第三章 研究方法
第二節 實證變數及指標的衡量方法
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2008 年美國金融海嘯（次貸危機）的主要目的在於欲探討加入流動性的 Betting-Against-Beta 交易策略在經濟衰退期是否仍能有報酬。
圖 1 分析期間(1996 年 1 月至 2015 年 12 月)的樣本分佈情形
第二節 實證變數及指標的衡量方法
一、 系統性風險的衡量方法
理論上 Beta 的計算方法是利用一般最小平方法(ordinary least squares)去計 算資產報酬率對於市場報酬率做迴歸的斜率係數，並存在著誤差項𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡，其中 i 為資產種類而 t 為時間點。故 Beta 的公式為
𝛽𝛽̂𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝜌𝜌�𝚤𝚤𝜎𝜎𝜎𝜎�𝚤𝚤
�𝑚𝑚 (1)
𝜎𝜎�和𝜎𝜎𝚤𝚤 � 分別代表股票報酬率和市場報酬率的標準差，𝜌𝜌𝑚𝑚 �則代表股票和市場報酬𝚤𝚤 率的相關係數，此計算方法被 Baker et al. (2011)及 Chow et al. (2014)認為較不精 準，並建議應使用日資料計算而非月資料，其原因為 Merton (1980)提出頻率較
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
1996/1 1996/8 1997/3 1997/10 1998/5 1998/12 1999/7 2000/2 2000/9 2001/4 2001/11 2002/6 2003/1 2003/8 2004/3 2004/10 2005/5 2005/12 2006/7 2007/2 2007/9 2008/4 2008/11 2009/6 2010/1 2010/8 2011/3 2011/10 2012/5 2012/12 2013/7 2014/2 2014/9 2015/4 2015/11
US Stock Companies Sample Distribution
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高的樣本可增加共變異數估計的準確性，而為了捕捉 Beta 的時間變異(time variation)，Patton and Timmermann (2010)及 Novy-Marx (2014)提出估計值應使用 一年的日資料去推算。
Frazzini and Pedersen (2014)對於 Beta 的估算方法提出了些微的修正，即分 開估計波動度和相關係數，換言之，該研究使用一年的每日對數報酬(log return) 並以滾動視窗(rolling window)的方式去估算變異數，且計算變異數的資料必須 於估算期間內需涵蓋至少 120 筆有效資料，而相關係數則是使用五年的疊帶三 天對數報酬(overlapping three-day log returns) 10並以滾動視窗的方式去估算變異 數，且相關係數資料必須涵蓋至少 750 筆有效資料，此設定乃為了反映 De Santis(1997)發現相關係數變動比波動度來的緩慢。
然而 Fabozzi and Francis (1978)及其他文獻指出 Beta 會隨著時間不斷改 變，故相關學者提出了對於 Beta 的估算方法的微調，最著名的為 Blume (1975) 利用估算的 Beta 和 1 做加權平均，而 Vasicek (1973)則利用估算的 Beta 和樣本 股票的平均 Beta 做加權平均。Frazzini and Pedersen (2014)為了縮減(shrinkage) 極端值造成的影響，故採用了 Vasicek (1973)的方法11如下：
𝛽𝛽� = 𝑤𝑤𝚤𝚤 𝑖𝑖 × 𝛽𝛽̂𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇+ (1 − 𝑤𝑤𝑖𝑖) × 𝛽𝛽̂𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇 (2)
其中𝛽𝛽̂𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇為利用時間序列資料所計算出的 Beta，而𝛽𝛽̂𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇為橫斷面(cross-sectional) 資料的平均 Beta，但 Frazzini and Pedersen (2014)為了簡化分析，設定𝑤𝑤𝑖𝑖等於 0.6
10 Frazzini and Pedersen (2014)說明疊帶三天之對數報酬(Overlapping Three-day Log Returns)計算
