hz hz hz hz hz hz hz. −1. E/N. E/N. −2. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. −3 −4. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. −5. 3.0. (e). 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (f). Figure 3.1: 利用 Statevector Simulator 得到不同長度 N 自旋鏈在不同縱場值下之基態能量對橫 場強度作圖。左側為鐵磁鏈，鏈長分別為 N = 4 (a)、N = 6 (c)、N = 8 (e)；右側為反鐵磁鏈， 鏈長分別為 N = 4 (b)、N = 6 (d)、N = 8 (f)。實線為精確對角化所得的基態能量解。. 19. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(30) hz hz hz hz hz hz hz. −1. −2. exact. −3 −4 −5. hz hz hz hz hz hz hz. −1. E/N. E/N. −2. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. −3 −4. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. −5. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. (a). hz hz hz hz hz hz hz. 立 1.0. 3.0. 1.5 hx. 2.0. hz hz hz hz hz hz hz. −2. −5. 3.0. exact. −3 −4. 2.5. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 學. 0.5. 2.5. −1. E/N. −3. ‧ 國. E/N. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. 0.0. 2.0. 政 治 大. −2. −4. 1.5 hx. (b). −1. −5. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. ‧. (c). (d). er. io. sit. y. Nat. Figure 3.2: 利用 QASM Simulator 得到不同長度 N 自旋鏈在不同縱場值下之基態能量對橫場 強度作圖。左側為鐵磁鏈，鏈長分別為 N = 4 (a) 及 N = 6 (c)；右側為反鐵磁鏈，鏈長分別為 N = 4 (b) 及 N = 6 (d)。實線為精確對角化所得的基態能量解。. al. n. iv n C U h e(nmax maxiter；SPSA 則是控制最大試探數 h i )。隨著系統大小及深度增加， g ctrials 所支援的 COBYLA 及 SPSA 最佳化器。使用 COBYLA 時主要控制最大迭代數. 迭代數或試探也必須增加以降低誤差。表 3.1 為我們的模擬所使用的參數；另外， 執行 QASM Simulator 的 shots 均為 10000。 調整變分形式的參數來使能量最小化是 VQE 演算法的原理，VQE 計算最終 所得到的能量若接近基態能量時，所得的量子態也應近似基態。圖 3.1 為我們 以 VQE 藉 Statevector Simulator 模擬量子易辛自旋鏈在不同橫場值 hx 及縱場 值 hz 下所得的能量值，並與精確對角化所得的基態能量作比較。對於 N = 8 的 自旋鏈，我們觀察到 VQE 能量值較明顯地偏離精確解。圖 3.2 則為以 QASM Simulator 獲得的能量值。. 20. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(31) 3.2. 基態的序參數. 在相變問題探討上，序參數（order parameter）用以描述相態的有序程度；一 般來說，它在高對稱性的無序態為零，而在具低對稱性的有序態則為有限的值。 以鐵磁性量子易辛自旋鏈為例，合適的序參數為 z 向磁化量平方，如下定義： ) ( 1 ⟨ ∑ z 2⟩ , σ ˆj ⟨m ⟩ = 2 N j 2. (3.4). 式中 ⟨· · ·⟩ 表示基態期望值。由 2.1 節的討論，我們知道鐵磁自旋鏈的有序鐵磁態 僅存於無縱場（hz = 0）下且處於 hx < 1 情形（易辛鍵結設為 J = −1）。我們. 政 治 大 及 QASM Simulator 得到的期望值分別展示於圖 3.3 及 3.4 （兩圖集的左側為鐵 立. 以 VQE 所獲得的近似基態作探討，測量其磁化量平方，以 Statevector Simulator. 磁鏈的情形）。如這些圖所示，在 hz = 0 的條件下 hx 接近 1 的位置，鐵磁態與. ‧ 國. 學. 無序順磁態間的相轉變反映在磁化量平方的快速變化上；而相對地在有外加縱場. ‧. （hz ̸= 0）的情況下，磁化量隨橫場強度 hx 的變化即不再有急速變化處，而僅隨 hx 增強而緩慢下降。整體而言，模擬所得的磁化量平方的期望值與精確頗吻合。. y. Nat. (. ). er. io. 磁化量之平方：. sit. 對反鐵磁鏈而言，合適的序參數為交錯磁化量。這裡我們一樣考慮 z 向交錯. n. a l2s ⟩ = 12 ⟨ ∑(−1)j σˆjz 2⟩ . i v ⟨m n C hN j U engchi. (3.5). 反鐵磁鏈同樣在無外加縱場時存在臨界點 (hx , hz ) = (1, 0)，但與鐵磁不同的是 即使加上縱場仍存在反鐵磁態及順磁態間的相變，且臨界點隨著縱場增加及橫場 減少在 (hx , hz ) 平面相圖上延伸至 (hx , hz ) = (0, 2)。