小宣在有理數問題情境中的解題策略

由 於 小 宣 在 整 數 與 分 數 情 境 中 所 使 用 的 運 思 是 部 份 － 全 體 運 思 ， 而 非 測 量 運 思 ， 所 以 研 究 者 主 張 小 宣 所 具 備 的 有 理 數 概 念 ： 在 整 數 情 境 下 是 合 成 巢 狀 數 概 念 ， 尚 未 是 測 量 單 位 數 概 念 ； 在 分 數 情 境 下 則 是 與 合 成 巢 狀 數 概 念 相 對 應 的 加 法 性 分 數 概 念 ， 不 是 巢 狀 分 數 概 念 ； 對 等 關 係 的 具 備 加 法 性 和 等 分 割 的 性 質 。

第二節 小宣在有理數問題情境中的解題策略

本 節 旨 在 說 明 小 宣 在 中 年 級 各 類 型 有 理 數 問 題 情 境 中 的 解 題 能 力 與 策 略 ， 以 下 茲 就 小 宣 在 正 整 數 加 減 法 問 題 、 正 整 數 乘 法 問 題 、 正 整 數 除 法 問 題 、 分 數 問 題 情 境 和 對 等 關 係 問 題 中 ， 所 使 用 的 解 題 策 略 提 出 說 明 。

壹、正整數加減法的解題策略

對 三 年 級 的 學 童 而 言 ， 加 減 法 的 問 題 情 境 相 對 於 低 年 級 的 問 題 情 境 是 涉 及 較 大 數 值 的 計 算 ， 其 是 否 能 運 用 部 分 － 全 體 運 思 整 合 加 減 運 算 、 運 用 位 值 概 念 解 題 ， 都 是 中 年 級 學 童 必 須 達 成 的 學 習 成 就 。 在 此 整 數 加 法 問 題 包 含 和 數 和 加 數 未 知 問 題 ， 整 數 減 法 問 題 包 含 差 數 和 減 數 未 知 問 題 ， 小 宣 在 整 數 加 減 法 問 題 情 境 中 所 使 用 的 解 題 策 略 將 分 述 如 下 。

一、成功以心算方式解缺和數的一位數加法問題

所 謂 「 心 算 」 是 指 不 用 依 靠 具 體 物 或 表 徵 物 的 計 算 活 動 ， 而 「 缺 和 數 的 一 位 數 加 法 問 題 」係 指 形 如 5＋ 9＝ □，求 □ 數 值 的 問 題，其被 加 數 與 加 數 皆 為 一 位 數 ， 以 下 是 小 宣 的 解 題 原 案 ：

【 原 案 二 十 】

39 師 ： 五 個 ， 五 個 和 九 個 合 起 來 有 幾 個 ？ 40 生 ： 14 個 。

小 宣 在 解 題 時 完 全 不 需 要 靠 手 或 筆 之 類 的 具 體 物 及 表 徵 物 的 輔 助，即 可 快 速 的 算 出 正 確 解 答，可 見 10 以 內 的 數 對 小 宣 而 言 是 可 心 智 操 作 的 物 件 ， 類 似 的 情 節 見 行 3~4。

學 童 在 三 年 級 階 段 對 處 理 一 位 數 的 基 本 加 減 法 問 題 應 該 要 有 這 樣 的 成 就 ， 若 非 如 此 ， 教 學 者 可 準 備 心 算 卡 教 具 ， 隨 時 在 課 堂 上 利 用 零 碎 時 間 進 行 心 算 卡 活 動 ， 讓 學 童 能 加 強 熟 練 基 本 加 減 法 的 事 實 。

二、成功以直式算則解缺和數的二位數加法問題

所 謂 「 直 式 算 則 」 是 一 種 數 學 解 題 活 動 紀 錄 的 格 式 ， 成 人 在 直 式 格 式 上 進 行 加 減 算 則 時 ， 是 利 用 位 值 概 念 來 掌 握 解 題 活 動 的 進 行 ， 將 被 加 （ 減 ） 數 、 加 （ 減 ） 數 與 運 算 結 果 用 上 下 位 置 予 以 排 列 ， 同 位 值 的 數 碼 需 要 上 下 對 齊 以 利 計 算 。 以 下 是 小 宣 的 解 題 原 案 。