方法為 𝑟𝑟𝑖𝑖,𝑡𝑡= ∑2 𝑙𝑙𝑙𝑙(1 + 𝑟𝑟𝑡𝑡+𝑘𝑘𝑖𝑖
𝑘𝑘=0 )。
11 Vasicek (1973)提出的縮減因子(Shrinkage Factor)，即𝑤𝑤𝑖𝑖的計算方法為𝑤𝑤𝑖𝑖= 1 − 𝜎𝜎𝑖𝑖,𝑇𝑇𝑇𝑇2 /(𝜎𝜎𝑖𝑖,𝑇𝑇𝑇𝑇2 − 𝜎𝜎𝑋𝑋𝑇𝑇2)，其中𝜎𝜎𝑖𝑖,𝑇𝑇𝑇𝑇2 為所估算第 i 檔股票之 Beta 的變異數，而𝜎𝜎𝑋𝑋𝑇𝑇2 為橫斷面(Cross-sectional)資料之 Beta 的變異數。若將美國全部的股票資料進行計算，發現縮減因子𝑤𝑤𝑖𝑖=0.61。
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且𝛽𝛽̂𝑖𝑖𝐶𝐶𝑇𝑇等於 1（蓋因實務使用，如 Bloomberg 計算資產 Beta）11。故修正計算方 法為
𝛽𝛽� = 0.6 × 𝛽𝛽̂𝚤𝚤 𝑖𝑖𝑇𝑇𝑇𝑇+ 0.4 (3)
事實上這樣的縮減並不影響後續研究所需建構的投資組合，乃因此縮減並不會 造成 Beta 值排序上的改變，然而該縮減可能會造成在計算 Betting-Against-Beta 超額報酬時的影響，為了消除縮減因子所造成的誤差，當投資組合建構時，所 使用的報酬為已實現報酬(realized return)而非預期報酬(expected return)。
二、 投資組合的風險衡量
本文衡量投資組合總風險的方式即為計算由 Beta 組成的投資組合在總樣本 期間每個月原始報酬率的標準差，計算方法如下：
Volatility = �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑟𝑟𝑉𝑉𝑉𝑉𝑙𝑙𝑉𝑉𝑉𝑉(𝑅𝑅𝑉𝑉𝑤𝑤 𝑅𝑅𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑟𝑟𝑙𝑙𝑖𝑖,𝑡𝑡) (4)
其中𝑅𝑅𝑉𝑉𝑤𝑤 𝑅𝑅𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅𝑟𝑟𝑙𝑙𝑖𝑖,𝑡𝑡為由 Beta 排序組成的第 i 個投資組合在時間點 t （以月為單 位）的原始報酬。
而非系統性風險可利用兩種方式。第一種為 Ang et al. (2006)利用個股超額 報酬對 Fama-French 三因子跑迴歸，並針對殘差項取平方根，即為非系統性風 險。第二種為計算 CAPM 殘差項的平方根作為衡量方法。Schneider (2015)提出 上述兩種計算方法的結果非常相近，皆能代表非系統性風險，然而因 CAPM 在 解釋上較為直觀，故尤以第二種方法較為重要。計算方法如下：
11 Auer and Schuhmacher (2015)。
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𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡− 𝑟𝑟𝑓𝑓,𝑡𝑡 = 𝛼𝛼𝑖𝑖 + 𝛽𝛽𝑖𝑖�𝑅𝑅𝑚𝑚,𝑡𝑡− 𝑟𝑟𝑓𝑓,𝑡𝑡� + 𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡 (5)
其中𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑑𝑑為第 i 檔股票於時間點 t 的報酬率，𝑟𝑟𝑓𝑓,𝑡𝑡為時間點 t 的無風險利率（此為
美國一個月國庫票券利率），𝑅𝑅𝑚𝑚,𝑡𝑡為時間點 t 的市場報酬率，而𝜀𝜀𝑖𝑖,𝑡𝑡為第 i 檔股票 於時間點 t 的非系統性報酬率，將其取平方根則定義為非系統性風險
(idiosyncratic volatility)。
三、 流動性指標(Liquidity Indicator)
本文依照 Zhou (2014)的方法利用股票的買賣價差(bid ask spread)作為流動 性指標，理由為：其一、買賣價差反映了買方及賣方對於股票價格的不一致性 (discrepency)；其二、買賣價差可作為交易成本的估算；其三、買賣價差可作為 交易員即時交易(immediate execution of a trade)的流動性風險補償；其四、CRSP 提供了每檔股票的買價及賣價。為了讓不同的股票可以相互比較，我們利用相 對的買賣價差進行比較，故流動性指標如下：
𝐿𝐿𝑉𝑉𝐿𝐿𝐿𝐿𝑖𝑖,𝑡𝑡 =(𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃−𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐵𝐵𝑖𝑖𝐵𝐵)
𝑖𝑖,𝑡𝑡𝑀𝑀𝑖𝑖𝐵𝐵 = 1(𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴−𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐵𝐵𝑖𝑖𝐵𝐵)