圖 3.3 及 3.4 右側展示反鐵 磁鏈在不同 hz 下 ⟨m2s ⟩ 隨橫場強度的變化。當 hz < 2 時皆可觀察到隨橫場 hx 的增加，從交錯磁化量平方接近 1 的反鐵磁態轉變至遠離 1 的順磁態過程，且 相變點對應 hx 的位置隨著縱場 hz 增加而減少；當 hz ≥ 2，⟨m2s ⟩ 則在任何橫場 強度下均趨於零。我們也可觀察到，在固定弱橫場（hz → 0）下，當縱場強度從 hz < 2 增加至 hz > 2 時，交錯磁化量平方從 ⟨m2s ⟩ → 1 驟降至 ⟨m2s ⟩ → 0，反應出 (hx , hz ) = (0, 2) 為一階不連續相變點。 接 著 我 們 討 論 由 序 參 數 平 方 及 四 次 方 所 組 成 的 所 謂 Binder 比 值 （Binder. 21. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(32) 1.0. 1.0. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. m2s. m2. exact. 0.0. 0.4. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 0.2 0.0. exact. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 立. 0.5. 1.0. 3.0. (b). 0.4 0.2 0.0 2.0. al. 2.5. 3.0. 0.0. n. (c). 2.5. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. m2s. 0.6. io. 1.5 hx. 2.0. 1.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. er. exact. 0.0. 0.8. Nat. 0.0. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 1.5 hx. ‧. 0.2. hz hz hz hz hz hz hz. 1.0. 1.0. ‧ 國. m2. 0.6. 0.5. 學. 0.8. 0.4. 0.0. 政 治 大. (a). 1.0. 3.0. y. 0.2. hz hz hz hz hz hz hz. sit. 0.4. Ch. engchi 1.0. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6. i Un. (d). v. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. m2s. m2. exact. 0.4 0.2 0.0. hz hz hz hz hz hz hz. 0.4. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 0.2 0.0. exact. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. (e). 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (f). Figure 3.3: 利用 Statevector Simulator 得到不同鏈長 N 之磁化量平方對橫場強度作圖。左側為 鐵磁鏈，分別為鏈長 N = 4 (a)、N = 6 (c)、N = 8 (e)；右側為反鐵磁鏈，分別為鏈長 N = 4 (b)、N = 6 (d)、N = 8 (e)。. 22. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(33) 1.0. 1.0. 0.8. 0.8. 0.6. 0.6. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. m2s. m2. exact. 0.4 0.2 0.0. hz hz hz hz hz hz hz. 0.4. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 0.2 0.0. exact. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. (a). 1.0. 0.8. 0.8. 3.0. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. 立. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. 0.0. 0.5. 1.0. 0.4 0.2. ‧ 國. hz hz hz hz hz hz hz. m2s. m2. 0.6. 學. 0.0. 2.5. 政 治 大. 0.6. 0.2. 2.0. (b). 1.0. 0.4. 1.5 hx. 0.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. ‧. (c). (d). al. n. 1.0 0.8. Ch. 1.0. engchi 0.8. i Un. v. U. 0.6. U. 0.6. N =4 N =6 N =8 exact. er. io. sit. y. Nat. Figure 3.4: 利用 QASM Simulator 得到不同鏈長 N 之磁化量平方對橫場強度作圖。左側為鐵磁 鏈，分別為鏈長 N = 4 (a)、N = 6 (c)；右側為反鐵磁鏈，分別為鏈長 N = 4 (b)、N = 6 (d)。. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0.0. N =4 N =6 N =8 exact. 0.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. (a). 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (b). Figure 3.5: 固定縱場下不同 N 鐵磁鏈之 Binder 比值對橫場強度作圖。縱場強度分別為：. (a) hz = 0.0；(b) hz = 2.0。(a) 圖不同 N 之 Binder 比值交會於 hx ≈ 1，反應出臨界點 位置。(b) 圖則顯示無相變發生。. ratio)，如下定義：. (. 3 ⟨o4 ⟩ U= 1− 2 3⟨o2 ⟩2. 23. ). ,. (3.6). DOI:10.6814/NCCU202001614.