【 原 案 二 十 一 】

207 師 ： 喔 （ 將 紅 色 布 蓋 上 ） ！ （ 指 淺 紅 色 布 ） 這 個 六 排 一 排 有 四 個 ， （ 指 紅 色 布 ） 這 個 七 排 一 排 有 四 個 。

208 生 ： 嗯 ！

209 師 ： 合 起 來 一 共 有 多 少 個 ？ 六 排 四 個 （ 淺 紅 色 布 ） ； 七 排 四 個

（ 紅 色 布 ） 。

210 生 ： （ 在 紙 上 算 ， 見 圖 4-11） 嗯 ， 52 個 。 211 師 ： 52 個 喔 ！ 你 24 怎 麼 來 的 ？

212 生 ： 嗯 ， 六 乘 以 四 等 於 二 十 四 。 213 師 ： 那 你 28 怎 麼 來 的 ？

214 生 ： 嗯 ， 七 乘 以 四 等 於 二 十 八 。

圖 4-11 原 案 二 十 一 的 解 題 紀 錄

在 小 宣 確 認 過 淺 紅 色 布 下 有 6 排 每 排 4 個 的 積 木 ， 和 紅 色 布 下 有 7 排 每 排 4 個 的 積 木 後 ， 生 在 積 木 被 蓋 住 的 情 況 下 被 問 及 總 共 有 多 少 積 木 ， 生 在 紙 上 寫 下 24＋ 28＝52 的 直 式 算 則 後 回 答 52 個 。

由 圖 4-11 可 看 出 小 宣以 直 式 算 則 算 出 24＋28 的 和 數 52， 能進行 一 次 進 位 求 解 ， 推 測 小 宣 能 掌 握 個 位 與 十 位 之 間 的 位 值 關 係 ， 以 成 功 解 題 ， 類 似 的 情 節 見 行 41~46。

建 議 教 學 者 在 進 行 直 式 算 則 教 學 活 動 時 ， 能 進 一 步 提 問 檢 查 學 童 是 否 具 備 位 值 概 念，若 否，則 宜 加 強「 10」與「1」兩階 單 位 的 語 言 轉 換 活 動，例 如：12 是 幾 個 十 幾 個 一、三 個 十 和 二 個 一 是 多 少；此 外 也 可 利 用 定 位 板 輔 助 學 童 進 行 「10」 與 「1」 兩 階 單 位 的 轉 換 。

三、成功的將缺加數的二位數加法問題轉換成求差的減法問

題，並以直式算則予以解決

所 謂「 缺 加 數 的 二 位 數 加 法 問 題 」係 指 形 如 17＋□＝ 36，求□數 值 的 問 題 ， 當 中 被 加 數 與 和 數 皆 為 二 位 數 ； 而 「 求 差 的 減 法 問 題 」 則 指 形 如 36－17＝ □，求 □ 數 值 的 問 題。具 備 部 分 － 全 體 運 思 的 小 宣能 加 法 問 題 轉 換 為 減 法 問 題 是 可 以 預 期 的 ， 如 果 也 能 將 減 法 問 題 轉 換 為 加 法 問 題 顯 示 其 已 能 理 解 加 減 互 逆 ， 理 解 加 減 互 逆 為 整 合 加 減 運 算 的 重 要 目 標 ， 以 下 為 小 宣 的 解 題 原 案 ：

【 原 案 二 】

563 師 ： 好 ， 十 七 個 再 加 多 少 個 是 三 十 六 個 ？ 564 生 ： （ 在 紙 上 計 算 ， 見 圖 4-1） 十 九 個 。

565 師 ： 你 剛 才 為 什 麼 這 樣 手 這 樣 用 ？ （ 手 在 空 中 比 劃 ） 只 是 看 一 下 而 已 是 吧 ？ 好，你 怎 麼 算 出 來 十 九 個 ？ 三 十 六 減 十 七 是 吧 ？

