實證模型描述與估計

本研究實證模型主要依據 Berben and Jansen (2005a, 2005b) 單門檻二元變量 STC-GARCH 模型，擴充為多門檻多變量 MSTC-GARCH 模型，首先考慮一個三變數時

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間序列，觀察值為{ } ，每期皆有三個元素在此序列中，即 ， 變異數矩陣為隨時間變動的結構(time-varying structure) 如下：

Ht 函數(logistic function)定義如下：

1

第(10)式中，s_{ij t,} 為轉換變數，γ 為平滑參數(smoothness parameter)或稱轉換速度， 為_ij

型假設與Berben and Jansen (2005) 最大的差異為門檻值的個數有K個。Berben and Jansen (2005) 認為股票報酬的相關性會隨著時間的變動，且存在單一遞增或遞減的特性，而 非一般CC-GARCH模型所假定的固定相關係數，所以在相關係數中增加一項單一門檻 值的轉換函數，藉此來觀察相關係數長期的變化趨勢。而本文認為油價、金價、實質匯 率成長率兩兩間的相關係數，不僅存在單一遞增或遞減的特性，有可能具有一個 門檻值以上的轉換，且多門檻的轉換函數較能精確的描述相關性的波動。

由上述所知，增加門檻值的 MSTC-GARCH 模型更能說明現實狀況中相關係數不同 趨勢的變化型式，當第(9)式中ρ 和₁^ij ρ 不相同時，相關係數會在不同區間做移動，且隨₂^ij

著時間的變動，相關係數變動的方式也會受到轉換函數G s( _{ij t,};^γ_ij,

c

_ij^{)的影響；若}

^γ

^很大，

表示相關係數移轉的速度很快，若

γ

很小，表示相關係數移轉的速度很慢，若

γ

= ，0 相關係數則回復為線性 CC-GARCH 模型的假設，此為 STC-GARCH 模型與本文假定

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結合第(9)式與第(10)式，依Teräsvirta (1994) 定義的羅吉斯平滑轉換函數(logistic

3 在理論與實證研究中，任何具有經濟意義的轉換函數(G)，都可藉由轉換變數(t T/ )的標準差(σ_{t T/} ) 來標準化( /t T−c)用來估計不同區間的轉換速度(

γ

$)。例如：Longin and Solnik(1995)與Berben and Jansen (2005)。

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STR , LSTR)模型，根據不同門檻各數K值決定不同型態的轉換函數，組成不同形式的 非線性平滑轉換迴歸模型。

(一) 當門檻值個數K=1 時，稱為 LSTR1 (logistic smooth transition regression with one threshold )，轉換函數的型態為：

γ

c ( ; , )_t [1 exp{ ( _t )}] , 1 0

G s γ c = + −γ s −c ⁻ >

LSTR1 模型具有單調遞增與不對稱特性，其中轉換函數G s( ; , )_t γ 會隨著轉換變數 的增加由 0 遞增至 1，如圖 1 所示，故參數也會由

( )s_t ρ 增加至₁^ij ρ 作單調遞增或遞減₂^ij 轉換。此外，當

γ

很大且轉換變數等於門檻值(s_t =c)時，轉換函數會由 0 瞬間改變為 1，

LSTR1 模型接近於 Tong(1990) 提出在

γ

→ ∞ 下的門檻迴歸模型(threshold autoregressive, TAR)；當轉換速度γ =0時，LSTR1 模型會還原為線性模型。因此在不同轉換速度下，

轉換函數會依照轉換變數與門檻值偏離的程度做增加或減少。

LSTR1 轉換函數 ( ; , )_t 1

G s

γ

c

c1 S_t

圖 1:不同調整速度下的 LSTR1 轉換函數

(二) 當門檻值各數K=2 時，稱為 LSTR2，轉換函數的型態為： regime)與一個內部區間(middle regime)。在 LSTR2 模型中的

c1 c₂

在假設常態下，概似函數(log-likelihood function ) 在樣本數為 T 個觀察值之下可以 被描述為：

' 1 likelihood estimate, MLE) 是以概似函數對所有參數同時進行估計求出最接近母體的最 大概似值。

在文檔中 金價、油價與主要通貨匯率之關聯性分析 (頁 15-20)