(34) N =4 N =6 N =8 exact. 1.0 0.8. N =4 N =6 N =8 exact. 1.0 0.8. U. 0.6. U. 0.6 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0.0. 0.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. (a). 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (b). Figure 3.6: 固定縱場下不同 N 反鐵磁鏈之 Binder 比值對橫場強度作圖。縱場強度分別. 為：(a) hz = 0.0；(b) hz = 1.5。. 立. 政 治 大. N =4 N =6 N =8 exact. 1.0. 1.5 hz. 2.0. 2.5. 3.0. io. sit. 0.5. er. U. Nat 0.0. y. ‧. ‧ 國. 學. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0. Figure 3.7: 固定微弱橫場下，不同 N 反鐵磁鏈之 Binder 比值對縱場強度作圖。. U. n. al. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1.0. Ch. engchi. i Un. v. hz hz hz hz hz hz hz. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. exact. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. Figure 3.8: 鏈長 N = 6 反鐵磁鏈不同 hz 之 Binder 比值對橫場強度作圖。. 這 裡 o 代 表 序 參 數， 例 如 對 鐵 磁 鏈 o 為 磁 化 量 ∑. j (−1). j. ∑ j. σ ˆjz /N ， 對 反 鐵 磁 鏈 o =. σ ˆjz /N 。在有序的鐵磁態或反鐵磁態，o 的機率分佈趨向在 o = ±1 附近. 的雙峰分佈，即 ⟨o2 ⟩2 = ⟨o4 ⟩ ≈ 1，故 U → 1；在無序的順磁態，o 的機率分佈 24. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(35) 呈以零為中心的高斯分佈而得 3⟨o2 ⟩2 = ⟨o4 ⟩，故 U → 0。圖 3.5 及圖 3.6 分別 展示不同長度鐵磁鏈及反鐵磁鏈的 Binder 比值，其大致呈現上述的描述；除了 圖 3.5b 外，因為鐵磁鏈在 hz ̸= 0 時無相變發生，Binder 比值不隨橫場強度的變 化而有從 1 到 0 的變化。另外，因 Binder 比值為一無因次的量（定義中平方及 四次方項的因次消除），不同長度自旋鏈的 U 值在臨界點將交會在一點。圖 3.5a， 圖 3.6a 及 圖 3.6b 確實可觀察到臨界點附近的交會點。除了臨界點外，反鐵磁 鏈在 (hx , hz ) = (0, 2) 的一階不連續相變點亦可清楚反應於 Binder 比值的行為； 如圖 3.7 及圖 3.8 所示，在弱縱場 hz → 0 下，且當橫場強度值下降至 hx ≤ 2， Binder 比值變成負數，此正是一階不連續相變的表徵 [15]。在各種情形下（尤其. 政 治 大. 針對小系統），VQE 得出的結果均頗貼近精確解。. 立. 1.0. hz = 0.0 hz = 1.0. ‧ 國. exact. 0.5. 1.0. 2.0. al. 2.5. 3.0. y 0.0. 0.5. n. (a). io. 1.5 hx. 0.0. Ch. 1.0. n U engchi. hz = 0.0 hz = 1.0. 1.0. sit. 0.0. 0.2. Nat. 0.0. 0.4. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. er. 0.2. 0.6. ‧. 0.4. 0.8. m2s. m2. 0.6. exact. 學. 0.8. hz = 0.0 hz = 1.5. 1.0. (b). iv. hz = 0.0 hz = 1.5. 1.0. exact. 0.6. 0.6. exact. U. 0.8. U. 0.8. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0.0. 0.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. (c). 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (d). Figure 3.9: 在 IBM-Q 量子電腦上得到固定縱場下之磁化量平方及 Binder 比值對橫場強度作圖。 (a)、(b) 為鐵磁鏈、反鐵磁鏈的序參數（磁化量）平方；(c)、(d) 為鐵磁鏈、反鐵磁鏈的 Binder 比值。. 最後我們討論在 IBM-Q 量子電腦上運行的結果。