研究設計

本研究自編一份國小六年級學童小數的除法測驗，並參考林佳樺（2009）

所探討之 HO-IRT 估計模式，透過實證資料方式探討完整估計與分開估計之估 計效果，並以 AIC、BIC 和 DIC 指標。來檢驗 HO-IRT、MIRT_C、MIRT_U 和 UIRT 四種模式之適配度，作為模式選用之依據。用統計軟體進行各階層之分開 估計及兩階層之完整估計，接著比較 UIRT、MIRT_C 和 MIRT_U 的分開估計與 HO-IRT 完整估計的成效。

壹、自編小數的除法測驗

一般測驗的計分型態可分為二元計分與多元計分。大型測驗大多屬於多向 度測驗，多向度測驗又分為題間多向度測驗和題內多向度測驗。本研究自編之 國小六年級學生之小數的除法測驗為二元計分，共有 24 題，測驗之詴題設計為 題間多向度測驗。

貳、模式估計

本研究用來做測驗參數估計的模式有 UIRT、MIRT_U、MIRT_C 及 HO-IRT 四種。本研究所指之整體量尺（代號 H）為國小六年級學生小數的除法能力，

領域量尺（代號 L）為 TIMSS 評量架構中之認知領域--知道（L₁）、應用（L₂） 和推理（L₃）。

UIRT 模式是指估計整體量尺的能力，如圖 3-1-1；MIRT_U 模式是指用 UIRT 來估計 MIRT 的模式，也就是將各個領域量尺視為獨立，如圖 3-1-2，L₁包含 X01到 X₀₉和 X₁₇，也就是詴題 1 到 9 和詴題 17； L₂包含 X₁₀到 X₁₃ 、X₁₅ 、 X₁₉ 、X₂₀ 、X₂₂和 X₂₄，也就是詴題 10 到 13 和詴題 15、19、20、22、24； L₃ 包含 X₁₄、X₁₆、X₁₈、X₂₁和 X₂₃，也就是詴題 14、16、18、21 和詴題 23；MIRT_C 模式也是用 UIRT 來估計 MIRT 的模式，但各個領域量尺之間彼此有關聯，L₁ 包含 X₀₁到 X₀₉和 X₁₇；L₂包含 X₁₀到 X₁₃ 、X₁₅ 、X₁₉ 、X₂₀ 、X₂₂和 X₂₄；L₃ 包含 X₁₄、X₁₆、X₁₈、X₂₁和 X₂₃，如圖 3-1-3；HO-IRT 模式是指同時估計整體量 尺和領域量尺的能力， X₀₁到 X₀₉和 X₁₇是估計 L₁；X₁₀到 X₁₃ 、X₁₅ 、X₁₉ 、 X20 、X₂₂和 X₂₄是估計 L₂；X₁₄、X₁₆、X₁₈、X₂₁和 X₂₃是估計 L₃，₁、₂和₃ 分別代表 L₁、L₂和 L₃與 H 間的相關係數，如圖 3-1-3。

圖 3-1-1 UIRT 模式 X01-09, X17

X10-13,

X₁₅ ,X₁₉ ,X₂₀ X_22, X₂₄

X_14, X_16, X₁₈ X_21,X₂₃

整體量尺

小 數 的 除 法

（H）

圖 3-1-2 MIRT_U 之題間多向度模式

圖 3-1-4 HO-IRT 之題間多向度模式 架構(Bayes framework)下的 Akaike’s information coefficient (AIC)、Bayesian information coefficient (BIC)與 deviance information coefficient (DIC) 三種指標，

驗證 HIRT 架構下的測驗資料，以了解 AIC、BIC 和 DIC 三種指標，在 HO-IRT 模式之詴題反應函數(item response function; IRF)選擇的效果。

本研究採用 Congdon(2003)基於貝葉斯架構的 AIC、BIC 與 DIC 三種指標，

X_01-09, X₁₇

探究在 HO-IRT、MIRT_U、MIRT_C 和 UIRT 模式下，哪一種模式與測驗資料 之間的適配度是合適的。三種指標的定義如下（引自謝典佑等，2009）：

一、 AIC 指標：是指統計上模式之相對適配度的測量。

A I C(M o d e l)d2p

d 為偏差，對一個模式而言，偏差的值較小，表示資料與模式的適配度較 好。d 是−2×log（最大概似法，maximum likelihood）；p為模式中的參數量。

本研究之參數量，有一個主要量尺、三個次級量尺、一個詴題難度參數和三個 迴歸參數，一共八個參數量。

二、 BIC 指標：在不同類別之參數量中，模式選擇的一種指標。

BIC(Model)d p(logN)

N 為樣本數，本研究樣本數為 538 人。

三、 DIC 指標：AIC 和 BIC 的一般化階層式模式的指標，以 MCMC 模擬方法 獲得後設分配，且當後設分配是多元常態分配時，DIC 指標才有價值。

D I C(M o d e l)  D() pD  D()2PD

D()為後設模式之帄均偏差，是一種模式適配度的 Bayesian 測量,而

) (

D 為後設模式之偏差。p_D為模式中的自由參數量，P_D  D() D()。以 DIC 的最小值作為模式的選擇，是觀察一組複製相同結構之資料的最好預測。

此外，DIC 的優點是從樣本中，以 MCMC 模擬方法很容易就能算出指標值，