研究動機與目的

第一節 研究動機與目的

國外不少先進國家的教育機構，都深切關注學生數學方面的基本能力表現，

為提高國民的素質及國際間的競爭力，紛紛提供了許多全球性的大型測驗及良好 的評量架構，如：國家教育進展評量（The National Assessment of Educational Progress，簡稱NAEP）、國際學生評量（The Programme for International Student Assessment ， 簡 稱 PISA ） 和 國 際 數 理 趨 勢 研 究 （ The Trends in International Mathematics and Science Study，簡稱TIMSS）。TIMSS從1995年起每四年舉辦一次 的國際數學和科學教育成就趨勢調查，其目的是想要對於各國學生數學及科學學 習成就來進行瞭解，以及將測驗中所得到的數學與科學學習成就表現拿來和各國 文化背景、學習環境、教師因素等因子比較彼此的相關性和影響程度。另外，將 參與測驗的各國成就表現，攤開來做縱向的比較，讓參加的國家瞭解其表現在國 際間的排名，以做為各國教育或課程改革的參考依據，所以，參與此項測驗的國 家有逐次增長的趨勢，以最近一次TIMSS 2007的測驗為例，就有69個國家參加，

可見它的影響層面及受全球重視的程度是不容小覷的。

TIMSS 2007四年級數學詴題評量架構分為內容和認知兩個領域。內容領域是 指評量的內容，分別為數( Number)、幾何圖形與測量(Geometric Shapes and Measures)、資料呈現(Data Display)。認知領域是指預期學生在接受評量內容時，

可能產生的認知技能，分別為知道(knowing)、應用(applying)以及推理(reasoning)。

第一個認知領域「知道」，涵蓋了學生必頇知道的事實、程序和概念；而第二個 認知領域「應用」，著重於學生應用知識和概念性理解去解決問題的能力；第三 個認知領域「推理」，越過例行性問題的解決，而包含不熟悉的情境、複雜的文 章脈絡和多重步驟之問題。周素芳（2008）以TIMSS 2007數學評量架構，對台灣 國小學童發展一套數學成就評量編製模式。以自編之數學成就評量為工具，採隨

機抽樣對台北市國小四、五年級學童施測，研究結果發現以TIMSS 2007的評量架 構，在台灣國小學童發展一套數學成就評量的模式是可行的。蔡志隆（2008）更 進一步，以TIMSS 2007評量架構之應用，在金門縣進行國小四年級、五年級學童 數學成就之調查研究，希望能了解國小四年級、五年級學童數學成就表現的情 形。研究結果發現TIMSS 2007評量架構應用在金門縣國小學童之數學成就調查具 有可行性與實用性。另外，在認知領域方面，全部樣本國小學童表現最好的是知 道領域，帄均答對率為.75，其次是應用領域，帄均答對率為.55，表現較差的是 推理領域，帄均答對率為.52。以上研究對象是四、五年級，因此，本研究也想要 仿照TIMSS 2007的評量架構來編製測驗，以六年級為研究對象，探討其可行性。

一般大型測驗通常都會有總測驗的分數，在本研究稱為整體量尺（overall ability）及分測驗的分數，在本研究稱為領域量尺（domain ability），屬於階層式 的測量模式，但這些大型標準化測驗，在測量模式的配合上仍有不足之處，如 NAEP、TIMSS使用單向度詴題反應理論（unidimensional item response theory, 簡 稱UIRT）為主要的測量模式，僅能對不同的學科能力以單一能力值進行描述（Lee, Grigg & Dion,2007; Mullis,Martin, Ruddock, O`Sullivan, Arora, ＆ Erberber, 2007）；PISA雖使用多向度詴題反應理論（multidimensional item response theory, 簡 稱 MIRT ） 中 之 多 向 度 隨 機 係 數 多 項 logit 模 式 （ multidimensional random coefficients multinomial logit model, 簡稱 MRCMLM）但也僅針對各學科之次級 量尺進行估計，對於各學科之主要量尺仍使用UIRT模式進行估計（林佳樺，

2009）。

這些屬於階層式測量模式的著名大型測驗，若使用UIRT或MIRT模式來進行 能力值的估計，可能會因違背其假設而使整體量尺的能力估計不準確，或是當領 域量尺所對應的題數較少時，會造成領域量尺的能力估計效果不可靠。因此，de la Torre＆Song（2009）提出高階層詴題反應理論模式（higher-order item response theory model，簡稱HO-IRT模式），此模式同時包含整體量尺與領域量尺，皆為連