圖 3.9 為將 VQE 得到的已 最佳化參數代入 IBM-Q 量子電腦測量磁化量（交錯磁化量）平方以及 Binder 比 25. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(36) 0.5. F1/2/N. 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0. π/4 θ. π/2. Figure 3.10: 量子態 (3.10) 隨參數 θ 變化的二分漲落。. 值的結果，可看出即便是在 N = 4、d = 3 的小系統及淺深度的情況下，誤差依. 政 治 大. 舊過大，無法正確呈現那些序參數的行為。未來或許可以測試其他建構 VQE 電. 立. 路的方法，或是利用例如 Qiskit Ignis 底下降低誤差的處理方法，但以上不理想的. ‧ 國. 學. 結果可能也代表目前量子電腦技術上對於處理如量子易辛鏈等多體物理問題仍有 很大侷限性。. ‧. 量子糾纏性質. er. io. sit. y. Nat. 3.3. 量 子 糾 纏 （quantum entanglement） 是 量 子 系 統 有 別 於 古 典 系 統 最 特 殊 的. n. al. Ch. i Un. v. 屬 性， 可 視 為 兩 （多） 粒 子 間 的 一 種 不 限 空 間 距 離 的 關 聯 性。 例 如 Bell 態 |Ψ− ⟩ =. √1 (|01⟩ 2. engchi. − |10⟩) 具有兩粒子間最強糾纏度。處在這個量子態的兩粒子在受. 測量時，各有 1/2 機率「坍縮」在狀態 |0⟩ 及 1/2 機率在狀態 |1⟩；而當其中一 粒子坍縮在狀態 |0⟩，另一粒子（此刻或許位在遙遠天際）必處於 |1⟩；若一處於 |1⟩，另一必處於 |0⟩。這樣的糾纏性質主要刻畫於其中單一粒子狀態為 |0⟩ 與 |1⟩ 的（最大）混合態 (mixed state)。若兩粒子處於張量積態，如 |01⟩，則無糾纏性； 其中每一粒子均各自處於純態（pure state），一必為 |0⟩，另一必為 |1⟩。 常用於度量兩粒子（或二分）量子系統糾纏程度的物理量為 von Neumann 糾 纏熵（the von Neumann entanglement entropy）。這裡我們先選擇較易測量的物理 量，稱為二分漲落（bipartite fluctuations） [16]，其如同 von Neumann 糾纏熵， 用以探討多體量子系統 A、B 兩個子系統間的糾纏程度。在二分量子系統，我們. 26. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(37) 1.50. 1.50. exact Statevector Qasm. 1.25. 1.00 F1/2/N. 1.00 F1/2/N. exact Statevector Qasm. 1.25. 0.75. 0.75. 0.50. 0.50. 0.25. 0.25. 0.00. 0.00 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. (a) hz = 0.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (b) hz = 1.0. Figure 3.11: 鐵磁自旋鏈 N = 4 的二分漲落。. 1.25. 立. 0.50 0.25. 0.0. 0.5. 1.0. 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. F1/2/N. 1.00. 2.0. 2.5. 3.0. Ch. 0.75. sit. 1.50. exact Statevector Qasm. er. n. al. 1.5 hx. (b) N = 6，hz = 0.0. 1.25. engchi 1.00. F1/2/N. io. 1.25. 1.0. y. Nat. (a) N = 4，hz = 0.0. 1.50. exact Statevector Qasm. ‧. 0.00. ‧ 國. 0.75. 1.50. 學. F1/2/N. 1.00. 政 治 大. exact Statevector Qasm. F1/2/N. 1.50. v. 0.75. 0.50. 0.50. 0.25. 0.25. 0.00. i Un. exact Statevector Qasm. 0.00 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. 0.0. (c) N = 4，hz = 1.5. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (d) N = 6，hz = 1.5. Figure 3.12: 反鐵磁自旋鏈的二分漲落。. 定義 2 ˆA ˆ A ⟩2 , F1/2 = ⟨O ⟩ − ⟨O. (3.7). 27. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(38) ˆ A 表示在子系統 A 的觀察量。對於鐵磁鏈我們取 其中 O ˆA = O. ∑. σ ˆjz ,. (3.8). (−1)j σ ˆjz .. (3.9). j∈A. 對於反鐵磁鏈則取 ˆA = O. ∑ j∈A. 先以 N = 2 的量子態：. |ψ2 ⟩ = cos θ |01⟩ − sin θ |10⟩. (3.10). 政 治 大. 為例，可以在圖 3.10 觀察到在 θ = π/4 的完全糾纏 Bell 態 |Ψ− ⟩，F1/2 達最大值；. 立. 隨 θ 改變，F1/2 於 θ = 0 及 θ = π/2 遞減至零，此處分別代表 |01⟩ 及 |10⟩ 的張量. ‧ 國. 學. 積態。由此可見 F1/2 具反映糾纏程度的性質。. 