第三章 最小多支配集合的自我穩定演算法
3.3 最小 k-支配集合的自我穩定演算法(IkDG)
我們假設最小 k-支配集合問題中的 k 為一個常數。假設在分散式系統下，使 用集中式的執行模型。每個節點都是根據鄰近節點的 x(i)值來更新自己的 g(i)值，
主要在圖 3.1 中 R1~R3 的規則中來判斷。而每個節點的 x(i)值是根據鄰居節點的 g(i)值來決定是否要改變，主要在圖 3.1 中 R4~R6 的規則中來判斷。
圖 3.1 最小 k-支配集合演算法 接下來介紹每條規則設計的用意。
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演算法規則說明:
R1：
若節點 i 的所有鄰居節點 j (不包括節點 i) 為支配者的數目小於 k，且節點 i 不 為支配者，且 g(i) 值不為 UNDER，則把 g(i) 改為 UNDER。
(代表節點 i 鄰近的支配節點不滿 k 個，且本身也不為支配者，則需要被其它節 點支配或自己變為支配者，因此節點會想把 g(i) 變為 UNDER，等於在賽局中，
讓其它參與者知道，來支配它是可以獲得利益值的)。
R2：
若節點 i 的所有鄰居節點 j (不包括節點 i) 為支配者的數目等於 k，且節點 i 不 為支配者，且 g(i) 值不為 EQUAL，則把 g(i) 改為 EQUAL。
(代表節點 i 鄰近的支配節點剛好 k 個，且本身也不為支配者，則無需被其它節 點支配或自己變為支配者，因此節點會想把 g(i) 變為 EQUAL，等於在賽局中，
讓其它參與者知道，它的支配需求剛好滿足，支配它是無法獲得利益值的)。
R3：
若節點 i 的所有鄰居節點 j 為支配者的數目大於 k 或節點 i 不為支配者，且 g(i) 值不為 OVER，則把 g(i) 改為 OVER。
(代表節點 i 鄰近的支配節點超過 k 個或本身為支配者，則無需被其它節點支配，
因此節點會想把 g(i) 變為 OVER，等於在賽局中，讓其它參與者知道，它超過 支配需求，支配它是無法獲得利益值的)。
R4：
若節點 i 的分支度小於 k，且為非支配者，則節點 i 可變為支配者。
(因為節點 i 根本無法有 k 個支配者鄰居來支配它，因此只能由節點本身變為支
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配者來支配自己，等於賽局中，支配自己可以獲得 - 的利益值，則會因為想獲 得利益而變為支配者)。
R5：
若節點 i 的分支度大於或等於 k，且鄰居存在有一個節點 j，其 g(j) 為 UNDER，
且節點 i 為非支配者，則可變為支配者。
(因為節點 i 知道鄰居有節點其 g(j) = UNDER，則若支配它可以獲得利益值，以 賽局角度來看，節點 i 可獲得利益，因此節點會做決策來變為支配者)。
R6：
若節點 i 的分支度大於或等於 k，且鄰近所有節點 j，其 g(j) 都為 OVER，且節 節 i 為支配者，則可變為非支配者。
(因為支配節點 i 知道鄰居所有節點其 g(j) = OVER，則若繼續支配它們則無法再 獲得利益值，以賽局角度來看，節點 i 因無法獲利，所以會做決策來變為非支配 者，來節省不必要的 成本支出)。
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3.3.1 演算法運作範例說明
圖 3.2 為初始圖形(Example 1)，假設 k = 2，總共 6 個節點，每個節點的初始 x(i) = false、g(i) = UNDER。若經過表 3.2 的決策順序後會變為圖 3.3。黑色節點 代表支配節點。再經過表 3.3 的順序則變為圖 3.4。最後經過表 3.4 的順序，圖 3.5 即為穩定狀態時，所找出的最小 2-支配集合：{P1，P2，P5，P6}。
圖 3.2 初始圖形(Example1)
表 3.2 決策順序(Example1 的第一部份) 節點編號 規則 狀態變化
P3 R5 x(3)=true P2 R5 x(2)=true P6 R4 x(6)=true P2 R3 g(2)=OVER P1 R4 x(1)=true P4 R5 x(4)=true P5 R5 x(5)=true P3 R3 g(3)=OVER
P 1 P 2 P 5 P 6
P 3
P 4
g(1) = UNDER g(2) = UNDER g(5) = UNDER g(6) = UNDER
g(3) = UNDER
g(4) = UNDER
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圖 3.3 Example1 第一部份後的圖形
表 3.3 決策順序(Example1 的第二部份) 節點編號 規則 狀態變化
P4 R3 g(4)=OVER P5 R3 g(5)=OVER P4 R6 x(4)=false P3 R6 x(3)=false P6 R3 g(6)=OVER P1 R3 g(1)=OVER P5 R6 x(5)=false P4 R1 g(4)=UNDER
圖 3.4 Example1 第二部份後的圖形
P 1 P 2 P 5 P 6
P 3
P 4
g(1) = UNDER g(2) = OVER g(5) = UNDER g(6) = UNDER
g(3) = OVER
g(4) = UNDER
P 1 P 2 P 5 P 6
P 3
P 4
g(1) = OVER g(2) = OVER g(5) = OVER g(6) = OVER
g(3) = OVER
g(4) = UNDER
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表 3.4 決策順序(Example1 的第三部份) 節點編號 規則 狀態變化
P3 R1 g(3)=UNDER P5 R1 g(5)=UNDER P5 R5 x(5)=true P5 R3 g(5)=OVER P4 R2 g(4)=EQUAL P3 R2 g(3)=EQUAL
圖 3.5 Example1 到達穩定後的圖形
3.3.2 最小 k-支配集合的證明
我們先前的研究 [17] 已經以賽局的方式提出了針對最小 k-支配集合問題的 效用函數。此效用函數會使得賽局到達納許平衡點。以下我們將證明當演算法到 達穩定時，所找出的支配集合必定是最小 k-支配集合。
Lemma 1 當演算法到達穩定時，每個節點 pi的 g(i)值必為正確
假設演算法到達穩定時，某個節點 pi的 g(i)值不為正確。
對此節點 p
i而言，演算法中的 R1~R3 任一條規則會成立，所以會更新 g(i)P 1 P 2 P 5 P 6
P 3
P 4
g(1) = OVER g(2) = OVER g(5) = OVER g(6) = OVER
g(3) = EQUAL
g(4) = EQUAL
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為正確值，因此演算法還未到達穩定。
與起初假設矛盾。
故可證明，當演算法到達穩定時，每個節點 pi的 g(i)值必為正確值。
Lemma 2 當演算法到達穩定時，必定找出最小 k-支配集合
假設演算法停止時，並未找出最小 k-支配集合
則至少存在一個多餘的節點 pi，將此節點從支配集合中拿掉，整個集合仍為 最小 k-支配集合。
根據 lemma 1，此節點 pi的所有鄰近節點 pj的 g(j)值皆為正確，代表節點 pi 會滿足演算法中的 R 6。所以代表演算法尚未達到穩定。
與起初假設矛盾。
故可證明，當演算法到達穩定時，必定找出最小 k-支配集合。