層級分析法之步驟

層級分析法之操作步驟簡單地說，首先將目標問題做問題的描述，再從中 找出可能的影響因素並建立起層級關係，採用兩兩因素成對比較之方式比較兩 因素之間的優劣程度，並依此建立成對比較矩陣，利用矩陣之特徵值與特徵向 量的計算，求得各屬性與方案之權重值，最後再透過綜合評判的方式得到最終 的方案排序，其重要步驟說明如下。

(一)、問題描述

欲將問題以層級分析法方式運作時，對於問題所處之系統應該儘量詳加瞭 解分析，將可能影響問題之因素均納入問題中，同時決定問題之主要目標。

(二)、建立層級架構

在此一階段，必須決定問題之目標以及總目標之各項指標，決定各指標之 評估準則及列入考慮之替代方案，而其評估準則以及方案之產生可應用腦力激 盪法、Delphi 法等。

首先在這個階段中包含了形成問題、確立定義、確立要素和層級三個步驟。

然後將複雜的問題系統化，匯集專家學者及決策者的意見來進行評估並建構層 級架構，此層級為研究架構的骨架，用來探討各要素間對整體的影響，而層級 架構中，每一層級只受上一層級的影響且要素間互相獨立。同一層級內的要素 不超過七個為原則，才能得到較好的一致性。

(三)、建立成對比較矩陣

此矩陣是以要素間相對的重要程度來建立。主要是以某一層級下各要素，

以上一層級要素為評估準則下，來進行成對比較。衡量尺度是採用比率尺度

(Ratio Scales)來表示，可劃分為五項：一樣重要、稍微重要、頗重要、非常重 要、絕對重要，再加上另外四個介於兩者間的強度，共可分為九個尺度，並分 別給序1~9 的比重。AHP 評估尺度語意及說明，請見下表：

表3-1 AHP 評估尺度語意表

評估尺度 定 義 說 明 1 同等重要

(Equal Importance)

兩項計畫的貢獻程度具相同重要性

☉等強 (Equally) 3 稍微重要

(Weak Importance)

經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫

☉稍強 (Moderately) 5 頗為重要

(Essential Importance)

經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫

☉頗強 (Strongly) 7

極為重要 (Very Strong

Importance)

實際顯示非常強烈傾向某一喜好某一計畫

9 絕對重要 (Absolute Importance)

有足夠證據肯定絕對喜好某計畫

☉絕強 (Extremely) 2,4,6,8 相鄰尺度之中間值

(Intermediate Values) 需要折衷值時

資料來源：Satty【12】

將兩兩因素間進行成對比較，即可得到一成對比較矩陣 A。若有 n 個因素 需要比較時，則需進行n

(

n

− 1 ) 2

次成對比較，若因素 i 與因素 j 的比值為

a ，

_ij 因成對比較有倒數性質(Reciprocal Property)，則要素 j 與要素 i 的比值即為原來 比值的倒數即1

a 。同理，成對比較矩陣 A 的下三角形部分，即為上三角形部

_ij 分的倒數。如下所示：

12 1

21 2

1 2

...

...

. . . ...

n n

ij

n n

a a

a a

A a

a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 　 　 　 1 1　 　

. .

. .

. .

　 1 　 1 　1

若當因素的權重值已知時，亦可用下列方式來表示之：

12 1

21 2

1 2

...

...

...

...

. . . ...

n

n

ij

n n

a a

a a

A a

a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎡ ⎤

= ⎣ ⎦ = ⎢ ⎥ =

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

　 w w w w 　 w w 1 　 　

w w 　 w w 　 w w 　 1 1　 　

. . . .

. . . .

. . . .

　 1 　 1 　1 ...

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣

^{n 1 n 2 n n}

⎦

. 　

. . w w 　 w w 　 w w

其中

a ＝

_ij

W

_i

W

_j，

a =1

_ji

a ，

_ij W=

[ w w

1, 2,...,

w

_n

]

^T＝

1 2

. . .

n

w w

w

⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 　 　 　 　

w ：因素 i 的權重；

i i

= 1 2 , , , . "

n

a ：兩兩因素間的比值： i

ij =1 2, , , ,"

n j

=1 2, , , ."

n

(四)、計算特徴向量(Eigenvector)和最大特徴值(Eigenvalue)

特徴向量的解法

特 徵 向 量(Eigenvector)或 稱 優 勢 向量(Priority Vector)或權重(Weight) ， Thomas L. Saaty 提出四種近似法如下：