關於自旋鏈基態的糾纏性質，我們於圖 3.11 及圖 3.12 分別展示 VQE 所獲得. ‧. 的鐵磁鏈及反鐵磁鏈基態二分漲落的測量結果，並與精確對角化解比較。完美有. er. io. sit. y. Nat. 序量子基態（鐵磁態或反鐵磁態）可視為兩簡併態的等機率線性疊加態，例如描 √ 述鐵磁態的 (|000 · · · ⟩ + |111 · · · ⟩)/ 2；而在強橫場下的無序順磁態對應的量子態 為張量基態 |+ + + · · · ⟩。圖 3.11 及圖 3.12 顯示精確解合理顯示有序基態具強二. n. al. Ch. i Un. v. 分糾纏性，而 F1/2 值隨橫場強度增加而遞減；這個趨勢在較大系統更顯著。然而. engchi. VQE 的基態卻無法顯示有序態的糾纏性質（圖 3.11a 及 3.12），雖然在無糾纏性 質的順磁態可得出吻合精確解的結果。值得注意的，這裡 VQE 的量子態與前兩 節討論基態能量與序參數的 VQE 量子態為同一組，儘管其能量與序參數吻合精 確解，但卻無法呈現正確的二分糾纏性質。 接著我們討論另一個可更全面描述量子糾纏性質的物理量，稱為量子費雪訊息 （Quantum Fisher Information），以下簡稱 QFI。對於一純態 |ψ⟩，我們採用如下 定義的 QFI [17, 18]：. ˆ 2 ⟩ − ⟨O ˆ α ⟩2 , FQ (α) = ⟨O α. α = x, y, z. (3.11). ˆ α 為全系統 α 方向自旋矩陣的疊加；對於鐵磁鏈，O ˆ α 為 α 方向總磁化量 其中 O 28. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(39) 4. 4 exact α = x exact α = y exact α = z VQE α = x VQE α = y VQE α = z. 2. 3 FQ/N. FQ/N. 3. 1. 0. exact α = x exact α = y exact α = z VQE α = x VQE α = y VQE α = z. 2. 1. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 0. 3.0. 0.0. 0.5. (a) N = 4 鐵磁鏈. 3. 立. 2.5. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. 政 治 大 4 3 2 1. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 0. 3.0. 0.0. 0.5. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.5. 3.0. 2.0. Ch. sit. 6. 4. engchi. 2.5. exact α = x exact α = y exact α = z VQE α = x VQE α = y VQE α = z. er. n. al. 2. 0.0. 2.0. y. 8 exact α = x exact α = y exact α = z VQE α = x VQE α = y VQE α = z. FQ/N. io. 4. 1.5 hx. (d) N = 6 反鐵磁鏈. Nat. 6. 1.0. ‧. (c) N = 6 鐵磁鏈 8. exact α = x exact α = y exact α = z VQE α = x VQE α = y VQE α = z. 5. 學. 1. ‧ 國. 2. exact α = x exact α = y exact α = z VQE α = x VQE α = y VQE α = z. FQ/N. FQ/N. 4. FQ/N. 2.0. 6. 5. 0. 1.5 hx. (b) N = 4 反鐵磁鏈. 6. 0. 1.0. i Un. v. 2. 0. 3.0. 0.0. (e) N = 8 鐵磁鏈. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. (f) N = 8 反鐵磁鏈. Figure 3.13: 零縱場自旋鏈基態之 QFI 分量隨 hx 變化情形。由下至上不同顏色區塊分別代表具 k = 1, 2, · · · , N 自旋的糾纏性。. 的形式： ˆα = O. ∑. σ ˆjα ,. (3.12). (−1)j σ ˆjα .. (3.13). j. 而對於反鐵磁鏈， ˆα = O. ∑ j. 相較於前面討論的二分漲落，QFI 可更廣泛檢視多粒子的糾纏性質，例如 N -粒 29. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(40) 8. N N N N N N. FQ/N. 6. =4 = 4 bound =6 = 6 bound =8 = 8 bound. 4. 2. 0. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 3.0. Figure 3.14: 不同系統大小的反鐵磁鏈 z 方向 QFI 在 hz = 0.0 時對橫場作圖。. 子量子態是否含有 k (≤ N ) 粒子糾纏態（所謂 k-producible） [17–19]。對 N -粒子. 政 治 大. 量子態而言，k-producible 態可寫成. |ψk-prod ⟩ = |ϕ1 ⟩ ⊗ |ϕ2 ⟩ ⊗ · · · |ϕn ⟩ ,. 學. ‧ 國. 立. ‧. 其 中 任 何 |ϕi ⟩ , (i = 1, 2, · · · , n) 為 最 多 k 粒 子 態 且 不 能 再 拆 解 成 張 量 積 態，. y. Nat. 故 n ≥ N/k。 更 嚴 謹 地 說， 一 量 子 態 具 有 k 粒 子 糾 纏 性 質， 這 個 狀 態 為 k-. io. sit. producible，但不是 (k − 1)-producible。