續量尺，可視為階層式的一般化模式。為因應較複雜之評量架構，林佳樺（2009）

探討適用於階層式評量架構的測量模式，以PISA之評量架構作為基礎，設計高階 層詴題反應理論模式，此模式可以同時估計整體量尺與領域量尺，稱為完整模 式，且估計誤差皆接近或優於PISA之估計方式，但其研究是使用模擬資料進行探 討。張勝凱（2010）編製一份國小六年級數學推理能力測驗，使用HO-IRT模式進 行實證資料分析，探討HO-IRT模式應用於數學推理能力測驗的可行性。故本研究 也想以實證資料來探究HO-IRT之完整模式，在實際測驗上是否有相同的成效。

在國小的數學課程中，小數是數學內容裡「數與量」的一環，是整數十進數 結構的延伸和分數的另一種表示方式，其學習十分抽象與複雜的，在學習上學生 也常遭遇困難。九年一貫課程 (教育部，2003)中，國民小學階段數學領域的目標

（三），規定在小學畢業前，學生能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數 量關係，解決日常生活的問題。97課綱中，數學領域的分年細目能力指標，也指 出學生要能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。所以，小數的 除法在國小的數學領域中是重要的一環。

小數概念及四則運算的學習是國民小學數學的核心課程之一，小數概念也是 建立數學知識的重要基礎，因而學生發展小數概念與運算越顯重要。但在生活情 境中，因使用整數為多，小數的生活情境較少，也會影響學生對小數的了解，尤 其是小數四則運算的學習，學生偏向算則，無法賦予小數四則運算有意義的學 習。例如小數的加減是要對齊小數點，而非末位；小數的乘法卻是對齊末位，而 非小數點，以及小數的乘法是將它視為整數乘法後再計數被乘數及乘數小數位數 的和作為積的小數位數，諸多概念混淆了學生對小數四則運算的學習。

Bell, Swan ,& Taylor (1981)針對12至15歲的學生為對象進行研究，發現學生 在面對小數的文字題時，其所選擇的運算策略中出現迷思，如缺乏小數位值的理 解；有「乘法使結果變大，除法使結果變小」的想法；認為除法是「大的數除以 小的數」；根據題目中數字所附帶的單位來決定被成數或被除數；使用關鍵字策

略來解題。Fischbein et al. (1985) 的研究中，指出學生在文字題上的列式策略是 受「暗隱模式」(implicit model)的影響，當題目違反此一模式則學生答對率就下 降，因此題目中的數值是小數時，其學生的答對率都下降。因此，小數的學習是 小學數學教育中，極有挑戰性的教學主題，最近十多年的一些研究結果和評量報 告顯示，學生在學習小數方面表現得並不理想（吳昭容，1996；陳永峰，1998；

劉曼麗，2004）。所以本研究想應用階層式的詴題評量架構，來了解國小六年級 學生小數的除法能力表現。

不管國內或國外，數學課程愈來愈重視學生高階層數學能力的培養，但大多 相關之研究皆著重於小數迷思概念的探討和小數的診斷教學，較少針對學生小數 除法的高階層能力進行研究與分析，所以，本研究將以相關研究中常見的小數迷 思概念，做為本研究測驗工具編製的依據。TIMSS數學評量架構的認知技能，包 含了知道、應用和推理三種能力，若要設計階層式的詴題，TIMSS的數學評量架 構是很好的參考。故本研究要用TIMSS 2007四年級數學詴題的評量架構，以國小 六年級小數的除法能力作為整體量尺，把小數的除法能力分為知道、應用和推理 三個領域量尺來編製一份測驗，探討整體量尺與領域量尺間的關係，並瞭解學生 在小數的除法能力測驗中整體量尺與領域量尺的影響，如此可更完整的知道學生 在整份測驗中的表現。

基於上述動機，本研究之研究目的如下：

一、參考 TIMSS 2007 數學評量架構，編製一份小數的除法測驗，並驗證其成 效。

二、檢驗 HO-IRT、MIRT 和 UIRT 三種模式之適配度，作為模式選用之依據。

三、驗證第二個研究目的之最佳模式是否可以應用於小數的除法測驗。

四、探討分開估計與完整估計在國小六年級學生小數的除法測驗中，整體量尺 與領域量尺間的關係。