566 生 ： 嗯 。

567 師 ： 可 是 我 是 問 你 說 十 七 個 再 加 上 多 少 個 是 三 十 六 個 ， 應 該 是 加 法 啊 ， 你 怎 麼 會 用 減 法 算 ？

568 生 ： 十 七 個 再 加 幾 個 是 三 十 六 喔 ？ 十 七 個 再 加 幾 個 三 十 六 喔 ？ 569 師 ： 對 呀 ！

570 生 ： 十 九 個 啊 ！

571 師 ： 嗯 哼 ！ 可 是 我 是 說 加 法 ， 你 怎 麼 用 減 法 算 ？

572 生 ： 因 為 … … 因 為 把 那 個 大 的 ， 大 的 減 小 的 會 變 成 小 的 。

圖 4-1 原 案 二 的 解 題 紀 錄

生 在 被 問 及 「 17 個 再 加 多 少 個 是 36 個 ？ 」 以 後 ， 在 紙 上 以 直 式 減 法 計 算 （ 如 圖 4-1） 後 回 答 19。 在 他 進 一 步 被 詢 問 題 目 是 加 法 而 為

何 用 減 法 算，生 先 將 題 目 念 了 二 次 後 回 答 19，又 再 一 次 被 問 及 為 何 改 用 減 法 計 算 時 ， 才 以 「 大 的 減 小 的 會 變 成 小 的 。 」 來 回 答 。

此 佈 題 的 題 意 為 合 成 問 題 ， 推 測 生 應 以 由 17 累 加 至 36 的數目為 答，然 而，他 卻 自 主 採 用 以 36－17 的 策 略 解 題，在 此 生 成 功 將 缺 加 數 的 問 題 同 化 為 求 差 數 的 問 題 求 解，顯 示 其 已 能 整 合 加 減 法，除 此 之 外，

在 直 式 算 則 中 顯 示 生 進 行 一 次 退 位 ， 順 利 掌 握 個 位 與 十 位 之 間 的 位 值 關 係 解 題 ， 類 似 的 情 節 見 行 7~15。

四、利用加法結合性成功求解缺加數的二位數加法問題 所 謂「 加 法 結 合 性 」是 指 如 果 有 A、B、C 三 個 數，則必 有（ A＋

B）＋ C＝ A＋（ B＋ C）的 性 質。生 在 此 解 題 原 案 中 利 用 此 性 質 成 功 求 解 缺 加 數 的 二 位 數 加 法 問 題。原 案 的 佈 題 為「 十 七 個 人 要 來 多 少 個 人，

合 起 來 才 會 有 五 十 六 個 人 ？ 」，但 在 佈 題 前，生 已 成 功 的 解 出 17＋□

＝ 36 的 答 案 是 19， 以 下 為 生 解 題 的 原 案 。

【 原 案 四 】

920 師 ： 三 十 九 ， 好 ， 你 怎 麼 得 到 三 十 九 的 ？ 921 生 ： 嗯 … … 就 … … 十 九 加 二 十 啊 ！

922 師 ： 十 九 加 二 十 ？ 923 生 ： 嗯 。

924 師 ： 二 十 哪 裡 來 的 ？ 925 生 ： 二 十 喔 ？ 926 師 ： 嗯 。

927 生 ： 就 是 三 十 六 ， 阿 加 二 十 等 於 五 十 六 。 928 師 ： 喔 ！ 五 十 六 來 的 。 十 九 哪 裡 來 的 ？ 929 生 ： 十 九 喔 ？ 就 是 … … 剛 剛 的 啊 … … 930 師 ： 剛 剛 三 十 六 減 十 九 等 於 十 七 的 。 931 生 ： 對 。