對於一 N 量子位元系統的 |ψk-prod ⟩ 量子. n. al. er. 態，QFI 滿足下列不等式 [17, 18]：. Ch. engchi. i Un. FQ ≤ sk 2 + (N − sk)2 ,. v. (3.14). 其中 s = ⌊ Nk ⌋ 為小於等於 N/k 的最大整數。當一量子態的 QFI 違反此不等式時， 即代表該量子態具 k + 1 粒子糾纏。 針對本論文探討的自旋鏈基態，我們於圖 3.13 展示不同鏈長 N 及三個分量 （α = x, y, z）QFI 在無縱場下（hz = 0）隨橫場強度 hx 之變化情形。圖中亦以不 同顏色區塊由下至上分別標示 k = 1, 2, · · · , N 粒子糾纏的對應區間。因易辛自旋 鏈以 z 軸為易軸，故 FQ (z) 為最大分量。由圖 3.13 的資料，我們整理下列幾點觀 察： • 精 確 對 角 化 的 結 果 顯 示，FQ (z) 反 應 出 所 有 N 個 自 旋 在 量 子 有 序 態 （0 < hx < 1）處於糾纏狀態；隨著 N 增大，愈明顯看出 N 自旋糾纏態集中 30. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(41) 1.0. 1.0. 0.8. 0.8. F. hz hz hz hz hz hz hz. 0.4 0.2 0.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5 hx. 2.0. 2.5. 0.6. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. hz hz hz hz hz hz hz. F. 0.6. 0.4 0.2 0.0. 3.0. 0.0. 0.5. 1.0. (a) 鐵磁鏈. 1.5 hx. 2.0. 2.5. = 0.0 = 0.5 = 1.0 = 1.5 = 2.0 = 2.5 = 3.0. 3.0. (b) 反鐵磁鏈. Figure 3.15: 針對 N = 4 自旋鏈，VQE 及精確對角化得到的量子態間的相似度。. 在 hx < 1 區間（圖 3.14）。 • 於古典極限下 hx. 政 治 大 → 0，雖然自旋鏈處於有序態，但其基態為古典形式的 立. ‧ 國. 學. |000 · · · ⟩ 或 |111 · · · ⟩（以鐵磁鏈為例），故 FQ (z) → 0。. • 如同二分漲落，VQE 所獲得的基態之 FQ (z) 無法正確反應有序態的量子糾. ‧. 纏行為. Nat. n. al. er. io. 之內積來觀察兩量子態的相似性，我們定義. sit. y. 最後，我們藉 VQE 所得的自旋鏈基態 |ψVQE ⟩ 與精確對角化所得基態 |ψexact ⟩. i n 2 FC=h|⟨ψ |ψ ⟩| , U eVQE n g exact chi. v. (3.15). 為兩者的相似度。在量子態歸一化情形下，最大值 F = 1 代表兩量子態相同（等 價），而最小值 F = 0 代表兩量子態成正交。圖 3.15 以 N = 4 為例的 F 計算結果 顯示 VQE 量子態在有序態確實與精確對角化所得的量子基態差距甚大，而兩量 子態於無序順磁態則非常相近。基態形似度的比較結果與上述糾纏性質的討論一 致反應出 VQE 未能於自旋鏈有序態產生正確的量子基態。. 3.4. 淬火的模擬. 我們利用第 2.3 節所描述的執行時間演化的方法來模擬自旋鏈的淬火（quench） 動力學。淬火是指：突然改變系統哈密頓算符參數，使某一非新哈密頓本徵態之 31. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(42) 0.8. 0.8. 0.6. 0.6 m2. 1.0. m2. 1.0. 0.4. 0.4 Qasm Statevector Qutip. 0.2. 0.2. ground state m. 0.0 0. 2. 1. 0.0 2. 3. 4. 5. 0. 1. 2. t. 3. 4. 5. t. (a) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (1.0, 1.0). (b) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (2.0, 0.0). 1.0. 1.0. 0.8. 0.8. 政 治 大. 立. 0.4 Qasm Statevector Qutip ground state m2s. 0. 1. 0.2. ‧ 國. 0.0. 0.4. 學. 0.2. m2s. 0.6. m2s. 0.6. 0.0. 2. 3. 4. 5. 0. 1. 2. t. 3. 4. 5. t. ‧. (c) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (0.6, 1.0). (d) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (3.0, 3.0). er. io. sit. y. Nat. Figure 3.16: 不同模擬器（QASM 及 Statevector）模擬易辛自旋鏈的序參數（磁化量平方）的淬 火行為與 QuTiP 計算結果比較。鐵磁鏈的起始狀態取 |0000⟩，反鐵磁鏈的起始狀態設為 |0101⟩。 紅色虛線標出主宰時間演化的哈密頓算符平衡基態的序參數值。. al. n. iv n C h e n g|0000⟩；對反鐵磁自旋鏈的淬火，採用 自旋鏈的淬火模擬，採用的初始量子態為 chi U. 量子態在新哈密頓主宰下隨時間演化。這裡我們僅考慮 N = 4 自旋鏈。對於鐵磁. 的初始量子態為 |0101⟩。我們考慮兩種自旋鏈分別淬火至有序態、順磁態等情形。 在建構時間演化的量子電路，我們採用第 2.3 節所討論的 Trotter 分解法及 量子閘。