第三章 最小多支配集合的自我穩定演算法
3.4 賽局與演算法的差異
圖 3.1 的演算法中，每個節點要更新的 x(i)或 g(i)值都與其鄰居節點的 local variable 直接相關，而又跟鄰居的鄰居的 local variable 間接相關。自我穩定演算 法的運作模式是，先檢查是否符合演算法中某條規則的先決條件。若有符合，則 執行相對應的動作。若有多條規則的先決條件均符合，則只會執行其中某一條規 則的動作。因為在圖 3.1 的演算法中，x(i)和 g(i)的值的更新動作分別寫在不同的 規則中，所以可能導致節點的 x(i)和 g(i)的值不一致(inconsistent)。結果就是節點 可能會參考了自己或鄰居節點未更新的 g(i)值來更新自己的 x(i)，造成演算法進 入暫時性的錯誤狀態。雖然如此，自我穩定演算法可以保證不管演算法初始狀態 為何或是否進入暫時性的錯誤狀態，都能夠保證可在有限時間內達到穩定而正確 的狀態。舉例而言， 圖 3.6 是一個 5 個節點的範例，支配需求為 2。若依照表 3.5 的決策順序，變為圖 3.7。此時 P1、P4 和 P5 變為支配者(如圖 3.7)，則它們 的 g(i)值皆應為 OVER。因為一次只會執行其中某一條規則的動作，所以導致變 數值不一致的情況。
在傳統完美資訊賽局設計中，只要任何一個參與者做了決策，所有其它參 與者都可以根據此最新的決策資訊來進行後續決策。相較之下，圖 3.1 演算法像 是實作一個非完美資訊賽局。一般而言，此非完美資訊賽局可以探索更多可能的 問題解，效能反而比完美資訊賽局的方法來得好。以下我們舉例來說明。
圖 3.8 為非完美資訊賽局的某個初始狀態或執行至一半的中間暫態。假設 k = 1，P1~P10 代表 10 個節點，黑色節點代表為支配節點，g 值代表演算法中的 g(i)，
初始狀態有 UNDER、OVER，支配者(x(i) = true 的節點)為：{P1，P2，P3，P4，
P9，P10}。若依照表 3.6 的決策順序，非完美資訊賽局最終得到的最小支配集合 為：{P3，P4，P8}。
圖 3.9 為完美資訊賽局中對應圖 3.8 的狀態。此時的支配者集合(ci=1 的節點) 同樣為{P1，P2，P3，P4，P9，P10}。完美資訊賽局最終到達穩定時的最小支配
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集合內必定有 4 個節點。原因是右邊的節點 1、3、5、7、8、10 中，節點 1、3、
10 一定為支配者(因為可獲得利益，所以不會再變為非支配者)，而節點 5、7、8 一定為非支配者(若變為支配者無法獲得利益)。再來以剩餘節點 2、4、6、9 來 看，節點 2 一定為非支配者，而節點 4、6、9 只要有一個為支配者即可滿足支配 集合的定義。因此完美資訊賽局可能得到的最小支配集合為{P1，P3，P4，P10}、
{P1，P3，P6，P10}、或{P1，P3，P9，P10}。
上述例子中，完美資訊賽局設計最少需要 4 個支配節點，但自我穩定演算法(非 完美資訊賽局)是可以找出三個支配節點的解。此例子說明了為何一般而言，自 我穩定演算法的效能會比賽局設計的結果來的好。
圖 3.6 節點的 x(i) 和 g(i)值不一致
表 3.5 決策順序(圖 3.5 的決策)
g(1) =UNDER
g(2) =EQUAL g(3) =OVER
g(4) = UNDER
g(5) =UNDER P 1
P 2 P 3
P 4 P 5
節點編號 規則 狀態變化 P7 R5 x(7)=true P1 R5 x(1)=true P7 R3 g(7)=OVER
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圖 3.7 (圖 3.5)決策後的圖形
圖 3.8 執行 IkDG 前的初始狀態
圖 3.9 執行 PkDG 前的初始狀態
g(1) =UNDER
g(2) =EQUAL g(3) =OVER
g(4) = UNDER
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表 3.6 決策順序(IkDG 部份) 節點編號 規則 狀態變化 P8 R5 x(8)=true P6 R5 x(6)=true P7 R5 x(7)=true P6 R3 g(6)=OVER P5 R3 g(5)=OVER P10 R3 g(10)=OVER
P7 R6 x(7)=false P2 R6 x(2)=false P9 R6 x(9)=false P8 R3 g(8)=OVER P7 R2 g(7)=EQUAL P10 R6 x(10)=false P10 R2 g(10)=EQUAL
P2 R3 g(2)=OVER P6 R6 x(6)=false P9 R2 g(9)=EQUAL P1 R6 x(1)=false P5 R2 g(5)=EQUAL P2 R2 g(2)=EQUAL
不過，若以決策次數來比較，非完美資訊賽局演算法所需的決策次數會遠比 完美資訊賽局來得多，收斂時間相對就會比較久。所以我們提出的自我穩定演算 法事實上是以時間來換取效能。此部分的效能分析將在第四章中呈現。