第四章 模擬實驗
4.1 實驗設計與參數設定
我們分別針對最小 k-支配集合及最小多支配集合問題，使用 C 語言來模擬 分散式系統的自我穩定演算法，兩方法皆使用集中式的執行模型，利用時間亂數 種子給予每個節點一個唯一的 1~100 的 back-off timer，每回合以 back-off timer 最小的節點先做決策。直到都沒有特權節點為止，系統到達穩定。
我們的模擬實驗分別針對最小支配集合、最小 2-支配集合、最小 k-支配集 合等問題，比較我們的演算法和傳統的自我穩定演算以及 [17] 賽局理論的方法 效能的差異，每次實驗都會進行 1000 次，最後由平均支配者的數目來衡量效能。
支配者個數越少代表效能愈好，愈能達到省電的效果。最後針對最小多支配集合 問題，提出最小多支配集合演算法來和 [17] 賽局理論的方法比較效能差異。上 述的所有實驗分別運作在四種不同拓樸邏輯，分別為：Unit Disk Graph [21]，
[22]、ER model、WS model[23] 、BA model[24]。 以下依序介紹四種拓樸邏輯 以及如何實作和可設定的參數。
● Unit Disk Graph (UDG)：[21]，[22]
我們在 1000 m×1000 m 二維平面中，設置 n 個節點，每個節點都有固定的 傳輸半徑(Rt)，並給予一個隨機的二維座標，然後計算任兩節點間的距離，若任 兩節點間距離在彼此的傳輸半徑內，就會存在一條邊，最後判斷是否為連通圖，
若不是則再重覆上述步驟，直到產生連通圖為止。當要產生 UDG 拓樸邏輯時須 注意：(1).若一開始有節點的位置被分配在較偏遠的位置，而使得此節點不在任 何節點的傳輸半徑內，則會有孤立點的可能。(2). 但不能為了配合偏遠位置的節 點，把傳輸半徑設大一點，可能會造成節點之間過於密集，也比較不符合實際的
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網路環境。 因此，最好每個節點均勻分布比較好，一開始佈置節點座標時須注 意。如圖 4.1 即為一個 UDG。黑色圓圈代表節點，虛線部分代表每個節點的傳 輸範圍，黑色實線代表邊。
圖 4.1 Unit Disk Graph 的拓樸邏輯
ER Model：
由 60 年代開始，此模型所形成的網路為隨機網路，是指通過隨機過程產 生出的複雜網路。假設目前有 n 個節點，每個節點與其它節點(無論遠近)，是 否要有邊相接都是依照一個機率 Pe (0 < Pe < 1)來決定，建構出的網路就是 ER 模型的網路，每次建構完拓樸邏輯時，都必須檢查是否為連通圖，若不是則再 重覆上述步驟，直到產生連通圖為止。隨機網路的重要特性:大部分節點的分 支度都會接近某個平均值，遠大於或遠小於此平均值的節點數目是較少的，如 圖 4.2 的分布圖，橫軸為節點分支度，縱軸為各個分支度的節點統計數目。
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圖 4. 2 ER model 節點分支度的趨勢圖
WS Model：[23]
在 1998 年，瓦茨和斯特羅加茨提出了 WS 模型來解釋小世界網路，基於兩 人的一個假設：小世界模型是介於 Regular network(如圖 4.3)和 random network 之間的網路。模型的建構過程：(1).首先從一個 regular graph 開始(圖 4.3)，這個 網路中的 n 個節點，都與離它最近的 2 個節點相連，其中 是一個遠小於 n 的 正整數。(2).先選擇網路中的某個節點，從它開始（它是 1 號節點）將所有節點 順時針編號，再來針對 1 號節點的第 1 條邊來決定是否改和其他目前還沒有相連 的節點相接，會依照機率 Pr (0 < Pr < 1)來決定是否重連。重連方式如下：保持 1 號節點這一端不變，將連接的另一端隨機換成網路中目前還沒有邊相接的另一個 節點，依上述步驟檢查，直到 1 號節點的所有邊都判斷過，才依序換下一個節點 檢查，若其中有某節點的邊之前已經剛被重連過，則不再重複，直到所有節點都 檢查過為止。最後必須檢查是否為連通圖。
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圖4.3 regular graph
BA Model：[24]
Albert-László Barabási 與 Réka Albert 在 1999 年的論文中提出的模型，
用來解釋複雜網路。反應出現實生活中的網路，如新網頁一般會有到知名的網路 站點的連接，新加入社群的人會想與社群中的知名人士結識，新的論文傾向於引 用已被廣泛引用的著名文獻，新機場會優先考慮建立與大機場之間的航線等。
BA 模型的建構過程如下：(1).增長: 從一個較小的網路 G0開始(有 m0個節 點以及 E0 條邊)，之後每次都加入一個新的節點到拓樸邏輯中。(2).連接：當新 的節點要加入拓樸邏輯時，會向原有的 m0個節點連出 m 個邊（m < = m0）。而邊 連接的方式會優先考慮分支度大的節點。目前網路中的節點被接邊的機率為 Pi (依據(4.1)式來計算)。分母為目前網路中所有節點的分支度總合，分子為節點 i 目前的分支度。
(4.1)
依據上述步驟建構出 BA model 的拓樸邏輯，並且必須檢查是否為連通圖，
若不是則再重覆上述步驟，直到產生連通圖為止。BA model 的特徵為大部份的 節點分支度都很小，而且只有極少的節點與非常多的節點連接。形成如圖 4.4 的
di：為 node i 的分支度
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趨勢，橫軸為節點分支度，縱軸為各個分支度的節點數目統計。
圖 4.4 BA model 節點分支度的趨勢圖