932 師 ： 那 為 什 麼 要 十 九 ？ 933 生 ： … …

934 師 ： 因 為 我 們 是 從 十 七 個 開 始 ， 是 不 是 ？

935 生 ： 嗯 。

生 被 問 及「 十 七 個 人 要 來 多 少 個 人，合 起 來 才 會 有 五 十 六 個 人 ？ 」 的 問 題 後 ， 思 索 一 陣 子 後 回 答 三 十 九 個 ， 進 一 步 被 詢 問 如 何 算 出 答 案 時，以「 十 九 加 二 十 啊 」回 答，在 被 追 問 20 從 何 而 來 時 表 示 20 是 36

＋ 20＝ 56 而 來 ， 接 著 又 被 問 及 19 哪 裡 來 ， 回 答 「 是 剛 剛 的 」 ， 研 究 者 進 一 步 確 認 是 否 是 上 一 題 的 36－ 19＝17，生 同意，最 後生被 問 及為 何 要 19 時 一 時 沉 默 ， 等 研 究 者 說 「 因 為 我 們 是 從 十 七 個 開 始 ， 是 不 是 ？ 」 ， 生 同 意 。

由 行 927「 就 是 三 十 六 ， 阿 加 二 十 等 於 五 十 六 」 中 可 看 出 生 將 上 題 的 36 與這題的 56 做 連 結，透 過 比 較 得 知 36 還 要 再 加 20 才 會 達 56，

再 將 20 與 19 合 成 得 出 答 案 39， 其 中 56 結 構 已 由 題 意 的 17＋ □ 變 成 36＋ 20 轉 化 成 （ 17＋ 19） ＋ 20 再 轉 化 為 17＋ （ 19＋ 20） ， 其 中 生 將

（ 17＋ 19）＋20 視 為 17＋（19＋20），乃 是 利 用 加 法 結 合 性 成 功 解 題。

善 加 利 用 加 法 結 合 性 可 以 簡 化 計 算，如 56＋ 99＋1 為 例，如果 99 先 與 1 相 加 得 100，56 再 與 100 相加，相 較於 56＋ 99 再 加 1 而言，計 算 容 易 許 多 ， 教 學 者 可 多 提 供 類 似 的 多 步 驟 加 法 問 題 ， 提 供 學 生 利 用 加 法 結 合 性 解 題 的 經 驗 ， 以 培 養 簡 化 計 算 的 能 力 。

五、成功以直式算則解缺差數的二位數減法問題

直 式 算 則 的 演 算 會 牽 涉 到 位 值 概 念 和 進 退 位 問 題 ， 直 式 算 則 計 算 的 進 退 位 就 是 進 行 位 值 單 位 的 換 算 。 在 數 學 課 程 的 安 排 下 ， 國 小 二 年 級 的 學 童 就 應 熟 練 二 位 數 直 式 計 算 ， 理 解 進 位 與 退 位 。 在 二 位 數 減 二 位 數 的 減 法 問 題 中 的 退 位 是 將 一 個 十 轉 換 為 十 個 一 ， 小 宣在 此 能 熟 練 直 式 計 算 。

【 原 案 二 十 二 】

7 師 ： 33 個 和 這 裡 （ 指 另 一 塊 淺 紅 色 布 ） 合 起 來 一 共 有 51 個 ，

8 生 ： （ 用 紙 筆 計 算 ， 見 圖 4-12， 約 13 秒 ） 18 個 。 9 師 ： 18 個 。 聲 音 大 一 點 。

10 生 ： 18 個 。

11 師：18 個。小 宣 我 問 你 喔 ！ 我 剛 才 是 這 個（ 紅 色 布 ）和 這 個（ 淺 紅 色 布 ） 加 起 來 ， 你 為 什 麼 要 用 減 法 ？