首先我們觀察在模擬器上模擬序參數的演化情形，模擬結果呈現在 圖 3.16。這裡的 Trotter 離散時間單位（Trotter step）設為 ∆t = 0.1，模擬時間 至 t = 5。我們同時利用 QuTiP 套件 [20] 求相對應的 Schrödinger 方程式解以作 比較。無論是 QASM 或 Statevector 的模擬結果均頗吻合 QuTiP 數值解。 接著我們討論使用 IBM-Q 量子電腦模擬自旋鏈的淬火行為。我們的計算皆使 用有 20 個量子位元的 ibmq_almaden，取 shots=8192，且進行實驗時的相干時間 （coherence time）T2、讀取誤差及 CNOT 誤差平均分別約為 54 µs、3% 及 2%。 為減少在量子電腦上的計算誤差，我們無法如同使用模擬器般無限度增加 Trotter. 32. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(43) ˆ (∆t) U. (a) t = ∆t. ˆ (∆t) U. ˆ (∆t) U. (b) t = 2∆t. 立. ˆ (∆t) U. 政 治 大 ˆ (∆t) ˆ (∆t) U U. ‧ 國. 學. (c) t = 3∆t. ‧ y. ˆ (δt) U. io. sit. ˆ (∆t) U. n. al. (d) t = 2∆t + δt. Ch. engchi. er. Nat. ˆ (∆t) U. i Un. v. Figure 3.17: 藉由增加 Trotter 步驟電路模擬時間演化。. 步驟的數量，取而代之我們仿照 [14] 增加數據點的方式，固定 ∆t 的同時以最 多 M = 5 個 Trotter 步驟為限並調整最後一個 Trotter 步驟中的離散化時間 δt。 以 M + 1 個 Trotter 步驟為例，時間演化算符可表示為 e−iHt ≈ (e−iH∆t )M e−iHδt ˆ. ˆ. ˆ. （見圖 3.17）。我們同樣選擇 |0000⟩ 作為鐵磁鏈的起始態，|0101⟩ 為反鐵磁鏈的 起始態。因為圖 3.16 顯示不同模擬器獲得的結果無任何明顯差別。我們以下僅 以 Statevector Simulator 的結果與量子電腦計算的結果作比較。最長模擬時間為 t = 2.5。 圖 3.18 首先顯示單顆量子位元 z 軸自旋期望值的淬火行為，可看出量子電腦 計算結果明顯偏離古典模擬器，雖然在某些情況下（如圖 3.18b）顯示不錯的定性. 33. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(44) 1.0. 0.5. 0.5 < σˆ 3z >. < σˆ 3z >. 1.0. 0.0. −0.5 −1.0. 0.5. 0.0. −0.5. Statevector IBMQ. 0.0. Statevector IBMQ. 1.0. 1.5. 2.0. −1.0. 2.5. 0.0. 0.5. 1.0. t. 2.0. 2.5. (b) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (2.0, 0.0). 1.0. 1.0. 0.5. 政 治 大. Statevector IBMQ. 0.0. < σˆ 3z >. 0.5. 立 Statevector IBMQ. 0.0. 0.5. 0.0. −0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. −1.0. 學. −0.5. ‧ 國. < σˆ 3z >. (a) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (1.0, 1.0). −1.0. 1.5 t. 0.0. 0.5. 1.0. t. 1.5. 2.0. 2.5. t. ‧. (c) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (0.6, 1.0). (d) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (3.0, 3.0). er. io. sit. y. Nat. Figure 3.18: 單一量子位元 z 軸自旋期望值的在 IBM-Q 量子電腦的淬火行為，與傳統電腦的古 典模擬器作比較。鐵磁鏈起始態取 |0000⟩，反磁鏈起始態為 |0101⟩。. 上的吻合。整條自旋鏈磁化量的淬火情形展示於圖 3.19。. n. al. Ch. i Un. v. 最 後 我 們 也 以 二 分 漲 落 來 觀 察 自 旋 鏈 糾 纏 性 質 的 淬 火 行 為； 結 果 整 理 於. engchi. 圖 3.20。我們同樣觀察到現階段量子電腦尚無法長時間無雜訊地保持對多體系統 計算的精確度。另外，圖 3.20 顯示古典模擬器得出的二分漲落與 QuTiP 數值解 吻合，這顯示 VQE 得到的失精確度的基態才是造成第 3.3 節討論的平衡態二分 漲落偏離精確解的主因。. 34. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(45) 1.0. 0.8. 0.8. 0.6. 政 治 大 0.6. m2. m2. 1.0. 0.4. 立. 0.2. 0.0. 0.5. Statevector Qutip IBMQ ground state m2. 0.0. ‧ 國. 0.0. 0.2. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. 0.0. 0.5. 學. Statevector Qutip IBMQ ground state m2. 0.4. 1.0. t. 0.2 Statevector Qutip IBMQ ground state m2s. 0.