小數的除法概念

壹、小數的概念與內涵

對一般學生而言，小數是非常抽象和模糊的課程，一般學生很少會經由日常 生活來瞭解其意義。以日常生活中頻率使用最大的錢幣為例，由於台灣的幣值很 大，我們幾乎是以一元幣值為最小單位，所以，買賣東西很少以小數來表示物價，

甚至於量也是如此。例如：小明真正的身高153.2 公分、體重43.2 公斤，但一般 習慣會說小明的身高是153公分、體重43公斤，我們常會將整數後面的小數部分 忽略，因而對小數並不會產生特別的感覺，造成我國學生對於小數是較不容易從 生活中了解，相對地，學習起來常常會有很多迷思概念。

Hiebert (1992)認為小數概念可具體的分為三類：記數系統 (notation system)、

運算規則 (rules)、數量的意義 (quantity)。即知道小數表示的形式、正確使用運 算規則來解決小數問題、瞭解小數所表示的數量。Hiebert也非常強調「連結 (connect )」的觀念，但他認為學童在上述三種知識的連結做得並不是很好，情形

如下：

一、「記數系統」與「數量的意義」無法產生連結

學童可能知道記數符號，卻無法了解數學符號的意義。例如學童可能會念 2.45，知道個位是2、十分位是4、百分位是5，但無法了解2.45是介於2與3之間，

因此對於2.45這個數缺乏「數感」。

二、「數量的意義」與「運算規則」無法產生連結

學童利用太多時間和精神在運算規則上，使得抽象的數學符號與具體的真實 世界表徵脫離。

所以我們若希望學生對小數概念是真正內化與了解，那就必頇加強「記數系 統」、「運算規則」、「數量的意義」等知識之間彼此的連結。

劉曼麗(2002)將小數概念具體分為小數符號的意義、小數符號的結構、小數的應 用等三部分。小數符號的意義主要包含小數圖像表徵和小數與分數雙向連結兩 類；小數符號的結構主要包含小數符號的辨識、小數的寫法、小數的讀法、小數 的位值、小數的位名、小數的化聚等六項；小數的應用主包含小數單複名數轉換、

小數的估測、小數大小比較、小數的稠密性、小數的計算、小數的估算、文字題 等七項。

此外 Hiebert & Wearne (1988) 認為學生要發展穩固的小數知識需歷經四個 階段：連結(the connecting process)、發展(the developing process)、精緻與熟練(the elaborating and routinizing process)、抽象化(the abstracting process)。

一、連結：透過指示物的操作結果，連結數字符號和運算符號。而指示物必頇為 日常生活的物質(錢幣)或特別設計的教具(各單位的數學積木)。而指示物的運算 (加、減)是連結數學符號運算，使學生從中產生答案，並以此為基礎了解符號的 運算意義。

二、發展：學童隨著指示物的操作，所發展出來處理符號的程序。此程序乃是進 一步把符號給予擴大的結果。如：操作１個白色積木，連結小數符號0.1後，進而

瞭解2個白色積木，所表示的小數符號是0.2，而3條橘色積木和5個白色積木，所 表示的小數符號是3.5。連結和發展過程主要在於透過指示物的操作，從意義上了 解小數符號的表達方式，包括指示物與符號的連結，以及觀察指示物所發展的規 則。

三、精緻與熟練：在脫離指示物後的學習過程，兩者是獨立的，精緻在前，熟練 在後。精緻指的是擴展程序性知識到其他相似的情境，如指示物世界中所發展出 來0.3×1.8，可延伸到其他不同位數的乘法問題2.365×12.05。熟練指的是記住和練 習規則直到成為習慣性，並可用小數概念來執行。精緻與熟練能展現出數學的成 效，能在脫離指示物後做複雜的運算和藉由在紙上的符號移轉來達到認知需求。

四、抽象化：此過程是以符號和規則作為一個常見系統的指示物，持續地重複前 面三個階段，以建立更抽象、更複雜的系統。

前兩階段是發展小數概念的意義，後兩階段是熟練計算程序。前兩個階段強 調學生小數概念的發展，並認為學生唯有具備穩固的小數知識後，才能邁入第三 階段，正確的使用計算程序並應用到非例行性題目，最後達到抽象化階段。

我國近十年來的國小數學課程共歷經三種不同版本，分別是國小數學新課 程、九年一貫課程暫行綱要數學教學領域、九年一貫課程綱要數學教學領域。本 研究工具的編製是以九年一貫課程綱要數學學習領域為依據，其有關小數教材綱 要之分析，如表2-2-1 所示(教育部，2003)。

表2-2-1 九年一貫課程綱要數學領域中小數教材之分析

階段能力指標 分年細目 說明

N-1-10

能認識一位小數，並作 比較與加減計算。

3-n-10 能認識一位小數，

並作比較與加減計算。

◎學習一位小數(整數 兩位)的加減直式計算。

◎重點在熟悉小數點的 意義，並理解在小數加 減直式計算中要對齊小 數點。

N-2-10

算時，在最後的策略「小數點的位置」上判斷錯誤的結果。林軍治（1986）提出 學童很難接受除數小於1，商會比被除數大；劉曼麗（2002）也提到學生會有「乘 使結果變大，除使結果變小」的迷思概念，如果題目中有「倍」字出現就使用乘 法，有「分出」的文字就使用除法的迷思。劉曼麗（2004）指出在小數除以整數 的題目中，多數學生能做對求商的部份，但卻無法說明理由，只是記住除法算則，

而在求餘數部份則容易發生未標小數點的錯誤。Brian 和Greer 探討文獻，發現 學生經常將文字題內的數字作單一式子的運算，並從文獻中整理以下四種情形

（引自劉曼麗，2002) :

一、數字的迷思：當一個算式中，出現小於1或大於1的小數時，容易造成學生乘、

除法的不保留概念。尤其是「乘變大、除變小」的迷思概念。

二、小數與整數的連結不夠：缺乏在小數、分數和整數之間的連結概念，認為小 數系統的處理方式是分開的，小數是不連續的。還有小數、分數和整數之間的連 結意義了解不夠。

三、會使用替代的解題方法：學生喜歡用單一式子來解決問題。

四、運算概念的缺乏：學生在一個給定數字乘法或除法運算的式子中，要求學生 寫出一個符合此運算的文字題，是很難的。

陳永峰（1998）發現小數除法對學生而言是困難的，例如商的小數點判斷，

餘數小數點的決定，學生都比較不能掌握。在乘、除小數時，會放錯基數的小數 點或餘數的小數點；也有些學生在求餘數問題中常以四捨五入法求商；而在餘數 的除法中，常有學生會忽略餘數的小數點，或是將餘數的小數點對齊移位後的被 除數小數點等錯誤的想法。

根據近二十年的小數相關研究或評量報告得知，學生在小數的學習上常會 受到整數或分數的學習經驗的影響，而產生許多的迷思概念，造成其學習表現 並不理想（周筱亭，1990；簡茂發、劉湘川，1993；杜建台，1996；劉曼麗，

1998）。學生在小數乘、除的估算或在小數乘、除的文字題的表現上也不佳。

艾如昀(1994)發現五年級學生在文字題的列式上，若遇到除數為小數的問題

劉曼麗