12 生 ： 因 為 你 問 我 這 裡 （ 指 淺 紅 色 布 ） 有 幾 個 。

13 師 ： 可 是 我 問 你 ， 我 說 是 這 個 （ 淺 紅 色 布 ） 和 這 個 （ 紅 色 布 ） 加 起 來 是 51 個 啊 ！ 這 裡 （ 紅 色 布 ） 有 33 個 啊 ！ 那 明 明 是 加 法 你 怎 麼 用 減 法 ？ 你 做 對 了 啊 ！ 你 為 什 麼 要 用 這 樣 ？ 14 生 ： 因 為 有 51 個 ， 啊 ， 有 51 個 然 後 減 這 裡 （ 指 紅 色 布 ） 的 就

會 等 於 這 裡 （ 指 淺 紅 色 布 ） 的 。

圖 4-12 原 案 二 十 二 的 解 題 紀 錄

當 生 被 問 及「33 個 和 這 裡（ 指 另 一 塊 淺 紅 色 布 ）合 起 來 一 共 有 51 個，這 裡 有 幾 個（ 指 淺 紅 色 布 ）？ 」時，生 在 紙 上 以 直 式 計 算 51－33 算 出 答 案 18（ 見 圖 4-12）。

從 其 圖 4-12 的 解 題 紀 錄 與 演 算 時 間 僅 花 費 了 13 秒推斷，生對減 法 直 式 算 則 的 運 算 有 一 定 的 熟 練 度 ， 退 一 位 對 生 而 言 並 無 困 難 ， 類 似 的 情 節 見 行 872~885。

六、成功以直式算則解缺差數的四位數減法問題，但在說明 過程時仍有瑕疵

含 多 重 退 位 的 直 式 計 算 則 是 三 年 級 欲 達 成 的 目 標 ， 四 位 數 減 二 位 數 的 減 法 問 題 時 雖 然 計 算 涉 及 多 重 退 位 ， 但 是 小 宣還 是 熟 練 的 以 直 式 計 算 算 出 正 確 的 答 案 ， 可 是 在 說 明 解 題 過 程 中 卻 有 瑕 疵 。

【 原 案 二 十 三 】

675 師 ： 很 好 。 假 定 我 放 一 千 零 二 個 花 片 在 裡 面 。 676 生 ： 嗯 。

677 師 ： 我 拿 走 十 八 個 會 剩 幾 個 ？

678 生 ： （ 在 紙 上 計 算 ） 九 百 八 十 四 個 。 679 師 ： 這 個 九 是 什 麼 意 思 ？

680 生：這 是 … … 因 為 … … 它 不 夠 減 它，所 以 要 去 借 十，阿 它 沒 有 ， 它 也 沒 有 ， 它 有 啊 ， 所 以 就 是 一 百 ， 那 一 百 減 去 十 就 是 九 十 九 啊 ！

681 師 ： 一 百 減 十 是 九 十 啊 ！ 怎 麼 會 是 ？ 682 生 ： 九 十 九 。 九 十 九 啊 ！

683 師 ： 一 百 減 十 怎 麼 會 是 九 十 九 ？ 684 生 ： 不 是 ， 一 百 減 一 。

685 師 ： 喔 ， 這 樣 子 的 啊 ！ 686 生 ： 嗯 … …

我 向 生 佈 下 「 一 千 零 二 個 花 片 拿 走 十 八 個 會 剩 幾 個 ？ 」 的 問 題 ， 生 在 紙 上 以 直 式 計 算 1002－ 18 算 出 984，並以 之 為 答，當 我 向 其 詢 問 紙 上 的 直 式 算 則 中 的 9 是 什 麼 意 思 時，從其 行 680「 因 為 它 不 夠 減 它 ，

我 向 生 佈 下 「 一 千 零 二 個 花 片 拿 走 十 八 個 會 剩 幾 個 ？ 」 的 問 題 ， 生 在 紙 上 以 直 式 計 算 1002－ 18 算 出 984，並以 之 為 答，當 我 向 其 詢 問 紙 上 的 直 式 算 則 中 的 9 是 什 麼 意 思 時，從其 行 680「 因 為 它 不 夠 減 它 ，