2(𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴+𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐵𝐵𝑖𝑖𝐵𝐵) (6)
其中𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘及𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝐵𝐵𝑖𝑖𝑑𝑑分別為為金融機構第 i 檔股票於時間點 t 的賣價和買價，𝑃𝑃𝑖𝑖,𝑡𝑡𝑀𝑀𝑖𝑖𝑑𝑑為
第 i 檔股票於時間點 t 的中間價，即為賣價和買價的算術平均數。該指標基於兩 個原因被廣泛使用：其一，不同的股票難以單純使用股價進行比較，故使用流 動性指標標準化方可進行比較；其二，股票就算當日無交易仍可正常計算。該 指標愈小，代表買賣價差越小，進而說明該股票的流動性愈高。
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四、 策略績效衡量
本研究欲探討加入流動性指標的 Betting-Against-Beta 交易策略是否有效，
除了從超額報酬分析之外，亦須分析 alpha。alpha 為多因子資產定價模型迴歸 的截距項(intercept of the regression)，其經濟意涵為無法利用風險因子(risk factors)解釋的報酬。而本文計算 alpha 的方法概分為四：
（一） 資本資產定價模型(CAPM)主要為 Sharpe (1964)、Linter (1965)及 Mossin (1966)等人所提出，即利用市場風險溢酬(MRKT)作為風險因子去解釋 超額報酬，計算方法如下
𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽𝑖𝑖(𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡) + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (7)
其中𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡為第 i 檔股票於時間點 t 的超額報酬、𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡為時間 t 下市場
對於無風險利率的超額報酬。𝛼𝛼和𝛽𝛽𝑖𝑖為𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡對𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡跑迴歸得到的係數 估計值，而𝛼𝛼即為在 CAPM 下的 alpha。
（二） 三因子資產定價模型(Fama and French Three Factors Model, FF3)為 Fama and French (1993)提出，即利用市場風險溢酬(MRKT)、規模之風 險溢酬(Small Minus Big, SMB)和高低帳面價值對權益市值比率之風險 溢酬(High Minus Low, HML)作為風險因子去解釋超額報酬，計算方法 如下
𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽1𝑖𝑖(𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡) + 𝛽𝛽2𝑖𝑖(𝑆𝑆𝑀𝑀𝑆𝑆𝑡𝑡) + 𝛽𝛽3𝑖𝑖(𝐻𝐻𝑀𝑀𝐿𝐿𝑡𝑡) + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (8)
其中𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡為第 i 檔股票於時間點 t 的超額報酬、𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡為時間 t 下市場
對於無風險利率的超額報酬、𝑆𝑆𝑀𝑀𝑆𝑆𝑡𝑡為時間 t 下市值小的公司建構的投 資組合報酬率和市值大的公司建構的投資組合報酬率之差、𝐻𝐻𝑀𝑀𝐿𝐿𝑡𝑡為時
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間 t 下為帳面市值比(Book-to-Market Ratio)較高公司所建構的投資組合 報酬率和帳面市值較低公司所建構的投資組合報酬率之差。𝛼𝛼和𝛽𝛽𝑖𝑖為
𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡對上述三個風險因子跑迴歸得到的係數估計值，而𝛼𝛼即為在 Fama