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. sit. 0.8. al. Ch 2.0. er. 0.6 m2s. 0.4. y. 1.0. n. m2s. io. 0.6. 2.5. (b) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (2.0, 0.0). Nat. 0.8. 2.0. ‧. (a) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (1.0, 1.0). 1.0. 1.5 t. 0.4 0.2. engchi 0.0. 2.5. t. 0.0. i Un. v. Statevector Qutip IBMQ ground state m2s. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. t. (c) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (0.6, 1.0). (d) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (3.0, 3.0). Figure 3.19: 整條自旋鏈磁化量在 IBM-Q 量子電腦的淬火行為，與古典模擬器及 QuTiP 數值解 作比較。鐵磁鏈起始態取 |0000⟩，反磁鏈起始態為 |0101⟩。. 35. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(46) 1.0 0.8. 政 治 大. 0.6. 立. 0.4. 0.5. 1.0. 0.6 0.4 0.2 0.0. 1.5. 2.0. 2.5. 0.0. 0.5. 學. 0.0. ‧ 國. 0.2 0.0. Statevector Qutip IBMQ. 0.8 F1/2/N. F1/2/N. 1.0. Statevector Qutip IBMQ. 1.0. t. 0.8. al. n. 0.4 0.2. Ch. 0.6 0.4. engchi 0.2. 0.0. y. er. 0.6. Statevector Qutip IBMQ. sit. 1.0. F1/2/N. io. F1/2/N. 0.8. 2.5. (b) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (2.0, 0.0). Nat. Statevector Qutip IBMQ. 2.0. ‧. (a) 鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (1.0, 1.0). 1.0. 1.5 t. i Un. v. 0.0 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. t. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 2.0. 2.5. t. (c) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (0.6, 1.0). (d) 反鐵磁鏈淬火至 (hx , hz ) = (3.0, 3.0). Figure 3.20: IBM-Q 量子電腦模擬自旋鏈二分漲落的淬火行為，與古典模擬器及 QuTiP 數值解 作比較。鐵磁鏈起始態取 |0000⟩，反磁鏈起始態為 |0101⟩。. 36. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(47) Chapter 4 結論與展望 政 治 大. 在本論文我們用 Qiskit 模擬器執行變分量子特徵值解法（VQE）來分析量子. 立. 易辛自旋鏈各項基態性質，包含序參數（磁化量）、量子糾纏性質及淬火動力學。. ‧ 國. 學. 我們利用二分漲落及量子費雪訊息（QFI）分析量子糾纏性質。關於淬火模擬， 我們運用 Trotter 分解法將自旋鏈的時間演化閘拆解成單量子位元閘及雙量子位. ‧. 元閘的組合，也嘗試於 IBM-Q 量子電腦上進行模擬。. sit. y. Nat. VQE 演算法利用變分原理調控試探波函數的一組參數來獲得最低能量的量子. io. er. 態。此演算法的設計雖然結合了量子電腦與傳統電腦的運用，但因涉及迭代步驟 需重複登入遠端量子電腦，故直接在量子電腦上執行 VQE 並不實際。取而代之，. n. al. Ch. i Un. v. 我們於傳統電腦執行 VQE 來獲得量子態之最佳化參數，再以模擬器或在 IBM-Q. engchi. 量子電腦進行期望值計算。我們的實驗結果顯示，以量子電腦上的量子閘建立 VQE 所得之多體量子態往往產生極大誤差，導致期望值遠偏離精確解。有鑑於上 述量子電腦的侷限性，我們主要以模擬器執行期望值計算。 模擬器結合 VQE 的計算結果大致吻合精確對角化所得的基態能量及磁化量， 但卻無法呈現正確的量子糾纏性質。更詳細地說，在高量子糾纏度的有序態， VQE 基態往往偏離精確解，而在低糾纏度的順磁態，VQE 則可找到近似精確基 態。未來我們應尋找更合適的 VQE 試探波函數來實現具量子糾纏性質的自旋鏈 基態。 現階段量子電腦技術尚未成熟，雜訊及造成量子退相干（decoherence）的各種 來源仍有待硬體端的改良，但我們在短時間的淬火模擬尚可獲得性質上頗吻合精 確解的結果。引入誤差處理以及選擇品質好的量子位元 [14]，可望進一步改善執 37. DOI:10.6814/NCCU202001614.
(48) 行量子電腦的精確度。. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 38. i Un. v. DOI:10.6814/NCCU202001614.
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