最小多支配集合的自我穩定演算法(IMDG)

(3.5)

(3.6)

3.6 最小多支配集合的自我穩定演算法( IMDG)

假設在分散式系統下，使用集中式的執行模型。每個節點都是根據鄰近節點 的 x(i)值來更新自己的 g(i)值，主要在圖 3.10 中 R1~R3 的規則中來判斷。而每個 節點的 x(i)值是根據鄰居節點的 g(i)值來決定是否要改變，主要在圖 3.10 中 R4~R5 的規則中來判斷。

圖 3.10 最小多支配集合演算法

接下來介紹每條規則設計的用意。

 演算法規則說明 R1：

節點 i 的所有鄰居節點 j (包括節點 i) 為支配者數目小於 k，且 g(i) 值不為_i

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UNDER，則把 g(i) 改為 UNDER。

(代表節點 i 鄰近的支配節點不滿 ki個，則需要被更多其它鄰居節點支配。

其 g(i)值也不一定為 OVER 了，因此節點會想把 g(i) 變為 UNDER，等於在 賽局中，讓其它參與者知道，來支配它是可以獲得利益值的)。

R2：

節點 i 的所有鄰居節點 j (包括節點 i) 為支配者數目等於 k，且 g(i) 值不為 i

EQUAL，則把 g(i) 改為 EQUAL。

(代表節點 i 鄰近的支配節點剛好滿足 ki個，則不需要被更多其它鄰居節點 支配。因此節點會想把 g(i) 變為 EQUAL，等於在賽局中，讓其它參與者知 道，它剛好滿足支配需求，支配它是無法獲得利益值的)。

R3：

節點 i 的所有鄰居節點 j (包括節點 i) 為支配者數目大於 ki，且 g(i) 值不為 OVER，則把 g(i) 改為 OVER。

(代表節點 i 已超過自身支配需求 ki，因此本身不需要再被更多的支配者支 配，因此節點會想把 g(i) 變為 OVER，等於在賽局中，讓其它參與者知道，

它超過支配需求，支配它是無法獲得利益值的)。

R4：

節點 i 的鄰居若存在至少一個節點 j，其 g(j) 為 UNDER，且 x(i) 值不為 true，則把 x(i) 改為 true。

(因為節點 i 知道鄰居有節點其 g(j) = UNDER，代表它需要被支配，所以節 點 i 可變為支配者來支配 j，以賽局角度來看，節點 i 可獲得利益，因此會 做決策來變為支配者，以獲得利益)。

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R5：

節點 i 的鄰居節點 j 其 g(j) 都為 OVER，且 x(i) 值不為 false，則把 x(i) 改 為 false。

(因為節點 i 所有鄰居節點都已滿足自身支配需求，所以節點 i 不需要支配 它們，因此可變為非支配節點，以賽局角度來看，節點 i 因無法獲利，所 以會做決策來變為非支配者，來節省不必要的 成本支出)。

3.6.1 演算法運作範例說明：

圖 3.11 為初始圖形(Example 2)，總共 6 個節點，每個節點的初始 x(i) = false、

g(i) = UNDER。若經過表 3.7 的決策順序後會變為圖 3.12。黑色節點代表支配節 點，k_i值代表各節點的支配需求。最後經過表 3.8 的決策順序，則變為圖 3.13，

即為穩定狀態時，所找出的最小多支配集合：{ P2，P4，P6}。

圖 3.11 初始圖形(Example 2)

P 1 P 2 P 5 P 6

P 3

P 4

g(1) = UNDER g(2) = UNDER g(5) = UNDER g(6) = UNDER

g(3) = UNDER

g(4) = UNDER k1=1 k2=2

k3=1

k4=2

k5=2 k6=1

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表 3.7 決策順序(Example 2 的第一部份) 節點編號 規則 狀態變化

P6 R4 x(6)=true P4 R4 x(4)=true P2 R4 x(2)=true P1 R2 g(1)=EQUAL P1 R4 x(1)=true P4 R2 g(4)=EQUAL P3 R2 g(3)=EQUAL P5 R2 g(5)=EQUAL P6 R2 g(6)=EQUAL P3 R4 x(3)=true

圖 3.12 Example 2 的第一部份後的圖形

P 1 P 2 P 5 P 6

P 3

g(1) = EQUAL g(2) = UNDER P 4 g(5) = EQUAL g(6) = EQUAL g(3) = EQUAL

g(4) = EQUAL k1=1 k2=2

k3=1

k4=2

k5=2 k6=1

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Lemma 3 當演算法到達穩定時，必定找出最小多支配集合

假設演算法停止時，並未找出最小多支配集合

則至少存在一個多餘的節點 pi，將此節點從支配集合中拿掉，整個集合仍 為最小多支配集合。

根據 lemma 1，此節點 pi 的所有鄰近節點 pj 的 g(j)值皆為正確，代表節點 pi 會滿足演算法中的 R 5。所以代表演算法尚未達到穩定。

與起初假設矛盾。

故可證明，當演算法到達穩定時，必定找出最小多支配集合。

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