1. 行向量平均值常態化，又稱 ANC 法(Average of Normalized Columns)。首 先將各行元素常態化，再將常態化後之各列元素加總，最後再除以各列 元素之個數。

∑

⁼

∑

=

=

= ⁿ

j n

i ij ij

i

i j n

a a W n

1 1

, , 2 , 1 1 ,

"

，

2. 列向量平均值常態化，又稱 NRA 法(Normalization of the Row Average)。

將各列元素加總後，再進行常態化。

n j

i a a

W

_n

j ij n

i n

j ij

i , 1,2, ,

1 1

1 = "

=

∑ ∑

∑

=

=

= ，

3. 列向量幾何平均值常態化，又稱 NGM 法(Normalization of the Geometric Mean of the Rows)。將各列元素相乘後取其幾何平均數，再進行常態化 求得。

n j

i a a W

n

i n n

j ij n n

j ij

i

, 1 , 2 , ,

1

1

1 1

1

= "

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜ ⎝

⎛

=

∑ ∏

∏

= =

=

，

4. 行向量和倒數標準化。將各行元素予以加總，再求其倒數進行常態化。

n j

i

a a W

n

j n

i ij n

i ij

i , 1,2, ,

1 1

1 1

1 = "

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

=

∑ ∑

∑

=

=

= ，

(3-17)

(3-18)

(3-19)

(3-20)

最大特徴值(

λ

_max)的計算

將成對比較矩陣 A 乘以所求出的特徵向量 W，可得到新的特徴向量W ′，W ′ 的每一向量值分別除以對應原向量 W 之向量值，最後將所求出的各數值求其算 數平均數，即可求出

λ

_max。

W W

A

• =

λ

_max•

1 1

2 2

... '

... '

. .

. .

. .

...

_n

'

_n

W W

W W

A

W W

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ = ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

1 1 1 2 1 n

2 1 2 2 2 n

n 1 n 2 n n

　 w w w w 　 w w w w 　 w w 　 w w

　 　

. . .

　 　 　 　 　 . . .

　 　

. . .

w w 　 w w 　 w w

其中

1 2

max

1 2 1

' ' '

1 ...

ⁿ

n

W

W W

n W W W

λ

= ^⎛ ⎜ + + ^⎞ ⎟

⎝ ⎠

(五)、一致性檢定

為了要求客觀且較準確的評估，所以必須要求一致性的檢定。此檢定是利 用一致性指標(Consistency Index, C.I.)及一致性比率(Consistency Ratio, C.R.)來 計算，而 Satty【12】建議當 C.I.≤ 0.1 時，為最佳可接受之誤差，若 C.I. ≤ 0.2 時，亦為可接受之誤差。一致性指標定義之公式如下：

. 1 .

^max

−

= −

n I n

C

λ

其中 n：評估要素的個數

而每個成對比較矩陣可依階數 n 來對應隨機指標值(Random Index, R.I.)。

AHP 一致性檢定之隨機指標表，請見下表 3-2：

(3-22) (3-21)

表3-2 隨機指標表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59

資料來源：Satty【12】

一致性比率定義之公式如下：

. .

. . . .

R I

I R C C

=

( 若 C.R.≤ 0.1，表示矩陣的具有一致性，即為可接受之矩陣)

以上所述為單一層級的一致性計算，若層級數大於1 時，則需求出整體層 級的一致性指標(C.I.H)及一致性比率(C.R.H)。公式如下：

H I R

H I H C R

C

. .

. . . . . =

其中：C.I.H=

∑

(每一層級的優先向量)*(每一層級 C.I.值)

R.I.H= ∑

(每一層級的優先向量)*(每一層級 R.I.值)

(若 C.R.H ≤ 0.1，表示整體層級矩陣具一致性，即為可接受之矩陣)

(六)、計算方案的優先順序

將每一層級特徵向量(eigenvector)對應上一層級之特徵向量相乘，求得每 一層級的整體權重值(綜合特徵向量)，此為最底層各方案對目標的優先值，讓 決策者了解評估結果優先順序來下決策。

(3-23)

(3-24)

規劃群體 問題描述

影響要素分析

建立層級結構

問卷設計

決策群體

建立成對比較矩陣

求取各層級 C.I.綜合值

決策群體

求取一致性指標

替代方案加權平均 替代方案之選擇

問卷填寫

計算特徵值與特徵向量

求取 C.R.H.值

C.R.< 0.1

C.R.H. < 0.1

是

是

否 否

圖3-10 AHP 法流程圖

資料來源：鄧振源，曾國雄【29】、【30】、

在文檔中 中 華 大 學 (頁 52-59)