and French 三因子模型下的 alpha。
（三） 四因子資產定價模型(Carhart Four Factors Model, FF4)為 Carhart (1997) 提出，即除了利用市場風險溢酬(MRKT)、規模之風險溢酬(Small Minus Big, SMB)、高低帳面價值對權益市值比率之風險溢酬(High Minus Low, HML)，亦考慮動能效應(Momentum, MOM)為風險因子去 解釋超額報酬，計算方法如下
𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽1𝑖𝑖(𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡) + 𝛽𝛽2𝑖𝑖(𝑆𝑆𝑀𝑀𝑆𝑆𝑡𝑡) + 𝛽𝛽3𝑖𝑖(𝐻𝐻𝑀𝑀𝐿𝐿𝑡𝑡)
+𝛽𝛽4𝑖𝑖(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡) + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (9)
其中𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡為第 i 檔股票於時間點 t 的超額報酬、𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡為時間 t 下市場
對於無風險利率的超額報酬、𝑆𝑆𝑀𝑀𝑆𝑆𝑡𝑡為時間 t 下市值小的公司建構的投 資組合報酬率和市值大的公司建構的投資組合報酬率之差、𝐻𝐻𝑀𝑀𝐿𝐿𝑡𝑡為時 間 t 下為帳面市值比(Book-to-Market Ratio)較高公司所建構的投資組合 報酬率和帳面市值較低公司所建構的投資組合報酬率之差、𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡為 時間 t 下高收益股票和低收益股票的報酬率之差。𝛼𝛼和𝛽𝛽𝑖𝑖為𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡對上述 四個風險因子跑迴歸得到的係數估計值，而𝛼𝛼即為在 Carhart 四因子模 型下的 alpha。
（四） 五因子資產定價模型(Pastor and Stambaugh Five Factors Model, FF5)為 除了利用市場風險溢酬(MRKT)、規模之風險溢酬(Small Minus Big, SMB)和淨值市價比溢酬(High Minus Low, HML)及動能效應
(Momentum, MOM)外，亦加入 Pastor and Stambaugh (2003)提出的流動 性風險因子(Liquidity Risk Factor)去解釋超額報酬，計算方法如下
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𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽1𝑖𝑖(𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡) + 𝛽𝛽2𝑖𝑖(𝑆𝑆𝑀𝑀𝑆𝑆𝑡𝑡) + 𝛽𝛽3𝑖𝑖(𝐻𝐻𝑀𝑀𝐿𝐿𝑡𝑡)
+𝛽𝛽4𝑖𝑖(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡) + 𝛽𝛽5𝑖𝑖(𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑡𝑡) + 𝜀𝜀𝑡𝑡 (10)
其中𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡為第 i 檔股票於時間點 t 的超額報酬、𝑀𝑀𝑅𝑅𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡為時間 t 下市場
對於無風險利率的超額報酬、𝑆𝑆𝑀𝑀𝑆𝑆𝑡𝑡為時間 t 下市值小的公司建構的投 資組合報酬率和市值大的公司建構的投資組合報酬率之差、𝐻𝐻𝑀𝑀𝐿𝐿𝑡𝑡為時 間 t 下為帳面市值比(Book-to-Market Ratio)較高公司所建構的投資組合 報酬率和帳面市值較低公司所建構的投資組合報酬率之差、𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑡𝑡為 時間 t 下高收益股票和低收益股票的報酬率之差、𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝑡𝑡為時間 t 下流動 性較差股票的報酬和流動性叫高股票的報酬率之差。𝛼𝛼和𝛽𝛽𝑖𝑖為𝑅𝑅𝑖𝑖,𝑡𝑡對上 述五個風險因子跑迴歸得到的係數估計值，而𝛼𝛼即為在 Pastor and Stambaugh 五因子模型下的 alpha。